第 1 页
Hubdocu.com CHUYÊN ĐỀ 10. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN 1 Câu 1. Kiến trúc sư thiết kế một khu sinh hoạt cộng đồng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng và chiều dài lần lượt là 60m và 80m. Trong đó, phần được tô màu đậm là sân chơi, phần còn lại để trồng hoa. Mỗi phần trồng hoa có đường biên cong là một phần của parabol với đỉnh thuộc một trục đối xứng của hình chữ nhật và khoảng cách từ đỉnh đó đến trung điểm cạnh tương ứng của hình chữ nhật bằng 20m (xem hình minh họa). Diện tích của phần sân chơi là bao nhiêu mét vuông? Lời giải Đáp án: 3200. Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ. Nhận thấy hai phần trồng hoa dạng đường parabol có diện tích như nhau. Vậy ta xét đường parabol ở bồn hoa phía dưới có dạng với . Ta có đồ thị đi qua ba điểm là và . Thay vào ta thu được hệ phương trình Như vậy, ta có phương trình parabol đó là và diện tích của phần trồng hoa phía dưới là . Khi đó, diện tích của phần sân chơi là . Câu 2. Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước như hình vẽ bên dưới, trong đó là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ biết phần gạch đậm là phần lát gạch).
第 2 页
Hubdocu.com Chi phí cho phần lát gạch là nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục). . Lời giải Đáp án: 5361. y 7 2 -6 O 1 6 x -7 Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với là đỉnh của parabol Khi đó và Để có một điểm chung duy nhất thì phương trình sau có nghiệm duy nhất. Khi đó, bán kính lớn nhất của khi Hoành độ giao điểm của và trục hoành là .
第 3 页
Hubdocu.com Diện tích phần lát gạch là Số tiền lát gạch là: nghìn đồng. Câu 3. Một viên gạch hoa hình vuông cạnh 4 dm. Người thiết kế đã sử dụng bốn đường parabol có chung đỉnh tại tâm viên gạch để tạo ra bốn cánh hoa (được tô đen như hình vẽ dưới). Giả sử để hoàn thiện sơn và phủ bóng viên gạch thì chi phí phần cánh hoa (màu đen) là 400 nghìn/ , chi phí phần còn lại (màu trắng) là 300 nghìn/ .Tính chi phí (đơn vị nghìn đồng) để sơn và phủ bóng cả viên gạch (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 53. Chọn hệ tọa độ như hình vẽ (1 đơn vị trên trục bằng ), các cánh hoa tạo bởi các đường parabol có phương trình , , , . Diện tích một cánh hoa (nằm trong góc phần tư thứ nhất) bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số và hai đường thẳng , . Do đó diện tích một cánh hoa bằng: Suy ra diện tích phần cánh hoa được tô đen là Diện tích phần màu trắng còn lại là:
第 4 页
Hubdocu.com Số tiền cần dùng là: nghìn đồng. Câu 4. Khu vực trung tâm một quảng trường (xem hình vẽ bên dưới) có dạng hình tròn đường kính AB bằng 12m. Người ta trang trí khu vực này b ằng hai đường parabol đối xứng nhau qua AB, nằm trong hình tròn, đi qua các điểm A B, và có đỉnh cách mép hình tròn 1m. Phần giới hạn bởi 2 parabol được trồng hoa với chi phí 300 nghìn đồng mỗi mét vuông, phần còn lại được lát gốm sứ với chi phí 900 nghìn đồng mỗi mét vuông. Tổng chi phí đ ể hoàn thành khu vực này là bao nhiêu triệu đồng?(làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 54. Ta có diện tích phần parabol giới hạn bởi parabol đi qua A, I, B và đường thẳng AB bằng . Do đó diện tích phần trồng hoa bằng . Suy ra diện tích phần lát gốm sứ bằng . Vậy tổ ng chi phí bằng (triệu đồng) Câu 5. Để tham gia lễ hội hóa trang, Bạn An dự định làm một chiếc mặt nạ nửa mặt bằng chất liệu giấy cứng. Hình dạng của chiếc mặt nạ được bạn thiết kế trên mặt phẳng tọa độ là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol lần lượt có đỉnh là gốc tọa độ và điểm , cùng nhận trục làm trục đối xứng và cùng đi qua điểm . Mỗi đơn vị trên các trục tọa độ có độ dài . Sau đó, bạn vẽ hai hình thoi bằng nhau có độ dài các đường chéo là và để khoét làm mắt (minh họa như hình vẽ dưới đây)
第 5 页
Hubdocu.com Công đoạn cuối cùng là tô màu xám cho một mặt của mặt nạ. Tính diện tích cần tô màu theo đơn vị . Lời giải Đáp án: 224. Gọi parabol có đỉnh có phương trình là , ta có parabol đi qua điểm nên ta có , phương trình parabol là . Gọi parabol có đỉnh là có phương trình dạng , parabol đi qua điểm nên ta có phương trình , phương trình parabol là . Diện tích mặt nạ là ( ) Diện tích hai hình thoi làm mắt là . Diện tích cần sơn mặt nạ là . Câu 6. Một khu vườn hình elip có độ dài trục lớn bằng và trục nhỏ bằng (như hình vẽ). Khu vự c để trồng hoa; khu vự c để trồng cỏ, là nửa hình tròn có tâm là một tiêu điểm của elip bán kính bằng còn lại là khu vự c (phần tô đậm) người ta lát gạch. Diện tích phần lát gạch bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải Đáp án: 7,38 Chọn hệ trục tọa độ sao cho có trục lớn nằm trên trục hoành và trục nhỏ nằm trên trục tung. Khi đó Diện tích của phần là Diện tích của phần là . Câu 7. Một công ty thuê thợ vẽ logo công ty như hình vẽ lên một bức tường lớn. Logo có dạng là một bông hoa có 6 cách hoa giống nhau, sắp xếp cách đề như hình vẽ.
第 6 页
Hubdocu.com Để chính xác hóa kích thước và hình dạng như hình vẽ, mỗi cánh hoa được thiết kế như sau: Trong mặt phẳng (một đơn vị ứng với 1 mét trên thự c tế), một cánh hoa được xem là một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số bậc ba và một đường parabol . và cắt nhau tại hai điểm và đi qua điểm . Biết rằng chi phí vẽ logo nói trên được tính dự a trên mỗi mét vuông cánh hoa được vẽ, mỗi mét vuông được báo giá là 210 nghìn đồng. Hãy tính chi phí vẽ logo đó (đơn vị: nghìn đồng, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 5040. đi qua điểm nên đi qua 2 điểm và nên ta có hệ phương trình Suy ra: Khi đó, diện tích của logo là Chi phí vẽ logo là (nghìn đồng) Câu 8. Sân trường có một bồn hoa hình tròn tâmO. Một nhóm học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn phần bởi hai đường parabol có cùng đỉnh O và đối xứng nhau qua O. Hai đường parabol này cắt đường tròn tại bốn điểm A; B; C; D tạo thành một hình vuông có cạnh bằng 4 m (như hì nh vẽ ). Phần diện tích dùng để trồng hoa, phần diện tích dùng để trồng cỏ. Biết kinh phí trồng hoa là 150.000 đồng/m2, kinh phí để trồng cỏ là 100.000 đồng/m2. Hỏi nhà trường cần bao nhiêu triệu đồng để trồng bồn hoa đó? (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm) Lời giải
第 7 页
Hubdocu.com Đáp án: 3,27. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Vì hình vuông có cạnh bằng 4 Do đó phương trình đường tròn tâm bán kính là . Gọi phương trình parabol đi qua O, A, B là Parabol đi qua Parabol đi qua Parabol đi qua . Do đó Diện tích . Tổ ng diện tích . Do đó tổ ng số tiền là (triệu đồng) Câu 9. Cổ ng chính nhà bác Bình có cánh cửa kẽm, sơn tĩnh điện, bằng nhau và có hoạ tiết giống hệt nhau. Khi khép cửa tạo ra một đường khép kín (như hình ảnh dưới). Biết , là trung điểm của , đường cong là cung tròn có bán kính bằng ( là trung điểm cung ). Do đã sử dụng lâu năm nên lớp sơn tĩnh điện đã bị xuống cấp. Bác Bình muốn sơn mới lại cửa, giá thành để sơn mới lại cửa là nghìn đồng trên một diện tích cửa. Hỏi bác Bình phải trả khoản tiền bằng bao nhiêu triệu đồng (kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm). Lời giải
第 8 页
Hubdocu.com Đáp số: y G A B C D H F O E x Dự ng hệ trục toạ độ như hình vẽ Ta có và Diện tích hình chữ nhật là . Toạ độ các điểm và Phương trình đường thẳng Phương trình đường tròn tâm , bán kính : . Phươn trình của cung tròn . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi cung và dây là Chi phí sơn: (triệu đồng). Câu 10. Một hoa văn trang trí được thiết kế gồm hai đường tròn đồng tâm và bốn phần của bốn đường parabol chung đỉnh (đỉnh là tâm của hai đường tròn). Biết rằng hai đường tròn đó có bán kính lần lượt là và bốn đường parabol đó đôi một cắt nhau tại bốn điểm (khác đỉnh của parabol) là bốn đỉnh của một hình vuông nội tiếp đường tròn nhỏ (như hình vẽ bên). Tính diện tích phần tô đậm (kết quả được tính theo và làm tròn đến hàng đơn vị).
第 9 页
Hubdocu.com Lời giải Đáp án: 623. y 16 O 4 x Diện tích phần vành khuyên: Chọn hệ trục như hình vẽ. Ta có parabol có phương trình là: Khi đó, diện tích phần cánh hoa là: Vậy diện tích phần tô đậm là: Câu 11. Hình vẽ bên dưới minh họa mặt cắt đứng của mặt trước một ngôi nhà có dạng hình chữ nhật với các kích thước được cho như trong hình bên dưới. Phần tô đậm trong hình vẽ ứng với phần kính được lắp đặt, phần còn lại lót gạch men. Phần lắp kính được chia làm 2 miền và , trong đó miền có đường biên cong là một phần của parabol. Chi phí lắp kính là 1,5 triệu đồng cho và chi phí lót gạch men là 0,28 triệu đồng cho . Tổ ng chi phí
第 10 页
Hubdocu.com cần hoàn thành mặt trước ngôi nhà là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). Lời giải Đáp án: 36,6. Diện tích miền bằng (m2) Diện tích miền bằng (m2) Chi phí lắp kính bằng (triệu đồng) Chi phí lát gạch men bằng (triệu đồng) Tổ ng chi phí bằng . Câu 12. Cho ba Parabol với k 2. Gọi P là điểm bất kỳ thuộc parabol và là diện tích các miền phẳng (các miền được gạch chéo trong hình vẽ). Nếu thì giá trị của với và là phân số tối giản. Tính . Lời giải Đáp án: 41. Gọi
第 11 页
Hubdocu.com + Hình phẳng giới hạn bởi: diện tích hình phẳng là: + Hình phẳng giới hạn bởi: diện tích hình phẳng là: +Theo giải thiết . Câu 13. Hai hàm số đều là những hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tính diện tích phần tô đậm (làm tròn đến hai chữ số thập phân). Lời giải Đáp án: 5,21. Vì hàm số là hàm số bậc hai và đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ 1 và 4 nên . Đồ thị đi qua điểm nên Tương tự .
第 12 页
Hubdocu.com Do đó diện tích phần tô đậm bằng Câu 14. Cho parabol cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt A và B; parabol đi qua hai điểm A; B và có đỉnh nằm trên đường thẳng . Gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và d; gọi là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và trục hoành ( tham khảo hình vẽ). Biết rằng . Tính giá trị của biểu thức Lời giải Đáp án: 216. Hoành độ giao điểm của và d là nghiệm của phương trình: . Từ giả thiết phương trình của cắt trục hoành tại 2 điểm có hoành độ nên có dạng: , mà đi qua điểm nên Vậy Khi đó ta có Do nên ta có: Câu 15. Một công ty đã đặt hàng việc xây dự ng logo doanh nghiệp của mình bằng gỗ và đồng thiết kế theo mẫu bên dưới. Hình tròn sẽ làm bằng gỗ có tâm tại điểm Phần làm bằng đồng (là phần tô
第 13 页
Hubdocu.com đậm) được giới hạn bởi đồ thị hàm số và đường thẳng có phương trình (1 đơn vị = 1m). Biết rằng mét vuông tấm đồng có giá đồng và không bị hao phí; chi phí nhân công làm phần đồng là so với giá tiền tấm đồng, và chi phí cho hình tròn bằng gỗ, vận chuyển và lắp đặt tại chỗ là một khoản cố định là đồng. Hỏi công ty phải trả bao nhiêu triệu đồng cho việc chế tạo và lắp đặt logo doanh nghiệp của mình? Lời giải Đáp án: 4,26. Đề nghị sửa bổ sung đơn vị phần đề bài: (1 đơn vị = 1m) Ta có: Diện tích phần đồng là: . Số tiền phần đồng là: đồng. Số tiền nhân công làm phần đồng là: đồng. Tổ ng số tiền công ty phải trả là: đồng triệu đồng. Câu 16. Trong hình vẽ dưới đây, đoạn được chia làm bởi các điểm và sao cho . Ba nửa đường tròn có bán kính bằng là , và có đường kính tương ứng là và . Các điểm lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến chung với nửa đường tròn. Một đường tròn tâm , bán kính bằng . Diện tích miền bên trong đường tròn tâm và bên ngoài nửa đường tròn (miền tô đậm) bằng bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
第 14 页
Hubdocu.com E F G A B C D Lời giải Đáp số: y E F y = 1 G A I K B O C D x Diện tích hình tròn tâm , bán bán kính bằng là . Diện tích nửa hình tròn bán kính bằng là . Diện tích góc phần tư là . Dự ng hệ trục toạ độ như hình vẽ. Toạ độ các điểm . Phương trình đường tròn tâm , bán kính bằng là . Cung nhỏ nằm trên đồ thị . Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình .
第 15 页
Hubdocu.com Ta có (vì ). Diện tích tam giác cong là . Diện tích miền tô đậm trong hình là: . Câu 17. Ông A có mảnh đất hình chữ nhật chiều dài 16m, chiều rộng 6m. Ông A muốn thiết kế mảnh đất đó thành ba phần bởi đường cong hypebol (như hình vẽ). Ông A dự định trồng hoa ở hai phần đất được giới hạn bởi đường cong hypebol và chiều dài mảnh đất, phần đất còn lại ông lát đá. Biết chi phí trồng hoa là 150.000 đồng/ và lát đá là 300.000 đồng/ Tính chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình, (đơn vị triệu đồng, kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Lời giải Đáp án: 23,1
第 16 页
Hubdocu.com Chọn hệ toạ độ như hình vẽ, đơn vị trên hệ trục là mét. Khi đó, hypebol có phương trình chính tắc là Ta thấy hypebol đi qua hai điểm nên Vậy phương trình hypebol là Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là Diện tích trồng hoa (hai phần đất được giới hạn bởi đường cong hypebol và chiều dài mảnh đất) là Diện tích phần lát đá là Tổ ng chi phí mà ông A bỏ ra để hoàn thành dự định của mình là triệu đồng. Kết quả làm tròn đến hàng phần chục là triệu Câu 18. Một nghệ sĩ đang thự c hiện vẽ tranh tường 3D nghệ thuật để trang trí nội thất. Mỗi bức tranh gồm một hình lục giác đều có cạnh bằng cm, trên mỗi cạnh của hình lục giác đều có một cánh hoa hình parabol, đỉnh của parabol cách cạnh lục giác đều cm và nằm phía ngoài hình lục giác, đường parabol đó đi qua hai đầu mút của mỗi cạnh (xem hình dưới). Biết tổ ng giá vẽ tranh 3D (bao gồm công và vật tư) là 500.000 đồng/m². Hỏi nghệ sĩ nhận được bao nhiêu tiền sau khi hoàn thành bức tranh? (Làm tròn đến nghìn đồng gần nhất.) Đáp án: 297. Lời giải Diện tích lục giác là diện tích của 6 tam giác đều cạnh : Diện tích 6 cánh hoa là diện tích 6 parabol ; Tổ ng diện tích bức tranh:
第 17 页
Hubdocu.com Tổ ng giá tiền để vẽ bức tranh là : (nghìn) Câu 19. Để trang trí một ô hình chữ nhật với kích thước trên tường căn phòng của mình, anh Bình đã tô màu 2 hoạ tiết giới hạn bởi các parabol , parabol và các cạnh của ô chữ nhật bằng màu vàng (kí hiệu sọc nghiêng) và màu xanh (vùng tô đậm) (như hình vẽ). Biết rằng các parabol và đối xứng nhau qua đường thẳng và diện tích phần màu vàng bằng . Tính tổ ng số tiền (đơn vị: triệu đồng) mà anh Bình cần phải trả để mua sơn trang trí. Biết mỗi lọ sơn, sơn được tối đa . Cho biết giá của một lọ sơn vàng là đồng, giá của một lọ sơn xanh là đồng (biết rằng mỗi lọ sơn không được bán lẻ). Lời giải Đáp án: . Chọn hệ trục như hình vẽ.
第 18 页
Hubdocu.com đi qua , . Suy ra . . Svàng trong đó là khoảng cách giữa hai điểm của parabol nằm trên và là khoảng cách từ đỉnh xuống trục . Suy ra . Gọi là đỉnh của parabol đi qua , có đỉnh Suy ra .
第 19 页
Hubdocu.com . là đỉnh của đi qua và . Suy ra phương trình . Gọi thì tọa độ thỏa mãn hệ phương trình . là trung điểm của Suy ra . là điểm đối xứng của qua . Suy ra . đi qua và có đỉnh . Phương trình tung độ giao điểm của và là
第 20 页
Hubdocu.com . Số hộp sơn vàng cần là (hộp sơn), số hộp sơn xanh cần là (hộp sơn). Số tiền cần là (đồng) (triệu đồng). Câu 20. Sau khi đọc xong truyện ngắn rất cảm động “Chiếc lá cuối cùng” của nhà văn O.Henry, bạn An muốn thiết kế hình ảnh một chiếc lá để gửi đến chị em Johnsy và Sue. Chiếc lá là một hình phẳng được giới hạn bởi hai phần parabol giống nhau. Biết một parabol có đỉnh là điểm và trục đối xứng của hình phẳng này là một đường thẳng tạo với phương ngang góc . Với các kích thước được cho như hình vẽ, hãy tính diện tích của chiếc lá. (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của cm2) Lời giải Đáp án: 745.
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！