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Les équations différentielles stochastiques Exercices Geneviève Gauthier Dernière mise à jour : 14 juillet 2004 Exercice 11.1. Le processus stochastique 
Ct = C0 eαWt : t ≥ 0 , r0 ≥ 0 représente l’évolution d’un taux de change, c’est-à-dire que Ct est le nombre de dollars canadiens que l’on peut obtenir par dollar américain au temps t où {Wt : t ≥ 0} est un mouvement brownien standard. a) Déterminez l’équation différentielle stochastique satisfaite par le processus {Ct : t ≥ 0}. b) Le processus {Xt : t ≥ 0} modélise l’évolution d’un actif risqué en dollars américains. Il satisfait l’équation différentielle stochastique dXt = µXt dt + σXt dWt∗ où {Wt∗ : t ≥ 0} est un mouvement brownien standard indépendant de {Wt : t ≥ 0} . Déterminez l’équation différentielle stochastique satisfaite par l’évolution {Yt : t ≥ 0} du titre risqué en dollars canadiens. Exercice 11.2. a) Démontrez qu’il existe une solution unique à l’équation dXt = a (b − Xt) dt + σdW (t) . b) Déterminez de façon explicite cette solution. c) Simulez quelques trajectoires du processus caractérisé par l’équation différentielle stochastique ci-dessus. Pour chacun des ensembles de paramètres ci-dessous, produire deux graphes représentant chacun une trajectoire. a a a a = = = = 1, b = 1, σ = 1, ∆t = 0, 01 et X0 = 1 −1, b = 1, σ = 1, ∆t = 0, 01 et X0 = 1 1, b = 1, σ = 0, 1, ∆t = 0, 01 et X0 = 1 1, b = 2, σ = 0, 3, ∆t = 0, 01 et X0 = 1 1 d) Commentez vos résultats. Exercice 11.3. Décrivez le comportement de la solution de l’équation différentielle stochastique    1 dXt = − Xt dt + Xt (1 − Xt)dWt 2 en supposant que la valeur initiale X0 est une variable aléatoire à valeurs dans l’intervalle [0, 1]. Expliquez intuitivement pourquoi Xt est aussi une variable aléatoire dont les valeurs sont comprises entre 0 et 1. Exercice 11.4. Supposons qu’une particule se promène de façon aléatoire  sur un plan de (1) (2) façon telle que sa position au temps t est donnée par le couple Wt ; Wt où W (1) et W (2) sont deux

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