Trang 1
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Kinh tế lƣợng cơ sở - 3rd ed. Niên khóa 2010-2012 Bài đọc Ch 2: Phân tích hồi quy hai biến: Một số ý tưởng cơ bản Ch.3: Mô hình hồi quy hai biến: Vấn đề ước lượng CHCHƯƠƯƠNGNG 22 PHPHÂÂNN TTÍÍCCHH HHỒỒI QI QUUYY HHAAII BBIIẾẾN:N: MMỘỘT ST SỐỐ Ý TÝ TƯƯỞỞNGNG CCƠƠ BBẢẢNN Trong chƣơng 1 chúng ta đã thảo luận về khái niệm hồi quy một cách tổng quát. Trong chƣơng này chúng ta sẽ tiếp cận vấn đề một cách tƣơng đối hệ thống hơn. Đặc biệt, chƣơng này và ba chƣơng tiếp theo sẽ giúp bạn đọc làm quen với lý thuyết làm nền tảng cho một phân tích hồi quy đơn giản nhất có thể có đƣợc, gọi là hồi quy hai biến. Chúng ta xem xét trƣờng hợp này trƣớc, không nhất thiết bởi vì khả năng thực tế của nó, mà bởi vì nó trình bày cho chúng ta những ý tƣởng cơ bản của phân tích hồi quy một cách đơn giản nhất có thể đƣợc và một số trong những ý tƣởng này có thể đƣợc minh họa bằng các biểu đồ hai chiều. Hơn nữa, nhƣ chúng ta sẽ thấy, đứng về nhiều phƣơng diện trƣờng hợp phân tích hồi quy bội tổng quát là sự mở rộng hợp lý của trƣờng hợp hồi quy hai biến. 2.1 MỘT VÍ DỤ GIẢ THIẾT Nhƣ đã chỉ ra ở Phần 1.2, phân tích hồi quy chủ yếu là để ƣớc lƣợng và/hay dự đoán trung bình (tổng thể) hoặc giá trị trung bình của biến độc lập trên cơ sở các giá trị đã biết hoặc đã xác định của (các) biến giải thích. Để hiểu điều này đƣợc thực hiện nhƣ thế nào, hãy xem xét ví dụ sau. Giả thiết có một quốc gia với một tổng thể1 là 60 gia đình. Giả sử chúng ta quan tâm đến việc nghiên cứu mối quan hệ giữa Y chi tiêu tiêu dùng hàng tuần của gia đình và X thu nhập khả dụng hàng tuần của gia đình hay thu nhập sau khi đã đóng thuế. Nói một cách cụ thể hơn là giả định rằng chúng ta muốn dự đoán mức trung bình (tổng thể) của chi tiêu tiêu dùng hàng tuần khi biết thu nhập hàng tuần của gia đình. Để thực hiện điều này, giả sử chúng ta chia 60 gia đình thành 10 nhóm có thu nhập tƣơng đối nhƣ nhau và xem xét chi tiêu tiêu dùng của các gia đình trong từng mỗi nhóm thu nhập này. Các dữ liệu giả thiết nằm ở Bảng 2.1. (Với mục đích để thảo luận, giả định rằng chỉ những mức thu nhập đƣa ra ở bảng 2.1 là thật sự đƣợc quan sát.) Bảng 2.1 sẽ đƣợc giải thích nhƣ sau: Ví dụ nhƣ, tƣơng ứng với thu nhập hàng tuần là 80 đôla, có năm gia đình có mức chi tiêu tiêu dùng hàng tuần trong khoảng 55 đến 75 đôla. Tƣơng tự, với X = 240$, có sáu gia đình có mức chi tiêu tiêu dùng hàng tuần nằm trong khoảng 137$ và 189$. Nói một cách khác, mỗi cột dọc (dãy đứng) của Bảng 2.1 cho thấy sự phân phối của chi tiêu tiêu dùng Y tƣơng ứng với một mức thu nhập X cố định: có nghĩa là, nó cho thấy phân phối có điều kiện của Y phụ thuộc vào các giá trị nhất định của X. Lƣu ý rằng các dữ liệu trong Bảng 2.1 tiêu biểu cho tổng thể, chúng ta có thể dễ dàng tính toán các các xác suất có điều kiện của Y, p(Y X), xác suất của Y với điều kiện X sẽ nhƣ sau.2 Ví dụ, với X= 80$, có 5 giá trị của Y: 55$, 60$, 65$, 70$, và 75$. Do đó, với X=80, xác suất để 1 Ý nghĩa thống kê của thuật ngữ tổng thể đƣợc giải thích ở phần phụ lục A. Nói đơn giản, nó là tập hợp của tất cả các kết cuộc có thể xảy ra của một thí nghiệm hay một đo đạc, ví dụ: tung một đồng tiền nhiều lần hay ghi chép lại giá cả của tất cả các chứng khóan trên Thị trƣờng Trao đổi Chứng khoán New York vào cuối một ngày kinh doanh. 2 Giải thích về ký hiệu: biểu thức p(Y X) hay p(Y X ) là viết tắt cho p(Y=Y X=X ), có nghĩa là, xác suất để biến i j i ngẫu nhiên (rời rạc) Y có giá trị bằng số là Yj với điều kiện biến ngẫu nhiên (rời rạc) X có giá trị bằng số là Xi. Tuy nhiên để tránh làm lộn xộn các ký hiệu, chúng tôi sẽ dùng chỉ số ở dƣới i (chỉ số của quan sát) cho cả hai biến. Nhƣ vậy, p(Y X) hay p(Y Xi) sẽ thay thế cho p(Y=Yi X=Xi), có nghĩa là, xác suất để Y có giá trị Yi khi X lấy giá trị Xi, vấn đề gặp phải ở đây là làm sáng tỏ phạm vi giá trị của Y và X. Trong Bảng 2.1, khi X=$220, Y sẽ nhận 7 giá trị khác nhau, nhƣng khi X = $120, Y chỉ nhận 5 giá trị. Damodar. N. Gujarati 1 Biên dịch: Thạch Quân Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 2
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Kinh tế lƣợng cơ sở - 3rd ed. Bài đọc Ch 2: Phân tích hồi quy hai biến: Một số ý tưởng cơ bản Ch.3: Mô hình hồi quy hai biến: Vấn đề ước lượng có đƣợc bất kỳ một trong số những chi tiêu tiêu dùng này là 1/5. Biểu thị bằng các ký hiệu toán học là p(Y= 55 X = 80) = 1/5. Tƣơng tự, p(Y= 150 X = 260) = 1/7, v.v. Xác suất có điều kiện của các dữ liệu trong Bảng 2.1 đƣợc trình bày trong Bảng 2.2. Bây giờ đối với mỗi phân phối xác suất có điều kiện của của Y chúng ta có thể tính đƣợc số trung bình hoặc giá trị trung bình của nó, đƣợc gọi là trung bình có điều kiện hay kỳ vọng có điều kiện, đƣợc thể hiện bằng E(Y X = Xi) và đƣợc diễn giải là "giá trị kỳ vọng của Y khi X nhận một giá trị cụ thể Xi," để đơn giản hóa về mặt ký hiệu chúng ta viết lại thành nhƣ sau: E(Y Xi). (Lƣu ý: một giá trị kỳ vọng chỉ đơn thuần là trung bình tổng thể hay giá trị trung bình). Đối với các dữ liệu giả thiết của chúng ta, những kỳ vọng có điều kiện này có thể đƣợc tính toán một cách dễ dàng bằng cách nhân các giá trị Y tƣơng ứng trong Bảng 2.1 với các xác suất có điều kiện của chúng trong Bảng 2.2 và cộng các kết quả này lại. Để minh họa, trung bình có điều kiện tức kỳ vọng có điều kiện của Y với X = 80 là 55(1/5) + 60(1/5) + 65(1/5) + 70(1/5) + 75(1/5) = 65. Nhƣ vậy kết quả các trung bình có điều kiện đƣợc đặt trong hàng cuối cùng của Bảng 2.2. BẢNG 2.1 Thu nhập gia đình hàng tuần X, $ X Y 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 Chi tiêu 55 65 79 102 102 110 120 135 137 150 tiêu dùng 60 70 84 93 107 115 136 137 145 152 gia đình 65 74 90 95 110 120 140 140 155 175 hàng 70 80 94 103 116 130 144 152 165 178 tuần Y, $ 75 85 98 108 118 135 145 157 175 180 _ 88 _ 113 125 140 _ 160 189 185 _ _ _ 115 _ _ _ 162 _ 191 Tổng cộng 325 462 445 707 678 750 685 1043 966 1211 Trƣớc khi tiếp tục, việc xem xét các dữ liệu của Bảng 2.1 trên một đồ thị phân tán sẽ giúp cho ta nhiều điều bổ ích, nhƣ trong hình 2.1. Đồ thị phân tán cho thấy phân phối có điều kiện của Y ứng với các giá trị khác nhau của X. Mặc dù có sự biến đổi trong chi tiêu tiêu dùng của từng gia đình, Hình 2.1 cho thấy một cách rất rõ ràng là chi tiêu tiêu dùng về mặt trung bình sẽ tăng khi thu nhập tăng. Nói một cách khác, đồ thị phân tán cho thấy rằng các giá trị trung bình (có điều kiện ) của Y tăng khi X tăng. Có thể nhận thấy quan sát này một cách sinh động hơn nếu chúng ta tập trung vào các điểm có kích thƣớc lớn thể hiện các trung bình có điều kiện khác nhau của Y. Đồ thị phân tán cho thấy rằng các trung bình có điều kiện này nằm trên một hàng thẳng với một độ dốc đồng biến.3 Đƣờng thẳng này đƣợc gọi là đƣờng hồi qui tổng thể, hoặc gọi một cách khái quát, là đƣờng cong hồi qui tổng thể. Đơn giản hơn, đƣờng thẳng đó chính là hồi qui của Y trên X. 3Các bạn đọc cần nhớ các dữ liệu của ta là giả thiết. Ở đây chúng tôi không gợi ý rằng trung bình có điều kiện sẽ luôn nằm trên một đƣờng thẳng; chúng có thể nằm trên một đƣờng cong. Damodar. N. Gujarati 2 Biên dịch: Thạch Quân Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 3
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Kinh tế lƣợng cơ sở - 3rd ed. Bài đọc Ch 2: Phân tích hồi quy hai biến: Một số ý tưởng cơ bản Ch.3: Mô hình hồi quy hai biến: Vấn đề ước lượng BẢNG 2.2 Xác suất có Điều kiện p(Y Xi) của dữ liệu trong Bảng 2.1 p(Y Xi) X 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 Xác suất 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 có điều kiện 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 p(Y Xi) 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 1/5 1/6 1/5 1/7 1/6 1/6 1/5 1/7 1/6 1/7 _ 1/6 _ 1/7 1/6 1/6 _ 1/7 1/6 1/7 _ _ _ 1/7 _ _ _ 1/7 _ 1/7 Trung bình có điều kiện của Y 65 77 89 101 113 125 137 149 161 173 Như vậy về mặt hình học, một đường cong hồi qui tổng thể đơn giản là quỹ tích của các trung bình có điều kiện hay các kỳ vọng có điều kiện của biến số phụ thuộc đối với các giá trị xác định của (các) biến giải thích. Có thể vẽ đƣờng này nhƣ trong hình 2.2, cho thấy đối với mỗi Xi có một tổng thể các giá trị Y (đƣợc giả định là có phân phối chuẩn vì những lý do chúng tôi sẽ giải thích sau) và một trung bình (có điều kiện ) tƣơng ứng. Và đƣờng thẳng hay đƣờng cong hồi qui đi ngang qua những giá trị trung bình có điều kiện này. Với cách giải thích này về đƣờng cong hồi qui các bạn có lẽ cảm thấy sẽ bổ ích hơn nếu đọc lại định nghĩa của hồi qui đã cho trong phần 1.2. Hình 2.1 Phân phối có điều kiện của chi tiêu đối với những mức độ thu nhập khác nhau (dữ liệu ở Bảng 2.1) Damodar. N. Gujarati 3 Biên dịch: Thạch Quân Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 4
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Kinh tế lƣợng cơ sở - 3rd ed. Bài đọc Ch 2: Phân tích hồi quy hai biến: Một số ý tưởng cơ bản Ch.3: Mô hình hồi quy hai biến: Vấn đề ước lượng Hình 2.2 Đƣờng hồi quy tổng thể (dữ liệu của Bảng 2.10) 2.2 KHÁI NIỆM HÀM HỒI QUI TỔNG THỂ (PRF) Từ phần thảo luận trƣớc và đặc biệt là từ hai hình 2.1 và 2.2, rõ ràng là mỗi trung bình có điều kiện E(Y Xi) là một hàm của Xi. Thể hiện bằng các ký hiệu: E(Y Xi) = f (Xi) (2.2.1) trong đó f (Xi) là hàm của biến giải thích Xi. [Trong ví dụ giả thiết của chúng ta, E(Y Xi) là hàm tuyến tính của Xi.] Phƣơng trình (2.2.1) đƣợc gọi là hàm hồi qui tổng thể (hai biến) (PRF), hay một cách ngắn gọn là hồi qui tổng thể (PR). Phát biểu một cách đơn giản là, trung bình (tổng thể) của phân phối của Y với điều kiện Xi là có quan hệ hàm số với Xi. Nói một cách khác, nó cho biết giá trị trung bình của Y biến đổi nhƣ thế nào so với X. Hàm f (Xi) có dạng nhƣ thế nào? Câu hỏi này quan trọng bởi vì trong những tình huống thực tế chúng ta không có sẵn toàn bộ tổng thể để xem xét. Do đó, dạng hàm của PRF là một vấn đề thực nghiệm, mặc dù trong các trƣờng hợp cụ thể lý thuyết có thể giúp cho ta môt vài điều. Ví dụ, một nhà kinh tế học có thể giả thiết rằng chi tiêu tiêu dùng là có quan hệ tuyến tính với thu nhập. Nhƣ vậy, giả thiết gần đúng hay có thể đúng đầu tiên của chúng ta là giả định rằng PRF E(Y Xi) là một hàm tuyến tính của Xi, giả dụ thuộc loại E(Y Xi) = i + 2Xi (2.2.2) trong đó 1 và 2 là những thông số không biết nhƣng không thay đổi đƣợc gọi là các hệ số hồi qui; 1 và 2 còn đƣợc tuần tự gọi là hệ số tung độ gốc và hệ số độ dốc. Phƣơng trình (2.2.2) đƣợc gọi là hàm hồi qui tổng thể tuyến tính. Một số biểu thức thay thế đƣợc dùng trong các tài liệu là mô hình hồi qui tổng thể tuyến tính hay phƣơng trình hồi qui tổng thể tuyến tính. Trong các phần tiếp theo sau, các thuật ngữ hồi qui, phƣơng trình hồi qui, và mô hình hồi qui sẽ đƣợc dùng với nghĩa nhƣ nhau. Khi phân tích hồi qui mối quan tâm của chúng ta là để dự đoán các PRF nhƣ (2.2.2), có nghĩa là, dự đoán các giá trị không biết 1 và 2 trên cơ sở quan sát trên Y và X. Vấn đề này sẽ đƣợc nghiên cứu chi tiết ở Chƣơng 3. Damodar. N. Gujarati 4 Biên dịch: Thạch Quân Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 5
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Kinh tế lƣợng cơ sở - 3rd ed. Bài đọc Ch 2: Phân tích hồi quy hai biến: Một số ý tưởng cơ bản Ch.3: Mô hình hồi quy hai biến: Vấn đề ước lượng 2.3 Ý NGHĨA CỦA THUẬT NGỮ "TUYẾN TÍNH" Bởi vì tài liệu này quan tâm chủ yếu đến các mô hình tuyến tính nhƣ (2.2.2), do đó điều cần thiết là phải biết thuật ngữ "tuyến tính" thật sự có ý nghĩa gì, bởi vì có thể hiểu từ này theo hai cách khác nhau. Sự tuyến tính theo các Biến số Ý nghĩa đầu tiên và có lẽ “tự nhiên” hơn của sự tuyến tính đó là kỳ vọng có điều kiện của Y là một hàm tuyến tính của X , ví dụ nhƣ là (2.2.2).4 Về mặt hình học, đƣờng cong tuyến tính trong i trƣờng hợp này là một đƣờng thẳng. Theo cách giải thích này, một hàm tuyến tính nhƣ E(Y Xi) = + X2 không phải là một hàm tuyến tính bởi vì biến số X xuất hiện với số mũ hay lũy thừa 1 2 i 2. Sự tuyến tính theo các Thông số Cách giải thích thứ hai của sự tuyến tính là kỳ vọng có điều kiện của Y , E(Y Xi), là một hàm tuyến tính theo các thông số, các ; nó có thể tuyến tính hoặc có thể không tuyến tính theo biến X.5 Theo cách giải thích này, E(Y X ) = + X 2 là một mô hình tuyến tính nhƣng E(Y X ) = i 1 2 i i 1 + Xi thì không phải. Biểu thức thứ hai là một ví dụ của mô hình hồi qui không tuyến 2 tính (theo các thông số); chúng ta sẽ không bàn tới những mô hình nhƣ vậy trong tài liệu này. Trong hai cách giải thích về sự tuyến tính, tuyến tính theo các thông số là có liên quan đến sự phát triển của lý thuyết hồi qui dƣới đây. Do đó, từ đây trở đi, thuật ngữ hồi qui "tuyến tính" sẽ luôn có nghĩa là một hồi qui tuyến tính theo các thông số, các , (có nghĩa là, các thông số chỉ có lũy thừa bằng 1 mà thôi); nó có thể có tuyến tính hoặc có thể không tuyến tính theo các biến giải thích, tức các giá trị X . Điều này đƣợc trình bày một cách sơ đồ hóa trong Bảng 2.3. Nhƣ vậy, E(Y Xi) = 1 + 2Xi sẽ tuyến tính theo thông số và theo biến số, là một LRM, và E(Y Xi) = + X2 cũng vậy, sẽ tuyến tính theo các thông số nhƣng không tuyến tính theo biến số X. 1 2 i BẢNG 2.3 Các Mô hình Hồi qui Tuyến tính Mô hình tuyến tính theo các thông số ? Mô hình tuyến tính theo các biến số ? Phải Không phải Phải LRM LRM Không phải NLRM NLRM Chú ý: LRM = mô hình hồi qui tuyến tính 4 Hàm Y = f(x) đƣợc coi là tuyến tính theo X nếu X xuất hiện với lũy thừa hay chỉ số chỉ bằng 1 mà thôi (có nghĩa là những số hạng nhƣ X2, X v.v. đƣợc loại bỏ) và không đƣợc nhân hay chia với bất cứ một biến nào khác (ví dụ, X *Z hay X/Z, trong đó Z là một biến khác). Nếu Y chỉ phụ thuộc vào một mình X, một cách khác để nói rằng Y có quan hệ tuyến tính với X là tỉ lệ thay đổi của Y so với X (có nghĩa là độ dốc, hay đạo hàm, của Y so với X, dY/dX) là không phụ thuộc vào giá trị của X. Nhƣ vậy, nếu Y=4X, dY/dX=4, tức kết quả này không phụ thuộc vào giá trị của X. Nhƣng nếu Y=4X2, dY/dX =8X, tức có phụ thuộc vào giá trị của X. Do đó hàm này không tuyến tính theo X. 5 Một hàm đƣợc gọi là tuyến tính theo thông số , ví dụ nhƣ , nếu xuất hiện với lũy thừa bằng 1 và không nhân 1 1 hay chia bất cứ một thông số nào khác (ví dụ 12, 2/1, v.v.) Damodar. N. Gujarati 5 Biên dịch: Thạch Quân Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 6
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Kinh tế lƣợng cơ sở - 3rd ed. Bài đọc Ch 2: Phân tích hồi quy hai biến: Một số ý tưởng cơ bản Ch.3: Mô hình hồi quy hai biến: Vấn đề ước lượng NLRM = mô hình hồi qui không tuyến tính 2.4 ĐẶC TRƢNG NGẪU NHIÊN CỦA PRF Từ hình 2.1 ta thấy rõ rằng khi thu nhập gia đình tăng, chi tiêu tiêu dùng của gia đình về mặt trung bình cũng tăng theo. Nhƣng còn chi tiêu tiêu dùng của từng gia đình so với mức thu nhập (không đổi) của mình thì sao? Từ hình 2.1 và Bảng 2.1 ta thấy rõ chi tiêu tiêu dùng của từng gia đình không nhất thiết phải tăng khi mức thu nhập tăng. Ví dụ, trong Bảng 2.1 chúng ta quan sát thấy tƣơng ứng với mức thu nhập 100 đôla có một gia đình với mức chi tiêu tiêu dùng là 65 đôla thấp hơn mức chi tiêu tiêu dùng của hai gia đình mà mức thu nhập hàng tuần chỉ có 80 đôla. Nhƣng lƣu ý rằng mức chi tiêu tiêu dùng trung bình của các gia đình với thu nhập hàng tuần là 100 đôla là lớn hơn mức chi tiêu tiêu dùng trung bình của những gia đình có mức thu nhập hàng tuần là 80 đôla (77 đôla so với 65 đôla). Nhƣ vậy, chúng ta có thể nói gì về mối tƣơng quan giữa mức chi tiêu tiêu dùng của một gia đình cá thể và một mức thu nhập nhất định? Từ hình 2.1 chúng ta thấy rằng với mức thu nhập là Xi, mức chi tiêu tiêu dùng của một gia đình cá thể nằm xung quanh chi tiêu trung bình của tất cả các gia đình ở tại Xi, có nghĩa là xung quanh kỳ vọng có điều kiện của nó. Do đó, chúng ta có thể diễn đạt độ lệch của một Yi xung quanh giá trị kỳ vọng của nó nhƣ sau: ui = Yi - E(Y Xi) hay Yi = E(Y Xi) + ui (2.4.1) trong đó độ lệch ui là một biến số ngẫu nhiên không thể quan sát có các giá trị âm và dƣơng. Diễn đạt bằng thuật ngữ chuyên môn, ui đƣợc gọi là số hạng nhiễu ngẫu nhiên hay số hạng sai số ngẫu nhiên. Chúng ta giải thích (2.4.1) nhƣ thế nào? Chúng ta có thể nói rằng chi tiêu của một gia đình cá thể, khi biết mức thu nhập của nó, có thể đƣợc thể hiện nhƣ là tổng của hai thành tố, (1) E(Y Xi), đơn giản là chi tiêu tiêu dùng trung bình của tất cả các gia đình có cùng mức thu nhập. Thành tố này đƣợc gọi là thành tố tất định hay hệ thống, và (2) ui, là thành tố ngẫu nhiên hay không hệ thống. Chúng ta sẽ nhanh chóng xem xét bản chất của số hạng nhiễu ngẫu nhiên, nhƣng tạm thời giả định rằng nó là một số hạng thay thế hay đại diện cho tất cả các biến số ta bỏ ra ngoài hay bỏ sót mà có thể ảnh hƣởng đến Y nhƣng không đƣợc (hay không thể) đƣa vào trong mô hình hồi qui. Nếu E(Y Xi) đƣợc giả định là tuyến tính theo Xi , nhƣ trong (2.2.2), phƣơng trình (2.4.1) có thể đƣợc biểu thị nhƣ sau: Yi = E(Y Xi) + ui = 1 + 2Xi + ui (2.4.2) Phƣơng trình (2.4.2) giả định rằng chi tiêu tiêu dùng của một gia đình có quan hệ tuyến tính đối với thu nhập cộng với số hạng nhiễu. Nhƣ vậy, chi tiêu tiêu dùng của một gia đình, với X = 80$ (xem Bảng 2.1), có thể đƣợc biểu thị nhƣ sau Y1 = 55 = 1 + 2(80) + u1 Y2 = 60 = 1 + 2(80) + u2 Y3 = 65 = 1 + 2(80) + u3 (2.4.3) Y4 = 70 = 1 + 2(80) + u4 Damodar. N. Gujarati 6 Biên dịch: Thạch Quân Hiệu đính: Cao Hào Thi
Hiển thị 6 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!