➗cách chia

Định nghĩa. Cách chia là phép toán tổ hợp xác định số phương án chia $n$ phần tử vào $k$ nhóm (có phân biệt hoặc không phân biệt nhóm, phần tử giống nhau hay khác nhau).

Hiểu bằng hình ảnh. Chia 10 viên kẹo cho 3 bạn nhỏ là bài toán đếm số cách chia tổ hợp kinh điển trong chương trình phổ thông.

Các công thức cách chia kinh điển

• Chia $n$ phần tử khác nhau thành các nhóm có số lượng quy định $n_1, n_2, n_3$: $N = \dfrac{n!}{n_1! n_2! n_3!}$
• Chia $n$ vật giống nhau cho $k$ người sao cho ai cũng có ít nhất 1 vật (Bài toán chia kẹo Euler): $N = C_{n-1}^{k-1}$
• Chia $n$ vật giống nhau cho $k$ người tùy ý: $N = C_{n+k-1}^{k-1}$

Ví dụ giải từng bước. Có 10 viên kẹo giống nhau chia cho 3 em bé sao cho em nào cũng có ít nhất 1 viên kẹo. Hỏi có bao nhiêu cách chia?

• Bước 1: Áp dụng bài toán chia kẹo Euler với $n = 10, k = 3$.
• Bước 2: Số cách chia là $C_{10-1}^{3-1} = C_9^2$.
• Bước 3: Tính $C_9^2 = \dfrac{9 \times 8}{2} = 36$ cách chia.

Cách nhận biết. Đề bài có từ khóa "có bao nhiêu cách chia", "phân chia thành các nhóm".

Lỗi hay gặp:

• Nhầm lẫn giữa các vật giống nhau (dùng công thức vách ngăn) và các vật khác nhau (dùng tổ hợp/chỉnh hợp).