Lý thuyết Điều khiển Tự động Phân tích hệ trên không gian trạng thái Trường Điện – Điện tử Đại học Bách Khoa Hà Nội GV: TS. Trịnh Hoàng Minh Hà Nội, 08/2021 Nội dung 1. Bậc tương đối. Phân tích tính ổn định 2. Tính điều khiển được 3. Tính quan sát được 2 Bậc tương đối. Phân tích tính ổn định 3 Xác định bậc tương đối từ MHTT Hệ SISO với hàm truyền hợp thức chặt 𝑏0 +𝑏1 𝑠+⋯+𝑏𝑚 𝑠𝑚 𝐺 𝑠 = , (𝑚 < 𝑛) 𝑛−1 𝑛 𝑎0 +𝑎1 𝑠+⋯+𝑎𝑛−1 𝑠 +𝑠 Bậc tương đối: 𝑟 = 𝑛 − 𝑚 ≥ 1. Hệ SISO với MHTT: 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝑏𝑢 𝑑𝑡 𝑦 = 𝑐⊤𝑥 Xác định bậc tương đối theo công thức: =0 0≤𝑘 ≤𝑟−2 𝑐 ⊤ 𝐴𝑘 𝑏 = ቊ ≠0 𝑘 =𝑟−1 4 Xác định bậc tương đối từ MHTT Xác định bậc tương đối hệ SISO với MHTT theo công thức: 𝑐 ⊤ 𝐴𝑘 𝑏 = ቊ =0 0≤𝑘 ≤𝑟−2 ≠0 𝑘 =𝑟−1 Chứng minh: 𝐴𝑘 Theo tính chất của ma trận hàm mũ: (𝑠𝐼 − 𝐴) = ℒ 𝑒 = ෍ 𝑘+1 𝑖=0 𝑠 ∞ 𝑐 ⊤ 𝐴𝑘 𝑏 Do đó: 𝑟 𝑟 ⊤ −1 lim 𝑠 𝐺(𝑠) = 𝑏𝑚 = lim 𝑠 𝑐 (𝑠𝐼 − 𝐴) 𝑏 = lim ෍ 𝑘−𝑟+1 𝑠→∞ 𝑠→∞ 𝑠→∞ 𝑖=0 𝑠 −1 Với 𝑘 > 𝑟 − 1 thì 𝐴𝑘 𝐴𝑡 ∞ 𝑟−1 𝑐 ⊤ 𝐴𝑘 𝑏 𝑐 ⊤ 𝐴𝑘 𝑏 lim = 0 ⟹ lim ෍ = lim ෍ 𝑘−𝑟+1 𝑘−𝑟+1 𝑠→∞ 𝑠 𝑘−𝑟+1 𝑠→∞ 𝑠→∞ 𝑠 𝑖=0 𝑖=0 𝑠 ∞ ⟹ Để vế trái bằng giá trị hữu hạn 𝑏𝑚 = 𝑏𝑛−𝑟+1 thì cần và đủ là: 𝑐 ⊤ 𝐴𝑘 𝑏 = 0, ൝ ⊤ 𝑟−1 𝑐 𝐴 𝑏≠0 0≤𝑘 ≤𝑟−2 5 Tính ổn định của hệ thống Phân tích ổn định BIBO: 𝐺(𝑠) = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 −1 𝐵 + 𝐷 = 𝐶 𝑠𝐼 − 𝐴 𝑎𝑑𝑗 𝐵+𝐷 det(𝑠𝐼 − 𝐴) Định lý: Hệ ổn định BIBO khi và chỉ khi ma trận A có tất cả các giá trị riêng nằm bên trái trục ảo, tức là 𝑝 𝑠 = det(𝑠𝐼 − 𝐴) là đa thức Hurwitz. Ví dụ 1: Xét tính ổn định BIBO của hệ sau: −1 −1 1 1 𝑥പሶ = 1 −2 0 𝑥പ + 0 𝑢 0 2 −3 1 𝑦 = 1 0 −1 𝑥പ 6 Điểm cân bằng Hệ tuyến tính tham số hằng: 𝑥പሶ = 𝐴പ𝑥 + 𝐵ഫ 𝑢 ቊ𝑦 = 𝐶പ𝑥 + 𝐷ഫ , 𝑥പ (𝑡0 ) = 𝑥പ 0 𝑢 പ Điểm cân bằng: những điểm 𝑥𝑒 mà nếu không có tác động thì hệ sẽ nằm nguyên tại đó ⟹ 𝑥𝑒 là nghiệm của phương trình 𝑥ሶ = 0. Nếu 𝐴 khả nghịch thì hệ tuyến tính tham số hằng có điểm cân bằng duy nhất tại gốc tọa độ 𝑥𝑒 = 0. 7 Ổn định Ly