第 1 页
CHUYÊN ĐỀ 6. KHẢO SÁT HÀM SỐ HỮU TỈ Câu 1. Trong hệ trục tọa độ cho đồ thị hàm số mô tả chuyển động của hai tàu đánh cá và (đơn vị trên mỗi trục tọa độ tính bằng ). Biết quỹ đạo chuyển động của hai tàu luôn thuộc về hai nhánh khác nhau của đồ thị . Tính khoảng cách ngắn nhất (đơn vị ) giữa hai tàu đánh cá và (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 2. Một máy bay trình diễn có đường bay gắn với hệ trục được mô phỏng như hình vẽ, trục gắn với mặt đất. Đường bay có dạng là một phần của đồ thị hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất có đường tiệm cận đứng là . Điểm là giao điểm của đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số và trục được gọi là điểm giới hạn. Biết máy bay bay từ vị trí cách tọa tọa độ một khoảng đơn vị và máy bay khi ở vị trí cao nhất cách điểm xuất phát đơn vị theo phương song song với trục và cách mặt đất đơn vị. Vị trí máy bay tiếp đất cách điểm giới hạn một khoảng bằng bao nhiêu? Câu 3. Trong một công viên có một hồ nước và một đường đi lát gạch hoa. Thiết lập hệ trục như hình vẽ dưới, kiến trúc sư thấy rằng bờ hồ có thể coi như một nhánh của đồ thị hàm số và đường đi khi đó ứng với đường thẳng . Để đảm bảo ánh sáng, kiến trúc sư muốn đặt 2 cột đèn trên bờ hồ và 2 cột đèn trên đường đi sao cho 4 cột đèn này tạo thành một hình vuông. Tính khoảng cách giữa hai cột đèn trên bờ hồ (làm tròn đến hàng phần trăm). 1 Hubdocu.com
第 2 页
Câu 4. Ở một vịnh biển, ngoài xa có một hòn đảo nhỏ. Người ta tiến hành lấn biển để xây một khu đô thị và làm một tuyến cáp treo nối khu đô thị với hòn đảo để phát triển du lịch. Xét trong hệ tọa độ với đơn vị đo tương ứng km có hòn đảo ở thì đương bao của phần đất lấn biển có dạng là một phần của đồ thị hàm số . Giả sử tuyến cáp treo được thiết kế nối đảo với đường bao của khu đô thị với độ dài ngắn nhất. Độ dài của tuyến cáp treo là bao nhiêu km (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)? Câu 5. Giả sử tỷ lệ sinh của Tỉnh tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số , trong đó thời gian được tính bằng tháng. Khi đó đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ tăng dân số của tỉnh . Hỏi sau bao nhiêu tháng tốc độ tăng trưởng của dân số tỉnh là lớn nhất? Câu 6. Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hoá bằng hàm số trong đó thời gian được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành thì tốc độ bán hàng đạt lớn nhất bằng bao nhiêu? Câu 7. Để loại bỏ chất gây ô nhiễm môi trường từ khí thải của một nhà máy, người ta ước tính chi phí (triệu đồng) cần bỏ ra được mô hình hóa bởi hàm số có dạng (như hình vẽ), . Tính chi phí chênh lệch (tỉ đồng) phải bỏ ra để loại bỏ và loại bỏ chất gây ô nhiễm từ khí thải của nhà máy. 2 Hubdocu.com
第 3 页
Câu 8. Số dân của một thị trấn sau năm kể từ năm 1970 được ước tính bởi công thức là một hàm số xác định trên nửa khoảng Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là Giá trị của là bao nhiêu? Câu 9. Nồng độ của một loại hóa chất trong máu sau giờ tiêm vào cơ thể được cho bởi công thức với . Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ của hóa chất trong máu là cao nhất? (kết quả làm tròn tới hàng phần trăm) Câu 10. Đường đi của một khinh khí cầu được gắn trong hệ trục tọa độ là một đường cong bậc hai trên bậc nhất có đồ thị cắt trục hoành tại hai điểm có tọa độ là và với đơn vị trên hệ trục tọa độ là . Biết rằng điểm cực đại của đồ thị hàm số là điểm . Hỏi khi khí cầu đi qua điểm cực đại và cách mặt đất thì khí cầu cách gốc tọa độ theo phương ngang bao nhiêu? (đơn vị: ) Câu 11. Số dân của một thị trấn sau năm kể từ năm được tính bởi công thức ( được tính bằng nghìn người). Đạo hàm của hàm số biểu thị tốc độ tăng dân số của thị trấn (tính bằng nghìn người/năm). Hỏi vào năm nào thì tốc độ tăng dân số là nghìn người/năm? Câu 12. Một bể chứa lít nước tinh khiết. Người ta bơm vào bể đó nước muối có nồng độ gam/1 lít nước với tốc độ lít/phút. Giả sử nồng độ muối trong nước bể sau phút được xác định bởi một hàm số trên (gam/lit). Khi càng lớn thì nồng độ muối trong bể tiến gần đến bao nhiêu gam/lít. Câu 13. Một con cá hồi bơi ngược dòng (từ nơi sinh sống) vượt khoảng cách để tới nơi sinh sản. Vận tốc dòng nước là . Giả sử vận tốc hơi của cả khi mước đứng yên là thì năng lượng tiêu hao của cả trong giờ cho bởi công thức trong đó là hàng số cho trước. tính hằng Jun. Tình vận tốc bơi của cả khi nước đứng yên, để năng lượng của cả tiêu hao ít nhất? 3 Hubdocu.com
第 4 页
Câu 14. Một bể chứa ban đầu có 250 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 25 lít nước, đồng thời cho vào bể 8 gam chất khử khuẩn được hòa tan. Giả sử là nồng độ chất khử khuẩn trong bể sau phút (với , đơn vị gam/lít, trong đó là khối lượng chất khử khuẩn trong bể và là thể tích nước trong bể). Gọi là số dương nhỏ nhất mà nồng độ chất khử khuẩn là tăng theo thời gian t nhưng không vượt quá ngưỡng gam/lít. Tìm Câu 15. Biết rằng tốc độ đánh máy trung trình (tính bằng từ trên phút) của một học viên lớn tuổi sau tuần (kể từ khi chưa biết đánh máy) được cho bởi một trong hai công thức sau và . Ông A (một người lớn tuổi chưa biết đánh máy) sau 4 tuần đi học thì tốc độ đánh máy trung bình đạt 20 từ trên phút, sau 6 tuần đạt 30 từ trên phút. Em hãy dự đoán xem, sau khóa học 15 tuần thì tốc độ đánh máy trung bình của ông A là bao nhiêu từ trên phút. Câu 16. Một bể ban đầu chứa lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm lít nước, đồng thời cho vào bể gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi (gam/lít) là nồng độ chất khử trùng trong bể sau phút ( ), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số , ta thấy giá trị tăng theo thời gian nhưng không vượt ngưỡng gam/lít. Tìm số (kết quả viết dưới dạng số thập phân). Câu 17. Một hộp không nắp được làm từ một mảnh các tông theo hình vẽ. Hộp có đáy là một hình vuông cạnh , chiều cao là và thể tích là . Tìm sao cho chiếc hộp làm ra tốn ít bìa các tông nhất. Câu 18. Để tạo một kiện hàng dạng hình lăng trụ đứng với đáy là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, người ta dùng các thanh gỗ ghép khít đóng lại với nhau. Biết rằng, dung tích kiện hàng bằng và giá thành gỗ sử dụng là đồng. Hỏi sau khi hoàn thành kiện hàng đó, người ta cần bỏ ra ít nhất bao nhiêu triệu đồng? (diện tích các mép giữa hai mặt kề nhau không đáng kể). 4 Hubdocu.com
第 5 页
Câu 19. Một xưởng thủ công mỹ nghệ sản xuất loại chụp đèn trang trí dạng hình chóp cụt tứ giác đều. Gọi là độ dài cạnh đáy lớn (đơn vị:dm). Tính toán cho thấy tổng chi phí vật liệu (tính bằng nghìn đồng) cho một chụp đèn là (nghìn đồng). Thời gian sản xuất cho một chụp đèn được xác định là (giờ). Xưởng muốn xác định kích thước để chi phí vật liệu trung bình trên một giờ sản xuất là thấp nhất, nhằm tối ưu hóa hiệu quả sử dụng thời gian và vật liệu. Hãy tìm giá trị của . Câu 20. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 500 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm ( ) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Câu 21. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá sản phầm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm đó là (nghìn đồng), trong khi chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là (nghìn đồng). Lợi nhuận thu được của doanh nghiệp (tính theo đơn vị triệu đồng) đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Câu 22. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất sản phẩm thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là ( đồng).Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là đồng. Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là ( đồng) nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên doanh nghiệp sản xuất và giảm 2% cho sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất ? Câu 23. Chi phí xuất bản cuốn tạp chí (bao gồm: lương cán bộ, công nhân viên, giấy in…) được cho bởi đồng. Chi phí phát hành cho mỗi cuốn là nghìn đồng. với là tổng chi phí (xuất bản và phát hành) cho cuốn tạp chí, được gọi là chi phí trung bình cho một cuốn tạp chí khi xuất bản cuốn. Khi số lượng cuốn tạp chí phát hành cực lớn thì chi phí trung bình cho mỗi cuốn tạp chí sẽ tiệm cận với đường thẳng có phương trình dạng . Tính . 5 Hubdocu.com
第 6 页
Câu 24. Một công ty chuyên sản xuất dụng cụ thể thao nhận được đơn đặt hàng sản xuất quả bóng rổ. Công ty có một số máy móc, mỗi máy có khả năng sản xuất quả bóng rổ trong một giờ. Chi phí thiết lập mỗi máy là nghìn đồng. Sau khi thiết lập, quá trình sản xuất sẽ diễn ra hoàn toàn tự động và chỉ cần có người giám sát. Chi phí trả cho người giám sát là nghìn đồng mỗi giờ. Số máy móc công ty cần sử dụng để chi phí hoạt động đạt mức thấp nhất là bao nhiêu? Câu 25. Một nhà xuất bản nhận in 4000 ấn phẩm. Nhà xuất bản có tất cả 14 máy in được cài đặt, hoạt động tự động và giám sát bởi 1 kĩ sư. Mỗi máy in có thể in được 30 ấn phẩm trong một giờ. Chi phí cài đặt máy in là 12 USD cho một máy, chi phí giám sát là 9USD một giờ. Tính số máy in nhà xuất bản nên sử dụng để chi phí in là nhỏ nhất ? Câu 26. Giả sử chi phí đặt hàng và vận chuyển (đơn vị: triệu đồng) của một linh kiện được sử dụng trong sản xuất một sản phầm được xác định theo công thức . Trong đó là số linh kiện được đặt hàng và vận chuyển. Tìm để chi phí đặt hàng và vận chuyển cho mỗi linh kiện trên là nhỏ nhất. Câu 27. Cho hàm số có đồ thị là ( là tham số thực). Tổng bình phương các giá trị của để đường thẳng cắt đồ thị tại hai điểm , sao cho bằng bao nhiêu? Câu 28. Một công ty sản xuất dụng cụ thể thao nhận được một đơn đặt hàng sản xuất quả bóng Pickleball. Công ty này sở hữu một số máy móc, mỗi máy có thể sản xuất được quả bóng trong một giờ. Chi phí thiết lập máy này là ngàn đồng cho mỗi máy. Khi được thiết lập, hoạt động sản xuất sẽ hoàn toàn diễn ra tự động dưới sự giám sát. Số tiền phải trả cho người giám sát là ngàn đồng một giờ. Số máy móc công ty nên sử dụng là bao nhiêu để chi phí hoạt động là thấp nhất? 6 Hubdocu.com
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！