Master IMEA 1 Feuille de T.D. no 1 Calcul Stochastique et Finance 1.— Montrer que si, dans un marché viable, un portefeuille établi à la date t = 0 réplique exactement le pay-off d’une option à la date d’expiration T , alors le portefeuille et l’option ont même valeur à la date 0. 2.— Démontrer à l’aide d’un raisonnement d’arbitrage la relation de parité call-put : Ct − Pt = St − Ke−r(T −t) pour un call et un put sur le sous-jacent S, de même strike K, de même maturité T , et où r désigne le taux sans risque et 0 ≤ t ≤ T . 3.— On suppose qu’au taux de change courant on obtient 100 £ pour 160 –C. Un spéculateur estime qu’avec la probabilité 1/2 la Livre anglaise sera tombée à 1,40 –C à la fin de l’année et qu’avec la probabilité 1/2 elle sera montée à 2 –C. Il décide d’acheter une option put européenne qui lui donnera le droit (mais non l’obligation) de vendre 100 £ au prix de 180 –C. Un opérateur propose de lui vendre ce put au prix de 20 –C. En se basant sur son estimation de la probabilité de hausse, il accepte ce prix de vente. On suppose que le taux d’intérêt sans risque est nul dans la zone Euro. En utilisant le modèle binaire à une étape, soit construisez une stratégie qui permettra au vendeur ou à l’acheteur de s’assurer un profit certain, soit montrez que ce prix est le juste prix pour cette option. 4.— Déterminer un portefeuille constitué de deux calls européens – sur un même sous-jacent S et de même maturité T – et dont la valeur à la date T en fonction de ST est représentée par le diagramme ci-dessous : Comment pourrait-on exprimer ce pay-off à l’aide de puts ? 5.— a. Une action est cotée 50 –C aujourd’hui. À la fin de chacune de deux périodes de trois mois, sa valeur augmentera de 6 % ou diminuera de 5 %. Le taux d’intérêt sans risque annuel est de 5 %. Déterminer la valeur d’un put européen d’échéance 6 mois et de prix d’exercice 51 –C. b. Si l’option de vente était de type américain, serait-il optimal d’exercer prématurément à l’un des noeuds de l’