第 1 页
CHUYÊN ĐỀ 5. KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC BA Câu 1. Một giáo viên theo dõi sự tiến bộ của học sinh qua thang đo điểm, được mô hình hóa bằng hàm số với là các hệ số. Trong đó là số tháng kể từ đầu năm học và là điểm trong tháng thứ . Qua theo dõi, giáo viên ghi nhận tháng đầu tiên học sinh đạt 19 điểm, sau đó giảm trong tháng thứ hai và đến tháng thứ ba học sinh đạt mức điểm thấp nhất trong năm học là 3 điểm. Kể từ tháng thứ ba trở đi, điểm của học sinh tăng lên. Tính điểm của học sinh đó ở tháng thứ sáu. Lời giải Đáp án: 84. Dựa vào đề bài ta có hệ phương trình: . . Câu 2. Một khu vực trồng hoa được xây dựng trong khu du lịch sinh thái. Trong mô hình minh họa (như hình vẽ bên), nó được giới hạn bởi các trục tọa độ và đồ thị của một hàm số bậc ba. Biết rằng đồ thị đi qua các điểm và . Trong khu du lịch sinh thái có một con đường chạy dọc theo đường thẳng . Tìm hoành độ của điểm thuộc sao cho khoảng cách từ đến là nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm). Lời giải Đáp án: 6,16. Đồ thị của một hàm số bậc ba có dạng: . Vì đồ thị đi qua các điểm và nên ta có: 1 Hubdocu.com
第 2 页
. Suy ra . Điểm thuộc sao cho khoảng cách từ đến là nhỏ nhất khi và chỉ khi tiếp tuyến của tại song song với ( . Ta có: . Đường thẳng có hệ số góc . Suy ra: . Do nên thỏa mãn. Câu 3. Khuôn viên của một công viên có dạng hình chữ nhật với Người ta muốn chia công viên thành hai khu, một khu dành cho trẻ em, một khu dành cho người lớn. Để tạo thiết kế độc đáo và lạ mắt, người ta dùng một đường cong chia khuôn viên thành hai phần (không tô màu) dành cho trẻ em và (tô màu) dành cho người lớn như hình vẽ bên với và . Biết rằng khi xét trong một hệ tọa độ đường cong trong hình là một phần của đồ thị hàm số bậc ba. Phần chính giữa công viên người ta muốn mắc dây đèn trang trí dọc đoạn thẳng như hình. Biết giá tiền mỗi mét dây trang trí của phần dành cho trẻ em là 140 nghìn đồng và phần dành cho người lớn là 180 nghìn đồng. Tổng số tiền mắc dây đèn trang trí trên đoạn là bao nhiêu triệu đồng. 2 Hubdocu.com
第 3 页
Lời giải Đáp án: . Xét trục tọa độ với gốc tọa độ là điểm . Tia trùng với tia , tia trùng với tia thì đường cong ranh giới giữa hai khu vực là đồ thị hàm số bậc ba . Theo giả thiết đồ thị hàm số này đi qua các điểm và có điểm cực trị là nên ta có hệ Giải hệ trên ta được . Do là trung điểm của nên tọa độ điểm là Do đó chiều dài đoạn dây thuộc phần dành cho người lớn là , chiều dài đoạn dây thuộc phần dành cho trẻ em là . Tổng số tiền mắc dây đèn là (triệu đồng). Câu 4. Lát cắt của một vùng đất được mô hình hóa bởi hàm bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới (đơn vị trên các trục là km). Biết khoảng cách ; độ rộng của núi . Độ sâu của hồ nước là 450m. Chiều cao của ngọn núi là bao nhiêu mét? (làm tròn đến hàng đơn vị). 3 Hubdocu.com
第 4 页
Lời giải Đáp số: 1191 Hàm số bậc ba có dạng , Ta có: Dựa vào hình vẽ trên, ta thấy đồ thị hàm số cắt trục hoành tại các điểm: , và Khi đó, phương trình có ba nghiệm phân biệt là . với đồ thị hàm số nên Ta có: Xét . Độ sâu của hồ nước là nên ta có giá trị cực tiểu của đồ thị hàm số trên là . Suy ra, . Chiều cao của ngọn núi tương ứng với . Vậy ngọn núi cao khoảng . Câu 5. Một phần đường chạy của tàu lượn siêu tốc ( hình 1) khi gắn hệ trục toạ độ được mô phỏng ở hình 2, đơn vị trên mỗi trục là mét. Biết đường chạy của nó là một phần đồ thị hàm bậc ba ; tàu lượn siêu tốc xuất phát từ điểm , đi qua các điểm đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất là . Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là bao nhiêu mét so với mặt đất? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục). 4 Hubdocu.com
第 5 页
Hình 1 Hình 2 Lời giải Đáp án: 39,9 Dựa vào hình 2 ta thấy đồ thị hàm số và đường thẳng cắt nhau tại 3 điểm phân biệt có hoành độ có 3 nghiệm phân biệt Suy ra . Theo bài ra độ cao nhỏ nhất bằng 6 hay Độ cao lớn nhất mà tàu lượn siêu tốc đạt được là Câu 6. Cho một tấm nhôm hình lục giác đều cạnh cm. Người ta cắt ở mỗi đỉnh của tấm nhôm hai hình tam giác vuông bằng nhau, biết cạnh góc vuông nhỏ bằng (cm) (cắt phần tô đậm của tấm nhôm) rồi gập tấm nhôm như hình vẽ để được một hình lăng trụ lục giác đều không có nắp. Tìm để thể tích của khối lăng trụ lục giác đều trên là lớn nhất (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 15. 5 Hubdocu.com
第 6 页
B xA C 90 O Lăng trụ có: Diện tích đáy: Chiều cao: Thể tích lăng trụ: Đạo hàm: x 0 15 45 V' + 0 0 243000 V 0 0 Dựa vào bảng biến thiên ta nhận Câu 7. Nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy cung cấp cho nhà máy số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của (tối đa tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). Chi phí để sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng gồm triệu đồng chi phí cố định và triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm. Nhà máy cần bán cho nhà máy bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười). Lời giải Đáp số: . Chi phí để sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng là (triệu đồng). Doanh thu khi nhà máy bán hết tấn sản phẩm cho nhà máy là: . 6 Hubdocu.com
第 7 页
Lợi nhuận thu được là: . Ta có: Bảng biến thiên: Như vậy, nhà máy cần bán cho nhà máy tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 8. Nhà máy A chuyên sản xuất một loại sản phẩm cho nhà máy B; Hai nhà máy thảo thuận rằng, hàng tháng nhà máy A cung cấp cho nhà máy B số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của nhà máy B (tối đa 90 tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (đơn vị triệu đồng). Chi phí để nhà máy A sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng là (đơn vị triệu đồng), thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là tổng doanh thu mỗi tháng. Hỏi mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là bao nhiêu triệu đồng (sau khi đã trừ thuế giá trị gia tăng)? Lời giải Đáp án: 2150 Gọi là số tấn sản phẩm nhà máy B đặt hàng nhà máy A hàng tháng ( ) Tổng doanh thu hàng tháng của nhà máy A là (triệu đồng) Thuế giá trị gia tăng mà nhà máy A phải đóng cho nhà nước là (triệu đồng) Tổng chi phí mà nhà máy A phải chi trả hàng tháng là (triệu đồng) Khi đó, lợi nhuận hàng tháng của nhà máy A là (triệu đồng) Xét hàm số Ta có: . và . Vậy mỗi tháng nhà máy A thu được lợi nhuận cao nhất là triệu đồng. 7 Hubdocu.com
第 8 页
Câu 9. Nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm cung cấp cho nhà máy . Hai nhà máy thỏa thuận rằng, hàng tháng nhà máy cung cấp cho nhà máy số lượng sản phẩm theo đơn đặt hàng của (tối đa tấn sản phẩm). Nếu số lượng đặt hàng là tấn sản phẩm thì giá bán cho mỗi tấn sản phẩm là (triệu đồng). Chi phí để sản xuất tấn sản phẩm trong một tháng là (triệu đồng) (gồm triệu đồng chi phí cố định và triệu đồng cho mỗi tấn sản phẩm). Để mỗi tháng thu được lợi nhuận lớn nhất thì cần bán cho bao nhiêu tấn sản phẩm mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất? (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị) Lời giải Đáp án: . Doanh thu khi nhà máy bán hết tấn sản phẩm cho nhà máy là: . Lợi nhuận thu được là: . Ta có: Bảng biến thiên: Ta có: , Như vậy, nhà máy cần bán tấn sản phẩm cho nhà máy mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 10. Một doanh nghiệp dự định sản xuất máy tính bảng dành cho học sinh. Nếu doanh nghiệp đó bán máy tính bảng thì giá bán cho mỗi máy tính bảng là (nghìn đồng), trong đó chí phí để sản xuất mỗi máy tính bảng là (nghìn đồng). Hỏi doanh nghiệp đó sẽ bán bao nhiêu máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất?. Lời giải Đáp số: 60. Ta có doanh thu của doanh nghiệp khi bán máy tính bảng là: . Chi phí của doanh nghiệp để sản xuất máy tính bảng là: . 8 Hubdocu.com
第 9 页
Lợi nhuận của doanh nghiệp khi bán máy tính bảng là: . Xét hàm . Có . . Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta thấy doanh nghiệp đó sẽ bán máy tính bảng để lợi nhuận cao nhất. Câu 11. Một hộ kinh doanh sản xuất mỗi ngày được sản phẩm, . Chi phí sản xuất sản phẩm được cho bởi (nghìn đồng). Giả sử hộ kinh doanh này bán mỗi sản phẩm với giá nghìn đồng. Lợi nhuận lớn nhất mà hộ kinh doanh có được là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải Đáp án: . Doanh thu tối đa mà hộ kinh doanh có thể thu được là (nghìn đồng). Lợi nhuận hộ kinh doanh thu được là . Ta có Bảng biến thiên Vậy lợi nhuận lớn nhất mà hộ kinh doanh có được là 1200 nghìn đồng triệu đồng. Câu 12. Một vật chuyển động theo quy luật , với (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Hỏi trong khoảng 9 Hubdocu.com
第 10 页
thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vận tốc lớn nhất của vật đạt được bằng bao nhiêu (m/s)? Lời giải Đáp án: . Ta có: với . ; ; ; . Vậy vận tốc lớn nhất của vật trong khoảng thời gian 10 giây, kể từ lúc bắt đầu chuyển động là . Câu 13. Trên một trục số thẳng đứng có chiều dương hướng lên trên, một chất điểm bắt đầu chuyển động dọc theo trục số. Giả sử, tại thời điểm giây tính từ lúc bắt đầu chuyển động thì vị trí của chất điểm trên trục số thẳng đứng được xác định bởi công thức (mét). Trong 15 giây chuyển động đầu tiên thì chất điểm di chuyển được quãng đường bằng bao nhiêu mét? Lời giải Đáp án: Ta có Bảng biến thiên: Trong 3 giây đầu, chất điểm di chuyển hướng lên Trong khoảng giây tiếp theo chất điểm di chuyến hướng xuống Trong khoảng giây cuối chất điểm di chuyến hướng lên Vâỵ trong 15 giây chuyển động đầu tiên thì chất điểm di chuyển được quãng đường là (mét). Câu 14. Một vật chuyển động. Quãng đường (tính theo mét) vật đi được sau khoảng thời gian (tính theo giây), , được mô tả là một hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây: 10 Hubdocu.com
第 11 页
Hỏi trong giây đầu tiên, khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần kéo dài bao nhiêu giây? Lời giải Đáp án: . Giả sử Vì đồ thị hàm số đi qua các điểm , , và nên ta có Do đó Ta có Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, từ giây thứ trở đi vận tốc của vật tăng dần theo thời gian. Do đó trong giây đầu tiên, khoảng thời gian vật chuyển động nhanh dần kéo dài trong giây. 11 Hubdocu.com
第 12 页
Câu 15. Ngày khai giảng năm học . Học sinh khối trường THPT Nguyễn Hiền thả chùm bóng bay gắn thông điệp “Học Sinh khối chiến thắng CT ”. Ước tính độ cao (tính bằng ) của chùm bóng bay so với mặt đất vào thời điểm (đơn vị giờ) được cho bởi công thức . Chùm bóng bay đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là: . Tìm Lời giải Đáp án: . Ta có Bảng biến thiên của hàm số Vậy chùm bóng bay đạt độ cao lớn nhất so với mặt đất là Câu 16. Từ năm 2004 đến năm 2019 doanh thu (tính bằng triệu đô la) của McDonald’s có thể được mô hình hóa bởi , trong đó là đại diện cho năm, với tương ứng với năm 2004. Biết rằng là hàm tốc độ doanh thu theo thời gian. Tốc độ thay đổi doanh thu của McDonald’s lớn nhất vào năm nào? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị, tính theo triệu đô la mỗi năm). Lời giải Đáp án: . Ta có hàm tốc độ doanh thu là . (nhận). Ta có bảng biến thiên của hàm số 12 Hubdocu.com
第 13 页
Dựa bào bảng biến thiên ta thấy rằng tốc độ thay đổi doanh thu của McDonald’s lớn nhất vào năm 2006 (tương ứng với ). Câu 17. Một nhà máy sản xuất sản phẩm trong mỗi tháng. Chi phí sản xuất sản phẩm được cho bởi hàm chi phí (nghìn đồng). Biết giá bán của mỗi sản phẩm là một hàm số phụ thuộc vào số lượng sản phẩm và được cho bởi công thức (nghìn đồng). Hỏi mỗi tháng nhà máy nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất? Biết rằng kết quả khảo sát thị trường cho thấy sản phẩm sản xuất ra sẽ tiêu thụ hết. Lời giải Đáp án: . +) Số tiền nhà máy thu được khi bán hết sản phẩm là: (nghìn đồng) Lợi nhuận nhà máy thu được khi sản xuất và bán hết sản phẩm là: (với ). +) Xét hàm số trên Ta có ; Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy ra (nghìn đồng). Vậy mỗi tháng nhà máy nên sản xuất sản phẩm thì lợi nhuận thu được là lớn nhất. Câu 18. Một đường ray tàu lượn trong khu vui chơi giải trí có hình dáng được mô phỏng theo đồ thị của hàm số , ký hiệu là (C). Để đảm bảo an toàn và tính thẩm mỹ, người ta chọn hai điểm và trên đường ray sao cho tiếp tuyến tại hai điểm này có cùng độ dốc (cùng 13 Hubdocu.com
第 14 页
hệ số góc). Đồng thời, đoạn đường nối hai trụ đỡ tại các điểm A và B phải vuông góc với một đường dây điện có phương trình . Tìm Lời giải Đáp số: Tiếp tuyến với tại có cùng hệ số góc và chỉ khi đối xứng nhau qua là tâm đối xứng của qua nên ta có Khi đó hoành độ thỏa mãn phương trình . Câu 19. Một cầu thủ thực hiện cú sút bóng xoáy (banana kick), làm bóng bay theo đường cong hình bậc ba thay vì một parabol thông thường. Quỹ đạo bóng trong hệ trục tọa độ được mô tả bởi phương trình , với là độ cao của bóng ( ). Biết chiều cao chuẩn của khung thành là 2.44 . Khi bóng chạm xà ngang thì góc lệch của bóng và mặt đất là bao nhiêu biết góc lệch của bóng và mặt đất là góc của đường tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm chạm xà ngang và trục (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). 14 Hubdocu.com
第 15 页
Lời giải Trả lời: 67 Ta có bóng chạm xà ngang nên ta có tung độ Hệ số góc của tiếp tuyến là Gọi là góc của tiếp tuyến với trục , ta có 15 Hubdocu.com
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！