Nguyễn Phi Hùng - Võ Thành Văn Đại học Khoa học Huế ************** Phương pháp đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ A. Lời nói đầu Qua bài viết này chúng tôi muốn giới thiệu cho các bạn một số kĩ năng đặt ẩn phụ trong giải phương trình vô tỷ. Như chúng ta đã biết có nhiều trường hợp giải một phương trình vô tỷ mà ta biến đổi tương đương sẽ ra một phương trình phức tạp , có thể là bậc quá cao ...Có lẽ phương pháp hữu hiệu nhất để giải quyết vấn đề này chính là đặt ẩn phụ để chuyển về một phương trình đơn giản và dễ giải quyết hơn . Có 3 bước cơ bản trong phương pháp này : - Đặt ẩn phụ và gán luôn điều kiện cho ẩn phụ - Đưa phương trình ban đầu về phương trình có biến là ẩn phụ Tiến hành giải quyết phương trình vừa tạo ra này . Đối chiếu với điều kiện để chọn ẩn phụ thích hợp. - Giải phương trình cho bởi ẩn phụ vừa tìm được và kết luận nghiệm * Nhận xét : - Cái mấu chốt của phương pháp này chính là ở bước đầu tiên . Lí do là nó quyết định đến toàn bộ lời giải hay, dở , ngắn hay dài của bài toán . - Có 4 phương pháp đặt ẩn phụ mà chúng tôi muốn nêu ra trong bài viết này đó là : + PP Lượng giác hoá + PP dùng ẩn phụ không triệt để + PP dùng ẩn phụ đưa về dạng tích + PP dùng ẩn phụ đưa về hệ 2 B. Nội dung phương pháp I. Phương pháp lượng giác hoá : 1. Nếu |x| a thì ta có thể đặt x  asin t ,t         2 ; 2   hoặc x  acos ,tt  ;0   Ví dụ 1 : Giải phương trình: 1 1 1( 2 1 ) 2 2   x  x   x Lời giải : ĐK :| x |1 Đặt          2 ; 2 sin ,   x tt Phương trình đã cho trở thành :                          2 cos 2 3 sin sin 2 2sin 2 1 cos sin 1( 2cos ) 2 cos t t t t t t t t                                              3 4 6 2( )1 2 1 2 3 sin 0 2 cos )1 0 2 3 ( 2 sin 2 cos    t k t k t t t t Kết hợ p với điều kiện của t suy ra : 6  t  Vậy phương trình có 1 nghiệm : 2 1 6 sin          x Ví dụ 2 : Giải phương trình:   3 1 3 2 1 1 1( ) 1( ) 2 2 3 3 x x x x         Lời giải : ĐK : | x | 1 Khi đó VP > 0 . Nếu  0;1 : 1( ) 1( ) 0 3 3 x    x   x  Nếu  1;0 : 1( ) 1( ) 0 3 3 x   x   x  . Đặt x  cost , với        2 ;0  t ta có : t t t t t t t sin 2 sin 2 1 2 sin 2 6 cos 1 2 sin 2 cos 2 cos 2 2 6 sin 3 3                                                          6 1  6 cost 1 2  sin t  0  cost  Vậy nghiệm của phương trình là 6 1 x  Ví dụ 3 : Giải phương trình: x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2          Lời giải : ĐK : 2 1 | x | Đặt 2x  cos ,tt   ;0   phương trình đã cho trở thành :   sin sin 2 0 cos 0 sin 4 2 1 sin 2 cot 2 2 tan 2 cos 2 sin 3 2 2                                             t t t t t t an t t t Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x  0 3 Ví dụ 4 (THTT): Giải phương trình: 3 2 3 x  x  x  (1) Hướng dẫn : Nếu x  2 : phương trình không xác định . Chú ý với x  2 ta có : 3  4 2 3 2 x  x  x  x x   x  x  Vậy để giải phương trình (1) ta chỉ cần xét với x  2;2  Đặt x  2cos ,tt  ;0   khi đó phương trình đã cho trở thành :        2 cos3 cos t t 2. Nếu | x | a thì ta có thể đặt : , 0 2 ; 2 , sin         t   t t a x   hoặc   2 , ;0 ; cos   t   t  t a x Ví dụ 5 : Giải phương trình: 1 1 1 1 2 2           x x Lời giải : ĐK :| x | 1 Đặt          2 ; 2 , sin 1   t t x Phương trình đã cho trở thành :   0 sin 1 1 cot 1 cos cot cos cos sin 1 2 2               t ant t ant t t t               t k t t 12 2 1 sin 2 cos 0 kết hợp với điều kiện của t suy ra 12  t   Vậy phương trình có 1 nghiệm : 2 3 1 12 sin 1             x Tổng quát: Giải phương trình a x x a           1 1 2 2 Ví dụ 6 : Giải phương trình: 2 9 3 2    x x x Lời giải : ĐK : | x | 3 Đặt   2 , ;0 , cos 3   t   t  t x , phương trình đã cho trở thành : 3 2 4 cos 3 4 2 2 1 sin 2 2sin 2 sin 2