Page 1
Cơ học kỹ thuật Engineering Mechanics ĐỘNG LỰC HỌC KINETICS GS.TS. Đinh Văn Phong Bộ môn Cơ học ứng dụng C3-307/308 (C1-224) 0903200960 / (024)36230949 phong.dinhvan@hust.edu.vn Department of Applied Mechanics
Page 2
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Phương trình Lagrange loại 2 (Nhắc lại) Phương trình Lagrange loại 2 là phương trình vi phân chuyển động của hệ các chất điểm và các vật rắn chịu liên kết hình học ở dạng tọa độ suy rộng đủ với số phương trình đúng bằng số bậc tự do của hệ. Với cơ hệ f bậc tự do có các toa độ suy rộng đủ [q1,q2,…,qf],: d L L kt d T T kt Q Q , (i 1,2,..., f) dt q q i dt q q q i i i i i i Động năng của 1 số trường hợp 1 2 Vật rắn tịnh tiến T mv 2 C 1 2 Vật rắn quay quanh trục z cố định T I 2 z Vật rắn chuyển động phẳng 1 2 1 2 T mv I Động năng củ a cá c trường hợp 2 C 2 Cz không gian tổ ng quá t???? Department of Applied Mechanics 2
Page 3
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Quy trình giải bài toán với phương trình Lagrange loại 2 (nhắc lại) Phương trình Lagrange loại 2: d L L kt d T T kt Q Q , (i 1,2,..., f) dt q q i dt q q q i i i i i i 1. Phân tích cơ hệ : - số chất điểm, vật rắn và các chuyển động của chúng - các lực hoạt động - số bậc tự do và chọn các tọa độ suy rộng đủ 2. Tính động năng của các chất điểm và các vật rắn 3. Biểu diễn các đại lượng động học theo các tọa độ suy rộng 4. Tính động năng tổng cộng của cả cơ hệ 5. Tính các đạo hàm (3f đạo hàm) 6. Tính các lực suy rộng (3+1 phương pháp) 7. Viết phương trình Lagrange loại 2 8 Viết các tích phân đầu (nếu có) Department of Applied Mechanics 3
Page 4
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Ví dụ Mô hình cầ u trục cù ng với tả i trọng được cho như hình vẽ . Xe A có x khối lượng m chuyển động trên đường ngang, lò xo có độ cứng k, cản 1 k nhớt hệ số c. Dây AB có chiề u dài l, khối lượng không đáng kể và luôn căng. Tả i trọng được coi như chất điểm có khối lượng m . m1 F(t) 2 A c l Thiết lập phương trình vi phân chuyển động với các tọa độ suy rộng x và B m2 Department of Applied Mechanics 4
Page 5
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Lời giải 1. Số bậc tự do f =2. x 2. Chọn tọa độ suy rộng đủ: x và 3. Biểu thức động năng của hệ: k m1 F(t) 1 1 A T = m v2 + m v2 v = x c 2 1 A 2 2 B A Tính vận tốc điểm B, với tọa độ (X,Y) l X = x + l sin X = x + l cos B Y = −l cos Y = l sin m 2 v2 = X2 +Y2 = x2 + 2lx cos + l22 B 1 1 T = (m + m )x2 + m lx cos + m l2 2 2 1 2 2 2 2 1 Biểu thức thế năng: = kx2 − m gl cos 2 2 Department of Applied Mechanics 5
Page 6
Phương trì nh Lagrange loạ i 2 Lời giải (…) 4. Tính lực suy rộng của các lực không thế x A F( kt ) = (F t( ) −cx)x + 0 Qkt = F t( ) −cx, Qkt = 0 k x k 5. Tính các đạo hàm m1 F(t) T T A = 0, = (m + m )x + m l cos, c x x 1 2 2 d T F = −cx l = (m + m )x + m l cos − m l 2 sin , = kx, dt x 1 2 2 2 x c T T B = −m lx sin, = m l2 + m lx cos, m 2 2 2 2 d T = m l2 + m lx cos − m lx sin , = m gl sin dt 2 2 2 2 6. Phương trình vi phân chuyển động (m + m )x + m l cos − m l2 sin + cx + kx = F t( ) 1 2 2 2 m l cos x + m l2 + m gl sin = 0. 2 2 2 Department of Applied Mechanics 6
Page 7
Phương trình Lagrange loại 2 Các tích phân đầu của chuyển động: 2 dạng cơ bản trong các cơ hệ Tích phân năng lượng. Nếu hệ là bảo toàn (các lực hoạt động là các lực có thế), ta có C (q ,..,q ,q ,..,q ) T C const 1 1 f 1 f 1 Tích phân cyclic. Nếu một tọa độ suy rộng nào đó thỏa mãn T kt Tọa độ q được gọi là tọa độ cyclic. 0, Q Q 0 k q k q k k k d T T kt Q dt q q q k k k k d T T 0 C ( ,q q) C const dt q q 2 2 k k Là tích phân cyclic. Department of Applied Mechanics 7
Page 8
Phương trình Lagrange loại 2 Ví dụ Xét con lắc elliptic (m , m , L, g) Với biểu thức động năng và thế năng: x 1 2 1 1 m T = (m + m )x2 + m lx cos + m l2 2, = −m gl cos 1 2 1 2 2 2 2 2 A Phương trình vi phân chuyển động Xem lạ i cá c phé p tí nh lự c suy rộng và cá c đạ o hà m (m + m )x + m l cos − m l2 sin = 0 l 1 2 2 2 Có bao nhiêu tí ch phân đầ u? m l cos x + m l2 + m gl sin = 0. B 2 2 2 m 2 1. Hệ bảo toàn nên có tích phân năng lượng T + = ... =C = const =T + 1 0 0 2. Tọa độ cyclic? T Q = 0, = 0 x x x Là tọa độ cyclic Tích phân cyclic (bảo toàn động lượng trên phương ngang) T = (m + m )x + m l cos =C = const = (m + m ) (0)x + m l (0)cos (0) x 1 2 2 2 1 2 2 Department of Applied Mechanics 8
Page 9
CHAPTER7 Cơ học kỹ thuật: ĐỘNG LỰC HỌC Engineering Mechanics: KINETICS Động lực học vật rắn không gian Bộ môn Cơ học ứng dụng Department of Applied Mechanics
Page 10
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Một số đối tượng của động lực học vật rắn không gian https://en.wikipedia.org/wiki/Gyroscope https://www.aerocontact.com z z1 B z y 0 z 1 2 1 C y C x 1 P x A O Department of Applied Mechanics 10
Page 11
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Một số vấn đề cơ bản I. MÔMEN QUÁN TÍNH KHỐI CỦA VẬT RẮN II. ĐỘNG LƯỢNG, MÔMEN ĐỘNG LƯỢNG, ĐỘNG NĂNG CỦA VẬT RẮN III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LỰC NEWTON - EULER IV. PHẢN LỰC Ổ TRỤC VẬT RẮN QUAY QUANH TRỤC CỐ ĐỊNH V. CHUYỂN ĐỘNG GYROSCOPE – LÝ THUYẾT GẦN ĐÚNG GYROSCOPE Department of Applied Mechanics 11
Page 12
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body MÔMEN QUÁN TÍNH KHỐI CỦA VẬT RẮN 1. Mômen quán tính khối của vật rắn 2. Liên hệ mômen quán tính đối với các hệ trục song song 3. Khái niệm trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm 4. Tính mômen quán tính khối của một số vật đồng chất 5. Mômen tích quán tính khi xoay trục tọa độ Department of Applied Mechanics 12
Page 13
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Mômen quán tính khối của vật rắn: Các định nghĩa z Mômen quán tính khối của vật rắn đối với một trục I I = 2dm = (x2 + y2)dm, z dm z zz I I = (x2 + z2)dm, I I = (y2 + z2)dm u y yy x xx O y Mômen quán tính khối của vật rắn đối với điểm O x y x I = u dm2 = (x2 + y2 + z2)dm IO = 21 (Ix + Iy + Iz ) O Mômen tích quán tính đối với 2 trục trong hệ tọa độ Oxyz Ma trận mômen quán tính của vật đối với I = I = − xydm, hệ trục Oxyz I I I Nếu vật đối xứng qua xx xy xz xy yx m I = I = − xzdm mặt y-z thì: I I I I xz zx I = I = 0 O yx yy yz m I = I = − yzdm xy xz I I I yz zy zx zy zz m Chú ý: trong một số nguồn, các moment tích quán tich có dấu ngươc lại Department of Applied Mechanics 13
Page 14
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Liên hệ mômen quán tính khối đối với các trục song song Định lý Huyghens-Steiner 1 I = I + md2 z Cz z z I = I + m y( 2 + z2 ) x Cx C C d I = I + m x( 2 + z2 ) y Cy C C r r’ I = I + m x( 2 + y2 ) dm z Cz C C C y x Định lý Huyghens-Steiner 2 I = I − mx y xy x y C C O I = I − mx y x x y xy x y C C y C I = I − my z C yz y z C C I = I − mx z xz x z C C Department of Applied Mechanics 14
Page 15
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Khái niệm trục quán tính chính và trục quán tính chính trung tâm - Trục Oz được gọi là trục quán tính chính tại O nếu các mômen tích quán tính z Izx = Izy = 0. Mômen quán tính đối với trục quán tính chính được gọi là mômen quán tính chính. z dm ( , , )x y z - Trục Oz được gọi là trục quán tính chính trung tâm nếu nó là trục quán tính chính và đi qua khối tâm của vật rắn. Mômen quán tính đối với trục quán tính O chính trung tâm được gọi là mômen quán tính chính trung tâm. y x z Các đị nh lý về trục quán tính chính dm Định lý 1 (về sự tồn tại 3 trục quán tính chính): Tại mỗi điểm của vật có ba trục quán tính chính vuông góc với nhau. Định lý 2: Nếu vật rắn đồng chất có một trục đối xứng thì trục đó là trục quán tính chính trung tâm. Định lý 3: Nếu vật rắn đồng chất có mặt phẳng đối xứng thì trục vuông góc với mặt phẳng đó là trục quán tính chính tại giao điểm giữa mặt phẳng đối xứng và trục. Department of Applied Mechanics 15
Page 16
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Momen quán tính khối của một số vật đồng chất Hộp chữ nhật đồng chất: m, a, b, c. z m abc a Vật đối xứng qua mặt y-z: I = I = 0 c y xy xz C Vật đối xứng qua mặt x-y: I = I = 0 dm zy zy b dm x y z( , , ) x I (y2 z2)dm, dm dxdydz x a/2 b/2 c/2 Khi a và c nhỏ (0): Thanh mảnh nằm dọc trục y. m 1 1 (y2 z2) dxdydz b2 c2 , 12 I = I = mb2(= mL2), I 0 a/2 b/2 c/2 x z 12 12 y m m I a2 c2 , I a2 b2 y 12 z 12 Department of Applied Mechanics 16
Page 17
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Momen quán tính khối của một số vật đồng chất (…) Trụ đồng chất m, r, L. Mômen quán tính của 1 m 1 I = dI = L/2 r dz = mr 2 2 đĩa đồng chất z z 2 −L/2 L 2 r Áp dụng công thức Huyghens-Steiner 1 dI = dI + z dm2 = (1 r2 + z2)dm r x x 4 m L/2 dI = 1 r dm2 I = (1 r2 + z2)dz = 1 mr2 + 1 mL2 z 2 x L −L/2 4 4 12 dI = dI = 1 r dm2 x y 4 m ( ) dm = (m /L dz) I = I = 3r2 + L2 y x 12 Khi bán kính r nhỏ: coi trụ như thanh mảnh 1 I = I = mL2 , I 0 x y 12 z Department of Applied Mechanics 17
Page 18
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Mômen quán tính khối – Một số trườ ng hợp hay gặ p Tấm mỏng (chữ nhật) Đĩa tròn mỏng Trụ đặc y z x C C y b x y z a z x I 1 mb2 xx 12 I I 1 mr2 I I 1 m(3r2 L2) xx yy 4 xx yy 12 I 1 ma2 yy 12 I 1 mr2 I 1 mr2 zz 2 zz 2 I 1 m a( 2 b2) zz 12 I I I 0 I I I 0 xy yz zx xy yz zx I I I 0 xy yz zx Department of Applied Mechanics 18
Page 19
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Mômen tích quán tính khi xoay trục tọa độ Cho vật rắn B và 2 hệ trục tọa độ cùng gốc Oxyz, Ox y z , z = z y I ,I ,I ,... I y Cho biết x y y z cần tính xy dm Xét phân tố khối lượng dm: Oxyz : dm x y z( , , ), & Ox y z : dm x y z( , , ) y x y Mô men tích quán tính: Ixy = −xydm, Ix y = −x y dm x O x x x = xcos −ysin, y = xsin +ycos, z = z −xy = −[(x2 + z2)−(z2 + y2)]sin cos − x y (cos2 − sin2 ) Quay hệ Oxy quanh z góc = − 1 [(x2 + z2) −(z2 + y2)]sin 2 − x y cos2 thì trùng hệ Ox’y’ 2 Nhân hai vế với dm, tích phân trên toàn vật: NếuOx y z là hệ trục qt chính (x2 + z2)dm = I , (z2 + y2)dm = I , − x y dm = I y x x y I = 1 (I − I )sin 2 + I cos 2 I = 1 (I − I )sin 2 xy 2 x y xy 2 x y x y Department of Applied Mechanics 19
Page 20
Động lực học vật rắn không gian. 3D Kinetics of a rigid body Mômen tích quán tính khi xoay trục tọa độ (…) Công thức xoay trục khi vật rắ n qua quanh các trục quán tính chính Hai hệ trục Oxyz và Ox’y’z’ có cùng gốc và x=x’, trong đó x’y’z’ là hệ trục quán tính chính. Hệ xyz quay góc quanh x (=x’) thì trùng hệ trục x’y’z’ (lưu ý chiều quay dương). y z x y’ y’ x’ z’ x’ z’ O O O x y z z z’ x x’ y y’ Nếu quay quanh trục x (=x’): Nếu quay quanh trục y (=y’): Nếu quay quanh trục z (=z’): I I 0 I I 0 I I 0 xy xz yx yz zx zy 1 1 1 I (I I )sin 2 I (I I )sin 2 I (I I )sin 2 yz 2 y z xz 2 z x xy 2 x y Department of Applied Mechanics 20
Showing the first 20 pages. Download the document to see it all.
Comments (0)
No comments yet. Be the first!