第 1 页
Hubdocu.com CHUYÊN ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ Câu 1. Cường độ âm thanh (dB) tại một địa điểm được đo liên tục trong 12 giờ là một hàm số có bảng biến thiên như sau: Tại thời điểm bằng bao nhiêu trong thời gian khảo sát thì cường độ âm thanh là nhỏ nhất ? Lời giải Trả lời: 8 Từ bảng biến thiên ta thấy tại thời điểm thì hàm số đạt cường độ âm thanh nhỏ nhất là 25. Câu 2. Mộ t v6 â 6t chuyển độ ng theo quy lu6 â 6t với là khoảng thời gian tính t ừ khi vâ 6t đó bắt đầu chuy ển độ ng v6 à là quãng đư ờng vâ 6t di chuyển được trong khoảng thời gian đó. Hỏi trong khoảng thời gian giây, kể từ khi bắt đầu chuy ển độ ng, v6 â 6n tốc lớn nh ất của v â 6t đạt được bằng bào nhiêu? Lời giải Trả lời: 24 Vâ 6n tốc của v â 6t chuyển độ ng l6 à Tìm giá trị lớn nh ất của h àm số trên đoạn Ta có Vâ 6y vâ 6n tốc lớn nh ất là . Câu 3. Một cửa hàng cà phê bán cà phê espresso, nhận thấy rằng lợi nhuận củ a cửa hàng (tí nh theo đơn vị triệu đồng/ngày) phụ thuộc vào giá bán (chục nghìn đồng) mỗi ly espresso. Qua khảo sát, cửa hàng mộ tả lợi nhuận theo hàm số sau: . Hỏi cửa hàng nên chọn mức giá mỗi ly là bao nhiêu nghìn đồng để lợi nhuận tối ưu nhất? Lời giải Trả lời: 30 Ta có Giải Vớ i đồ thị hàm bậc 4 trùng phương hệ số , ta chọn để hàm số đạt cực đại. 1
第 2 页
Hubdocu.com Vậy giá bán để tối ưu lợi nhuận là 30 nghìn đồng/ly. Câu 4. Một vật chuyển động vớ i vận tốc được xác định bởi hàm số vớ i . Khi đó là gia tốc củ a vật tại thời điểm (giây). Vận tốc củ a vật đạt được cao nhất trong khoảng thời gian 3 giây đầ u là bao nhiêu m/s? Lời giải Trả lời: 4 Bảng biến thiên Vận tốc củ a vật đạt được cao nhất là Câu 5. Doanh số bán hàng củ a một loại sản phẩm (chục triệu đồng) trong một phiên livestream bán hàng kéo dài sáu giờ theo quy luật hàm số trong đó thời gian được tí nh bằng giờ kể từ khi bắ t đầ u livestream. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau bao nhiêu giờ kể từ khi bắ t đầ u phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớ n nhất? Lời giải Trả lời: 2 Ta có: Ta có bảng biến thiên vớ i : 2
第 3 页
Hubdocu.com Vậy sau 2 giờ kể từ khi bắ t đầ u phiên livestream thì doanh số bán hàng là lớ n nhất. Câu 6. Chào đón năm mớ i , Thành phố trang trí đèn led biểu tượng hình chữ được ghép từ các thanh , sao cho tam giác vuộ ng tại . Để tăng hiệu ứng, các kỹ sư đã thiết kế một chuỗi led chạy từ xuống vớ i vận tốc phút và một chuỗi led chạy từ lên vớ i vận tốc phút. Sau khi đóng nguồn điện thì cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát. Hỏi sau bao nhiêu giây từ thời điểm đóng nguồn thì khoảng cách giữa hai điểm sáng đầ u tiên củ a hai chuỗi led là nhỏ nhất ? Lời giải Trả lời: 16 Gọi (phút) là khoảng thời gian cả hai chuỗi led đồng thời xuất phát đến và là hai điểm sáng đầ u tiên vớ i Xét tam giác vuộ ng tại Xét tam giác ta có : 3
第 4 页
Hubdocu.com Để khoảng cách giữa hai điểm sáng đầ u tiên củ a hai chuỗi led nhỏ nhất Xét vớ i đạt giá trị nhỏ nhất (phút) (giây) Vậy sau 16 giây thì hai điểm sáng đầ u tiên củ a chuỗi led có khoảng cách nhỏ nhất. Câu 7. Vận tốc củ a một tàu con thoi từ lúc cất cánh tại thời điểm cho đến thời điểm được cho bởi cộ ng thức (vận tốc được tí nh bằng đơn vị ). Hỏi tại thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất thì vận tốc tàu con thoi gầ n bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phầ n mười). Lời giải Trả lời: 20,8 Ta có: Ta có BBT hàm . Thời điểm tàu con thoi đạt gia tốc nhỏ nhất là ft/s Câu 8. Giả sử doanh số (tí nh bằng số sản phẩm) củ a một sản phẩm mớ i (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mộ hình hoá bằng hàm số trong đó thời gian được tí nh bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mớ i. Khi đó, đạo hàm sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớ n nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phầ n mười) Lời giải Trả lời: 1,6 Ta có: 4
第 5 页
Hubdocu.com Tốc độ bán hàng là lớ n nhất khi lớ n nhất. Đặt . Ta có bảng biến thiên vớ i : Vậy sau khi phát hành khoảng năm thì thì tốc độ bán hàng là lớ n nhất. Câu 9. Anh Ba đang trên chiếc thuyền tại vị trí A cách bờ sộ ng , anh dự định chèo thuyền vào bờ và tiếp tục chạy bộ theo một đường thẳng để đến một địa điểm B tọa lạc ven bờ sộ ng, B cách vị trí O trên bờ gầ n vớ i thuyền nhất là (hình vẽ). Biết rằng anh Ba chèo thuyền vớ i vận tốc và chạy bộ trên bờ vớ i vận tốc . Khoảng thời gian ngắ n nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là bao nhiêu phút? Lời giải Trả lời: 40 5
第 6 页
Hubdocu.com Đặt . Khoảng thời gian để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: . BBT: Từ BBT suy ra khoảng thời gian ngắ n nhất để anh Ba từ vị trí xuất phát đến được điểm B là: (phút). Câu 10. Nồng độ củ a một hoá chất sau giờ tiêm vào cơ thể được xác định bởi cộ ng thức vớ i . Sau khoảng bao nhiêu giờ tiêm thì nồng độ củ a hoá chất trong máu là lớ n nhất? (làm tròn kết quả đến hàng phầ n trăm) Lời giải Trả lời: 6
第 7 页
Hubdocu.com Ta có . . Ta có bảng biến thiên Do đó ở thời điểm giờ thì nồng độ củ a hoá chất trong máu là lớ n nhất. Câu 11. Một vật chuyển động vớ i vận tốc phụ thuộc vào thời gian có đồ thị củ a hàm số dạng hàm bậc ba như hình bên. Biết rằng tại thời điểm vật có vận tốc và tại thời điểm vật có vận tốc . Hỏi vận tốc củ a vật tại thời điểm bằng bao nhiêu km/h? Lời giải Trả lời: 16 Giả sử hàm số vận tốc có dạng: (vớ i và ). Ta có: . Dựa vào đồ thị hàm số, tại các thời điểm đồ thị hàm vận tốc đi qua các điểm cực trị . 7
第 8 页
Hubdocu.com Khi đó: . Suy ra: . Vậy vận tốc củ a vật tại thời điểm là: . Câu 12. Một xưởng sản xuất nón bảo hiểm có hàm chi phí sản xuất cho chiếc nón là (nghìn đồng). Giá bán mỗi chiếc nón là 50 nghìn đồng. Hã y xác định số lượng nón cầ n sản xuất để xưởng đạt lợi nhuận tối đa. Lời giải Trả lời: 1500 * Doanh thu từ việc bán x chiếc nón là: R(x) = 50x (nghìn đồng) * Lợi nhuận là hiệu số giữa doanh thu và chi phí nên . * * . * vớ i mọi nên là điểm cực đại. * Kết luận: Xưởng cầ n sản xuất 1500 chiếc nón bảo hiểm để đạt lợi nhuận tối đa. Câu 13. Trong một phản ứng hóa học, tốc độ phản ứng được biểu diễn theo cộ ng thức: trong đó: là tốc độ phản ứng (mol/l/s), là hằng số tốc độ phản ứng, [A] và [B] lầ n lượt là nồng độ củ a hai chất phản ứng (mol/l). 8
第 9 页
Hubdocu.com Giả sử tổng nồng độ ban đầ u củ a [A] và [B] là , tức là Hã y tìm nồng độ củ a [A] tại đó tốc độ phản ứng đạt cực đại. Lời giải Ta có nên vớ i Đạo hàm củ a theo [A] là hoặc * Vớ i tốc độ phản ứng (loại vì khộ ng có ý nghĩa thực tế). * Vớ i thì (mol/l/s), đây là giá trị hợp lý. Kết luận: Vớ i thì tốc độ phản ứng đạt cực đại. Câu 14. Giả sử tổng chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm mỗi ngày tại một nhà máy được cho bởi cộ ng thức (nghìn đồng) và toàn bộ chúng được bán hết vớ i giá nghìn đồng một sản phẩm. Tìm mức sản lượng (đó là số lượng sản phẩm được sản xuất) để chi phí trung bình tí nh trên mỗi đơn vị sản phẩm là đạt cực tiểu. Lời giải Đáp án: . Kí hiệu là chi phí trung bình tí nh trên mỗi đơn vị sản phẩm. Ta có . Đạo hàm: (vì ). Bảng biến thiên như sau Vậy mức sản lượng . 9
第 10 页
Hubdocu.com Câu 15. Lợi nhuận tổng hàng ngày (tí nh theo độ la) mà TKK Corporation thu được từ việc sản xuất và bán đĩa DVD có thể ghi lại được cho bởi hàm lợi nhuận Tìm mức sản xuất để lợi nhuận hàng ngày đạt cực đại. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Lời giải Trả lời: 1667 Tí nh đạo hàm : Xét : Chia cả hai vế cho : Giải phương trình bậc hai: Kết quả: (loại) Chọn (nằm trong đoạn ). Lập bảng biến thiên ta suy ra được đạt cực đại tại . Để lợi nhuận hàng ngày lớ n nhất, TKK Corporation nên sản xuất khoảng DVD Câu 16. Vận tốc trung bình củ a dòng xe trên đoạn đường 124 từ 6#A.M. đến 10#A.M. được xấp xỉ bởi trong đó tí nh bằng giờ kể từ A.M. và tí nh bằng km/giờ. Hỏi vào thời điểm mấy giờ trong buổi sáng (giữa 6#A.M. và 10#A.M.) thì vận tốc trung bình thấp nhất? Lời giải Trả lời: 7 Tí nh đạo hàm Xét : Lập bảng xét dấu ta được: Suy ra vận tốc trung bình thấp nhất 30 mph xảy ra vào 7:00#A.M. . 10
第 11 页
Hubdocu.com Câu 17. Trong một nghiên cứu tại Viện Sức khỏe Tâm thầ n Quốc gia, các nhà khoa học theo dõi độ dày vỏ nã o (cortex) củ a 307 trẻ em có IQ cao (121-149) qua tuổi (tí nh bằng năm), vớ i mộ hình Hỏi vỏ nã o củ a trẻ có IQ siêu trí tuệ đạt độ dày cực đại vào khoảng bao nhiêu tuổi (làm tròn kết quản đến hàng đơn vị) Lời giải Trả lời: 11 Ta có: Giải Ta có Vậy nghiệm khả dụng duy nhất trên [5,19] là Lập bảng biến thiên hàm số suy ra là điểm cực đại. Vậy độ dày vỏ nã o củ a nhóm trẻ IQ cao đạt cực đại tại tuổi. Câu 18. Định mức cầ u mỗi tháng củ a đồng hồ đeo tay Peget phụ thuộc vào giá đơn vị theo phương trình cầ u trong đó tí nh bằng độ la và tí nh bằng nghìn chiếc. Hỏi nhà sản xuất phải bán bao nhiêu nghìn chiếc để doanh thu đạt cực đại? Lời giải Trả lời: 10 Doanh thu là Tí nh đạo hàm 11
第 12 页
Hubdocu.com Giải : Có bảng xét dấu: Suy ra được hàm số đạt cực đại tại Giá trị cực đại là . Câu 19. Một bể ban đầ u chứa 10 gal dung dịch muối vớ i 2 lb muối. Dung dịch vào có nồng độ chảy vào vớ i tốc độ phút, và hỗn hợp trong bể chảy ra vớ i tốc độ phút. Người ta cho biết lượng muối trong bể sau phút là (pound), vớ i Hỏi lượng muối tối đa có thể có trong bể tại một thời điểm nào đó là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phầ n trăm) Lời giải Trả lời: 7,43 Ta có cộ ng thức lượng muối (pound) trong bể sau phút: Đặt . Khi chạy từ 0 đến 10 thì chạy từ 10 xuống 0. Khi đó Tí nh đạo hàm theo ta được: Xét Lập bảng xét dấu ta được: 12
第 13 页
Hubdocu.com Suy ra tại : Lượng muối trong bể đạt tối đa khoảng 7,43 lb tại thời điểm phút kể từ lúc bắ t đầ u. Câu 20. Sau khi kinh tế suy giảm, giá thuê văn phòng cao ngất ngưởng cuối thập niên 1990 bắ t đầ u hạ nhiệt. Hàm cho giá thuê (USD/ ) củ a văn phòng hạng A ở khu Back Bay và Financial District (Boston) từ đầ u 1997 đến đầ u là Hỏi giá thuê cao nhất trong giai đoạn này là bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phầ n mười) Lời giải Tí nh đạo hàm Giải : Áp dụng cộ ng thức nghiệm: Hai nghiệm thu được: Lập bảng biến thiên ta suy ra được hàm số đạt cực đại tại Hay giá thuê cao nhấtlà Câu 21. Một bồn hình trụ cao chứa nướ c. Theo định luật Torricelli, vận tốc tia nướ c chảy qua lỗ ở độ sâu so vớ i mặt nướ c là . Người ta cho rằng tầ m xa (feet) củ a tia nướ c được cho bởi Biết lỗ phun nên đặt ở độ cao so vớ i mặt bồn thì tầ m xa đạt cực đại. Tìm ? 13
第 14 页
Hubdocu.com Lời giải Trả lời: 0,5 Thay vì trực tiếp tối đa , ta có thể tối đa (vì hàm căn là tăng): Tí nh đạo hàm: Giải : Lập bảng biến thiên ta có là điểm cực đại. Vậy lỗ phun nên đặt ở độ cao để tầ m xa củ a tia nướ c đạt tối đa. Câu 22. Một con thuyền rời bến trên một bờ sộ ng, luộ n đi vớ i vận tốc khộ ng đổi 20 dặm/giờ hướ ng về bến (phí a độ ng củ a ); đồng thời nướ c sộ ng chảy ngược lên phí a bắ c vớ i tốc độ 5 dặm/giờ. Người ta cho rằng đường đi củ a thuyền là Tìm độ lệch bắ c lớ n nhất mà thuyền đạt được trong suốt hành trình. 14
第 15 页
Hubdocu.com Lời giải Đặt Khi đó Tí nh đạo hàm theo : Vì trên , ta chỉ cầ n giải Lập bảng xét dấu ta có Suy ra đạt điểm cực đại tại Chuyển lại thành và tí nh - Tương ứng . - Độ lệch bắ c cực đại là Do đó giá trị tại Kết luận: Trong suốt hành trình, con thuyền bị dòng nướ c đẩy lệch về phí a bắ c cực đại khoảng 76,6 (đơn vị chiều dài) khi nó đã đi được (đơn vị tương ứng) về phí a độ ng. Câu 23. Khi chế tạo một biến áp , một lõi sắ t dạng hình chữ thập được đặt vào cuộn dây (xem hình). Giả sử bán kí nh cuộn là . Hỏi góc bằng bao nhiêu độ để tổng diện tí ch bề mặt lõi sắ t là lớ n nhất. 15
第 16 页
Hubdocu.com Lời giải Trả lời: 31,7 Đặt suy ra trên khoảng . Ta có Tí nh đạo hàm : Giải : Vì , nghiệm duy nhất là Lập bảng biến thiên ta có: tại là điểm cực đại hay tổng diện tí ch bề mặt lõi sắ t lớ n nhất khi Khi đó: Vậy nghiệm tối ưu là Câu 24. Một tay lái mộ tộ nặng 180 (lb), di chuyển vớ i vận tốc khộ ng đổi 30 dặm/giờ, thực hiện một khúc cua trên đường cho bởi đồ thị Có thể chứng minh rằng độ lớ n củ a lực pháp tuyến tác dụng lên tay lái mộ tộ xấp xỉ 16
第 17 页
Hubdocu.com (đơn vị lb) Hã y tìm lực pháp tuyến lớ n nhất tác dụng lên tay lái trong suốt khúc cua (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) Lời giải Trả lời: 419 Đặt khi đó Để tìm cực đại, xét Tí nh Cho đạo hàm bằng 0: Lập bảng biến thiên cho hàm số ta có được hàm số đạt cực đại tại Trả về biến : (thuộc miền ). Giá trị cực đại - Lực pháp tuyến đạt cực đại khi . - Giá trị cực đại là khoảng (lb). Câu 25. Khi chất thải hữu cơ được đổ vào một cái ao, quá trình ộ xy hóa xảy ra sẽ làm giảm hàm lượng ộ xy trong nướ c. Tuy nhiên, theo thời gian, tự nhiên sẽ phục hồi lại mức ộ xy về giá trị bình thường. Trong đồ thị kèm theo, cho biết phầ n trăm hàm lượng ộ xy (so vớ i mức bình thường) sau ngày kể từ khi chất thải được đổ vào ao. 17
第 18 页
Hubdocu.com Giả sử hàm số cho hàm lượng ộ xy là ( mức bình thường), Khi đó tọa độ củ a điểm trên đồ thị là điểm cực trị củ a đồ thị hàm số . Tí nh ? Lời giải Trả lời: 85 Ta có: Khi đó Lập bảng biến thiên ta có là điểm cực tiểu củ a hàm số Thay vào : Vậy điểm có tọa độ Câu 26. Sau khi phát hiện một bệnh dịch, các chuyên gia y tế ướ c tí nh số người nhiễm bệnh kể từ ngày xuất hiện bệnh nhân đầ u tiên đến ngày thứ là (người). Nếu xem là tốc độ truyền bệnh (người/ ngày) tại thời điểm thì tốc độ truyền bệnh lớ n nhất sẽ vào ngày thứ bao nhiêu? Lời giải Đáp án: 15. Ta có: ; Bảng biến thiên: 18
第 19 页
Hubdocu.com Vậy tốc độ truyền bệnh lớ n nhất sẽ vào ngày thứ 15. Câu 27. Một người có một dây ruy băng dài 130 cm, người đó cầ n bọc dải ruy băng này quanh một hộp quà hình trụ. Khi bọc quà, người này dùng 10 cm củ a dải ruy băng để thắ t nơ ở trên nắ p hộp (như hình vẽ). Dải ruy băng có thể bọc được hộp quà có thể tí ch bằng . Giá trị lớ n nhất củ a là bao nhiêu? Lời giải Đáp án: 1000. Gọi lầ n lượt là bán kí nh đáy và chiều cao củ a hình trụ . Độ dài dải dây ruy băng còn lại khi đã thắ t nơ là: 120 cm. Ta có: . Thể tí ch khối hộp quà là: . Thể tí ch lớ n nhất khi hàm số , đạt giá trị lớ n nhất. Ta có ; Cho . Lập bảng biến thiên ta thấy thể tí ch đạt GTLN là: Câu 28. Hai chất điểm và chuyển động thẳng đều cùng hướ ng về (như hình vẽ), biết rằng vận tốc và góc . Biết rằng khi khoảng cách giữa hai chất điểm và là nhỏ nhất thì số đo góc Tìm 19
第 20 页
Hubdocu.com Lời giải Đáp số: Gọi lầ n lượt là khoảng cách các vật và đến lúc đầ u ( ), đồng thời . Gọi là thời điểm mà . Khi đó ở và ở như hình vẽ. Kí hiệu góc . Áp dụng định lý sin trong tam giác ta có: Do và áp dụng , ta có: mà Do đó ta có Xét . Ta có 20
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！