Trang 1
Stéphane Tufféry Statisticien - Data Miner - Enseignant DATA MINING - SCORING STATISTIQUE DÉCISIONNELLE APPLICATION AU CRM 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 1 Plan du cours • Qu’est-ce que le data mining ? • A quoi sert le data mining ? • Les 2 grandes familles de techniques • Le déroulement d’un projet de data mining • Coûts et gains du data mining • Facteurs de succès - Erreurs à éviter • Informatique décisionnelle et de gestion • La préparation des données • Techniques descriptives de data mining • Techniques prédictives de data mining • Logiciels et consultants • CNIL et limites légales du data mining • Le text mining • Le web mining 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 2 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 2
Techniques prédictives Points forts et points faibles 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 3 Techniques prédictives de data mining : Classement - prédiction (généralités) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 4 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 3
Classement & classification • Le classement consiste à • La classification consiste à placer chaque individu de la regrouper les individus d’une population dans une classe, population en un nombre parmi plusieurs classes limité de classes qui : prédéfinies, en fonction des • ne sont pas prédéfinies caractéristiques de l’individu mais déterminées au cours indiquées comme variables de l’opération, contrairement aux classes explicatives du classement • Le plus souvent, il y a 2 • regroupent les individus classes prédéfinies (« sains » ayant des caractéristiques et « malades », par exemple), similaires et séparent les et le résultat du classement individus ayant des est un ensemble de règles caractéristiques différentes permettant d’affecter chaque individu à l’une ou l’autre des classes 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 5 Prédiction • La prédiction consiste à estimer • la valeur d’une variable continue (dite « à expliquer », « cible », « réponse », « dépendante » ou « endogène ») • en fonction de la valeur d’un certain nombre d’autres variables (dites « explicatives », « de contrôle », « indépendantes » ou « exogènes ») • Cette variable « cible » est par exemple : • le poids (en fonction de la taille) • la taille des ailes d’une espèce d’oiseau (en fonction de l’âge) • le prix d’un appartement (en fonction de sa superficie, de l’étage et du quartier) • la consommation d’électricité (en fonction de la température extérieure et de l’épaisseur de l’isolation) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 6 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 4
Classement et prédiction • Classement : la variable à expliquer est catégorielle • on parle aussi de classification (dans l’école anglo- saxonne) ou de discrimination • Prédiction : la variable à expliquer est continue • on parle aussi de régression • ou d’apprentissage supervisé (réseaux de neurones) • Scoring : classement appliqué à une problématique d’entreprise 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 7 Tableau synoptique explicatives è 1 quantitative n quantitatives 1 qualitative n qualitatives mélange (covariable) (covariables) (facteur) (facteurs) ê à expliquer 1 quantitative rég. linéaire rég. linéaire ANOVA ANOVA, ANCOVA, simple multiple, rég. arbres de arbres de robuste, PLS, décision, décision, arbres, réseaux réseaux de réseaux de de neurones neurones neurones n quantitatives régression régression MANOVA MANOVA, MANCOVA, (représentent des PLS2 PLS2, réseaux réseaux de réseaux de quantités ≠) de neurones neurones neurones 1 qualitative ADL, ADL, régress. régression régression régression nominale régression logistique, reg. logistique logistique, logistique, logistique, logistique PLS, DISQUAL, arbres, réseaux reg. logistique arbres, réseaux arbres, réseaux de neurones PLS de neurones, de neurones SVM 1 qualitative régression régression régression régression régression ordinale (au logistique logistique logistique logistique logistique moins 3 gp) ordinale ordinale ordinale ordinale ordinale n quantitatives modèle à modèle à (représentent des mesures mesures mesures répétées répétées répétées d’une même quantité) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 8 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 5
Techniques inductives et transductives • Dans les techniques inductives : • une phase d’apprentissage (phase inductive) pour élaborer un modèle, qui résume les relations entre les variables • et qui peut ensuite être appliqué à de nouvelles données pour en déduire un classement ou une prédiction (phase déductive) • Les techniques transductives • ne comprennent qu’une seule étape (éventuellement réitérée), au cours de laquelle chaque individu est directement classé (ou objet d’une prédiction) par référence aux autres individus déjà classés • il n’y a pas élaboration d’un modèle 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 9 k-plus proches voisins • La plus connue des techniques transductives • Le classement (prédiction) de chaque individu s’opère en regardant, parmi les individus déjà classés, la classe des k individus qui sont les plus proches voisins (ou en calculant la moyenne dans le voisinage de la variable à prédire) • La valeur de k sera choisie en sorte d’obtenir le meilleur classement (prédiction) possible : • ce choix est la principale difficulté de cet algorithme ! • Ainsi, dans l’exemple ci-contre, 1 0 0 0 0 1 0 1 l’individu « ? » est classé en « 0 », 0 1 0 0 car entouré en majorité de « 0 » 1 1 ? 0 1 1 0 1 ? est classé en "0" 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 10 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 6
Limites des méthodes transductives • Une technique inductive résume dans un modèle l’information contenue dans les données • ce qui permet d ’appliquer rapidement ce modèle à de nouvelles données • Une technique transductive manipule l’ensemble des individus déjà classés, pour tout nouveau classement • ce qui nécessite donc une grande puissance de stockage et de calcul • On utilise surtout les techniques inductives. • Une méthode transductive, comme les k-NN, peut être utilisée dans une étape préalable de détection et de mise à l’écart des individus hors norme, des « outliers ». 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 11 Méthodes inductives : schéma :---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---:---: - 18 mois – 6 mois aujourd’hui observation des observation de la variables explicatives variable cible Le modèle sera par exemple une fonction f telle que : Probabilité(variable cible = x) = f(variables explicatives) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 12 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 7
Méthodes inductives : 4 étapes • Apprentissage : construction du modèle sur un 1er échantillon pour lequel on connaît la valeur de la variable cible • Test : vérification du modèle sur un 2d échantillon pour lequel on connaît la valeur de la variable cible, que l’on compare à la valeur prédite par le modèle • si le résultat du test est insuffisant (d’après la matrice de confusion), on recommence l’apprentissage • Validation du modèle sur un 3e échantillon, pour avoir une idée du taux d’erreur non biaisé du modèle • Application du modèle à l’ensemble de la population à scorer, pour déterminer la valeur de la variable cible de chaque individu. 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 13 Matrice de confusion valeur prédite è A B TOTAL valeur réelle ê A 1800 200 B 300 1700 TOTAL 4000 • Taux d’erreur = (200 + 300) / 4000 = 12,5 % 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 14 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 8
Q de Press • Pour vérifier que le % d’individus correctement classés est significativement meilleur que par un classement aléatoire : le « Q de Press » (n − (c×k))2 Q = Press n×(k −1) • n = taille échantillon • k = nb de groupes • c = nb d’individus bien classés • Suit un chi-2 à 1 degré de liberté • valeur critique : 10,8 à 0,1 % - 6,63 à 1 % - 3,84 à 5 % • Ici on a : Q de Press = (4000 - 7000)²/4000 = 2250 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 15 Qualités attendues d’une technique 1/2 • La précision • le taux d’erreur doit être le plus bas possible, et l’indice de Gini le plus proche possible de 1 • La robustesse • être le moins sensible possible aux fluctuations aléatoires de certaines variables et aux valeurs manquantes • ne pas dépendre de l’échantillon d’apprentissage utilisé • être aussi performant quand on l’applique à de nouveaux individus • La concision • les règles du modèle doivent être les plus simples et les moins nombreuses possible 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 16 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 9
Qualités attendues d’une technique 2/2 • Des résultats explicites • les règles du modèle doivent être accessibles et compréhensibles • La diversité des types de données manipulées • tous les algorithmes ne sont pas aptes à manipuler les données catégorielles, discrètes et continues • Les possibilités de paramétrage • dans un classement, il est parfois intéressant de pouvoir pondérer les erreurs de classement, pour signifier, par exemple, qu’il est plus grave de classer un patient malade en « non-malade » que l’inverse • La rapidité de calcul du modèle • c’est l’apprentissage (non son application) du modèle qui peut être trop longue 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 17 Représentation graphique des domaines de classement • Toutes les techniques inductives de classement découpent l’espace des variables en régions, dont chacune est associée à une des classes parce qu’elle contient en majorité des individus de cette classe • L’ensemble des règles de découpage et d’association constitue le modèle • Tout nouvel individu qui tombe dans une de ces régions est classé en conséquence • La forme de ces régions dépend de la technique employée 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 18 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 10
Représentation graphique des domaines de classement 1 0 0 11 00 0 11 00 0 0 0 1 0 1 00 00 11 10 1 00 00 11 10 1 0 1 0 1 1 11 0 1 1 11 0 0 ? 00 00 ? 00 00 1 1 ? 0 +1 1+ ? 00 +1 1+ ? 00 1 1 0 1 +1 1 00 11 +1 1 00 11 ? est classé en "1" ? est classé en "0" ? est classé en "0" Analyse discriminante Réseau de neurones Arbre de décision 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 19 Courbes du taux d’erreur en apprentissage et en test taux d'erreur données de test et d'application t données apprentissage taille de l'échantillon taille suffisante 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 20 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 11
Sur-apprentissage en régression (A) Modèle trop simp le (B) B on modèle (C) Modèle trop c omplexe • Modèle trop poussé dans la phase d’apprentissage : • il épouse toutes les fluctuations de l’échantillon d’apprentissage, • détecte ainsi de fausses corrélations, • et les extrapole à tort dans les phases de test et d’application. • Le sur-apprentissage peut aussi venir d’une confusion des 2 périodes d’observation. 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 21 Sur-apprentissage en classement Source : Olivier Bousquet 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 22 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 12
Méthodes de sélection • Pas à pas : Ascendante (« forward ») • aucune variable au départ : on ajoute 1 à 1 celles qui augmentent le plus le R² • Pas à pas : Descendante (« backward ») • toutes les variables au départ : on rejette 1 à 1 celles qui sont insuffisamment corrélées à la cible • Pas à pas : Mixte (« stepwise ») • aucune variable au départ : on ajoute 1 à 1 celles qui sont suffisamment corrélées à la cible, mais on peut retrancher une variable à chaque étape, si son pouvoir discriminant est contenu dans une combinaison des nouvelles variables • Globale : Algorithme de Furnival et Wilson (si 2 groupes) • cherche à ajuster le R² en comparant une partie de tous les modèles possibles (élimine les moins intéressants a priori) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 23 Comparaison de modèles prédictifs : la courbe ROC Zone sous la courbe Variable(s) de Zone 1,0 résultats testsrégression logistique ,906 analyse discriminante ,889 arbre de décision ,887 ,8 Source de la courbe ,5 Ligne de référence arbre de décision ,3 analys discriminante 0,0 régress. logistique 0,0 ,3 ,5 ,8 1,0 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 24 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 13
Sensibilité et spécificité • Pour un score devant discriminer un groupe A (les positifs ; ex : les risqués) par rapport à un autre groupe B (les négatifs ; ex : les non risqués), on définit 2 fonctions du seuil de séparation s du score : • sensibilité = α(s) = Proba(score > s / A) = probabilité de bien détecter un positif (ex : proportion de « vrais risqués ») • spécificité = β(s) = Proba(score < s / B) = probabilité de bien détecter un négatif (ex : proportion de « vrais non- risqués ») • Pour un modèle, on cherche s qui maximise α(s) tout en minimisant les faux positifs 1 - β(s) = Proba(score > s / B) • f.p. : négatifs considérés comme positifs à cause du score • Le meilleur modèle : permet de capturer le plus possible de vrais positifs avec le moins possible de faux positifs 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 25 Courbe ROC • La courbe ROC (« receiver operating curve » terme issu du traitement du signal) • sur l’axe Y : on a la sensibilité = α(s) • sur l’axe X : on a 1 - spécificité = 1 - β(s) • proportion y de vrais positifs en fonction de la proportion x de faux positifs, lorsque l'on fait varier le seuil s du score • Exemple : la courbe ROC de la régression logistique précédente passe par le point (0,3;0,9). Ce point correspond à un seuil s qui est tel que : si on considère « risqués » tous les individus dont le score > s, on a détecté : • 30% de faux risqués (30% des non-risqués ont un score >s) • 90 % de vrais risqués (90 % des risqués ont un score > s) • NB : 0,3 ne correspond pas à 30 % de la population totale ! 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 26 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 14
Courbes ROC avec entrée progressive des variables du modèle 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 27 Aire sous la courbe ROC • Aire théorique A sous la courbe ROC = probabilité que score(x) > score(y), si x est tiré au hasard dans le groupe A (à prédire) et y dans le groupe B • 1ère méthode d’estimation : par la méthode des trapèzes • 2e méthode d’estimation : par les paires concordantes • soit n (resp. n ) le nb d’observations dans A (resp. B) 1 2 • on s’intéresse aux n n paires formées d’un x dans A et 1 2 d’un y dans B • parmi ces t paires : on a concordance si score(x) > score(y) ; discordance si score(x) < score(y) • soient nc = nb de paires concordantes ; nd = nb de paires discordantes ; n n - nc - nd = nb d’ex-æquo 1 2 • aire sous la courbe ROC ≈ (nc + 0,5[t - nc - nd]) / n n 1 2 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 28 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 15
Aire sous la courbe et indice de Gini • Le modèle est d'autant meilleur que A est plus proche de 1 • Si l'aire A = 0,5 : modèle pas meilleur qu'une notation aléatoire. Il existe un intervalle de confiance sur A et un test associé : Aire sous la courbe Intervalle de confiance 95% asymptotique Variable(s) de Signif. Borne Borne résultats tests Zone Erreur Std.a asymptotiqueb inférieure supérieure arbre de décision ,887 ,008 ,000000 ,872 ,902 régression logistique ,906 ,007 ,000000 ,892 ,921 analyse discriminante ,889 ,008 ,000000 ,873 ,904 a. Dans l'hypothèse non-paramétrique b. Hypothèse nulle /: zone vraie = 0.5 • Indice de Gini associé à la courbe ROC = 2.(A - 0,5) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 29 Technique de prédiction : La régression linéaire 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 30 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 16
Hypothèses du modèle linéaire • Dans le modèle simple : X et Y deux variables continues • Il n’y a pas d’erreur de mesure sur X • Il existe une relation linéaire entre X et l’espérance de Y : >on peut écrire y = α + βx + ε, pour tout i entre 1 et n i i i • n = nb d’observations et ε = « résidu » de l’observation i • i La moyenne des résidus E(ε) = 0 en tout point X • i 0 La variance des résidus est la même pour toutes les valeurs de X (homoscédasticité) : V(εi) = s² • Les résidus ε sont indépendants (cov(ε,ε ) = 0 ∀ i≠j) et i i j normalement distribués (εi ~ N(0,s²)) • Régression linéaire multiple : • Y = β + β X + … + β X + ε • 0 1 1 k k (avec indépendance des Xi) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 31 Hypothèses du modèle linéaire • On a équivalence de ε ~ N(0,s²) et Y/X=x ~ N(α + βx,s²) • i i i Cette hypothèse de normalité classe la régression linéaire dans la famille des modèles linéaires généraux (GLM) • Dans les modèles linéaires généralisés (voir + loin), la loi de Y/X=x n’est plus nécessairement normale • i Les fluctuations de ε ó Y/X=x correspondent au fait que : i i • des individus avec même valeur x peuvent avoir des i réponses Y différentes (variation synchronique) • OU un même individu mesuré à plusieurs reprises avec la même valeur x peut avoir des réponses Y différentes i (variation diachronique) 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 32 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 17
Méthode des moindres carrés ordinaires (MCO) • On recherche des estimateurs a et b de α et b = ∆Y/∆X β qui minimisent les résidus ε²= (Y -Y)², Y i i i i oùY est prédit par la i droite Y = a + bX ∆Y • L’estimateur b de la pente Yi vaut : • b = cov(X,Y)/(σ )² • X L’estimateur a de la Y constante vaut : • a = Y - b.X • moy moy Y = a + bX ajuste le nuage de points a X ∆X 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 33 Propriétés des estimateurs MCO • MCO est optimale car les estimateurs des coefficients sont : • sans biais : E(a) = α et E(b) = β • de variance minimale • constante : σa²= s² [1/n + Xmoy² / Σ (Xi - Xmoy)²] • avec : s² = variance résiduelle définie plus loin > IC au niveau 100(1-α)% = a ± tα/2,n-p-1. σa • pente : σb² = s² [1/ Σ (Xi - Xmoy)²] > IC au niveau 100(1-α)% = b ± t α/2,n-p-1. σb • parmi tous les estimateurs linéaires, et même parmi tous les estimateurs en ajoutant l’hypothèse de normalité ε ~ N(0,s²) • i Pour diminuer les variances : • diminuer la variance résiduelle s² de l’échantillon • augmenter la taille n de l’échantillon • augmenter l’étendue des valeurs observées de X 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 34 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 18
Que signifie la variance des estimateurs ? • On n’atteint jamais les véritables coefficients α et β car : • le modèle linéaire n’est le plus souvent qu’une approximation de la réalité • on ne travaille que sur des échantillons et non la population entière • on commet des erreurs de mesure • Des modèles sur des échantillons différents donneront des estimations am et bm différents • D’où une variance des estimateurs a et b • Les estimateurs fournis par la MCO sont « BLUE » : best linear unbiased estimators • mais : on accepte parfois (régression ridge) des estimateurs légèrement biaisés si cela permet de diminuer notablement leur variance 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 35 Coefficients de régression et tests Coefficientsa Coefficients non Coefficients s tandardisés standardis és Erreur Modèle B s tandard Bêta t Signification 1 (constante) 1467,643 62,422 23,512 ,000 TEMPERAT -37,060 2,295 -,866 -16,147 ,000 ISOLATIO -29,774 3,492 -,457 -8,526 ,000 a. Variable dépendante : CONSOMMA Valeur des Écart-type des Coefficients Statistique t coefficients estimateurs comparables de Student entre eux Une valeur t > 2 ou t < - 2 est significative à 95 % d’un coeff ≠ 0 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 36 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 19
Sommes des carrés sommedescarrésrésiduels y ( ) i SCE = y − yˆ 2 i i sommedescarréstotale SCT = (y − y )2 i i sommedescarrésdusàlarég. SCR = (yˆ − y )2 i i xi 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 37 Test global du modèle ANOVAb Som m e Modèle des carrés ddl Carré m oyen F Signification 1 Régression 3267046,7 2 1633523,333 167,933 ,000a Rés idu 116727,068 12 9727,256 Total 3383773,7 14 a. Valeurs prédites : (cons tantes ), ISOLATIO, TEMPERAT 2 prédicteurs => régression b. Variable dépendante : CONSOMMA linéaire multiple SCR SCR = somme des carrés « Régression » p F = SCE = somme des carrés « Erreurs » SCE n− p −1 p = nombre de variables n = nombre d’observations suit une loi F de ddl (p,n-p-1) sous l’hypothèse nulle (H ) : R² = SCR / SCT = 1 – (SCE / SCT) (b = b = 0) 0 1 2 variance s² du terme d’erreur = 98,627² 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 38 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Trang 20
Coefficient de détermination • R2 = SCR / SCT • R2 = proportion de variation de la variable cible expliquée par tous les prédicteurs (syn : régresseurs) • Bon ajustement si R² proche de 1 • R2 est biaisé (optimiste car croissant avec le nb de variables) et on lui substitue le R² ajusté : (1− R2 )(n−1) R2ajusté =1− n− p −1 • R² ajusté est toujours < R² et peut être < 0 Erreur standard Modèle R R-deux R-deux ajusté de l'estimation 1 ,983a ,966 ,960 98,627 19/08/2005 a. © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 39 Intervalles de confiance • Ŷ = a + bX est une prévision de Y et de la moyenne E(Y) 0 0 en tout point X de l’intervalle de mesure (car E(ε) = 0) • 0 i D’après les formules sur les variances des estimateurs, les IC à (100-α) % de E(Y) et Y au point X sont : 0 • Ŷ ± t . s [1/n + (X - X )² / Σ (X - X )²]1/2 pour E(Y) 0 α/2,n-p-1 0 moy i moy • Ŷ ± t . s [1 + 1/n + (X - X )² / Σ (X - X )²]1/2 pour 0 α/2,n-p-1 0 moy i moy Y (on a ajouté la variance du terme d’erreur) • Autrement dit, la variance de la valeur prédite pour une observation est : • s² [1 + 1/n + (X - X )² / Σ (X - X )²] > 0 moy i moy Plus difficile d’estimer une valeur possible de Y sachant X 0 que la moyenne des valeurs possibles sachant X > 0 L’IC augmente quand X s ’éloigne de X 0 moy 19/08/2005 © Stéphane Tufféry - Data Mining & Scoring - http://data.mining.free.fr 40 PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!