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Master 1 MASS Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mardi 27 f´´ evrier 2007 1.— On consid`ere un call C sur un actif S ; le prix d’exercice est K et l’´ech´eance T. Le rendement sans risque sur la p´eriode [0, T] est r. Le march´e est suppos´e sans opportunit´e d’arbitrage. Montrer les deux in´egalit´es strictes suivantes : a. C > S − Ke−rT . 0 0 b. C0 < S0. 2.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 40––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,3 et d = 0,8. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 45 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit une baisse suivie d’une hausse puis d’une baisse : d´etailler les op´erations de couverture effectu´ees par le trader. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Si oui, quelle serait la prime `a payer pour ce put ? e. Quelle serait la prime d’un call europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 8 – 12 2002-2007 michel miniconi version du 27 f´evrier 2007
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Master 1 MASS Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 10 mai 2007´ 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,16×Stdt + 0,32×StdWt avec S0 = 30 ––C et o`u les coefficients 0,16 et 0,32 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit compris entre 30 ––C et 34 ––C au bout de trois mois. 2.— a. Dessiner le pay-off d’un portefeuille contenant un call achet´e de strike K1 > 0 et deux calls vendus de mˆeme strike K2 > K1. Les calls ont tous mˆeme sous-jacent et mˆeme maturit´e. b. D´eterminer un portefeuille constitu´e de quatre calls europ´eens (achet´es ou vendus) sur un mˆeme sous-jacent S, ayant mˆeme maturit´e T et dont le pay-off est repr´esent´e par le diagramme ci-dessous (butterfly) : o`u K2 = (K1 + K3)/2 i.e. K2 est le milieu de [K1, K3]. 3.— On consid`ere une option qui peut ˆetre r´epliqu´ee en achetant un put et deux calls, tous les trois europ´eens, de mˆeme maturit´e et de mˆeme strike (strap). a. Dessiner le pay-off de cette option. b. On se donne un actif S dont la dynamique est celle d’un brownien g´eom´etrique dans un march´e de Black- Merton-Scholes. Sur un an le rendement sans risque est r = 6% et la volatilit´e de S est σ = 30%. La valeur de S `a t = 0 est S0 = 20 ––C. Un trader vend un strap ayant S comme sous-jacent. La maturit´e est T = 6 mois, le strike est K = 20 ––C. Calculer le prix de l’option `a la date t = 0. c. On rappelle que le delta d’un call est ∆call = N(d1) (notations habituelles). Quel est le delta d’un put ? (justifier la r´eponse) d. Le trader d´ecide de couvrir l’option `a l’aide d’un portefeuille delta neutre. D´eterminer le portefeuille de couverture qu’il se constituera `a la date t = 0. 4.— On se place dans le mod`ele Black-Merton-Scholes standard, dont on adopte les notations habituelles. Une compagnie financi`ere met sur le march´e un d´eriv´e dont le pay-off est fT = log ST . a. D´eterminer le prix f0 de ce d´eriv´e `a la date t = 0. b. D´eterminer le prix ft de ce d´eriv´e `a une date t quelconque, 0 ≤ t ≤ T. Les r´esultats seront exprim´es en fonction de r, σ, t, T et St. dur´ee : 3h — bar`eme approximatif : 4 - 5 - 7 - 4 2002-2007 michel miniconi version du 9 mai 2007
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 2
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Master 1 MASS Finance stochastique Examen de rattrapage ↩ Epreuve du jeudi 14 juin 2007´ dur´ee : 2h 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un call europ´een de prix d’exercice K = 20 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux hausses cons´ecutives puis une baisse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. Quelle serait la prime d’un put europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? e. Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A la` derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,4 et le facteur de baisse d′ = 0,6. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? 2.— On se place dans un march´e (B, S) soumis aux hypoth`eses Black-Scholes-Merton. Un trader ach`ete `a la date t = 0 une part de l’actif S et vend un call europ´een c ayant S comme sous-jacent (strat´egie de call couvert). Le prix spot de l’actif est S0 = 28,20––C. La maturit´e est T = 1 mois, soit un douzi`eme d’ann´ee. Le taux sans risque annuel est r = 6% et la volatilit´e annuelle de S est σ = 30%. Enfin le prix strike est 30––C. a. Calculer le prix du call c contenu dans cette strat´egie. b. D´eterminer le coˆut `a la date t = 0 de cette strat´egie. c. D´eterminer la perte maximale que peut enregistrer le trader. D´eterminer de mˆeme son gain maximum possible. d. D´eterminer le point mort de cette strat´egie, c’est-`a-dire la valeur ST de l’actif S `a l’expiration telle que le trader n’enregistre ni gain ni perte. e. Quel est le rendement de cette strat´egie si le sous-jacent atteint les 30––C ? 2002-2007 michel miniconi version du 14 juin 2007
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique. Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 2
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Master 1 MASS Finance stochastique DS ↩ Epreuve du lundi 17 mars 2008´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 40––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,15 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le call europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 40 ––C et d’´ech´eance T = 2, la fin de la seconde p´eriode. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0 ainsi que les prix du call `a la date interm´ediaire t = 1. c. On constate sur le march´e un prix de 5 ––C pour ce call `a la date t = 0. Quelle strat´egie d’arbitrage mettra-t-on en œuvre pour tirer profit de ce prix ? 2.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,08 et d = 0,93. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 3%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 28 ––C et d’´ech´eance T = 3. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. c. D´eterminer la date `a laquelle l’exercice du put est optimal. Pr´eciser la ou les valeurs du put et du sous- jacent lors de l’exercice optimal. On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max B−1E (p |S ),(K − S ) t δt q t+δt t t + o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2008 michel miniconi version du 16 mars 2008
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Master 1 MASS Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du lundi 28 avril 2008´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,10×Stdt + 0,40×StdWt avec S0 = 50––C et o`u les coefficients 0,10 et 0,40 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e du rendement sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit au moins ´egal `a 58––C au bout de six mois. 2.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est celle d’un brownien g´eom´etrique. La volatilit´e du rendement sur un an est σ = 30%, le prix `a la date t = 0 est S0 = 40––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A` t = 0 un trader ach`ete une part de sous-jacent qu’il compte revendre dans un an. Il s’assure contre une baisse du sous-jacent en achetant un put de strike Kp = 40––C et il finance cette assurance en vendant un call de strike Kc = 45––C. Le put et le call sont tous les deux de maturit´e T = 1 an (option synth´etique collar). a. Calculer le prix du put et celui du call. b. Le trader liquide sa position `a l’´ech´eance. Quels sont ses gains et pertes maximaux possibles `a cette date ? 3.— On consid`ere deux calls c1 et c2 de mˆeme strike K = 40––C sur un mˆeme sous-jacent S v´erifiant S0 = 40––C mais de maturit´es diff´erentes : le call c1 est de maturit´e T1 = 3 mois tandis que le call c2 est de maturit´e T2 = 6 mois. L’actif S est suppos´e suivre une dynamique de brownien g´eom´etrique dont le rendement est de volatilit´e annuelle σ constante ´egale `a 30%. Le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A la date` t = 0 un trader vend le call c et ach`ete le call c (spread calendaire). On notera f(t, s) le prix du 1 2 spread `a la date t et pour le prix de sous-jacent St = s. a. D´eterminer le prix de cette option `a la date t = 0. b. On se place `a la date T1 et on suppose qu’`a cette date l’option est `a la monnaie : ST = 40––C. On suppose 1 aussi que les param`etres r et σ n’ont pas chang´e. D´eterminer le prix du spread. c. Si le trader liquide sa position `a la date T1, quel est le rendement de la strat´egie de spread ? d. (cette question est ind´ependante des pr´ec´edentes) On rappelle l’identit´e (ID) S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ) t 1 2 sous les notations habituelles des formules de Black-Scholes. Montrer l’´egalit´e ∂ c √ (V ega) (t, S ) = S N′(d ) T − t. ∂σ t t 1 o`u c d´esigne le prix Black-Scholes d’un call. e. On revient au spread calendaire : on se place encore `a la date T1 et sous l’hypoth`ese que l’option est `a la monnaie. On suppose qu’`a cette date la volatilit´e du sous-jacent a augment´e : le rendement de l’option est-il inf´erieur ou sup´erieur au rendement trouv´e dans la question c. ? dur´ee de l’´epreuve : 3h bar`eme approximatif : 4 – 4 – 12 2002-2008 michel miniconi version du 28 avril 2008
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 2
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Master 1 MASS Finance stochastique Examen de rattrapage ↩ Epreuve du vendredi 13 juin 2008´ dur´ee : 2h 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,95. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 30 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux baisses cons´ecutives puis une hausse : d´etailler les op´erations effectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Si c’est le cas, d´eterminer la date `a laquelle l’exercice sera optimal. Calculer ensuite le prix du put am´ericain. e. Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A la` derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u′ = 1,1 et le facteur de baisse d′ = 0,9. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? 2.— On se place dans un march´e (B, S) suivant le mod`ele `a temps continu de Black-Scholes-Merton. Le prix spot de l’actif est S0 = 3,42––C. L’actif S ne rend pas de dividende. Un trader vend `a la date t = 0 un call c1 de strike K1 = 3,50––C sur le sous-jacent S et ach`ete deux calls c2 de strike K2 = 3,75––C (call ratio backspread, CRB). La maturit´e est T = 3 mois, soit 0,25 ann´ee. Le taux sans risque annuel est r = 6% et la volatilit´e annuelle des retours de S est σ = 40%. Tous les prix seront arrondis `a deux d´ecimales. a. Calculer le prix de l’option CRB. b. Dessiner le pay-off de l’option. Sur le mˆeme graphique dessiner le diagramme des ”pertes et profits” (pay-off diminu´e du coˆut de l’option). c. D´eterminer la perte maximale que peut enregistrer le trader. D´eterminer de mˆeme son gain maximum th´eoriquement possible. d. D´eterminer le point mort de cette strat´egie, c’est-`a-dire la valeur `a l’´ech´eance Spm de l’actif S telle que le trader n’enregistre ni gain ni perte. e. Quel est le rendement de cette strat´egie si le sous-jacent atteint 4––C `a l’´ech´eance ? 2002-2008 michel miniconi version du 13 juin 2008
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique. Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 2
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du lundi 23 mars 2009´ SUJET 1 Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,08 et d = 0,98. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le call europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 21 ––C et d’´ech´eance T = 2, la fin de la seconde p´eriode. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0 ainsi que le portefeuille de r´eplication pour l’´etape 1. c. On suppose que le prix du sous-jacent baisse au cours de la premi`ere ´etape. D´eterminer le portefeuille de r´eplication pour la seconde ´etape. d. Un trader a vendu ce call. Le prix du sous-jacent subit une baisse puis une hausse. D´ecrire les op´erations (achat/vente de S, prˆet/emprunt d’euros) effectu´ees par le trader aux dates t = 0, t = 1 et t = 2. 2.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,03 et d = 0,98. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 29,5 ––C et d’´ech´eance T = 3. a. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. b. Si l’actif subit trois baisses successives, `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2009 michel miniconi version du 23 mars 2009
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Master 1 IMEA Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 23 avril 2009´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. Les options sont europ´eennes. On reprend les notations habituelles. 1.— Un d´eriv´e sur S d’´ech´eance T paye 90 − ST si ST < 95 et −5 sinon (autrement dit, si ST ≥ 95 le d´etenteur de l’option doit verser 5––C au vendeur). a. Dessiner le pay-off de ce d´eriv´e. b. D´ecomposer ce d´eriv´e en une option vanille (call ou put) et une position sur le march´e mon´etaire. 2.— Un actif S se n´egocie aujourd’hui `a 28––C. On ach`ete deux calls sur cet actif de strike 31––C, d’´ech´eance 6 mois, et on vend un call de strike 28––C et de mˆeme ´ech´eance (option long call backspread). a. Dessiner le pay-off de cette option. b. Le taux sans risque est r = 0,05 et la volatilit´e est σ = 25%. Calculer le prix de chaque call. D´eterminer ensuite le bilan mon´etaire de notre position `a t = 0 sur le call backspread. c. Quels sont les pertes et les profits maximaux possibles ? Pr´eciser les points-morts. d. Si on utilise une telle strat´egie d’investissement, quelles anticipations a-t-on sur le prix de S et sur sa volatilit´e ? e. Calculer le rendement de cette strat´egie (rapport´e au prix d’achat des deux calls-31) dans le cas o`u S termine `a 35––C. On exprimera le r´esultat en pourcentage. f. Au bout de trois mois, les conditions du march´e ont chang´e : la volatilit´e est mont´ee `a 35%. A cette date` le sous-jacent est `a 31––C. On revend l’option. Quel prix peut-on en proposer ? Quel rendement, rapport´e `a l’achat initial des deux calls-31, a-t-on tir´e de cette op´eration ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 6 – 14 Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 2002-2009 michel miniconi version du 23 avril 2009
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du jeudi 1er avril 2010´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Un actif S vaut S = 30––C `a la date t = 0. A la date` t = 1 cet actif peut valoir Su = 32––C ou Sd = 29––C. 0 1 1 Le taux sans risque est suppos´e nul : r = 0. Un call sur S de strike K = 31 et d’´ech´eance T = 1 est n´egoci´e au prix de 1/2––C. a. Le march´e pr´esente-t-il une opportunit´e d’arbitrage ? (justifier votre r´eponse) b. Si un arbitrage est possible, d´ecrivez la strat´egie mise en œuvre pour exploiter cet arbitrage. Si au contraire il n’y a pas d’arbitrage, d´ecrivez la strat´egie de couverture delta-neutre d’un trader qui aurait vendu cette option. Dans tous les cas, pr´ecisez les op´erations effectu´ees (achats, ventes etc.) pour la strat´egie d´ecrite. 2.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,90. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 19––C et d’´ech´eance T = 3 p´eriodes. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. c. On suppose que l’actif subit trois baisses cons´ecutives : `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2010 michel miniconi version du 1er avril 2010
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Master 1 IMEA Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 27 avril 2010´ Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. Les options sont europ´eennes. On reprend les notations habituelles ; en particulier (Wt)t≥0 repr´esente un brownien standard. 1.— Soit le processus d´efini par X = W3 − 3tW . t t t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Xt. b. Le processus Xt est-il une martingale (pour la filtration (Ft) associ´ee `a (Wt)) ? (justifier la r´eponse) 2.— On consid`ere l’int´egrale stochastique ∫ t Y = W2 dW o`u t ≥ 0. t s s 0 Expliquer pourquoi la variable al´eatoire Yt est centr´ee puis calculer sa variance en utilisant l’isom´etrie d’Itˆo (on rappelle que si Z d´esigne une variable normale centr´ee r´eduite, alors l’esp´erance de Z4 est ´egale `a 3). 3.— Un actif S se n´egocie aujourd’hui `a 40––C. Un trader ach`ete un call et un put sur S de mˆeme strike K1 = 40––C et vend un put de strike 36––C (strat´egie straddle versus put). Ces options ont mˆeme maturit´e T = 3 mois = 0,25 ann´ee. a. Dessiner le profil (le pay-off) de cette strat´egie d’options. b. Le taux sans risque annuel est r = 0,02 et la volatilit´e est σ = 30%. Calculer le prix de cette strat´egie `a la date initiale t = 0. Dessiner ensuite le profil des pertes et profits. c. Quels sont les pertes et les profits maximaux possibles ? Pr´eciser les points-morts. d. Un mois plus tard, l’actif vaut `a nouveau 40––C mais la volatilit´e implicite σ a mont´e : elle vaut maintenant 40%. Le trader d´ecide de liquider sa position : d´eterminer le prix de vente de sa strat´egie `a cette nouvelle date (deux mois avant l’´ech´eance, soit 1/6 d’ann´ee). Quel est le rendement de la strat´egie sur le mois o`u le trader a maintenu sa position ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 3 – 3 –14 2002-2010 michel miniconi version du 26 avril 2010
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividende et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 2
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mercredi 16 mars 2011´ L’actif S est suppos´e ne pas rendre de dividende. 1.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 80––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,025 et d = 0,980. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1,5% = 0,015. Sur chaque p´eriode δt = 1 on utilisera l’actualisation B−1 = 1/1 + r. δt On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 80 ––C et d’´ech´eance T = 3. a. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. b. Si l’actif subit trois baisses successives, `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. 2.— On consid`ere le mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes d´ecrit dans l’exercice pr´ec´edent. a. D´eterminer le prix `a t = 0 du call europ´een sur S de prix d’exercice K = 80––C et d’´ech´eance T = 3. b. Un trader a vendu ce call et se couvre en delta-neutre. Le prix du sous-jacent subit une baisse lors de la premi`ere p´eriode. D´ecrire les op´erations de couverture (achat/vente de S, prˆet/emprunt mon´etaire) effectu´ees par le trader aux dates t = 0 et t = 1. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2002-2011 michel miniconi version du 15 mars 2011
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mercredi 24 mai 2011´ Comme d’habitude, W d´esigne un brownien standard. 1.— Soit X un processus d’Itˆo solution de l’´equation diff´erentielle stochastique (E) dXt = Xt dt + dWt , X0 donn´e. On pose Y = e−tX . t t a. Calculer dYt `a l’aide de la formule d’Itˆo. Le processus Y est-il une W-martingale ? b. Montrer que la solution X de l’EDS (E) peut s’´ecrire X = etX + Φ t 0 t o`u Φt est une int´egrale stochastique que l’on pr´ecisera. 2.— On d´efinit le processus Z par Z = eWt−αt avec α constante r´eelle donn´ee. t a. D´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Z. b. A quelle condition sur` α le processus Z est-il une martingale ? (justifier votre r´eponse) 3.— On consid`ere un actif financier S, suppos´e ne pas rendre de dividende, dont la volatilit´e annuelle est σ = 40%. Le prix `a t = 0 de cet actif est S0 = 35,5 ––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque est r = 6%. Un op´erateur ach`ete un put de strike K1 = 30 ––C et vend un put de strike K2 = 35 ––C (option Bull Put Spread). L’´ech´eance est fix´ee `a T = 0,125 ann´ee, soit `a peu pr`es 45 jours. a. Sans effectuer aucun calcul, dites quel sera le bilan mon´etaire de ces transactions `a la date d’´ecriture t = 0 : le trader va-t-il encaisser ou payer une certaine somme pour cette position ? (justifier votre r´eponse) b. D´eterminer le prix du spread `a t = 0. c. Tracer le pay-off de cette option ainsi que le diagramme des profits et pertes. d. L’op´erateur conserve l’option jusqu’`a l’´ech´eance T. En fonction de la valeur ST de l’actif S relativement aux deux strikes K1 et K2, d´eterminer : • la perte maximale possible pour l’op´erateur ainsi que les valeurs de ST pour lesquelles l’op´erateur enregistre cette perte ; • le gain maximal possible pour l’op´erateur ainsi que les valeurs de ST pour lesquelles l’op´erateur enregistre ce gain ; • le point mort (ou break even) de la strat´egie, i.e. la valeur de ST pour laquelle l’op´erateur n’enregistre ni gain ni perte. dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 5 – 5 – 10 2002-2011 michel miniconi version du 24 mai 2011
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t Formule d’Itˆo : Soit X un processus admettant une diff´erentielle stochastique dXt = μt dt + σt dWt (o`u μ et σ v´erifient des conditions d’int´egrabilit´e que nous omettons) et soit f(t, x) une fonction appartenant `a C2([0, T] × R). Alors Yt = f(t, Xt) admet aussi une diff´erentielle stochastique et ∂f ∂f 1 ∂2f dY = (t, X )dt + (t, X )dX + (t, X ) (dX )2 t ∂t t ∂x t t 2 ∂x2 t t o`u (dX )2 = dX .dX est calcul´e en utilisant les r`egles suivantes : t t t (dt)2 = 0 , dt.dW = 0 , (dW )2 = dt. t t En explicitant (dX )2 on obtient pour cette formule fondamentale l’´enonc´e ´equivalent suivant t { } ∂f ∂f 1 ∂2f ∂f dY = (t, X ) + μ (t, X ) + σ2 (t, X ) dt + σ (t, X )dW t ∂t t t ∂x t 2 t ∂x2 t t ∂x t t 2
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du jeudi 22 mars 2012´ SUJET 1 1.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 18––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,90. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 19––C et d’´ech´eance T = 2 p´eriodes. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0 ainsi que les prix du put `a la date interm´ediaire t = 1. c. Un op´erateur vend ce put et d´ecide de se couvrir en delta-neutre : d´eterminer le portefeuille Π1 = (ψ1, ϕ1) de couverture qu’il se constituera `a la date t = 0. d. D´eterminer les deux portefeuilles de couverture Πu et Πd correspondant respectivement `a l’´eventualit´e 2 2 d’une hausse et `a celle d’une baisse constat´ee `a la date t = 1. 2.— Soit M = (Mt)t≥0 une martingale pour une filtration H = (Ht) donn´ee. ( ) ( ) a. Montrer l’´egalit´e E (M − M )2 | H = E M2 − M2 | H avec s < t. t s s t s s b. Calculer l’esp´erance (non-conditionnelle) de (M − M )2 en fonction des esp´erances de M2 et de M2. t s t s 3.— Soit un brownien W, F sa filtration associ´ee et a un r´eel fix´e. On exprimera les r´esultats aux deux questions ci-dessous en fonction de a et t et en utilisant la fonction de r´epartition N de la loi normale N(0; 1). ( ) a. Calculer E 1{W ≥a} pour tout t ≥ 0. ( t ) b. Calculer E Wt×1{W ≥a} . t dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 8 – 6 – 6 2002-2012 michel miniconi version du 21 mars 2012
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mardi 22 mai 2012´ On utilise les notations habituelles pour le brownien et pour le mod`ele de Black-Scholes. Sur les repr´esentations graphiques demand´ees on pr´ecisera bien les abscisses et les ordonn´ees des points remarquables des graphes. 1.— On se donne un brownien standard W. Soit X un brownien g´eom´etrique : dXt = μXt dt + σXt dWt, X0 > 0 donn´e. a. On d´efinit le processus Y par Y = e−αtX o`u α d´esigne un r´eel positif donn´e. A l’aide de la formule d’Itˆ` o t t d´eterminer l’EDS v´erifi´ee par Y . b. Quelle condition doit v´erifier μ pour que Y soit une martingale ? 2.— On se place sous les hypoth`eses du mod`ele de Black-Scholes. a. Montrer que le Vega d’un call est ´egal `a celui d’un put lorsque ces deux options sont sur un mˆeme sous-jacent, de mˆeme strike et de mˆeme ´ech´eance. b. En utilisant l’´egalit´e vue en cours S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ) t 1 2 (que l’on ne demande pas de red´emontrer), calculer ce Vega `a une date t en fonction de St, T − t, d1 et de la densit´e de la loi normale standard N(0; 1). 3.— On consid`ere un actif financier S, suppos´e ne pas rendre de dividende, dont la volatilit´e annuelle est σ = 30%. Le prix `a t = 0 de cet actif est S0 = 62 ––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque est r = 5%. Partie I : Un op´erateur qui poss`ede d´ej`a une part d’actif S `a la date t = 0 ach`ete un put P sur S de strike KP = 60 ––C. L’´ech´eance T est fix´ee `a 2 mois, soit T = 1/6 d’ann´ee. Ce put le prot`egera contre une baisse ´eventuelle du sous-jacent (position Protective Put) dans les 2 mois qui suivent. Pour simplifier on supposera que l’op´erateur vendra le sous-jacent `a l’´ech´eance T. a. Tracer le profil de la position (S, P) d´etenue par l’op´erateur `a l’´ech´eance T (pay-off). On rappelle que la pr´esence d’une part de sous-jacent qui vaut S0 `a la date t = 0 introduit dans le pay-off une droite de pente 1 passant par le point d’abscisse S0 sur l’axe horizontal. b. D´eterminer le prix du put P `a t = 0. c. Tracer le graphe des 〈〈profits et pertes〉〉 du protective put (S, P) `a l’´ech´eance et d´eterminer le ou les ´eventuels points-morts. Partie II : Afin de baisser le coˆut de sa protection, l’op´erateur vend un call C sur S de strike KC = 65––C simultan´ement `a l’achat du Protective Put. La position (S, P,−C) qui en r´esulte est d´esign´ee sous le nom de Collar. d. D´eterminer le prix du call C `a t = 0. e. Tracer le graphe des 〈〈profits et pertes〉〉 du collar `a l’´ech´eance et d´eterminer le ou les ´eventuels points-morts. f. Le collar est moins cher que le protective put mais il pr´esente un inconv´enient majeur : lequel ? dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 5 – 5 – 10 2002-2012 michel miniconi version du 20 mai 2012
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