第 1 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST BỘ ĐỀ THI CUỐI KỲ MÔN GIẢI TÍCH 1 Dành cho sinh viên trường Đại học Bách khoa Hà Nội Biên soạn: Tài liệu HUST ĐỀ CK GIẢI TÍCH 1 DANH SÁCH ĐỀ THI ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)............................................................................2 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)............................................................4 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)............................................................................8 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)............................................................................9 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)......................................................... 10 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 15 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 16 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................... 17 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 22 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 23 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................... 24 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 29 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 30 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20192 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................... 31 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 35 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................... 36 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20193 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 40 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 41 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1)......................................................... 42 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 46 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1)......................................................... 47 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 48 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1)......................................................... 49 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)......................................................................... 53 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 1
第 2 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1)......................................................... 54 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 55 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2)......................................................... 56 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 6 (Nhóm ngành 2)......................................................................... 60 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 61 ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 7 (Nhóm ngành 3)......................................................... 62 ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20181 – ĐỀ 8 (Nhóm ngành 3)......................................................................... 65 (TaiLieuHust, 2022) Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 2
第 3 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 ln(1+ x) x a) lim . x→0 x x y3 b) lim . (x y, )→(0,0) 2x6 +3y2 Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân A= 2,022 +3,042 +3 . x2 Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng cosx 1− ,x 0. 2 Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường y = x2 −3x và y = 0 quanh trục Oy một vòng. Câu 5 (1 điểm). Tính −1 . 2x −3 + 1− x2 2 dx Câu 6 (1 điểm). Hàm số f ( )x = x3 + x có hàm ngược là y = g x( ) . Tính g (2) . 2z 2z 3 z 1 Câu 7 (1 điểm). Tính P = + + với z = . x2 y2 y y ( )3 x2 + y2 Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu vói tốc độ 100cm / s3 . Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 50cm. Câu 9 (1 điểm). Tính 2 cot x dx . 0 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 3
第 4 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 1 (Nhóm ngành 1) 1 ln(1+x) ln ln(1+ x) x x Câu 1: L = lim = lime x . x→0 x x→0 ln(1+ x) ln(1+ x) ln ln 1 + −1 x x Xét giới hạn K = lim = lim x→0 x x→0 x ln(1+ x) ln(1+ x) x→0 ln(1+ x) Vì lim −1 =1−1= 0, nên ln 1 + −1 ~ −1 . x→0 x x x ln(1+ x) −1 2 ( 2 ) −1 ln(1+ x)− x x +o x K = lim x (VCB) = lim = lim 2 (Khai triển Maclaurin) x→0 x x→0 x2 x→0 x2 −1 2 x −1 = lim 2 = x→0 x2 2 Giới hạn đã cho bằng L = eK = e−1/2 . x y3 b) f ( ,x y) = , ( ,x y) 0. 2x6 +3y2 +) Chọn M (a a, 3 ). Khi a →0 thì M (a a, 3 )→(0,0). 1 1 ( ) a a3 3 1 Ta có: f (M )= f a a, 3 = = 1 2a6 +3a6 5 ( ) 1 khi M →(0,0) (1) f M → 1 1 5 +) Chọn M (−b b, 3 ). Khi b→0 thì M (−b b, 3 )→(0,0). 2 2 ( ) (−b)3b3 −1 Ta có: f (M )= f −b b, 3 = = 2 2(−b)6 +3b6 5 ( ) −1 khi M →(0,0) (2) f M → 2 2 5 x y3 Từ (1) và (2) f ( ,x y) không cùng tiến tới một giá trị khi ( ,x y) → (0, 0) lim (x y, )→(0,0) 2x6 +3y2 không tồn tại. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 4
第 5 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 2. Xét hàm số f ( ,x y) = x2 + y2 +3. Ta có: f ( ,x y) x f ( ,x y) y x = 2, x = 0, 02 x = , y = . Chọn 0 . x2 + y2 +3 x2 + y2 +3 y = 3, y = 0, 04 0 Áp dụng công thức tính gần đúng: A = 2, 022 +3, 042 +3 = f (x + x y, + y) f (x , y )+ f (x , y ) x+ f (x , y ) y 0 0 0 0 x 0 0 y 0 0 1 3 = f (2,3)+ f (2,3) 0, 02 + f (2,3) 0, 04 = 4+ 0, 02+ 0, 04 = 4, 04 x y 2 4 Vậy A 4, 04 . x2 x2 Câu 3. Chứng minh: cosx 1− ,x 0 cosx+ −1 0,x 0. 2 2 x2 Xét f ( )x = cosx+ −1 trên [0;+). Ta có: f ( )x = −sinx+ x, f ( )x = −cosx+10,x 0 2 f ( )x đồng biến trên [0;+ ) f ( )x f (0) =0,x 0 f ( )x đồng biến trên [0;+) f ( )x f (0) = 0,x 0 Từ đó ta có được điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x = 0 Câu 4. Quay miền D là hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 −3 ,x y =0, x =0, x =3 quay quanh trục Oy thì thu được vật thể có thể tích là: V = 23 x x( 2 −3x)dx = 2x(3x− x2 )dx (vì 0 x2 −3x0, x [0,3]) 3 3( ) x4 27 = 2 3x2 − x3 dx = 2 x3 − = (đvtt) 0 4 2 0 Câu 5. Điều kiện: 3 2 2 2 , do đó: 2x −3 0 x 1− x 0 1− x = x −1 2 −1 ( )−1 I = 2x −3 + 1− x2 2 dx = 2x −3 + x2 −1 2 dx = 2x −3 dx + 1 dx = 1 (2x −3)3 +ln(x + x2 −1)+C x2 −1 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 5
第 6 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Câu 6. Ta có: f ( )x =3x2 +1. Với y =2 x3 +x =2 x =1. 0 0 0 0 f ( )x = x3 +x ( ) 1 1 1 Vì y = g x( ) là hàm ngược của nên: g y = ( ) = = . 0 f x f (1) 4 0 Vậy 1 . g (2) = 4 Câu 7. Điều kiện xác định P là y 0 . 2z 12x2 −3y2 Do sự đối xứng của $x, y$ trong hàm z x y( , ) nên: = . x2 ( )7 x2 + y2 2z 2z 3 z 12x2 −3y2 +12y2 −3x2 3 −3y P = + + = + x2 y2 y y ( )7 y ( )5 x2 + y2 x2 + y2 9 9 = − = 0,y 0. (x2 + y2 )5 (x2 + y2 )5 Câu 8. Gọi thể tích của quả bóng tại thời điểm t(s) là V t( ) cm( 3 ). Theo bài ra, tốc độ bơm không khí vào quả bóng là 100cm / s3 V( )t =100 cm / s( 3 ). Tại thời điểm t nào đó, R t( )=50(cm) . 0 0 Ta có: 4 3 . Lấy đạo hàm hai vế theo t, ta có: V( )t = 4(R t( ))2 R t( ) V t( ) = (R t( )) 3 Tại t = t , ta có: V (t ) = 4 R t( )2 R (t ) 100 = 4 (50)2 R (t ) 0 0 0 0 0 ( ) 100 1 R t = = (cm / s). 0 4 (50)2 100 Khi bán kính quà bóng bằng 50cm, tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính là 1 . (cm / s) 100 /2 Câu 9. I = cot x dx. 0 /2 /2 sin x cosx /2 sin x+cosx Xét L = ( tan x + cot x)dx = + dx = dx . 0 0 cosx sin x 0 sin xcosx Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 6
第 7 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Đặt t = sin x −cos x dt = (cos x +sin x)dx . 1−t2 t2 = (sin x−cosx)2 =1−2sin xcosx sin xcosx = . 2 Đổi cận: - Khi + thì t → −1; x → 0 Khi x → thì t →1 2 1 dt 0 2 1 2 L = = dt + dt −1 1−t2 −1 1−t2 0 1−t2 2 0 2 B 2 = lim dt + lim dt A→(−1)+ A 1−t2 B→1− 0 1−t2 0 B = lim ( 2 arcsin )t + lim ( 2 arcsin )t A→ −( 1)+ B→1− 0 A − = lim (− 2 arcsin A) + lim ( 2 arcsin B) = − 2 + 2 = 2 A→ −( 1)+ B→1− 2 2 /2 f x( )= cotx 0 Giờ xét cot xdx, với liên tục trên 0, . 0 2 cos x x→0+ 1 x→0+ 1 1 cot x = ~ ~ = , sin x sin x x x1/2 1 1 /2 mà / 2 dx hội tụ (vì = (0,1) cot x dx hội tụ. 0 x1/ 2 2 0 Đổi biến , ta có: t = − x x = −t 2 2 /2 0 /2 /2 cot x dx = cot −t( d )− t = tant dt = tan x d .x 0 /2 2 0 0 /2 1 /2 1 cot xdx = ( tan x + cot x)dx = L = . 0 2 0 2 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 7
第 8 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 2 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: 1 ex −1x a) lim . x→0 x xy4 b) lim (x y, )→(0,0) 4x2 +3y8 Câu 2 (1 điểm). Tính gần đúng nhờ vi phân A = 4,032 +2,022 +5 . x2 Câu 3 (1 điểm). Chứng minh rằng ex 1+ x+ ,x 0 . 2 Câu 4 (1 điểm). Tính thể tích khối tròn xoay khi quay hình giới hạn bởi các đường y = x2 − 4x và y = 0 quanh trục Oy một vòng. Câu 5 (1 điểm). Tính −1 . −4−3x + 1− x2 2 dx Câu 6 (1 điểm). Hàm số f ( )x = x5 + x có hàm ngược là y = g x( ) . Tính g (2) . 2z 2z 5 z 1 Câu 7 (1 điểm). Tính P = + + với z = . x2 y2 y y ( )5 x2 + y2 Câu 8 (1 điểm). Không khí được bơm vào một quả bóng bay hình cầu với tốe độ 200cm / s3 . Tính tốc độ tăng lên của bán kính quả bóng khi bán kính quả bóng bằng 60cm. Câu 9 (1 diểm). Tính 2 tan x dx. 0 Cách giải tham khảo đề số 1 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 8
第 9 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) x − . lim x→ sin x 2y2 ln x b) lim . (x y, )→(1,0) (x−1)2 + y2 Câu 2 (1 điểm). Phương trình x3 + 3x y2 + y5 −5 = 0 xác định hàm ẩn y = y x( ). Tính y (1) . 2x Câu 3 (1 điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arctan ,x 1. 1− x2 Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1+ 2 )x đến x3 . Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x . y = ex +1 Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) tan(2 )dx x . b) + dx . 0 (x +3)(x2 − x +1) Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 x2 + 3 y2 = 4 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra. Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 −(x + y)2 . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 9
第 10 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 3 (Nhóm ngành 1) Câu 1. x − 1 1 . (dạng vô định nên ta dùng L’Hospital) lim = lim = = −1 x→ sin x x→ cos x cos Vậy x − . lim = −1 x→ sin x 2y2 ln x b) Đặt f ( ,x y) = (x−1)2 + y2 2y2 ln1 +) Nếu x =1 và y → 0 thì f ( ,x y) = = 0 → 0 khi y → 0. (1) 02 + y2 +) Nếu x 1 và ( ,x y) → (1, 0) thì: 2y2 ln x ln x 2y2(x−1) lim = lim lim ( ,x y)→(1,0) (x−1)2 + y2 ( ,x y)→(1,0) x−1 ( ,x y)→(1,0) (x−1)2 + y2 x1 x1 x1 Ta có: ln x ln x VCB x −1 lim = lim = lim =1 (x y, )→(1,0) x −1 x→1 x −1 x→1 x −1 2y2 (x −1) 2 | (x −1)y | (x −1)2 + y2 0 = | y | | y | |= y |, mà lim | y |= 0 (x −1)2 + y2 (x −1)2 + y2 (x −1)2 + y2 (x y, )→(1,0) 2y2 (x−1) 2y2 (x −1) lim = 0 theo nguyên lý kẹp lim = 0 (x y, )→(1,0) (x−1)2 + y2 (x 1)2 + y2 (x y, )→(1,0) x1 x1 2y2 ln x lim =1.0 = 0 (2) (x y, )→(1,0) (x −1)2 + y2 x 2y2 ln x Tù̀ (1) và (2) lim = 0 (x y, )→(1,0) (x−1)2 + y2 Câu 2. +) Với x =1 thì 1+3y+ y5 −5=0 y5 +3y = 4 y =1 y(1) =1. Theo bài ra: x3 +3x y x2 ( )+[ ( )]y x 5 −5=0 +) Lấy đạo hàm hai vế theo x, ta có: 3x2 +6xy x( )+3x y2 ( )x +5y( )[ ( )]x y x 4 =0 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 10
第 11 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Thay x =1, ta có: 3+6 (1)y +3y(1)+5y(1)[ (1)]y 4 =03+6+3y(1)+5y(1) =0 ( do y(1) =1) −9 y (1) = 8 Vậy −9 y (1) = 8 Cách giải khác: Đặt F x y( , ) = x3 +3x y2 + y5 −5. −F( ,x y) −(3x2 +6xy) Ta có: y( )x = x = .(*) F ( ,x y) 3x2 +5y4 y Với x =1 thì 1+3y+ y5 −5=0 y5 +3y = 4 y =1 y(1) =1. Thay vào (*), ta có: −(3+ 6) −9 . x =1, y =1 y (1) = = 3+5 8 2 1( − x2 )−2x −( 2 )x 2x2 + 2 (1− x2 )2 (1− x2 )2 2(x2 +1) 2 Câu 3. y = = = = ,x 1. 1+ 2x 2 x4 + 2x2 +1 (x2 +1)2 x2 +1 1− x2 ( )2 1− x2 Vậy 2 . y = ,x 1 x2 +1 x2 x3 ( ) Câu 4. Ta có khai triển Maclaurin: ln(1+ x) = x− + +o x3 . 2 3 Khi x →0 thì 2x→0, thay x bởi 2x, ta có khai triển Maclaurin của y đến cấp 3 là: (2 )x 2 (2 )x 3 ( ) 8 ( ) y = ln(1+2 )x = 2x− + +o (2 )x 3 = 2x−2x2 + x3 +o x3 2 3 3 Vậy khai triển cần tìm là 2 8 3 ( 3 ). y = 2x − 2x + x + o x 3 Câu 5. +) Tập xác định D = Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng. +) Khi x→ +: x L Hospital 1 (Dạng vô định) lim y = lim = lim = 0 x→+ x→+ ex +1 x→+ ex y = 0 là tiệm cận ngang bên phải của đồ thị hàm số. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 11
第 12 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Khi x → − : x a = lim y = lim ex +1 = lim 1 =1 0( vì lim ex = 0) Khi x → − không có tiệm cận x→− x x→− x x→− 0+1 x→− ngang. x xex x b = lim (y −ax) = lim − x = lim = lim ( dạng x→− x→− ex +1 x→− ex +1 x→− 1+e−x L'Hospital = lim 1 = 0 ( do lim e−x = +) x→− −e−x x→− y = x là tiệm cận xiên bên trái của đồ thị hàm số. Vậy đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, và có y = 0 là tiệm cận ngang bên phải, y là tiệm cận xiên bên trái. Câu 6. sin(2 )x −1−2sin(2 )dx x −1d(cos(2 ))x −1 a) tan(2 )dx x = dx = = = ln | cos 2x| +C cos(2 )x 2 cos(2 )x 2 cos(2 )x 2 Vậy −1 tan(2 )dx x = ln | cos 2x | +C. 2 b) + dx A dx ( ) = lim ( ) 0 (x +3) x2 − x +1 A→+ 0 (x +3) x2 − x +1 A 1 1 1 2x −1 7 1 = lim − + dx A→+ 0 13 x +3 26 x2 − x +1 26 1 2 3 x − + 2 4 A 1 ln | x +3 | ln x2 − x +1 7 2 x − = lim − + arctan 2 A→+ 13 26 26 3 3 2 0 ln | A+3 | ln A2 − A+1 7 2A−1 ln 3 7 = lim − + arctan − + A→+ 13 26 13 3 3 13 78 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 12
第 13 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 | A+1|2 7 2A−1 ln 3 7 = lim ln + arctan − + A→+ 26 A2 − A+1 13 3 3 13 78 3 1 7 ln 3 7 14 ln 3 = ln1+ − + = − 26 13 3 2 13 78 3 39 3 13 14 ln 3 Vậy tích phân suy rộng cần tính bằng − . 39 3 13 2 2 3 x 3 y Câu 7. 3 x2 + 3 y2 = 4 + =1 2 2 Tham số hoá đường cong: x t( ) = 8cos3 t (0 t 2) y t( ) = 8sin3 t Do tính đối xứng qua trục Ox và trục Oy , diện tích vật thể cần tính bằng 2 lần diện tích vật thể thu được, khi quay phần ứng với quanh trục Ox. 0 t 2 Diện tícch cần tính là: = 22 /2| ( ) |y t (x t'( ))2 +(y( )t )2 dt = 4 /2 8sin3 t (−24sin cost 2 t)2 +(24 cos sint 2 t)2 dt 0 0 = 768 /2 sin3t sin2 tcos2 t(cos2 t +sin2 t)dt = 768 /2sin4tcos dt t 0 0 768 /2 768 /2 4 5 = 768 sin td(cos )t = sin t = (dvdt) 0 5 5 0 Vậy diện tích cần tính là 768 (dvdt). 5 Câu 8. Tập xác định: D = 2 Tìm điểm dừng: x = −y { x = y = 0 z = 3x2 −2(x+ y) = 0 y2 = x2 3x2 = 0 x 4 z = 3y2 −2(x+ y) = 0 3x2 −2x−2y = 0 x = y x = y = y { 3 3x2 −4x = 0 4 4 M (0, 0) hàm số có 2 điểm dừng là M , và . 1 3 3 2 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 13
第 14 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Ta có: A= z = 6x−2, B = z = −2, C = z = 6y−2 xx xy yy = B2 − AC = 4−(6x−2)(6y−2). 4 4 - Tại điểm M , , ta có = −320 và A= 6 0 1 3 3 đạt cực tiểu tại z ( ) −64 . z x y( , ) M (1,1), = z M = 1 CT 1 27 - Tại điểm M (0, 0). 2 Xét z = z(0+ x,0+ y)− f (0,0) = ( x)3 + ( y)3 − + ( x y)2 Khi x = −y → 0 ta có: =z 0, điều này chứng tỏ z M( )= z M( ), với 2 3 M (x,−y) thuộc lân cận của M hàm số không đạt cực trị tại M 3 2 2 4 4 Vậy hàm số đạt cực trị duy nhất tại một điểm là M , (cực tiểu), giá trị cực tiểu là 1 3 3 ( ) −64 . z = z M = CT 1 27 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 14
第 15 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 4 (Nhóm ngành 1) Câu 1 (2 điểm). Tìm các giới hạn sau: a) 2x− lim . x→ cos x 2 2x3 ln y b) lim . (x y, )→(0,1) x2 +(y −1)2 Câu 2 (1điểm). Phương trình x4 + 4xy3 +3y5 −8 = 0 xác định hàm ẩn y = y x( ). Tính y (1) . 2x Câu 3 (1điểm). Tính đạo hàm của hàm số y = arcsin ,x 1. 1+ x2 Câu 4 (1 điểm). Tìm khai triển Maclaurin của y = ln(1−3 )x đến x3 . Câu 5 (1 điểm). Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số x . y = 2ex +1 Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: a) cot(3 )x dx . b) + dx 0 (x + 4)(x2 + x +1) Câu 7 (1 điểm). Quay đường 3 x2 + 3 y2 = 9 quanh trục Ox một vòng. Tính diện tích mặt tròn xoay được sinh ra. Câu 8 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số z = x3 + y3 + (x + y)2 . Cách giải tham khảo đề số 3 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 15
第 16 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2 1 Câu 1 (1 điểm). Tìm giới hạn lim − . x→0 e2x −1 x Câu 2 (1 điểm). Cho hàm số xác định bởi x = t +t3 . Tính . y = f ( )x f ( ),x f ( )x y = 2t2 +3t4 Câu 3 (1 điểm). Tìm cực trị của hàm số y = 3 x x( −3)2 . 2 2 Câu 4 (1 điểm). Chứng minh rằng vói mọi x 0, ta có ln 1 + . x 2+ x Câu 5 (1 điểm). Tìm giới hạn 16 + 26 ++ n6 . lim n→ n7 Câu 6 (2 điểm). Tính các tích phân sau: sin3 xdx a) . sin x+cos x b) 3 arccot 3− x dx . 2 Câu 7 (1 điểm). Tính tích phân suy rộng + dx . 1 x(3x4 −2) Câu 8 (1 điểm). Tính diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x2 + (y − 2)2 =1 quanh trục Ox . Câu 9 (1 điểm). Cho hàm số: x arctan 3 ,x x 0 f ( )x = ae3x +bsin x, x 0 Tìm a và b để hàm số f ( )x khả vi tại x =0. Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 16
第 17 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST ĐÁP ÁN ĐỀ CUỐI KỲ GIẢI TÍCH 1 20191 – ĐỀ 5 (Nhóm ngành 2) 2 1 2x−e2x +1 Câu 1. L = lim − = lim ( ) x→0 e2x −1 x x→0 e2x −1 x Dùng VCB: (e2x −1)x→0 ~ 2x cho mẫu số, ta có: VCB 2x−e2x +1 L = lim (dạng 0 ) x→0 2x x 0 L Hospital 2−2e2x L Hospital −4e2x −4e0 = lim (dạng 0 ) = lim = = −1. x→0 4x 0 x→0 4 4 Vậy giới hạn cần tính bằng −1. Cách giải 2: Dùng khai triển Maclaurin: (2 )x 2 ( ) ( ) 2x −2x + +o x2 2x − e2x −1 2! L = lim = lim (Khai triển Maclaurin) x→0 (e2x −1)x x→0 2x x −2x2 −o x( 2 ) −2x2 = lim = lim = −1. x→0 2x2 x→0 2x2 Câu 2. x = x t( ) Ta có công thức: Với Xác định hàm y = f ( )x y = y t( ) y t( ) y( )t x t( )− y t x( ) ( )t f ( )x = và f ( )x = . x t( ) x t( )3 Áp dụng công thức trên ta có: dy y t( ) 4t +12t3 f ( )x = = = = 4 .t dx x t( ) 1+3t2 d2 y d dy d 1 d 1 4 f ( )x = = = (4 )t = (4 )t = 4 = . dx2 dx dx x t( )dt x t( ) dt 1+3t2 1+3t2 Câu 3. +) Tập xác định: D= . Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 17
第 18 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST +) Sự biến thiên: (x x( −3)2 ) (x−3)2 +2(x−3)x x−3+2x y = = = ,x 0,x 3. 3 (x x( −3)2 )2 3 x2 (x−3)4 3 x2 (x−3) $ x−3+2x y = 0 = 0 x =1. 3 x2 (x−3) Lập bảng biến thiên: Dựa vào bàng biến thiên, ta kết luận hàm số có 2 điểm cực trị: - Hàm số đạt cực đại tại điểm x =1, y = y(1) = 3 4 . CD - Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x =3, y = y(3) =0. CT Câu 4. Xét hàm số 2 2 trên f ( )x = ln(1+ ) − (0,+ ) x 2+ x x + 2 2 2 do f ( )x = ln − = ln(x + 2) −ln x − ( x 0) x 2+ x 2+ x 1 1 2 (x+2)x−(x+2)2 +2x −4 f ( )x = − + = = 0,x 0. x+2 x (x+2)2 x x( +2)2 x(2+ x)2 2 2 lim f ( )x = lim ln 1 + − = + x→0+ x→0+ x 2+ x 2 2 lim f ( )x = lim ln 1 + − = ln(1+0)−0 = 0 x→+ x→+ x 2+ x Ta có bảng biến thiên: Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 18
第 19 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST Từ bảng biến thiên, suy ra: f ( )x 0,x 0 2 2 ln 1 + − 0,x 0 x 2+ x 2 2 ln 1 + ,x 0(đpcm) x 2+ x Câu 5. 16 +26 ++n6 1 16 +26 ++ n6 1 1 6 2 6 n 6 L = lim = lim = lim + ++ n→ n7 n→ n n6 n→ n n n n 1 n k 6 =lim n→ n k=1 n = 1 f ( )d ,x x trong đó f ( )x = x6 hàm liên tục, khả tích trên [0,1]. 0 x7 1 1 = 1 x6 dx = = . 0 7 7 0 Vậy giới hạn cần tính bằng 1 . 7 Câu 6. Giải: sin x +cos x = 2 sin x + . Đặt t = x+ x = t − dx = dt . Tích phân cần tính trở 4 4 4 thành: 3 1 1 3 sint − sint − cost 4 2 2 I = dt = dt 2 sint 2 sint 1 sin3 t −3sin2 tcost +3sin cost 2 t −cos3 t 1 cos3 t = dt = sin2 t −3sin cost t +3cos2 t − dt 4 sint 4 sint 1 1 1 3 3 3 cost ( ) = − cos 2t− sin 2t + + cos 2t− 1−sin2 t dt 4 2 2 2 2 2 sint 1 3 cost = 2+cos 2t − sin 2t − +cos sint tdt 4 2 sint Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 19
第 20 页
Bộ đề thi cuối kỳ môn Giải tích 1 - HUST 1 cost 1 1 1 = 2+cos 2t −sin 2t − dt = 2t + sin 2t + cos 2t −ln | sint |+C 4 sint 2 2 2 2 Thay t = x + 4 sin3 xdx 1 1 1 = 2x + + sin2x + + cos2x + −ln sin x + +C sin x +cos x 4 2 2 2 2 2 4 x cos(2 )x −sin(2 )x 1 = + − ln sin x+ +C 2 8 4 4 1 b) Xét nguyên hàm arccot 3− x dx = arccot 3− x d(x−4) = (x−4)arccot 3− x −(x−4) d(arccot 3− x) −1 −1 = (x−4) arccot 3− x − (x−4) dx 1+( 3− x)2 2 3− x −1 = (x−4) arccot 3− x − dx = (x−4) arccot 3− x − 3− x +C. 2 3− x 3 3 − − arccot 3− x dx =[(x−4) arccot 3− x − 3− x] = − −1 =1 2 2 2 2 Câu 7. 1 là hàm dương và liên tục trên . f ( )x = ( ) [1,+) x 3x4 −2 + dx là tích phần suy rộng loại 1 với điểm bất thường + ( ) 1 x 3x4 −2 1 x→+ 1 1 , mà + 1 hội tụ ( ) ~ = dx (do = 5 1) x 3x4 −2 x3x4 3x5 1 3x5 + dx hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh. ( ) 1 x 3x4 −2 Câu 8. Tham số hoá đường tròn x2 +(y−2)2 =1: x = cost (0 t 2). y = 2+sint Diện tích mặt tròn xoay tạo bởi đường tròn x2 +(y−2)2 =1 quanh trục Ox là: = 22 | ( ) |y t (x t( ))2 +(y t( ))2 dt = 22 |2+sint | (−sin )t 2 +(cos ) dt 2 t 0 0 Tài liệu được chia sẻ miễn phí tại website Tailieuhust.com 20
评论 (0)
暂无评论。快来抢沙发吧！