Trang 1
LÊ BÁ BẢO TRƯỜNG THPT ĐẶNG HUY TRỨ - ADMIN CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ TOÁN 12 KHẢO SÁT HÀM SỐ ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA CẬP NHẬT TỪ ĐỀ THI MỚI NHẤT
Trang 2
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Chủ đề 3: ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT Cho hàm số y = f x( ) xác định trên một khoảng vô hạn (là khoảng dạng ( ;a +), (−; )b hoặc (− +; )). 1. Đường tiệm cận đứng Đường thẳng x = x được gọi là đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số 0 y = f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f x( ) = + (1) lim f x( ) = − (2) x→x + x→x + 0 0 lim f x( ) = + (3) lim f x( ) = − (4) x→x − x→x − 0 0 Nhận xét: Đối với hàm phân thức u x( ) thì tiệm cận đứng thì thường là nghiệm của y = x = x x v x( ) 0 0 phương trình v x( ) = 0 . 2. Đường tiệm cận ngang Đường thẳng y = y được gọi là đường tiệm cận ngang ( hay tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số 0 y = f x( ) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: lim f x( ) = y (5) lim f x( ) = y (6) x→+ 0 x→− 0 3. Đường tiệm cận xiên Đường thẳng y = ax + b, a 0, được gọi là đường tiệm cận xiên (gọi tắt là tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f x( ) nếu: lim f x( )−(ax + b) = 0 Hoặc: lim f x( )−(ax + b) = 0 x→+ x→− Chú ý: Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng các công thức sau: f x( ) a = lim ; b = lim f x( )−ax x→+ x x→+ f x( ) Hoặc: a = lim ; b = lim f x( )−ax x→− x x→− Nhận xét: Thông thường khi xác định các đường tiệm cận của hàm số, ta nên tính tất cả các giới hạn ở trên. MỘT SỐ KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý Kết quả 1: Đồ thị hàm số ax + b ( ) có tiệm cận đứng d tiệm cận ngang y = , ad −bc 0,c 0 x = − ; cx + d c a d a y = thì I− ; là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. c c c ax2 bx c Kết quả 2: Hàm số y . dx e C Thực hiện phép chia đa thức để biến đổi hàm số về dạng: y Ax B ( .AC 0) dx e e +) Tiệm cận đứng: x (nghiệm của mẫu) d +) Tiệm cận xiên: y Ax B Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 3
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 a bd ae Công thức nhanh tìm tiệm cận xiên: y x d d2 Kết quả 3: Không tồn tại tiếp tuyến của đồ thị hàm số ( ) ax + b qua tâm đối xứng của ( ) H : y = H . cx + d Kết quả 4: Đồ thị hàm số ( ) ax + b có tiệm cận đứng tiệm cận ngang thì với điểm bất H : y = ; M cx + d 1 2 kì thuộc (H) ta có: ( ) ( ) ad −bc ( ) ( ) ad −bc +) T = d M; .d M; = +) T = d M; +d M; 2 1 2 c2 1 2 c2 II. BÀI TẬP MINH HỌA Câu 1: Cho hàm số y = f (x) có lim f (x)= 1 và lim f (x)= −1. Khẳng định nào sau đây đúng? x→+ x→− A. Đồ thị hàm số nhận y = 1 và y = −1 là tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số nhận x = 1 và x = −1 là tiệm cận ngang. . C. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. D. Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang. Câu 2: Nếu hàm số y = f (x) thỏa mãn điều kiện lim f (x)= 2019 thì đồ thị hàm số có đường tiệm cận x→− ngang là A. y = 2019 . B. x = 2019 . C. y = −2019 . D. x = −2019 . Lời giải: Ta có lim f (x)= 2019 nên đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 2019 . x→− Câu 3: Cho hàm số f (x) xác định trên \ 1 và có lim f (x)= −2, lim f (x)= +, x→− x→1+ lim f (x)= +, lim f (x)= 2. Khẳng định nào sau đây đúng? x→1− x→+ A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳng y =1. B. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 2 và y = −2. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng hai tiệm cận đứng là các đường thẳng x = 2 và x = −2. D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận đứng. Câu 4: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f (x) là A. 3 . B. 0 . C. 1. D. 2 . Lời giải: Do lim y = 5, lim y =1, lim y = − nên đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang là đường thẳng x→+ x→− x→2− y = 5,y =1 và một tiệm cận đứng là đường thẳng x = 2 . Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 4
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Câu 5: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình A. x = 2. B. y = 2. C. x = 1. D. y = 1. Lời giải: Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số không xác định tại x = 1 và lim y = +; lim y = − nên tiệm x→1+ x→1− cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là đường thẳng có phương trình x = 1. Câu 6: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây. Hỏi đồ thị của hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 2 . B. 1. C. 3 . D. 4 . Lời giải: Từ bảng biến thiên ta có: lim y = 2 y = 2 là đường tiệm cận ngang. x→+ lim y = +, lim y = − x =1 là đường tiệm cận đứng. x→1+ x→1− lim y = − x = −1 là đường tiệm cận đứng. x→−1+ Vậy đồ thị của hàm số đã cho có 3 đường tiệm cận. ( lim y = + khi x → − đồ thị hàm số không có đường tiệm cận ngang) x→− Câu 7: Đồ thị như hình vẽ là của một trong bốn hàm số được cho ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. x −1 . B. 3− x . C. x + 2 . D. x − 2 . y = y = y = y = x +1 x −1 x −1 x −1 Lời giải: Dựa vào hình vẽ, đồ thị hàm số nhận là TCĐ, y =1 là TCN. Kiểm tra, hàm số x −1 x = −1 y = x +1 thỏa mãn các sự kiện trên. Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 5
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Câu 8: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau? x − 1 + y − − 2 + y − 2 A. 2x + 2 . B. 1− 2x . C. x − 2 . D. 2x −3 . y = y = y = y = x −1 x −1 x −1 x −1 Lời giải: Dựa vào BBT, đồ thị hàm số nhận x = 1 là TCĐ, y = 2 là TCN. Mặt khác, hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) ( ) Kiểm tra, hàm số 2x + 2 thỏa mãn các sự kiện trên. −;1 ; 1;+ . y = x −1 Câu 9: Cho hàm số y = f (x) xác định trên (−; 2) và có bảng biến thiên sau: x − 1 2 y' + 0 − 3 y 5 0 Khẳng định nào sau đây đúng? A. Đồ thị hàm số không có tiệm cận. B. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận đứng là x = 1 và x = 2. C. Đồ thị hàm số có các đường tiệm cận là y = 5 và x = 2. D. Đồ thị hàm số có duy nhất đường tiệm cận ngang y = 5. ax + b y Câu 10: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số y = , với cx + d a, b, c, d là các số thực. Khẳng định nào dưới đây đúng? A. y 0, x 1. B. y 0, x 2. 1 O C. y 0, x 1. D. y 0, x 2. 2 x Lời giải: Do hàm số nghịch biến trên (−; 2) và (2;+) nên chọn đáp án B. Câu 11: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2x +1 là y = x −1 A.x = −1. B.x = 1. C. y = 1. D. y = 2. Lời giải: Ta có: limy = + nên x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x→1+ Câu 12: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 2x +1 là y = x −1 A.x = −1. B.x = 1. C. y = 1. D. y = 2. Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 6
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Lời giải: Ta có: lim y = 2 nên y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. x→+ Câu 13: Đồ thị hàm số x +1 có đường tiệm cận ngang là đường thẳng nào dưới đây? y = 4x −1 A. y = −1. B. . C. 1 . D. 1 . x = −1 y = x = 4 4 Lời giải: Ta thấy 1 suy ra tiệm cận ngang 1 lim y = y = . x→ 4 4 Câu 14: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số ( ) 1 là y = f x = x +1+ x A. y = 0. B. y = x. C. y = x +1. D. y = x −1. Lời giải: lim f (x)−(x +1) = 0 Ta có: x→+ ( ) ( ) ⎯⎯→y = x +1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. lim f x − x +1 = 0 x→− ( ) x2 + 2 Câu 15: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f x = là x A. y = 0. B. y = x. C. y = x +1. D. y = x −1. Lời giải: ( ) x2 + 2 2 Ta có: f x = = x + . x x lim f (x)− x = 0 Ta có: x→+ ( ) ⎯⎯→y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. lim f x − x = 0 x→− Câu 16: Đồ thị hàm số −3x +1 có các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là y = x + 2 A. x = −2,y = −3. B. x = −2,y = 3. C. x = −2,y =1. D. x = 2,y =1. Lời giải: −3x +1 Do đó đường thẳng y = −3 là tiệm cận ngang của đồ thị. lim = −3. x→+ x + 2 −3x +1 nên đường thẳng là tiệm cận đứng của đồ thị. lim = − x = −2 x→ −( 2)+ x + 2 Câu 17: Hình phẳng được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x −3 và hai trục y = x +1 tọa độ có diện tích bằng A. 1. B. 3 . C. 6 . D. 2 . Lời giải: TXĐ: D = \−1 . Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x −3 là: x = −1;y = 2. y = x +1 Hai trục tọa độ có phương trình là: x = 0;y = 0. Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 7
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x −3 và y = x +1 hai trục tọa độ là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi 4 đường x = −1;y = 2;x = 0;y = 0. Vậy S = 2.1= 2. x2 + 2x + 2 Câu 18: Gọi A B, lần lượt là giao điểm của tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = với trục x +1 Ox Oy, . Diện tích tam giác OAB bằng A. 2 B. 1 C. D. 1 . . 1. . 3 2 4 Lời giải: x2 + 2x + 2 1 Ta có: y = = x +1+ x +1 x +1 lim f (x)−(x +1) = 0 Ta có: x→+ ( ) ( ) ⎯⎯→y = x +1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. lim f x − x +1 = 0 x→− Lúc đó: ( ) ( ) 1 1 A −1; 0 ,B 0;1 ⎯⎯→S = x . y = . OAB 2 A B 2 Câu 19: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận đứng? A. 1 B. x +1 C. 2 D. sinx y = . y = . y = x . y = . x x −1 x −1 Lời giải: Đồ thị hàm số y = x2 không có tiệm cận đứng. Câu 20: Đồ thị hàm số nào sau đây không có tiệm cận ngang? 1 x +1 x2 x A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x x −1 x + 3 x −1 Lời giải: x2 lim y = + x2 Xét hàm số: y = . Ta có: x→+ Đồ thị hàm số y = không có tiệm cận ngang. x + 3 lim y = − x + 3 x→− Chọn đáp án C. Câu 21: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận xiên? x −1 x +1 x2 +1 A. y = . B. y = x. C. y = . D. y = . x +1 x2 +1 x Lời giải: x2 +1 1 Xét hàm số: y = = x + . x x lim f (x)− x = 0 x2 +1 Ta có: x→+ ( ) ⎯⎯→y = x là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = . lim f x − x = 0 x x→− Câu 22: Đồ thị hàm số nào sau đây có nhiều đường tiệm cận nhất? 1 x + 5 x −1 x +1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x x −1 x2 −1 x2 − 4 Lời giải: Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 8
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Đồ thị các hàm số 1 x + 5 x −1 1 ( ) có 1 đường tiệm cận đứng và 1 tiệm y = ;y = ;y = = , x 1 x x −1 x2 −1 x +1 cận ngang. lim y = 0 x→ Xét hàm số x +1 Ta có: Đồ thị nhận làm tiệm cận đứng và y = . lim y = + x = 2; x = −2 x2 − 4 x→2+ lim y = + x→−2+ y = 0 làm tiệm cận ngang. Câu 23: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2x +1 có tọa độ là y = x −1 A.(1;−2 .) B.(1; 2 .) C.(−1; 2 .) D.(2;1 .) Lời giải: Ta có: 2x +1 nên là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. lim = + x = 1 x→1+ x −1 Ta có: 2x +1 nên là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. lim = 2 y = 2 x→+ x −1 Vậy tâm đối xứng của đồ thị hàm số đã cho là I(1; 2 .) x2 − 3x − 4 Câu 24: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = . x2 −16 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải: 5 ; 5 . Suy ra không phải là tiệm cận đứng. lim y = lim y = x = 4 x→4− 8 x→4+ 8 lim y = − . Suy ra x = −4 là tiệm cận đứng. x→−4− lim y =1; lim y =1. x→+ x→− Suy ra y =1 là tiệm cận ngang. Vậy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận. x2 − 3x + 2 Câu 25: Tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là x3 − 2x2 A. 1. B. 4. C. 2. D. 3. Lời giải: 1 3 2 1 3 2 x2 − 3x + 2 − + x2 − 3x + 2 − + • lim = lim x x2 x3 = 0; lim = lim x x2 x3 = 0 x→+ x3 − 2x2 x→+ 2 x→− x3 − 2x2 x→− 2 1− 1− x x Đường tiệm cận ngang là y = 0 x2 −3x + 2 (x −2)(x −1) (x −1) 1 •lim = lim ( ) = lim = x→2 x3 −2x2 x→2 x2 x −2 x→2 x2 4 Nên x = 2 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. x2 −3x + 2 (x −2)(x −1) (x −1) •lim = lim ( ) = lim = − x→0 x3 −2x2 x→2 x2 x −2 x→0 x2 Nên tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là: x = 0 . Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 9
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 x2 − 3x + 2 Vậy tổng số các đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là 2 x3 − 2x2 tiệm cận. Câu 26: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x là y = x2 −1 A.0. B.1. C.2. D.3. Lời giải: Ta có: x nên là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. lim = + x = 1 x→1+ x2 −1 Ta có: x x không tồn tại. lim ; lim x→−1+ x2 −1 x→−1− x2 −1 Ta có: x và x không tồn tại, nên là đường tiệm cận ngang của đồ thị lim = 0 lim y = 0 x→+ x2 −1 x→− x2 −1 hàm số đã cho. Câu 27: Số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x2 + 2024 là A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. Lời giải: +) Xét khi x ⎯⎯→ + : 2024 f (x) x 1+ x2 + 2024 x2 2024 Ta có: lim = lim = lim = lim 1+ =1 x→+ x x→+ x x→+ x x→+ x2 và lim f (x)− x = lim ( x2 + 2024 − x)= lim 2024 = 0. x→+ x→+ x→+ 2 x + 2024 + x Vậy y = x là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. +) Xét khi x ⎯⎯→ − : 2024 f (x) −x 1+ x2 + 2024 x2 2024 Ta có: lim = lim = lim = − lim 1+ = −1 x→− x x→− x x→− x x→− x2 và lim f (x)+ x = lim ( x2 + 2024 + x)= lim 2024 = 0. x→− x→− x→− 2 x + 2024 − x Vậy y = −x là một tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho. Vậy đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm cận. x2 − 4 Câu 28: Đồ thị hàm số y = có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang? x2 − 5x + 6 A. 1 . B.3 . C.4 . D.2 . Lời giải: x −2 x2 − 4 0 Điều kiện: x 2 x2 − 5x + 6 0 x 3 Ta xét: Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 10
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 x2 −4 x2 −4 lim = lim = 0. Từ đó suy ra tiệm cận ngang lày = 0 . x→+ x2 − 5x + 6 x→− x2 − 5x+ 6 x = 2 Xét x2 − 5x + 6 = 0 x = 3 x2 − 4 x2 − 4 Ta có: lim = −; lim không tồn tại. Từ đó suy ra đường tiệm cận đứng x→2+ x2 − 5x + 6 x→2− x2 − 5x + 6 làx = 2 . x2 − 4 x2 − 4 Ta có: lim = +; lim = − . Từ đó suy ra đường tiệm cận đứng là x = 3 . x→3+ x2 − 5x + 6 x→3− x2 − 5x + 6 Vậy đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứngx = 2 vàx = 3 , tiệm cận ngangy = 0 . 2x −1− x2 + x + 3 Câu 29: Tìm tất cả các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = . x2 − 5x + 6 A. x = −3 và x = −2 . B. x = −3 . C. x = 3 và x = 2 . D. x = 3 . Lời giải: Tập xác định D = \2; 3 2x −1− x2 + x + 3 (2x −1)2 −(x2 + x + 3) lim = lim ( )( ) x→2+ x2 − 5x + 6 x→2+ x2 − 5x + 6 2x −1+ x2 + x + 3 (2x −1)2 −(x2 + x + 3) = lim ( )( ) x→2+ x2 − 5x + 6 2x −1+ x2 + x + 3 (3x +1) 7 = lim ( )= − x→2+ (x − 3) 2x −1+ x2 + x + 3 6 2x −1− x2 + x + 3 7 Tương tự lim = − .Suy ra đường thẳng x = 2 không là tiệm cận đứng của x→2− x2 −5x +6 6 đồ thị hàm số đã cho. 2x −1− x2 + x+ 3 2x−1− x2 + x+ 3 lim = +; lim = − . x→3+ x2 −5x +6 x→3− x2 −5x +6 Suy ra đường thẳng x = 3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. Câu 30: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x −1 là y = x −1 A.0. B.1. C.2. D.3. Lời giải: Ta có: lim y =1 và lim y = + nên x = −1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho. x→1+ x→−1+ Ta có: lim y =1 và lim y = −1 nên y =1; y = −1 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã x→+ x→− cho. (x −1)( x2 +1) x −1 x −1 x2 +1 Hoặc có thể đánh giá: y = = = = , x 1. x −1 x2 −1 x2 −1 x +1 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 11
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 x2 + 3 Câu 31: Đồ thị hàm số y = có tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là x2 − 2 x − 3 A. 2. B. 1. C. 3. D. 4. Lời giải: x2 + 3 x2 + 3 Ta có y = = ( )( ). x2 −2 x −3 x +1 x −3 x2 + 3 lim y = lim =1= lim y nên đường thẳng y =1 là tiệm cận ngang. x→+ x→+ x2 −2 x −3 x→− x2 + 3 x2 + 3 lim y = lim ( )( )= + , lim y = lim ( )( )= − nên đường thẳng x = 3,x = −3 x→3+ x→3+ x +1 x −3 x→−3+ x→−3+ x +1 x −3 là tiệm cận đứng. x2 +3x −1 Câu 32: Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số y = . Tích khoảng cách từ điểm M đến x −2 hai tiệm cận của hàm số đã cho bằng A. 7 2 B. 9 2 C. D. 7 2 . . 3 2. . 2 2 3 Lời giải: TXĐ: . Ta có: 9 . D = \ 2 y = x + 5+ x − 2 Do lim y = + nên x = 2 d : x − 2 = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x→2+ và lim y −(x + 5) = 0 nên y = x + 5 d/ : x − y + 5 = 0 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số. x→+ Gọi ( ) ( ) 9 M x ;y C y = x + 5+ 0 0 0 0 x −2 0 * Khoảng cách từ M đến d bằng: h = x − 2 1 0 * Khoảng cách từ M đến d/ bằng x − y + 5 1 9 9 h = 0 0 = x −x + 5+ + 5 = 2 2 2 0 0 x −2 2 x −2 0 0 Lúc đó: 9 9 2 ( ) . h h. = x −2 . = x D 1 2 0 2 x −2 2 0 0 Câu 33: Cho là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số x + 2 , sao cho tổng khoảng cách M y = x − 2 từ M đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất. Tọa độ điểm M là A. (4; 3). B. (0;−1). C. (1;−3). D. (3; 5). Lời giải: TXĐ: D = \ 2 . x + 2 a+ 2 Vì M là điểm có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số y = nên Ma ; (với a 0 ). x − 2 a−2 Hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là : : x = 2 và : y = 1 1 2 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 12
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Suy ra : và a+ 2 4 4 . d = d( ) = a− 2 d = d( ) = −1 = = 1 M; 2 M; a−2 a−2 a−2 1 2 Vây tổng khoàng cách từ M đến hai đường tiệm cận là: 4 4 . d = d +d = a−2 + 2 a− 2 = 4 1 2 a−2 a−2 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 4 4 . a−2 + 2 a−2 = 4 a−2 a−2 4 ( )2 a−2 = 2 a = 4 Dấu bằng xảy ra khi : a−2 = a− 2 = 4 . a−2 a− 2 = −2 a = 0 Mà a 0 a = 4 . Vậy M(4; 3). Câu 34: Cho hàm số ax +1 ( ), có đồ thị như hình vẽ sau: y = , a b; bx − 2 Tính T = a + b. A. T = 2. B. T = 0. C. T = −1. D. T = 3. Lời giải: Tiệm cận đứng: 2 Tiệm cận ngang: a x = = 2 b =1. y = =1 a = b =1. b b Vậy T = a + b = 2. Chọn đáp án A. Câu 35: Cho hàm số ( ) ax +1 ( ) có bảng biến thiên như sau: f x = a b c, , bx +c Trong các số a b, và c có bao nhiêu số dương? A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. Lời giải: Tiệm cận đứng: c x = 2 0 − 0 bc 0. b Tiệm cận ngang: a y =1 0 0 ab 0. b Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm 1 x 2 0 − 0 a 0 b 0 c 0. c Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 13
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Câu 36: Đường cong ở hình bên là đồ thị của hàm số ax + b với là các số thực. Khẳng định y = a b c d, , , cx + d nào dưới đây đúng? A. ab 0,ad 0. B. ab 0,ad 0. C. bd 0,ad 0. D. ab 0,ad 0. Lời giải: Tiệm cận đứng: d x = − 0 cd 0 (1) c Tiệm cận ngang: a y = 0 ac 0 (2) c Khi thì b ( ) x = 0 y = 0 bd 0 3 d Từ ( )1 và (2) suy ra: ad 0 (4) Từ (3) và (4) suy ra: ab 0 . Câu 37: Cho hàm số y = f ( )x có bảng biến thiên 2018 Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là f ( )x A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Lời giải: Điều kiện: f x( ) 0 2018 Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = là số nghiệm phương trình f x( ) = 0bằng số f ( )x giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( )x và y = 0 tức trục hoành. Nhìn bảng biến thiên ta có số giao điểm bằng 3 nên có 3 tiệm cận đứng. Câu 38: Hàm số y = f (x) xác định trên \−1;1, có đạo hàm trên \−1;1 và có bảng biến thiên như sau: x − −1 0 1 + y − − 0 + + + + + 0 y − 1 − Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 14
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Đồ thị hàm số 1 có bao nhiêu tiệm cận (tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)? y = ( ) f x −1 A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 5 . Lời giải: Ta có: 1 1 nên đồ thị hàm số có hai đường tiệm lim y = lim ( ) = −1; lim y = lim ( ) = 0 x→+ x→+ f x −1 x→− x→− f x −1 cận ngang là y = −1; y = 0. Xét phương trình: f (x)−1= 0 f (x)=1. Dựa vào BBT, phương trình f (x)= 1 có hai nghiệm phân biệt x , x và thỏa mãn limy = ; lim y = nên đồ thị hàm số đã cho có hai đường tiệm 1 2 x→x x→x 1 2 cận đứng là x = x , x = x . 1 2 Vậy đồ thị hàm số đã cho có 4 đường tiệm cận. Câu 39: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số mx +1 có hai đường tiệm cận là m y = x +1 A. . B. \ 0 . C. \−1 . D. \ 1 . Lời giải: Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận m −1 0 m 1. Câu 40: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số x +1 có ba đường tiệm cận là m y = x2 + m A.(−; 0 .) B.(−; 0 \) −1 . C. \−1 . D. \ 1 . Lời giải: Ta có: lim y = 0; lim y = 0 y = 0 là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho. x→+ x→− Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận x2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác −1 0 ( ) m −;0 \ −1 . 1+ m 0 Câu 41: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số để đồ thị hàm số x +1 có đường tiệm cận đứng m y = x + m là x = −1 là A. . B.. C. 1 . D. \ 1 . Lời giải: Đồ thị hàm số có tiệm cận m −1 0 m 1. (*) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là x = −1 −1+ m = 0 m = 1 không thỏa mãn (*). (n− 3)x + n− 2017 Câu 42: Biết rằng đồ thị của hàm số y = (m n, là các số thực) nhận trục hoành làm x + m+ 3 tiệm cận ngang và trục tung là tiệm cận đứng. Tính tổng m+n. A. 0 . B. −3. C. 3 . D. 6 . Lời giải: Theo công thức tìm nhanh tiệm cận của đồ thị hàm số ax + b ta có y = cx + d Đồ thị hàm số nhận d làm TCĐ x = − = −m− 3 = 0 m = −3 c Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 15
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Đồ thị hàm số nhận a làm TCN . Vậy . y = = n− 3 = 0 n = 3 m + n = 0 c mx2 + x +1 Câu 43: Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = có tiệm cận xiên là x +1 A. (0;+). B. 0;+). C. \ 0 . D. . Lời giải: f (x) Ta có: lim = m⎯⎯→Để đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận xiên thì m 0. x→+ x 2x2 −3x −m Câu 44: Với giá trị nào của tham số m thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = đi qua x + m điểm A(3;1 ?) A. m = −1. B. m = 0. C. m = 2. D. m = 1. Lời giải: 2m2 + 2m Ta có: y = 2x − 2m− 3+ . x + m lim f (x)−(2x − 2m− 3) = 0 Ta có: x→+ ⎯⎯⎯⎯m0;m−1→d: y = 2x − 2m− 3 là đường tiệm cận xiên của đồ lim f (x)−(2x − 2m− 3) = 0 x→− thị hàm số đã cho. Theo giả thiết: A(3;1)d 1= 6 − 2m− 3 m =1. Câu 45: Cho hàm số x −1 ( ) có đồ thị là ( ). Tìm để đồ thị ( ) nhận điểm ( ) làm y = m −1 C m C I 2;1 x + m tâm đối xứng. A. 1 . B. 1 . C. . D. . m = m = − m = 2 m = −2 2 2 Lời giải: Để đồ thị (C) nhận điểmI(2;1) làm tâm đối xứng thì đồ thị (C) có đường tiệm cận đứng x = 2 −m = 2 m = −2. Câu 46: Tìm số giá trị nguyên thuộc đoạn −2019 ; 2019 của tham số m để đồ thị hàm số x − 3 có đúng hai đường tiệm cận. y = x2 + x − m A. 2007 . B. 2010 . C. 2009 . D. 2008 . Lời giải: Xét hàm số x − 3 y = . x2 + x −m +) TXĐ: D = 3;+) 1 3 − x − 3 x3 x4 +) lim y = lim = lim = 0. Do đó ĐTHS có 1 tiệm cận ngang y = 0. x→+ x→+ x2 + x − m x→+ 1 m 1+ − x x2 +) Để ĐTHS có 2 đường tiệm cận thì phải có thêm 1 tiệm cận đứng. Vậy yêu cầu bài toán trở thành: Tìm điều kiện để phương trình x2 + x − m = 0 phải có 1 nghiệm lớn hơn hoặc bằng 3. Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 16
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Trường hợp 1: Phương trình x2 + x − m = 0 phải có 2 nghiệm x ,x thỏa mãn x 3 x . 1 2 1 2 a f. (3) 0 12 − m 0 m 12. Trường hợp 2 : Phương trình x2 + x − m = 0 có nghiệm x = 3 thì m = 12. x = 3 Với m = 12 phương trình trở thành: x2 + x −12 = 0 ( tmđk) x = −4 Trường hợp 3 : Phương trình x2 + x − m = 0 có nghiệm kép x 3. −1 thì phương trình có nghiệm −1 (không thỏa mãn) Khi m = x = . 4 2 Theo đề bài m − 2019 ; 2019 ,m nguyên do đó m 12 ; 2019 . Vậy có (2019 −12) +1= 2008 giá trị của m. x2 + kx −1 Câu 47: Có bao nhiêu giá trị tham số k để tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = tạo với các x −1 trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8? A. Vô số. B. 0. C. 2. D. 1. Lời giải: TXĐ: D = \ 1 x2 + kx −1 k Ta có: y = = x + k +1+ x −1 x −1 Vì ( ) k ( ) nên là tiệm cận xiên của đồ thị hàm lim y − x + k +1 = lim = 0 k 0 d : y = x + k +1 x→+ x→+ x −1 số. Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của d và các trục Ox, Oy. Khi đó A(−k −1; 0 ,) B(0;k +1). Ta có: 1 1 1( )2 S = OA OB. = −k −1 . k +1 = k +1 AOB 2 2 2 1( )2 ( )2 k = 3 Theo giả thiết: S = 8 k +1 = 8 k +1 =16 . AOB 2 k = −5 Vậy các giá trị k cần tìm là k = 3; k = −5. III. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 48: Cho hàm số y = f x( ) có lim f x( ) = 2, lim f x( ) = −. Khẳng định nào sau đây đúng? x→− x→+ A. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang. B. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang phân biệt. C. Đồ thị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang là đường thẳngx = 2 . D. Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang. Câu 49: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như sau: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho bằng A. 2 . B. 1. C. 0 . D. 3 . Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 17
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Câu 50: Cho hàm số y = f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ dưới đây: Tổng số đường tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là A. 1. B. 2 . C. 0 . D. 3 . Câu 51: Cho hàm số y = f x( ) xác định trên \ 1 , liên tục trên mỗi khoảng xác định và có bảng biến thiên như hình dưới đây. Hỏi đồ thị hàm số đã cho có bao nhiêu đường tiệm cận? A. 1. B. 2 . C. 3 . D. 4 . Câu 52: Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như hình bên dưới: Tìm số tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho. A. 0 . B. 1. C. 2 . D. 3 . Câu 53: Đồ thị như hình vẽ là của một trong bốn hàm số được cho ở các phương án A, B, C, D. Hỏi đó là hàm số nào? A. x −1 . B. 3− x . C. x + 2 . D. x − 2 . y = y = y = y = x +1 x −1 x −1 x −1 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 18
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Câu 54: Trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây. Hàm số nào có bảng biến thiên sau? x − 1 + y + + + 2 y 2 − A. 2x + 2 . B. 1− 2x . C. x − 2 . D. 2x −3 . y = y = y = y = x −1 x −1 x −1 x −1 Câu 55: Đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số x +1 là y = x − 2 A. x = 2. B.x = 1. C. y = 1. D. y = 2. Câu 56: Đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 1 là y = x − 2 A. x = 2. B.x = 0. C. y = 0. D. y = 2. Câu 57: Đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số nào dưới đây? A. 2 B. −2x + 3 C. 2x − 2 D. 1+ x y = . y = . y = . y = . x +1 x − 2 x + 2 1− 2x Câu 58: Đồ thị hàm số 3x +1 có các đường tiệm cận đứng, tiệm cận ngang lần lượt là y = x + 2 A. x = −2,y = −3. B. x = −2,y = 3. C. x = −2,y =1. D. x = 2,y =1. ( ) x2 − 2x + 2 Câu 59: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f x = là x −1 A. y = 0. B. y = x. C. y = x +1. D. y = x −1. ( ) 2x2 + 2x +1 Câu 60: Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f x = là x +1 A. y = 2 .x B. y = x. C. y = x +1. D. y = x −1. Câu 61: Hình phẳng được giới hạn bởi các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2x −3 và hai trục y = x − 2 tọa độ có diện tích bằng A. 1. B. 3 . C. 4 . D. 2 . Câu 62: Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng? x2 − 3x + 2 x2 x A. y = . B. y = x2 −1 . C. y = . D. y = . x −1 x2 +1 x +1 Câu 63: Đồ thị hàm số nào dưới đây có tiệm cận xiên? x −1 x2 + 2 x4 +1 x2 + x +1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = . x +1 x2 +1 x2 +1 x +1 Câu 64: Trong các hàm số sau, đồ thị hàm số nào có nhiều tiệm cận nhất? 2x2 + x +1 1 1 A. y = . B. y = . C. y = . D. y = x2 + x +1. x2 −1 cos2 x 3sin2 x + cos2 x Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 19
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 Câu 65: Tâm đối xứng của đồ thị hàm số 2x +1 có tọa độ là y = x +1 A.(1;−2 .) B.(1; 2 .) C.(−1; 2 .) D.(2;1 .) x2 − 3x + 2 Câu 66: Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = . x2 −1 A. 2. B. 3. C. 1. D. 0. x2 − 3x + 2 Câu 67: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = là x3 − x2 − x +1 A.0. B.1. C.2. D.3. Câu 68: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x −1 là y = x2 −1 A.0. B.1. C.2. D.3. Câu 69: Số đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = x2 + 2x + 2 là A. 3. B. 0. C. 1. D. 2. 4 − x2 Câu 70: Đồ thị hàm số y = có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang ? x2 − 3x − 4 A. 3 . B. 0 . C. 2 . D. 1. Câu 71: Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số x −1 . y = 4 3x +1 −3x −5 A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 72: Số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 2 − x là y = 1+ x A. 2. B. 0. C. 3. D. 1. Câu 73: Cho hàm số x +1 có đồ thị ( ) và là điểm thuộc ( ). Tính giá trị nhỏ nhất của tổng y = C A C x −1 các khoảng cách từ A đến các đường tiệm cận của (C). A. 2 3 . B. 2 . C. 3 . D. 2 2 . −x2 + 4x + 3 Câu 74: Gọi M là điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số y = . Tích khoảng cách từ điểm M đến x − 2 hai tiệm cận của hàm số đã cho bằng A. 7 2 B. 9 2 C. D. 7 2 . . 3 2. . 2 2 2 Câu 75: Cho hàm số ( ) ax + 3 ( ) có bảng biến thiên như sau: f x = , b bx + c Tính tổng S = a + b + c . Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
Trang 20
Chuyên đề KHẢO SÁT HÀM SỐ Luyện thi THPT 2025 A. −2. B. 2 . C. 0 . D. −1. Câu 76: Cho hàm số ax +b ( )có bảng biến thiên như sau: y = ; a b c d, , , cx +d Khẳng định nào dưới đây đúng? A. ac 0,ab 0 . B. ad 0;bc 0 . C. cd 0;bd 0 . D. ab 0;cd 0. Câu 77: Cho hàm số ( ) ax −b ( ) có bảng biến thiên như sau: f x = a b c, , cx + b+1 Biết tập hợp tất cả các giá trị b thoả mãn là khoảng (m n; ). Tính tổng S = m + 2n . A. 5 . B. 3 . C. . D. . S = S = − S = −1 S = −2 2 2 Câu 78: Cho hàm số y = f (x)có bảng biến thiên như hình dưới đây. Tổng số tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 1 là y = ( ) 2 f x −1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 79: Cho hàm số y = f (x) xác định và có đạo hàm trên \−1; 0 , có bảng biến thiên như sau: x − −1 0 1 + y + − + 0 − + + 4 y −2 0 Lớp Toán thầy Lê Bá Bảo TP Huế 0935.785.115
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！