Trang 1
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Niên khóa 2011-2013 Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc C H Ƣ Ơ N G 3 XÁC SUẤT VÀ NHỮNG PHÂN PHỐI XÁC SUẤT RỜI RẠC Về chƣơng này: Mục tiêu của chƣơng này là đặt nền tảng cho sự suy luận thống kê. Chúng ta sẽ giới thiệu một số khái niệm cơ bản về xác suất, và sau đó sẽ trình bày một số mô hình để tính toán xác suất của các kết quả của mẫu. ● William Mendenhall et al. 1 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 2
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc NGHIÊN CỨU TÌNH HUỐNG NHỮNG NGƢỜI SINH TRONG THỜI KỲ BÙNG NỔ SINH ĐẺ SẼ TỪ BỎ CÁC CỬA HÀNG BÁCH HÓA? Có phải hầu hết việc mua sắm của anh/chị đƣợc thực hiện ở các cửa hàng bách hóa, hay có phải anh/chị tiêu xài những đô la mua sắm của mình tại một số các cửa hàng đặc sản chọn lọc? Nghiên cứu cho thấy rằng những ngƣời trung niên là những khách hàng tốt nhất của các cửa hàng bách hóa. Các nhà quản lý cửa hàng bách hóa đang hy vọng doanh thu bán hàng chậm sẽ đƣợc đẩy nhanh khi thế hệ bùng nổ sinh đẻ bƣớc vào tuổi trung niên. Trong bài báo nhan đề “Có phải những ngƣời sinh trong thời kỳ bùng nổ sinh đẻ sẽ từ bỏ các cửa hàng bách hóa?” (Schwartz, 1990), tác giả xem xét vấn đề này dƣới ánh sáng của một nghiên cứu của Marvin J. Rothenberg, Inc., một công ty tƣ vấn đặt trụ sở ở Fair Lawn, New Jersey. Các nhà nghiên cứu tại công ty Rothenberg đã phỏng vấn 60.000 khách hàng thƣờng xuyên của các cửa hàng bách hóa thân chủ của họ trong giai đoạn từ 1988 đến 1990. Những cửa hàng này đƣợc sắp xếp theo quy mô từ nhỏ đến lớn và tọa lạc khắp các bang “từ New York ở miền Đông sang California ở miền Tây, và từ Wisconsin ở miền Bắc đến Louisiana ở Miền Nam.” Theo báo cáo của Rothenberg, “các cửa hàng bách hóa chiếm lĩnh một tỷ trọng lớn hơn trong số đô la mua lẻ đƣợc chi tiêu bởi những khách hàng già hơn của chúng, so với tỷ trọng chúng chiếm lĩnh từ những khách hàng trẻ hơn.” Tuy nhiên, khi thế hệ bùng nổ sinh đẻ bƣớc vào trung niên, thì mối quan ngại là những số lƣợng của họ có thể không tự động chuyển thành doanh thu bán hàng tăng cho các cửa hàng bách hóa. Mặc dù những ngƣời già hơn chi tiêu một tỷ lệ lớn hơn trong số đô la mua lẻ của mình ở các cửa hàng bách hóa, nhƣng họ chi tiêu ít hơn những ngƣời tƣơng ứng trẻ hơn của họ. Phân phối của tỷ trọng chi tiêu mua lẻ phân theo các khách hàng của cửa hàng bách hóa (dựa trên 60.000 khách hàng đã đƣợc lấy mẫu) đƣợc tóm lƣợc trong Bảng 3.1. Bảng 3.1 Số tiền được Chi tiêu Chi tiêu Mua lẻ Độ tuổi Tỷ trọng Chi tiêu Tỷ trọng Doanh thu Hàng tháng bình quân Mua lẻ Bán hàng mỗi Khách hàng 18−24 0,22 0,15 50$ 25−34 0,24 0,27 108 35−44 0,26 0,25 126 45−54 0,28 0,16 116 55−64 0,28 0,12 89 65 và già hơn 0,39 0,05 53 Nguồn: Marvin J. Rothenberg, Inc., Fair Lawn, N.J. Trong chƣơng này, anh/chị sẽ đƣợc giới thiệu về vai trò của xác suất trong thống kê. Về đề tài này, anh/chị sẽ phát hiện rằng những cuộc thăm dò dƣ luận và những nghiên cứu đều tạo ra các biến ngẫu nhiên. Gọi là biến ngẫu nhiên bởi vì các giá trị của chúng biến đổi từ mẫu này sang mẫu khác, và chúng rất thƣờng biến đổi và thay đổi theo thời gian. Các Mục 3.1 đến 3.5 trình bày phần giới thiệu tuy ngắn gọn nhƣng có hệ thống về William Mendenhall et al. 2 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 3
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc các khái niệm căn bản của xác suất. Mục 3.6 bàn về những biến ngẫu nhiên và các phân phối xác suất của chúng. Chúng ta sẽ tiếp tục thảo luận về tỷ trọng của các cửa hàng bách hóa trong chi tiêu mua lẻ và thế hệ bùng nổ sinh đẻ trong Mục 3.7. (trong nguyên bản tiếng Anh) 3.1 Vai trò của Xác suất trong Thống kê Xác suất và thống kê liên quan với nhau về một khía cạnh quan trọng. Xác suất là công cụ cho phép nhà thống kê sử dụng thông tin của một mẫu để đưa ra những suy luận về, hay để mô tả, tổng thể mà từ đó mẫu này được lấy ra. Chúng ta có thể minh họa mối quan hệ này bằng một thí dụ đơn giản sau đây. Hãy xét một con súc sắc cân bằng, với sáu mặt quen thuộc của nó. Khi con súc sắc đƣợc thảy ra, bất kỳ mặt nào trong sáu mặt đều có khả năng ngang nhau trở thành mặt trên. Nếu mà chúng ta thảy con súc sắc này lặp đi lặp lại nhiều lần, thì chúng ta sẽ tạo ra một tổng thể các số, trong đó mặt trên, x, sẽ là 1, 2, 3, 4, 5, hay 6. Tổng thể này trông ra sao? Mặc dù nó sẽ lớn vô hạn, nhƣng chúng ta vẫn có thể nói nó sẽ gồm có một số lƣợng bằng nhau của các mặt 1, 2, …, 6. Bây giờ chúng ta hãy thảy con súc sắc này một lần và quan sát giá trị của x. Điều này tƣơng đƣơng với việc lấy một mẫu có cỡ n = 1 từ tổng thể. Xác suất để x = 2 là bao nhiêu? Do biết đƣợc cấu trúc của tổng thể, nên chúng ta biết rằng mỗi trong sáu giá trị của x đều có khả năng xảy ra bằng nhau, do đó xác suất để x = 2 là 1/6. Đây là một ứng dụng đơn giản của xác suất. Khi tổng thể đƣợc biết, thì chúng ta có thể tính xác suất của việc quan sát đƣợc một mẫu nào đó. Bây giờ giả sử tổng thể là chưa biết. Nghĩa là, chúng ta không biết liệu con súc sắc có cân bằng hay không. Tổng thể vẫn gồm có các mặt 1, 2, 3, …, 6, nhƣng chúng ta không biết chúng xảy ra theo tỷ lệ nào! Để cố gắng tìm ra điều đó, chúng ta thảy con súc sắc n = 10 lần và ghi nhận mặt trên, x, sau mỗi lần thảy. Điều này tƣơng đƣơng với việc lấy một mẫu có cỡ n = 10 từ tổng thể. Giả sử rằng, trong mỗi lần thảy, mặt trên hóa ra đều là x =1. Anh/Chị sẽ suy luận gì về tổng thể? Anh/Chị có cho là con súc sắc này cân bằng không? Có lẽ không, bởi vì, nếu nhƣ con súc sắc này cân bằng, thì khả năng quan sát một con số “1” mƣời lần liên tiếp sẽ rất thấp. Hoặc là chúng ta đã quan sát đƣợc biến cố rất không chắc xảy ra này, hoặc là con súc sắc này không cân bằng. Chúng ta có thể nghiêng về kết luận thứ hai (con súc sắc không cân bằng), bởi vì nó có khả năng xảy ra (probable) hơn trong hai chọn lựa đó. Thí dụ này cho thấy mối quan hệ giữa xác suất và thống kê. Khi tổng thể đƣợc biết, thì xác suất đƣợc sử dụng để mô tả khả năng xảy ra của các kết quả khác nhau của mẫu. Khi tổng thể là chưa biết và chúng ta chỉ có một mẫu, thì chúng ta có bài toán thống kê, đó là cố gắng đƣa ra những suy luận về tổng thể chƣa biết. Xác suất là công cụ chúng ta sử dụng để đƣa ra những suy luận này. Như thế xác suất suy luận từ tổng thể đến mẫu, trong khi đó thống kê hành động ngược lại, đi từ mẫu đến tổng thể. Nhƣ chúng ta giải thích ngôn ngữ xác suất, chúng ta sẽ giả định tổng thể đƣợc biết và sẽ tính xác suất của việc rút những mẫu khác nhau. Khi làm thế, chúng ta thật sự đang chọn một mô hình (model) cho một tình trạng vật thể, bởi vì thành phần thật sự của một tổng thể hiếm khi đƣợc biết trong thực tiễn. Nhƣ thế, nhà xác suất học lập mô hình cho một tình trạng vật thể (tổng thể) bằng xác suất rất giống nhà điêu khắc tạc tƣợng bằng đất sét. Trong những mục sau đây, chúng tôi sẽ sử dụng những thí dụ đơn giản để giúp anh/chị nắm vững khái niệm xác suất. Những ứng dụng thực tế sẽ đƣợc trình bày tiếp theo những thí dụ đơn giản này. William Mendenhall et al. 3 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 4
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc 3.2 Xác suất của một Biến cố Dữ liệu đƣợc thu nhận bằng cách quan sát những biến cố không đƣợc kiểm soát trong thiên nhiên hoặc bằng cách quan sát những tình trạng đƣợc kiểm soát trong phòng thí nghiệm. Chúng ta sẽ dùng thuật ngữ thí nghiệm (experiment) để mô tả cả hai phƣơng pháp thu thập dữ liệu nói trên. ĐỊNH NGHĨA Một thí nghiệm là một quy trình qua đó một quan sát (hay một giá trị đo lƣờng) đƣợc thu nhận. Lƣu ý rằng quan sát không nhất thiết mang lại một giá trị bằng số. Đây là một số thí dụ điển hình về các thí nghiệm. 1 Ghi sản lƣợng hàng ngày của một nhà máy chế tạo. 2 Ghi tỷ giá hối đoái giữa đô la Mỹ và đồng bảng Anh. 3 Phỏng vấn một ngƣời tiêu dùng để xác định sự ƣa thích sản phẩm trong số một nhóm gồm mƣời loại xe hơi. 4 Kiểm tra một bóng đèn để xác định xem liệu nó là một sản phẩm có khuyết tật hay chấp nhận đƣợc. 5 Tung một đồng xu và quan sát mặt xuất hiện. Các thí nghiệm có thể dẫn đến một kết quả hay nhiều hơn đƣợc gọi là biến cố (events) và đƣợc ký hiệu bằng chữ hoa. ĐỊNH NGHĨA Một biến cố (event) là kết quả của một thí nghiệm. THÍ DỤ 3.1 Thí nghiệm: Hãy thảy một con súc sắc và quan sát con số xuất hiện ở mặt trên. Một số biến cố sẽ nhƣ sau: biến cố A : quan sát đƣợc một số lẻ biến cố B : quan sát đƣợc một số nhỏ hơn 4 biến cố E1 : quan sát đƣợc số 1 biến cố E2 : quan sát đƣợc số 2 biến cố E3 : quan sát đƣợc số 3 biến cố E4 : quan sát đƣợc số 4 biến cố E5 : quan sát đƣợc số 5 biến cố E6 : quan sát đƣợc số 6 Trong thí dụ 3.1, có sự khác biệt rõ ràng giữa các biến cố A và B với các biến cố E1, E2, E3, E4, E5, và E6. Biến cố A sẽ xảy ra nếu biến cố E1, E3, hay E5, xảy ra―nghĩa là, nếu chúng ta quan sát đƣợc số 1, 3, hay 5. Nhƣ thế A có thể đƣợc chia tách thành một tập hợp William Mendenhall et al. 4 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 5
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc các biến cố đơn giản hơn, đó là E1, E3, và E5. Tƣơng tự, biến cố B sẽ xảy ra nếu E1, E2, hay E3 xảy ra và có thể đƣợc xem là một tập hợp các biến cố nhỏ hơn hoặc đơn giản hơn. Ngƣợc lại, không thể chia tách các biến cố E1, E2, E3, …, E6. Những biến cố này đƣợc gọi là biến cố đơn (simple event). ĐỊNH NGHĨA Một biến cố mà không thể chia tách đƣợc thì đƣợc gọi là một biến cố đơn. Các biến cố đơn sẽ đƣợc biểu thị bằng ký hiệu E với một chỉ số dƣới dòng. Các biến cố E1, E2, …, E6 là một danh sách hoàn chỉnh tất cả các biến cố đơn gắn liền với thí nghiệm trong Thí dụ 3.1. Một thí nghiệm sẽ dẫn đến một và chỉ một trong những biến cố đơn đó. Chẳng hạn nhƣ, nếu thảy một con súc sắc, thì chúng ta sẽ quan sát đƣợc một con số 1, 2, 3, 4, 5, hay 6, nhƣng mà chúng ta hẳn nhiên không thể quan sát đƣợc hơn một trong những biến cố đơn này cùng một lúc. Nhƣ thế, danh sách các biến cố đơn cung cấp một bản phân tích thống kê về tất cả các kết quả không thể chia tách có thể có của thí nghiệm này. ĐỊNH NGHĨA Không gian mẫu S (sample space) là tập hợp tất cả các kết quả có thể có của một thí nghiệm. Cuối cùng, chúng ta có thể định nghĩa các kết quả của một thí nghiệm theo các biến cố đơn gắn liền với nó. ĐỊNH NGHĨA Một biến cố là một tập hợp của một hay nhiều hơn một biến cố đơn Xác suất của một biến cố A là một thƣớc đo về sự tin tƣởng của chúng ta rằng một thí nghiệm sẽ dẫn đến biến cố A. Để gắn ý nghĩa cho khái niệm này, chúng ta lƣu ý rằng các tổng thể và các quan sát đƣợc tạo ra bằng cách lặp đi lặp lại một thí nghiệm rất nhiều lần. Nếu trong số N rất lớn những lần lặp đi lặp lại thí nghiệm này mà biến cố A đƣợc quan sát n lần, thì chúng ta xem xác suất của biến cố A là n P(A) N Thực ra, P(A) là giá trị giới hạn của phân số n/N khi N trở nên lớn vô hạn. Cách diễn giải thực tế này về ý nghĩa của xác suất − đây là cách diễn giải của hầu hết những ngƣời không chuyên môn − đƣợc gọi là khái niệm tần suất tương đối về xác suất (relative frequency concept of probability). Không cần phải nói là việc lặp đi lặp lại một thí nghiệm rất nhiều lần sẽ rất tốn thời gian. Vì lý do này, chúng ta sẽ sử dụng những phƣơng pháp thay thế khác nhau để tính toán xác suất mà phù hợp với khái niệm tần suất tƣơng đối này. Thí dụ, định nghĩa về xác suất dựa trên tần suất tƣơng đối hàm ý rằng P(A) phải là một phân số nằm trong khoảng từ 0 đến 1, bao gồm cả 0 và 1, với P(A) = 0 nếu biến cố A không bao giờ xảy ra và P(A) = 1 nếu A luôn luôn xảy ra. Vì thế, P(A) càng gần với số 1, thì A càng có khả năng sẽ xảy ra. Một số biến cố A và B có đặc tính độc đáo là khi biến cố này xảy ra thì biến cố kia không thể xảy ra (và ngƣợc lại). Các biến cố có đặc tính này thì đƣợc gọi là loại trừ lẫn nhau (mutually exclusive). Thí dụ, giả sử một thí nghiệm là quan sát hành động trong tháng tiếp theo của Hội đồng Thống đốc của Hệ thống Dự trữ Liên bang (Hoa Kỳ) đối với lãi suất cơ bản. Định rõ các biến cố sau đây: William Mendenhall et al. 5 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 6
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc A : lãi suất cơ bản đƣợc tăng lên. B : lãi suất cơ bản đƣợc hạ xuống. C : lãi suất cơ bản không thay đổi. Nhƣ thế, các biến cố A và B là các biến cố loại trừ lẫn nhau, bởi vì một thí nghiệm duy nhất không thể dẫn đến cả A lẫn B. Nếu việc công bố tiếp theo về chính sách lãi suất cơ bản dẫn đến A, thì B không thể đồng thời xảy ra. Nếu lãi suất cơ bản đã đƣợc tăng lên, thì nó không có thể đã đƣợc hạ xuống đồng thời. Các biến cố A, B, và C cũng đƣợc gọi là các biến cố loại trừ lẫn nhau. Nếu bất cứ một biến cố nào trong nhóm này đƣợc quan sát, thì không biến cố nào trong cả hai biến cố còn lại có thể đã xảy ra. ĐỊNH NGHĨA Hai biến cố A và B đƣợc gọi là loại trừ lẫn nhau nếu nhƣ khi A xảy ra thì B không thể xảy ra (và ngƣợc lại). Các biến cố đơn có tính loại trừ lẫn nhau, và vì thế cho nên xác suất gắn liền với các biến cố đơn thỏa mãn những điều kiện sau đây. Yêu cầu đối với các Xác suất của Biến cố-Đơn 1. Mỗi xác suất phải nằm trong khoảng từ 0 đến 1, bao gồm cả 0 và 1. 2. Tổng số của các xác suất đối với tất cả các biến cố đơn trong S bằng 1. Khi có thể viết ra các biến cố đơn gắn liền với một thí nghiệm và đánh giá các xác suất riêng của chúng, thì chúng ta có thể tìm xác suất của biến cố A bằng cách cộng các xác suất đối với các biến cố đơn chứa đựng trong biến cố A. ĐỊNH NGHĨA Xác suất của biến cố A bằng tổng các xác suất của những biến cố đơn chứa đựng trong A. THÍ DỤ 3.2 Sử dụng phƣơng pháp biến cố đơn, hãy tính xác suất của việc quan sát chính xác một mặt ngửa trong một lần tung hai đồng xu. Lời giải Hãy xây dựng không gian mẫu và cho H biểu thị mặt ngửa và T biểu thị mặt sấp. Các kết quả gắn liền với thí nghiệm này có thể đƣợc trình bày bằng cách dùng một giản đồ hình cây (tree diagram). Trong một giản đồ hình cây, mỗi cấp phân nhánh kế tiếp tƣơng ứng với bƣớc kế tiếp cần phải có để tạo ra các kết quả có thể có của thí nghiệm. Giản đồ hình cây đƣợc trình bày trong Hình 3.1. Các biến cố đơn đƣợc tạo ra thì đƣợc trình bày ở cột cuối cùng của Hình 3.1 và trong Bảng 3.2. BẢNG 3.2 Đồng xu Đồng xu Không gian Biến cố Thứ nhất Thứ hai P(Ei) mẫu đối với E1 H H 1/4 Thí dụ 3.2 E2 H T 1/4 E3 T H 1/4 E4 T T 1/4 William Mendenhall et al. 6 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 7
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc HÌNH 3.1 Giản đồ hình cây đối với Thí dụ 3.2 Đồng xu Đồng xu Kết quả Thứ nhất Thứ hai Mặt ngửa E1 = HH Mặt ngửa Mặt sấp E2 = HT Mặt ngửa E3 = TH Mặt sấp Mặt sấp E4 = TT Không gian mẫu S đối với thí nghiệm này có chứa bốn biến cố đơn đƣợc liệt kê trong Bảng 3.2. Bởi vì, một giả định hợp lý là, bất kỳ biến cố đơn nào trong các biến cố đơn này đều có khả năng xảy ra nhƣ bất kỳ biến cố đơn nào khác, nên chúng ta ấn định xác suất là 1/4 cho mỗi biến cố đơn này. Chúng ta quan tâm đến biến cố A: quan sát đƣợc chính xác một mặt ngửa Biến cố A sẽ xảy ra nếu và chỉ nếu E2 hoặc E3 xảy ra. Vì thế cho nên, P(A) P(E ) P(E ) 2 3 1 1 4 4 1 2 THÍ DỤ 3.3 Căn cứ vào quan sát của chúng ta về hành động của Hội đồng Thống đốc của Hệ thống Dự trữ Liên bang đối với lãi suất cơ bản, và định rõ các biến cố A, B, và C nhƣ sau: A : lãi suất cơ bản đƣợc tăng lên. B : lãi suất cơ bản đƣợc giảm xuống. C : lãi suất cơ bản không thay đổi. Giả sử chúng ta biết rằng P(A) = 0,2 và P(B) = 0,3. Hãy tìm P(C). William Mendenhall et al. 7 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 8
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc Lời giải Bằng việc xem xét A, B, và C, chúng ta có thể thấy thí nghiệm này có thể dẫn đến một và chỉ một trong ba biến cố loại trừ lẫn nhau này. Do đó, A, B, và C là những biến cố đơn biểu hiện không gian mẫu S cho thí nghiệm này, và P(A) P(B) P(C) 1 Thay thế các giá trị của P(A) và P(B) vào phƣơng trình này sẽ cho ra 0,20,3 P(C) 1 Giải để tìm P(C), chúng ta có P(C) 10,30,2 0,5 Những Lời Gợi ý về Giải Bài toán Việc tính toán xác suất của một biến cố: phƣơng pháp biến cố đơn. Hãy sử dụng các bƣớc sau đây để tính xác suất của một biến cố bằng cách cộng các xác suất của các biến cố đơn 1 Định rõ thí nghiệm 2 Nhận dạng một biến cố đơn tiêu biểu. Liệt kê những biến cố đơn gắn liền với thí nghiệm, và kiểm định mỗi biến cố đơn để nắm chắc rằng nó không thể chia tách đƣợc. Điều này định rõ không gian mẫu S. 3 Ấn định các xác suất hợp lý cho các biến cố đơn trong S, nắm chắc rằng mỗi xác suất đều nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (bao gồm cả 0 và 1) và tổng số các xác suất của các biến cố đơn bằng 1. 4 Định rõ các biến cố đƣợc quan tâm A nhƣ là một tập hợp cụ thể các biến cố đơn. (Một biến cố đơn ở trong A nếu A xảy ra khi biến cố đơn này xảy ra. Hãy kiểm định tất cả các biến cố đơn trong S để xác định những biến cố đơn nào ở trong A). 5 Tìm P(A) bằng cách cộng các xác suất của các biến cố đơn trong A. Khi các biến cố đơn có khả năng xảy ra ngang nhau, hãy lấy tổng số các xác suất của các biến cố đơn trong A (bƣớc 5) bằng cách đếm những điểm trong A và nhân với xác suất của mỗi biến cố đơn. Việc tính toán xác suất của một biến cố bằng cách dùng thủ tục gồm năm bƣớc đƣợc mô tả ở trên là có hệ thống và sẽ dẫn đến lời giải đúng, nếu tất cả các bƣớc đƣợc theo đúng. Những nguồn sai số chính bao gồm những điều sau đây: 1 Việc không định rõ thí nghiệm (bƣớc 1). 2 Việc không nêu rõ các biến cố đơn (bƣớc 2). 3 Việc không liệt kê tất cả các biến cố đơn (bƣớc 2). 4 Việc không ấn định các xác suất hợp lệ cho các biến cố đơn (bƣớc 3). William Mendenhall et al. 8 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 9
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc Bài tập Các kỹ thuật căn bản 3.1 Một thí nghiệm liên quan đến việc thảy một con súc sắc. Hãy nêu rõ các biến cố đơn trong những biến cố sau đây: A : quan sát đƣợc số 2 B : quan sát đƣợc một số lẻ C : quan sát đƣợc một số nhỏ hơn 4 D : quan sát đƣợc cả A và B E : quan sát đƣợc A hoặc B hoặc cả hai F : quan sát đƣợc cả A và C. Hãy tính xác suất của các biến cố từ A đến F bằng cách cộng các xác suất của những biến cố đơn thích hợp. 3.2 Một thí nghiệm có thể dẫn đến một trong bốn biến cố đơn, với P(E ) 0,1 P(E ) 0,15 P(E ) 0,6 P(E ) 0,15 1 2 3 4 Hãy giải thích tại sao việc ấn định các xác suất này cho những biến cố đơn là hợp lý hay là không hợp lý. 3.3 Một thí nghiệm có thể dẫn đến một trong năm biến cố, E ,E ,E ,E ,và E5. Nếu 1 2 3 4 PE P(E ) P(E ) P(E ) 0,15, hãy tìm P(E ). 1 2 3 4 5 3.4 Một không gian mẫu có chứa năm biến cố đơn E ,E ,E ,E , và E5. Nếu P(E3) = 0,4, 1 2 3 4 P(E4) = 2P(E5), và P(E1) = P(E2) = 0,15, hãy tìm các xác suất của E4 và E5. 3.5 Một không gian mẫu có chứa mƣời biến cố đơn, E1, E2, …, E10. Nếu P(E1) = 3P(E2) = 0,45, với những biến cố đơn còn lại có khả năng xảy ra ngang nhau, hãy tìm xác suất của những biến cố đơn còn lại này. 3.6 Trò chơi ru-lét sử dụng một vòng ru-lét có 38 ngăn. Ba mƣơi sáu ngăn đƣợc đánh số 1, 2, …, 36, và hai ngăn còn lại đƣợc đánh dấu 0 và 00. Vòng ru-lét đƣợc quay tròn và một trong những ngăn này đƣợc xác định là “ngƣời thắng cuộc.” (Quả cầu nhỏ dừng lại ở ngăn nào thì ngƣời dự đoán đúng ngăn đó sẽ thắng). Giả định rằng việc quan sát bất kỳ ngăn nào cũng có khả năng xảy ra nhƣ bất kỳ ngăn nào khác. a Hãy xác định các biến cố đơn trong một lần quay vòng ru-lét. b Hãy ấn định xác suất cho các biến cố đơn này. c Cho A là biến cố anh/chị quan sát đƣợc 0 hoặc 00. Hãy liệt kê các biến cố đơn trong biến cố A , và hày tìm P(A). d Giả định anh/chị đánh cƣợc vào các số 1 đến 18. Xác suất để một trong các con số của anh/chị sẽ thành ngƣời thắng cuộc là bao nhiêu? Ứng dụng 3.7 Một công ty thăm dò dầu mỏ khoan trúng dầu hoặc khí trong 10% những giếng khoan của mình. Nếu công ty này khoan hai giếng, thì bốn biến cố đơn có thể xảy ra và ba trong các xác suất liên quan của chúng đƣợc trình bày trong bảng dƣới đây: William Mendenhall et al. 9 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 10
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc Kết quả của Kết quả của Biến cố Giếng khoan Giếng khoan Đơn Thứ nhất Thứ hai Xác suất 1 Trúng (dầu hay khí) Trúng (dầu hay khí) 0,01 2 Trúng Không trúng ? 3 Không trúng Trúng 0,09 4 Không trúng Không trúng 0,81 a Hãy xây dựng một giản đồ hình cây để biểu thị thí nghiệm này. b Hãy tìm xác suất để công ty này sẽ khoan trúng dầu hay khí trong giếng khoan thứ nhất và không trúng trong giếng khoan thứ hai. c Hãy tìm xác suất để công ty này sẽ khoan trúng dầu hay khí trong ít nhất là một trong hai giếng khoan này. 3.8 Một cuộc điều tra tiếp thị cho một cửa hàng bách hóa lớn đã phân loại khách hàng của cửa hàng này dựa theo việc liệu họ là nam hay nữ và dựa theo nơi cƣ trú của họ, vùng ngoại ô hay thành phố. Các tỷ lệ của khách hàng rơi vào bốn loại đó đƣợc trình bày trong bảng xác suất sau đây. Mỗi số liệu trong bảng này thể hiện một kết quả có thể có của thí nghiệm này (một biến cố đon). Giới tính Nơi cư trú Nam Nữ Vùng ngoại ô 0,17 0,67 Thành phố 0,04 0,12 Giả sử một ngƣời trƣởng thành đơn lẻ đƣợc chọn từ trong nhóm các khách hàng này. Hãy tìm các xác suất sau đây. a xác suất để khách hàng này cƣ trú ở vùng ngoại ô. b xác suất để khách hàng này là một ngƣời nữ sống ở thành phố. c xác suất để khách hàng này là một ngƣời nam. 3.9 Mỗi một trong hai nhà phân tích thị trƣờng cổ phiếu đƣợc yêu cầu dự báo xem đến cuối 12 tháng tới, liệu số trung bình cổ phiếu Dow-Jones sẽ tăng 100 điểm hay nhiều hơn, sẽ giảm 100 điểm hay nhiều hơn, hoặc sẽ thay đổi ít hơn 100 điểm. Nhƣ thế thí nghiệm này gồm có việc quan sát cặp dự báo do hai nhà phân tích thị trƣờng đƣa ra. Giả sử mỗi nhà phân tích có khả năng chọn bất kỳ một phƣơng án nào trong ba phƣơng án chọn lựa này ngang bằng khả năng chọn bất kỳ phƣơng án còn lại nào. a Hãy liệt kê các biến cố đơn trong không gian mẫu S. Hãy sử dụng giản đồ hình cây. b Cho A là biến cố ít nhất là một trong hai nhà phân tích dự báo số trung bình Dow- Jones sẽ tăng 100 điểm hay nhiều hơn. Hãy tìm các biến cố đơn trong A. c Cho B là biến cố cả hai nhà phân tích đều dự báo giống nhau. Hãy tìm các biến cố đơn trong B. d Hãy ấn định xác suất cho các biến cố đơn trong S, và tìm P(A). e Hãy tìm P(B). 3.10 Một công ty thực phẩm dự định tiến hành một thí nghiệm để so sánh nhãn hiệu trà của mình với nhãn hiệu trà của hai đối thủ cạnh tranh. Khi thực hành thực sự thì một số William Mendenhall et al. 10 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 11
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc chuyên viên nếm trà sẽ đƣợc thuê. Đối với thí dụ này, chúng ta sẽ giả định rằng chỉ một chuyên viên nếm trà nếm từng nhãn hiệu trong ba nhãn hiệu trà này, mà chúng không đƣợc đánh dấu gì ngoại trừ các ký hiệu nhận dạng A, B, và C. a Hãy định rõ thí nghiệm này b Hãy liệt kê các biến cố đơn trong S. c Nếu chuyên viên nếm trà này không có năng lực phân biệt sự khác nhau về vị giữa các loại trà, thì xác suất để chuyên viên nếm trà này sẽ xếp loại trà A vào hạng ngon nhất là bao nhiêu? Vào hạng ít đáng mong muốn nhất là bao nhiêu? 3.11 Bốn ngƣời trong công đoàn, trong đó hai ngƣời từ một nhóm thiểu số, đƣợc phân công bốn công việc khác nhau rõ ràng và mỗi công việc dành cho chỉ một ngƣời làm. a Hãy định rõ thí nghiệm. b Hãy liệt kê các biến cố đơn trong S. c Nếu việc phân công làm những công việc này không thiên lệch―nghĩa là nếu bất kỳ một việc ra lệnh phân công nào cũng có khả năng xảy ra nhƣ bất kỳ việc ra lệnh nào khác―thì xác suất để hai ngƣời từ nhóm thiểu số đƣợc phân công làm hai công việc ít đáng mong muốn nhất là bao nhiêu? 3.3 Sự Hợp thành của Biến cố và Quan hệ của Biến cố Thƣờng thì chúng ta quan tâm đến các kết quả thí nghiệm đƣợc tạo nên bởi sự hợp thành (compotision) nào đó của hai, hay nhiều hơn, biến cố. Các biến cố thƣờng có thể đƣợc tạo nên bởi hội (unions) hay giao (intersections) của những biến cố khác, hay bởi một kết hợp nào đó của cả hai. ĐỊNH NGHĨA Giao của các biến cố A và B, đƣợc ký hiệu bằng AB, là biến cố cả A và B đều xảy ra.† ĐỊNH NGHĨA Hội của các biến cố A và B, đƣợc ký hiệu bằng A B, là biến cố A hoặc B hoặc cả hai xảy ra THÍ DỤ 3.4 Căn cứ vào thí nghiệm trong Thí dụ 3.2, trong đó hai đồng xu đƣợc tung lên, và định rõ. biến cố A : ít nhất một mặt ngửa biến cố B : ít nhất một mặt sấp Định rõ các biến cố A, B, AB, và A B nhƣ là những tập hợp của các biến đơn, và hãy tìm các xác suất của chúng. † Một số tác giả sử dụng ký hiệu A B. William Mendenhall et al. 11 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 12
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc Lời giải Hãy nhớ lại rằng các biến cố đơn đối với thí nghiệm này là E1 = HH (mặt ngửa trên đồng xu thứ nhất, mặt ngửa trên đồng xu thứ hai) E2 = HT E3 = TH E4 = TT Sự xuất hiện các biến cố đơn E1, E2, hay E3 hàm ý ít nhất là có một mặt ngửa và nhƣ thế 1 1 1 3 định rõ biến cố A, và P A . Các biến cố khác đƣợc định rõ một cách 4 4 4 4 tƣơng tự. 3 biến cố B: E ,E ,E , và P(B) 2 3 4 4 2 1 biến cố AB: E ,E , và P(AB) 2 3 4 2 4 biến cố AB: E ,E ,E ,E , và P(AB) 1 1 2 3 4 4 Lƣu ý rằng A B bao gồm toàn bộ không gian mẫu và do đó chắc chắn xảy ra. Nhƣ thế P(AB) 1 Khi hai biến cố A và B có tính loại trừ lẫn nhau, nghĩa là khi A xảy ra thì B không thể xảy ra, và ngƣợc lại. Các biến cố loại trừ lẫn nhau còn đƣợc gọi là các biến cố cách biệt nhau (disjoint events). Khi A và B có tính loại trừ lẫn nhau, thì 1 P(AB) 0 2 P(AB) P(A) P(B) Cụ thể là, nếu P(A) và P(B) đƣợc biết, thì chúng ta không cần liệt kê các biến đơn tạo thành A B và cộng các xác suất riêng của chúng lại; mà chúng ta có thể đơn giản là cộng P(A) và P(B). THÍ DỤ 3.5 Một bản tóm lƣợc về hoạt động (tổng số tiền tính bằng đô la của những séc đƣợc viết) của các tài khoản sử dụng séc cá nhân với số dƣ tối thiểu 1000$ của một ngân hàng đƣợc trình bày trong bảng sau đây. Hoạt động Dƣới 1000$ 1000−2999$ 3000−4999$ 5000−7999$ 8000$ và cao hơn Tỷ lệ phần trăm 17% 43% 28% 9% 3% Một tài khoản sử dụng séc với số dƣ tối thiểu 1000$ và đơn lẻ đƣợc chọn ngẫu nhiên từ những tài khoản tại ngân hàng này. a Hãy tìm xác suất của các biến cố sau đây: A : hoạt động sử dụng séc ít hơn 3.000$ B : hoạt động sử dụng séc từ 1000$ đến 4.999$ C : hoạt động sử dụng séc vƣợt quá 4.999$ William Mendenhall et al. 12 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 13
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc b Hãy tìm P(B C). c Các biến cố A, B, và C có loại trừ lẫn nhau không? Lời giải Các biến cố đơn trong thí nghiệm này đƣợc cho trong bảng, với E1 = (dƣới 1000$), E2 = (1000 − 2999$) và v.v.. a Nhƣ thế, P(A) P(E ) P(E ) 0,17 0,43 0,60 1 2 P(B) P(E ) P(E ) 0,43 0,28 0,71 2 3 P(C) P(E ) P(E ) 0,09 0,03 0,12 4 5 b Biến cố B C gồm có các biến cố đơn E2, E3, E4, và E5, do đó P(BC) 0,430,280,090,03 0,83 c A và C loại trừ lẫn nhau, B và C cũng thế. Tuy nhiên, A và B có chứa biến cố đơn chung E2 và nhƣ thế không loại trừ lẫn nhau. Vì thế cho nên, A, B, và C không loại trừ lẫn nhau. Sự bù (Complementation) là một mối quan hệ khác của biến cố mà thƣờng đơn giản hóa việc tính toán xác suất. ĐỊNH NGHĨA Phần bù (complement) của một biến cố A, đƣợc ký hiệu bằng A , gồm có tất cả những biến cố đơn trong không gian mẫu mà không ở trong A. Phần bù của A là biến cố A không xảy ra. Vì thế cho nên, A và A loại trừ lẫn nhau, và A A tạo thành toàn bộ không gian mẫu. Tất yếu là P(A) P(A) 1và P(A) 1 P(A) Thí dụ, nếu biến cố A là sự xuất hiện của ít nhất một mặt ngửa trong việc tung hai đồng xu không thiên lệch (xem Thí dụ 3.4), thì biến cố A là sự xuất hiện của không có mặt ngửa nào trong việc tung đồng xu, và 1 3 P(A) 1 P(A) 1 4 4 3.4 Xác suất có Điều kiện và những Biến cố Độc lập Hai biến cố thƣờng quan hệ với nhau theo một cách nào đó để xác suất của việc xảy ra biến cố này phụ thuộc vào việc liệu biến cố kia đã xảy ra hay không. Thí dụ, giả sử anh/chị là một ngƣời mua bán tiền tệ mà anh/chị giao dịch đô la Mỹ với bảng Anh và thí nghiệm chủ yếu là quan sát liệu đô la Mỹ có lên giá (đã tăng giá trị) so với bảng Anh hay không. Gọi A là biến cố đô la Mỹ lên giá so với bảng Anh trên thị trƣờng tiền tệ của Anh trƣớc khi thị trƣờng của chúng ta (thị trƣờng Anh) mở cửa vào đúng 9 giờ sáng, và gọi B là biến cố đô la Mỹ lên giá trên thị trƣờng tiền tệ Hoa Kỳ sau khi thị trƣờng này mở cửa. William Mendenhall et al. 13 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 14
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc Các biến cố A và B chắc chắn có quan hệ với nhau, bởi vì hai thị trƣờng này sẽ có khả năng lên xuống cùng chiều trong hầu hết (nhƣng không nhất thiết tất cả) mọi ngày. Vì thế, xác suất P(B) để đô la Mỹ sẽ lên giá so với bảng Anh trên thị trƣờng Hoa Kỳ không giống với xác suất để B sẽ xảy ra trên cơ sở anh/chị biết rằng đô la Mỹ đã lên giá (biến cố A) trên thị trƣờng Anh rồi. Thí dụ, giả sử đô la Mỹ lên giá so với bảng Anh trong 60% của tất cả mọi ngày trên thị trƣờng Anh, và trong 50% của tất cả mọi ngày, nó lên giá trên cả hai thị trƣờng Mỹ và Anh (nghĩa là P(A) = 0,6 và P(AB) = 0,5). Nhƣ thế, nếu anh/chị đã biết đô la Mỹ lên giá so với bảng Anh trên thị trƣờng Anh, thì xác suất để nó sẽ lên giá trên thị trƣờng Mỹ là 5/6. Phân số này, P(AB)/P(A), đƣợc gọi là xác suất có điều kiện (conditional probability) của B trên cơ sở biến cố A đã xảy ra, và đƣợc biểu thị bằng ký hiệu P(B | A) Gạch thẳng đứng trong biểu thức P(B | A) đƣợc hiểu là “cho trƣớc” và các biến cố xuất hiện bên phải của gạch này là những biến cố đã xảy ra. ĐỊNH NGHĨA Xác suất có điều kiện của B trên cơ sở biến cố A đã xảy ra là P(AB) P(B | A) , với P(A) 0 P(A) và xác suất có điều kiện của A trên cơ sở biến cố B đã xảy ra là P(AB) P(A| B) , với P(B) 0 P(B) THÍ DỤ 3.6 Hãy tính P(A | B) đối với thí nghiệm thảy con súc sắc đƣợc mô tả trong Hình 3.1, trong đó A : quan sát đƣợc một số lẻ B : quan sát đƣợc một số nhỏ hơn 4 Lời giải Trên cơ sở biến cố B (một số nhỏ hơn 4) đã xảy ra, chúng ta đã quan sát đƣợc một số 1, 2, hay 3, tất cả các con số này xảy ra với tần suất bằng nhau. Trong ba biến cố đơn này, chính xác là hai biến cố (1 và 3) dẫn đến biến cố A (một số lẻ). Nhƣ thế, 2 P(A| B) 3 Hoặc chúng ta có thể có đƣợc P(A | B) bằng cách thay thế các giá trị vào phƣơng trình P(AB) 1/3 2 P(A| B) P(B) 1/2 3 Lƣu ý rằng P(A | B) = 2/3 và P(A) = 1/2, điều này chỉ ra A và B phụ thuộc lẫn nhau. ĐỊNH NGHĨA Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập (independent) nếu và chỉ nếu P(A| B) P(A) hoặc William Mendenhall et al. 14 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 15
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc P(B| A) P(B) Nếu không thì các biến cố này đƣợc gọi là phụ thuộc (dependent). Chuyển định nghĩa này thành lời: Hai biến cố là độc lập nếu sự xuất hiện hay sự không xuất hiện của biến cố này không làm thay đổi xác suất của sự xuất hiện biến cố kia. Nếu P(A | B) = P(A), thì P(B | A) cũng sẽ bằng P(B). Tƣơng tự, nếu P(A | B) và P(A) không bằng nhau, thì P(B | A) và P(B) cũng sẽ không bằng nhau. THÍ DỤ 3.7 Căn cứ vào thí nghiệm thảy con súc sắc trong Thí dụ 3.1, trong đó A : quan sát đƣợc một số lẻ B : quan sát đƣợc một số nhỏ hơn 4 Hai biến cố A và B có loại trừ lẫn nhau không? Chúng có bù nhau không? Chúng có độc lập không? Lời giải Thể hiện theo các biến cố đơn, chúng ta có thể viết biến cố A : E1, E3, E5 biến cố B : E1, E2, E3 Biến cố AB là tập hợp các biến cố đơn trong cả A và B. Bởi vì AB bao gồm các biến cố E1 và E3, nên A và B không loại trừ lẫn nhau. Chúng không bù nhau bởi vì B không phải là tập hợp của tất cả các kết quả trong S mà không ở trong A. Kiểm định về sự độc lập nằm trong chính định nghĩa về độc lập; nói rõ ra là chúng ta sẽ kiểm tra để xem liệu P(A | B) = P(A) hay không. Từ Thí dụ 3.6, P(A | B) = 2/3. Nhƣ thế, vì P(A) = 1/2, nên P(A | B) P(A) và theo định nghĩa, các biến cố A và B là phụ thuộc. Một phƣơng pháp khác để giải các bài toán xác suất là dựa vào những quan hệ của biến cố và hai quy tắc xác suất, mà chúng ta sẽ trình bày chứ không chứng minh. Quy tắc thứ nhất đƣợc gọi là quy tắc cộng xác suất (additive rule of probability), và nó đề cập đến hội của các biến cố. Quy tắc Cộng Xác suất Cho trƣớc hai biến cố A và B, xác suất của hội A B của chúng là P(AB) P(A) P(B)P(AB) Nếu A và B loại trừ lẫn nhau, thì P(AB) = 0 và P(AB) P(A) P(B) Hãy lƣu ý rằng tổng số P(A) P(B)tính hai lần các biến cố đơn nằm trong cả A lẫn B; do đó việc trừ đi P(AB) sẽ cho kết quả đúng. William Mendenhall et al. 15 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 16
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc Quy tắc thứ hai về xác suất đƣợc gọi là quy tắc nhân xác suất (multiplicative rule of probability) và là kết quả tất yếu của định nghĩa về xác suất có điều kiện. Quy tắc Nhân Xác suất Xác suất để cả hai biến cố A và B xảy ra là P(AB) P(A)P(B| A) P(B)P(A| B) Nếu A và B là các biến cố độc lập, thì P(AB) P(A)P(B) Tƣơng tự, nếu A, B, và C là các biến cố độc lập với nhau, thì xác suất để A, B, và C đều sẽ xảy ra là P(ABC) P(A)P(B)P(C) THÍ DỤ 3.8 Giả sử anh/chị chọn lựa ngẫu nhiên ba cổ phiếu thƣờng, A, B, và C, từ trong số 500 cổ phiếu đƣợc sử dụng để tính số trung bình Standard & Poor’s về 500 cổ phiếu. Xác suất để mức tăng hằng năm của cả ba cổ phiếu này sẽ cao hơn mức tăng của số trung bình S&P là bao nhiêu? Cho A, B, và C biểu thị các biến cố rằng từng cổ phiếu A, B, và C có kết quả vƣợt trội số trung bình S&P, và giả định P(A) P(B) P(C) 1/2. Lời giải Biến cố cả ba chọn lựa cổ phiếu đều sẽ vƣợt trội số trung bình S&P là giao của các biến cố A, B, và C. Chúng ta, không biết các xác suất có điều kiện của A, B, và C, do đó chúng ta không thể dùng định nghĩa của xác suất có điều kiện để kiểm định sự độc lập. Mà đúng ra, chúng ta phải dựa vào trực giác của mình. Bởi vì chúng ta đã chọn ba cổ phiếu này theo cách thức không liên quan với nhau, nên dƣờng nhƣ không có khả năng rằng việc chọn lựa một cổ phiếu từ trong số 500 cổ phiếu nói trên sẽ ảnh hƣởng nhiều đến việc chọn lựa một cổ phiếu khác. Vì lý do này, chúng ta sẽ tuyên bố các biến cố này độc lập và sẽ tính P(ABC) P(A)P(B)P(C) 111 1 2 2 2 8 Nhƣ thế chúng ta tính ra xác suất của việc chọn lựa ba cổ phiếu mà sẽ đều vƣợt trội số trung bình S&P, là 1/8. Một bảng xác suất (probability table) đối với các biến cố A và B là một bảng hai chiều, mà bốn số liệu trong bảng là bốn xác suất của những giao P(AB), P(AB), P(AB), và P(AB),và những tổng số ở cột cuối cùng bên phải và hàng dƣới cùng của bảng này tƣơng ứng với các xác suất không điều kiện P(A), P(A), P(B), và P(B), nhƣ trong Bảng 3.3. Có một số điểm thú vị và khá hiển nhiên từ bảng xác suất. Một điểm là, một biến cố A có thể đƣợc biểu hiện nhƣ là gồm có hai phần―đó là AB, những biến cố đơn nào trong A mà cũng ở trong B, và A B, những biến cố đơn nào trong A mà không ở trong B―do đó William Mendenhall et al. 16 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 17
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc P(A) P(AB AB) P(AB) P(AB) Một điểm khác là, P(A | B), xác suất có điều kiện của A, với B đƣợc cho trƣớc, thể hiện phần của các biến cố đơn trong B mà cũng ở trong A, do đó P(A | B) = P(AB) / P(B) chỉ đơn thuần là xác suất đã đƣợc thay đổi tỷ lệ (rescaled probability) đối với một không gian mẫu đã giảm và tƣơng đƣơng với B. BẢNG 3.3 B B Tổng số A P(AB) P(AB ) P(A) A P(AB) P(AB) P(A) Tổng số P(B) P(B) 1 THÍ DỤ 3.9 Một thƣơng gia nhận đặt và giao hàng may mặc qua đƣờng bƣu điện. Thƣơng gia này bán hai dòng sản phẩm, một dòng tƣơng đối đắt, dòng kia không đắt. Một cuộc điều tra về các đơn đặt hàng đã cho thấy tần suất tƣơng đối của các đơn đặt hàng, phân theo dòng sản phẩm và giới tính của khách hàng. Trong Bảng 3.4, A là biến cố khách hàng là nữ và B là biến cố đơn đặt hàng là từ dòng sản phẩm 1. Giả sử rằng một khách hàng, ngƣời đã đặt một đơn đặt hàng, đƣợc chọn ngẫu nhiên. a Tìm xác suất để khách hàng này là nữ. b Tìm xác suất để đơn đặt hàng này là từ dòng sản phẩm 1. c Tìm xác suất để đơn đặt hàng này là từ dòng sản phẩm 1 và khách hàng này là nữ. d Tìm P(A B), xác suất để khách hàng này là nữ và đơn đặt hàng này là từ dòng sản phẩm 1, hoặc cả hai. e Tìm P(B | A). f Hãy chứng tỏ A và B là phụ thuộc và P(AB) P(A)P(B| A) . BẢNG 3.4 Dòng sản phẩm Giới tính 1(B) 2(B) Tổng số Nữ (A) 0,516 0,205 0,721 Nam A 0,132 0,147 0,279 Tổng 0,648 0,352 1,000 Lời giải A là biến cố khách hàng này là nam, và B là biến cố đơn đặt hàng này là từ dòng sản phẩm 2. a P(A) = 0,721 là tổng số ở hàng thứ nhất b P(B) = 0,648 là tổng số ở cột thứ nhất William Mendenhall et al. 17 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 18
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc c P(AB), xác suất để khách hàng này là nữ và đơn đặt hàng này là từ dòng sản phẩm 1, là 0,516, đây là số liệu ở hàng thứ nhất và cột thứ nhất. d Bằng việc sử dụng những số liệu trong Bảng 3.4 P(AB) P(A) P(B) P(AB) 0,7210,6480,516 0,853 e Để tìm P(B | A), chúng ta sử dụng các mục ghi ở hàng thứ nhất để tìm P(AB) 0,516 P(B | A) 0,716 P(A) 0,721 f. Vì P(B| A) P(B)(xem các phần (b) và (e)), nên A và B là phụ thuộc. Ngoài ra, P(AB) 0,516 có thể thấy trực tiếp từ bảng này trong khi P(B| A)P(A) (0,716)(0,721) 0,516 cho nên P(AB) P(A)P(B | A) THÍ DỤ 3.10 Một công ty phát hiện rằng 85% số ngƣời đƣợc chọn cho chƣơng trình thực tập của công ty đã hoàn tất khóa học. Trong số những ngƣời này, 60% đã trở thành những ngƣời bán hàng có hiệu quả, so với chỉ 10% trong số những ngƣời thực tập mà đã không hoàn tất chƣơng trình thực tập. a Xác suất để một ngƣời tham dự chƣơng trình thực tập trở thành ngƣời bán hàng có hiệu quả là bao nhiêu? b Nếu một ngƣời bán hàng, đã tham dự chƣơng trình thực tập, đƣợc cho là có hiệu quả, thì xác suất để ngƣời này hoàn tất chƣơng trình thực tập là bao nhiêu. Lời giải Định rõ các biến cố sau đây: A : ngƣời thực tập này hoàn tất chƣơng trình thực tập B : ngƣời thực tập này trở thành một ngƣời bán hàng có hiệu quả Sử dụng một giản đồ hình cây nhƣ trong Hình 3.2 để biểu hiện các xác suất thích hợp. Các xác suất ở bƣớc thứ hai, đƣợc trình bày trong các ngoặc đơn, là có điều kiện, cho trƣớc bƣớc thứ nhất. a Một ngƣời tham dự chƣơng trình thực tập sẽ hoặc sẽ không hoàn tất chƣơng trình này. Nhƣ thế, P(B) P(AB) P(AB) 0,51000,0150 0,5250 b Để tìm P(A | B), chúng ta cần P(AB) = 0,5100 và P(B) = 0,5250 từ phần (a). Nhƣ thế, P(AB) 0,5100 P(A| B) 0,9714 P(B) 0,5250 William Mendenhall et al. 18 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 19
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc HÌNH 3.2 Giản đồ hình cây cho Thí dụ 3.10 Bƣớc 1 Bƣớc 2 Kết quả Xác suất B | A (0,60) AB P(AB)=0,5100 A (0,85) B | A(0,40) AB P(AB) 0,3400 B | A(0,10) AB P(AB) 0,0150 A(0,15) B | A(0,90) AB P(AB) 0,1350 Những Lời Gọi ý về Giải Bài toán Tính xác suất của một biến cố: phƣơng pháp sự hợp thành-biến cố (event-composition approach) Hãy sử dụng những bƣớc sau đây để tính xác suất của một biến cố bằng cách sử dụng phƣơng pháp sự hợp thành-biến cố: 1 Định rõ thí nghiệm. 2 Hãy hình dung rõ ràng bản chất của các biến cố đơn. Hãy nhận dạng một ít biến cố đơn để làm rõ suy nghĩ của anh/chị. 3 Khi có thể, hãy viết một phƣơng trình thể hiện biến cố đƣợc quan tâm (ví dụ, A) nhƣ là một sự hợp thành của hai hay hơn hai biến cố, bằng việc sử dụng một trong hai, hoặc cả hai, dạng của sự hợp thành (hội và giao). Hãy lƣu ý rằng, điều này đánh đồng các tập hợp điểm. Hãy đảm bảo rằng biến cố đƣợc hàm ý bởi sự hợp thành này và biến cố A đều thể hiện cùng một tập hợp các biến cố đơn. 4 Hãy áp dụng các Quy tắc Cộng và Nhân Xác suất vào bƣớc 3 và tìm P(A). Hãy cẩn thận với bƣớc 3. Anh/Chị thƣờng có thể cấu tạo nhiều sự hợp thành mà sự hợp thành nào cũng sẽ tƣơng đƣơng với biến cố A. Kỹ xảo là cấu tạo một sự hợp thành trong đó tất cả các xác suất xuất hiện trong bƣớc 4 đều sẽ đƣợc biết. Hãy hình dung ra các kết quả của bƣớc 4 đối với bất kỳ sự hợp thành nào và hãy chọn cái sự hợp thành mà đối với nó các xác suất thành phần đều đƣợc biết. Hãy luôn luôn viết ra những chữ cái biểu hiện các biến cố đƣợc mô tả trong một bài tập. Sau đó, hãy viết ra các xác suất đƣợc cho, và gắn chúng với các biến cố. Hãy xác định xác suất đƣợc yêu cầu trong bài tập. Điều này có thể giúp anh/chị đạt đƣợc sự hợp thành biến cố thích hợp. William Mendenhall et al. 19 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 20
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 3: Xác suất và Phân phối Xác suất Rời rạc BÀI TẬP Các Kỹ thuật Căn bản 3.12 Một thí nghiệm có thể dẫn đến một trong năm biến cố đơn có khả năng xảy ra ngang nhau. Các biến cố A, B, và C bao gồm những biến cố đơn sau đây: A: E1, E3 B: E1, E2, E4, E5 C: E3, E4 Hãy liệt kê các biến cố đơn trong những biến cố sau đây, và tìm xác suất riêng của chúng a S b A c B d C e A f B g AB h AC i A | B j AB k AB l A | C 3.13 Căn cứ vào Bài tập 3.12. Có phải các biến cố A và B loại trừ lẫn nhau? Độc lập? Hãy giải thích. 3.14 Một thí nghiệm tạo ra không gian mẫu có chứa tám biến cố đơn E1, E2, …, E8, vớiP(E ) 0,1, P(E ) P(E ) P(E ) 0,05, P(E ) 0,3, P(E ) 0,2, P(E ) 0,1,và 1 2 3 4 5 6 7 P(E8) = 0,15. Các biến cố A và B là A: E1, E4, E6 B: E3, E4, E5, E6, E7 a Tìm P(A). b Tìm P(B). c Tìm P(AB). d Tìm P(A B). e Có phải các biến cố A bà B loại trừ lẫn nhau? Hãy giải thích. f Tìm P(A | B). g Tìm P(B | A). h Có phải A và B là các biến độc lập? Hãy giải thích. 3.15 Một thí nghiệm có thể dẫn đến biến cố A, với xác suất P(A) = 0,2, và biến cố B, với xác suất P(B) = 0,6. Xác suất của giao của A và B là P(AB) = 0,15. a Hãy lập một bảng xác suất cho thí nghiệm này. b Hãy sử dụng bảng xác suất trong phần (a) để tìm PAB, PA| B, và P(A B). c Có phải A và B là các biến độc lập? Hãy giải thích. Ứng dụng 3.16 Những đơn đặt hàng mới, đối với các sản phẩm của một công ty, biến đổi về quy mô tính bằng đô la dựa theo phân phối xác suất sau đây. Quy mô doanh số bán ($) 0−1000 1001−2000 2001−3000 3001−4000 4001−5000 Xác suất 0,10 0,35 0,25 0,20 0,10 William Mendenhall et al. 20 Biên dịch: Nguyễn Thị Xinh Xinh Hiệu đính: Cao Hào Thi
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!