Trang 1
A. MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Trong bối cảnh đổi mới giáo dục phổ thông theo Chương trình GDPT 2018, việc dạy học môn Hóa học ngày càng được chú trọng phát triển theo hướng tăng cường năng lực tư duy, vận dụng kiến thức vào thực tiễn, đồng thời tiếp cận với các thành tựu khoa học hiện đại. Một trong những định hướng quan trọng là tăng cường nền tảng lý thuyết sâu sắc, giúp học sinh không chỉ nắm vững bản chất các hiện tượng hóa học mà còn phát triển tư duy phân tích, mô hình hóa – những năng lực cốt lõi trong chương trình mới. Trong hóa học, nền tảng lý thuyết được hình thành chủ yếu từ hai trụ cột: cơ sở các quá trình hóa học và cơ sở cấu tạo nguyên tử - phân tử. Trong những thập niên gần đây, sự phát triển mạnh mẽ của cơ học lượng tử và việc vận dụng nó vào hóa học – tức hóa học lượng tử – đã mở rộng đáng kể tầm nhìn về cấu trúc vật chất. Những mô hình như "giếng thế", "hàm sóng", hay "hạt trong hộp" không chỉ là công cụ tính toán trong nghiên cứu hiện đại, mà còn là cơ sở giúp học sinh hiểu rõ hơn bản chất của nguyên tử, liên kết hóa học và các tính chất vật lý – hóa học của vật chất. Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy – đặc biệt là tại các trường THPT chuyên, nơi có nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh giỏi – việc cập nhật và tích hợp kiến thức hóa học lượng tử hiện đại vẫn còn gặp nhiều khó khăn: - Nội dung sách giáo khoa và tài liệu chuyên đề hiện nay chưa đủ sâu để đáp ứng yêu cầu của chương trình học sinh giỏi Quốc gia, đặc biệt là Olympic quốc tế, trong khi đó yêu cầu đề thi ngày càng cao, gắn với bản chất cấu trúc vi mô. - Các tài liệu tham khảo phần lớn chỉ dừng ở lý thuyết, thiếu hệ thống bài tập vận dụng chuyên sâu, nhất là các dạng bài có khả năng phát triển tư duy mô hình hóa – một yêu cầu nổi bật trong xu hướng ra đề hiện nay. - Giáo viên phải tự xây dựng hệ thống bài tập nâng cao từ nhiều nguồn tài liệu rải rác, thiếu tính hệ thống, gây khó khăn trong công tác bồi dưỡng. Vì vậy, việc xây dựng hệ thống bài tập theo mô hình giếng thế – một mô hình điển hình của hóa học lượng tử – là một hướng tiếp cận vừa mang tính nền tảng, vừa hiện đại. Không chỉ cung cấp cho học sinh công cụ tư duy mô hình hóa hệ vi mô, mà còn tạo cơ hội tiếp xúc với kiến thức gần với chương trình đại học, từ đó phát triển tư 1
Trang 2
duy phân tích, khái quát, lập luận toán học và khoa học – những năng lực cốt lõi cần thiết trong thi học sinh giỏi và Olympic Hóa học quốc tế. Từ thực tế đó, chúng tôi thực hiện chuyên đề "Khai thác bài toán giếng thế trong hóa học lượng tử để phát triển tư duy học sinh giỏi", nhằm: - Thiết kế hệ thống bài học và bài tập có tính chọn lọc, nâng cao; - Gắn với định hướng phát triển năng lực trong chương trình GDPT 2018; - Hỗ trợ giáo viên và học sinh trong công tác bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia và quốc tế. 2. Mục đích nghiên cứu Vận dụng kiến thức hóa học lượng tử, đặc biệt là mô hình giếng thế, nhằm nâng cao khả năng giải thích bản chất cấu tạo nguyên tử, phân tử và một số quá trình hóa học trong chương trình hóa học phổ thông nâng cao. Xây dựng hệ thống bài tập chuyên sâu có tính phân hóa cao, gắn với nội dung thi học sinh giỏi Quốc gia và Olympic quốc tế, đồng thời phát triển tư duy mô hình hóa và phân tích định lượng cho học sinh chuyên Hóa. 3. Nhiệm vụ của đề tài Nghiên cứu lý thuyết về cấu tạo nguyên tử trong chương trình hóa học đại cương và đối chiếu với nội dung giảng dạy phần cấu tạo nguyên tử trong sách giáo khoa Hóa học lớp 10 (chuyên) theo Chương trình GDPT 2018. Phân tích, phân loại và hệ thống hóa các dạng bài tập về cấu tạo nguyên tử, phân tử trong sách giáo khoa, sách bài tập, tài liệu chuyên đề và đề thi học sinh giỏi các cấp. Khai thác các mô hình lượng tử điển hình như giếng thế một chiều, hạt trong hộp, mô hình dao động điều hòa,... để xây dựng hệ thống bài tập phát triển năng lực học sinh. Sử dụng một số phần mềm hoặc phương pháp tính toán hóa học lượng tử phổ thông để minh họa bản chất cấu tạo và tính chất phân tử. Thiết kế đề xuất bài học/chuyên đề tích hợp có thể ứng dụng trong dạy học chuyên Hóa ở trường THPT chuyên. 2
Trang 3
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 4.1. Đối tượng nghiên cứu Nội dung chương trình cấu tạo nguyên tử – phân tử trong sách giáo khoa, tài liệu chuyên đề Hóa học THPT chuyên, các đề thi học sinh giỏi Quốc gia và Olympic quốc tế. Các tài liệu đại học Hóa lý/Hóa lượng tử có thể khai thác để đưa vào giảng dạy phổ thông nâng cao. Các bài toán mô hình hóa (giếng thế, dao động tử,...). 4.2. Phạm vi nghiên cứu Tập trung vào phần kiến thức về cấu tạo nguyên tử và phân tử trong chương trình chuyên Hóa bậc THPT (lớp 10–11), có tích hợp mở rộng ở mức độ đại học (các kiến thức cơ bản của Hóa lượng tử/Hóa lý). Các ứng dụng hóa học lượng tử có thể trình bày ở mức phổ thông nâng cao, phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. 5. Phương pháp nghiên cứu. 5.1. Phương pháp nghiên cứu lý luận - Nghiên cứu các tài liệu Hóa học đại cương, Hóa lý, Hóa lượng tử để xác lập nền tảng lý thuyết về cấu tạo nguyên tử, mô hình lượng tử và cơ sở toán học tương ứng. - Phân tích, so sánh, tổng hợp và phân loại các bài toán cấu tạo nguyên tử có tính vận dụng kiến thức hóa học lượng tử trong đề thi học sinh giỏi Quốc gia và Olympic quốc tế. - Ứng dụng phần mềm mô phỏng hoặc tính toán phổ thông (như PhET, Avogadro, hoặc phần mềm đơn giản mô phỏng hàm sóng) để trực quan hóa nội dung giảng dạy. 5.2. Phương pháp nghiên cứu thực tiễn - Khảo sát thực tiễn giảng dạy tại các lớp chuyên Hóa ở THPT chuyên: nội dung, phương pháp, mức độ cập nhật kiến thức hiện đại trong cấu tạo nguyên tử. - Phỏng vấn, trao đổi với giáo viên có kinh nghiệm bồi dưỡng học sinh giỏi. 3
Trang 4
B. NỘ I DUNG< CHƯƠNG I. MỘT SỐ CƠ SỞ VÀ TỔNG QUAN I. MỘ T S< Ố VẤN ĐỀ TIỀN CƠ HỌC LƯỢNG TỬ 1. Thuyết lượng tử Planck Theo Planck, một dao động tử dao động với tần số chỉ có thể phát ra hay hấp thụ năng lượng theo từng đơn vị nguyên vẹn, từng lượng gián đoạn, được gọi là lượng tử năng lượng. Lượng tử năng lượng đó tỉ lệ thuận với tần số của dao động. trong đó h – hằng số Planck, h = 6,625 10-34 J.s - tần số dao động ( , c- tốc độ ánh sáng trong chân không, c=3 108m/s, - độ dài sóng ,m). Ý nghĩa quan trọng của thuyết lượng tử Plank là đã phát hiện ra tính chất gián đoạn hay tính chất lượng tử của năng lượng trong các hệ vi mô. Năng lượng của electron trong nguyên tử,năng lượng quay....đều nhận những giá trị gián đoạn là: Mặt khác, vì năng lượng của dao động tử phát ra hay hấp thụ dưới dạng năng lượng bức xạ nên thuyết lượng tử Planck cũng có nghĩa là : “Ánh sáng hay bức xạ nói chung gồm những lượng tử năng lượng ”. 2. Lưỡng tính sóng hạt của ánh sáng 2.1. Hiệu ứng quang điện Hiệu ứng quang điện là hiện tượng giải phóng ra các electron khỏi bề mặt kim loại dưới tác dụng của bức xạ chiếu vào. Đối với kim loại xác định , điều kiện để có hiệu ứng quang điện là bức xạ được chiếu vào bề mặt kim loại phải có một tần số tối thiểu gọi là tần số giới hạn. Nếu bức xạ có tần số thì năng lượng của bức xạ một phần dùng vào việc giải phóng electron khỏi bề mặt kim loại, một phần truyền động năng cho electron: 2.2. Lưỡng tính sóng- hạt của vật chất Sự chuyển động của mọi hạt vật chất có khối lượng m và tốc độ v đều liên hệ với 4
Trang 5
một sóng có độ dài được xác định bởi hệ thức de Broglie : trong đó p- động lượng của hạt. Ví dụ, tính độ dài sóng của một hạt bụi khối lượng 0,01mg chuyển động với v=1,0mm/s và độ dài sóng của một electron khối lượng 9,1 10-31kg chuyển động với tốc độ 1,0 106m/s. Giải: Electron Hạt bụi: Độ dài sóng của hạt bụi quá nhỏ, chỉ thể hiện khi tương tác với mạng nhiễu xạ có khe hở khoảng 6,6 10-23m. Khoảng cách như thế nhỏ hơn nhiều so với kích thước nguyên tử (cỡ 10-10m) nên khi tương tác với đối tượng thực, tính chất sóng của hạt bụi không thể hiện. Trong khi đó bước sóng của elctron lớn hơn nhiều. Sự nhiễu xạ của sóng như vậy có thể quan sát được khi các electron tương tác với các nguyên tử trong tinh thể. 2.3. Hệ thức bất định Heisenberg Theo Heisenberg, không thể xác định đồng thời chính xác cả vị trí lẫn động lượng của vi hạt. Chẳng hạn, một hạt chuyển động theo phương x với độ bất định về tọa độ là và độ bất định về động lượng là thì hệ thức bất định có dạng: hoặc Ví dụ: Phép đo tọa độ x của electron có độ chính xác vào khoảng 10-3 đường kính nguyên tử (khoảng 10-8cm). Có thể xác định được chính xác tốc độ chuyển động của electron hay không? Giải: Khối lượng của electron là 9,1 10-31 kg. Theo đầu bài ta có . Ta có 5
Trang 6
Thay vào tính được mà tốc độ ánh sáng trong chân không là 3 108m/s. Vậy không thể xác định được vận tốc của electron khi đã biết tọa độ của nó. Từ ví dụ này ta thấy tầm quan trọng của nguyên lý bất định ở quy mô nguyên tử. Chẳng hạn, không thể biết chính xác quỹ đạo chuyển động của electron trong nguyên tử. II. Á P DỤNG CƠ HỌC LƯỢNG VỀ CẤU TẠO NGUYÊN TỬ Như chúng ta đã biết, ngoài bản chất hạt, các vật thể vi mô chuyển động còn có bản chất sóng. Do đó, sự chuyển động của vi hạt tuân theo những định luật khác với những định luật của cơ học cổ điển. Điều này làm xuất hiện một ngành cơ học mới áp dụng cho các hạt vi mô. Ngành cơ học mới này được xây dựng trên cơ sở bản chất sóng của các vi hạt và thể hiện được những đặc tính riêng biệt của thế giới vi mô, đặc biệt là tính lượng tử (rời rạc, gián đoạn). Do đó, ngành cơ học mới này được gọi là cơ học sóng hay cơ học lượng tử. Đó là một ngành cơ học lý thuyết, được xây dựng trên nền một hệ các tiền đề cơ sở. Phương trình cơ bản của cơ học lượng tử là phương trình do Schrodinger tìm ra năm 1926 và được gọi là phương trình Schrodinger. Dưới đây, ta chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ sở của cơ học lượng tử dưới dạng mô tả định tính và sự áp dụng lý thuyết này cho các bài toán về cấu trúc nguyên tử, phân tử và liên kết hoá học. Cơ sở của cơ học lượng tử sẽ được trình bày chi tiết trong giáo trình Hóa học lượng tử ở năm thứ 3 bậc đại học. Sau đây là một số khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử: 1. Hàm sóng Mỗi trạng thái của một hệ vi mô được đặc trưng bới một hàm xác định, đơn trị , hữu hạn, liên tục, phụ thuộc vào thời gian t và tọa độ q, ký hiệu là hàm ; gọi là hàm sóng hay hàm trạng thái. Hàm sóng không có ý nghĩa vật lý trực tiếp, song bình phương môđun của hàm đó, , cho biết xác suất tìm thấy hệ lượng tử tại một thể tích đơn vị trong không gian có tọa độ q ở thời điểm t. 6
Trang 7
Xác suất phát hiện electron trong yếu tố thể tích nào đó được xác định bằng Mật độ xác suất: . Nếu lấy tích phân của trong toàn không gian ta sẽ có xác suất tìm thấy hạt trong toàn không gian tức là bằng 1. Chú ý: Nếu hàm sóng là tổ hợp tuyến tính của nhiều hàm sóng , thì mật độ elelctron trên một nguyên tử sẽ bằng (trong đó là hệ số đóng góp của hàm sóng thuộc nguyên tử đang xét). 2. Phương trình Schrödinger Schrödinger là người đầu tiên đưa ra phương trình mô tả được trạng thái của các vi hạt, chẳng hạn của electron trong nguyên tử. Đối với vi hạt (electron chẳng hạn) có khối lượng m, chuyển động trong trường thế năng U(x,y,z), phương trình Schrödinger cho trạng thái dừng (là trạng thái của vi hạt không phụ thuộc vào thời gian) có dạng: Trong đó là hàm riêng của toán tử Hamilton , E là trị riêng của ứng với hàm riêng . Hay - hằng số Planck rút gọn E- năng lượng toàn phần của hệ - toán tử Laplace, Giải phương trình Schrödinger sẽ tìm được hàm và năng lượng E của 7
Trang 8
electron. Tuy nhiên việc giải chính xác phương trình này chỉ thực hiện đươc với nguyên tử Hydrogen và ion dạng Hydrogen (nguyên tử và ion có 1 electron, như He+,Li2+, Be3+…..Đối với nguyên tử nhiều electron người ta phải dùng phương pháp gần đúng. 3. Kết quả giải phương trình Schrödinger cho nguyên tử Hydrogen và ion dạng Hydrogen Nguyên tử Hydrogen và ion dạng Hydrogen là hệ 1 electron và một hạt nhân có mô hình: Trung tâm là hạt nhân có số đơn vị điện tích Ze0, một electron có điện tích – e0 chuyển động trong trường lực hạt nhân đó. Ta có phương trình Schrödinger có dạng: Kết quả lời giải phương trình Schrödinger cho hệ này là: Hàm riêng là hàm orbital nguyên tử : là hàm bán kính còn là hàm góc. Hàm là hàm phức, phụ thuộc vào 3 số lượng tử đó là: số lượng tử chính n, số lượng tử phụ l và số lượng tử từ ml. Mỗi bộ ba giá trị của n,l,ml ứng với một hàm gọi là một orbital nguyên tử. Một số hàm sóng của nguyên tử Hydrogen và ion dạng Hydrogen n l ml Orbital 1 0 0 1s 2 0 0 2s 2 1 2px 2 1 2py 8
Trang 9
2 1 0 2pz a0: bán kính Bohr thứ nhất, a0= 0,053nm Hàm có trị riêng tương ứng là Đây chính là năng lượng của electron, trong đó: m-khối lượng của một electron -điện tích cơ sở : hằng số Planck rút gọn : hằng số điện môi trong chân không Z: là số đơn vị điện tích hạt nhân Thay các giá trị hằng số trên vào ta tính được : 4. Nguyên tử nhiều electron Trong nguyên tử nhiều electron, ngoài tương tác giữa các electron và hạt nhân còn có tương tác giữa các electron với nhau. Ví dụ nguyên tử Helium có 2 electron, coi hạt nhân đứng yên, r1 và r2 lần lượt là khoảng cách của electron thứ nhất và thứ hai với hạt nhân, r12 là khoảng cách giữa 2 electron với nhau. Toán tử Hamiltơn có dạng : : toán tử Laplace của electron thứ nhất và thứ hai Số hạng biểu thị lực hút của elctron thứ nhất và thứ hai với hạt nhân. Số hạng biểu thị lực đẩy giữa hai electron. Phương pháp gần đúng áp dụng cho nguyên tử nhiều electron là mô hình hạt 9
Trang 10
độc lập. Với mô hình này người ta coi mỗi electron trong nguyên tử chuyển động độc lập với các electron khác trong một trường xuyên tâm tạo bởi hạt nhân và các electron còn lại. Kết quả là trạng thái của mỗi electron trong nguyên tử nhiều electron cũng được đặc trưng bởi một hàm sóng . Mỗi hàm cũng phụ thuộc vào 3 giá trị của 3 số lượng tử n, l, ml gọi là một orbital nguyên tử. 5. Phương pháp gần đúng Slater áp dụng cho nguyên tử nhiều electron Năm 1930, Slater đã đề nghị một phương pháp gần đúng xác định hàm bán kính Rnl và năng lượng tương ứng của orbital đó là (năng lượng tương ứng với phân lớp electron). Công thức xác định hàm bán kính là: Năng lượng của 1 electron ở trạng thái được mô tả bới hàm Rnl(r) là : Trong đó: Z: Số đơn vị điện tích hạt nhân của nguyên tử b: Hằng số chắn (Z-b): Số đơn vị điện tích hạt nhân hiệu dụng. n* : Số lượng tử chính hiệu dụng. c: Hằng số a0: Bán kính Borh thứ nhất. e0: Điện tích cơ bản 6. Số lượng tử spin. Hàm orbital spin Ngoài chuyển động orbital tạo ra mô men động lượng , electron còn có chuyển động spin tạo ra moment động lượng spin . Theo thực nghiệm, electron có spin s=1/2. Để mô tả trạng thái electron trong chuyển động spin, ta có hàm sóng spin . Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm , ký hiệu là , ứng với trị số lượng tử spin ms= - ½. 10
Trang 11
Electron ở trạng thái spin được mô tả bởi hàm , ký hiệu là , ứng với trị số lượng tử spin ms= + ½. Từ các nội dung trên ta thấy rằng đối với mỗi electron trong nguyên tử có hàm sóng hay hàm orbital, với một bộ ba số lượng tử n,l,ml, mô tả chuyển động orbital, hàm sóng spin , , với một số lượng tử từ spins ms, mô tả chuyển động spin của electron đó. Vậy hàm sóng toàn phần hay hàm orbital spin với một bộ bốn số lượng tử n,l,ml,ms mô tả đầy đủ trạng thái của một electron trong nguyên tử là hàm tích: 7. Ứ ng d ụng của phương trình Schorodinger 7.1. Giếng thế 1 chiều Trong những bài toán thực tế, ta thường gặp những trường hợp hạt chỉ chuyển động trong một phạm vi giới hạn bởi một hàng rào thế năng có chiều cao khá lớn, ví dụ như electron trong mạng tinh thể hay nucleon trong hạt nhân bền, khi đó ta nói rằng hạt ở trong giếng thế năng. Ta hãy xét trường hợp hạt nằm trong giếng thế năng có thành cao vô hạn và chuyển động theo một phương x bên trong giếng thế. Thế năng U được xác định theo điều kiện: Như vậy bên trong giếng thế hạt chuyển động tự do và không thể vượt ra ngoài giếng. Phương trình Schrodinger của hạt trong giếng thế (U = 0) một chiều (chiều x) có dạng: (12) Đặt , ta có: (13) Nghiệm của phương trình (13) có dạng: (14) A, B là những hằng số được xác định từ điều kiện của hàm sóng. Theo đầu bài thì hạt chỉ ở trong giếng thế, do đó xác suất tìm hạt tại vùng ngoài giếng thế bằng không và 11
Trang 12
hàm sóng trong các vùng đó cũng bằng 0. Từ điều kiện liên tục của hàm sóng ta suy ra: . Thay điều kiện này vào (14) ta có: và B = 0 nên A phải khác 0 (vì nếu A = 0 thì ψ luôn bằng 0 và là một nghiệm tầm thường). Do đó ta có: với n = 1,2,… Từ đó rút ra: (15) Như vậy ta có một dãy nghiệm hàm sóng có dạng: (16) thỏa mãn điều kiện biên của miền. Hằng số A được xác định từ điều kiện chuẩn hóa (3) của hàm sóng. Vì hạt không thể ra khỏi giếng nên xác suất tìm thấy hạt trong giếng là chắc chắn: Tính giá trị tích phân: Ta tìm được: Như vậy hàm sóng được xác định hoàn toàn: ( 17) Năng lượng của hạt trong giếng thế cũng được tìm thấy khi ta thay biểu thức (15) vào và nhận được (18) Từ các kết quả trên ta rút ra một số kết luận sau: 12
Trang 13
a. Mỗi trạng thái của hạt ứng với một hàm sóng b. Năng lượng của hạt trong giếng phụ thuộc vào số nguyên n, nghĩa là biến thiên gián đoạn. Ta nói rằng năng lượng đã bị lượng tử hóa. Với n = 1 ta có mức năng lượng cực tiểu ứng với hàm sóng , mô tả trạng thái chuyển động cơ bản của hạt. Hàm sóng ψ1(x) khác không tại mọi điểm trong giếng, chỉ có thể bằng 0 tại các vị trí biên (Hình 8-7). Khoảng cách giữa hai mức năng lượng kế tiếp nhau ứng với các số nguyên n và n+1 bằng: (19) ΔEn càng lớn khi a và m càng nhỏ. Điều đó có nghĩa là trong phạm vi thế giới vi mô, sự lượng tử hóa càng thể hiện rõ rệt. Cụ thể, nếu xét hạt electron m = 9,1.10-31kg, a ~ 5.10-10m thì ΔE ~ 1eV, khoảng cách giữa En+1 và En tương đối lớn, năng lượng bị lượng tử hóa. Nhưng nếu xét một hạt có m ~10-26kg chuyển động trong miền a~10cm thì khoảng cách giữa các mức năng lượng ΔE~ 10-20eV khá nhỏ. Trong trường hợp này có thể coi năng lượng của hạt biến thiên liên tục. c. Mật độ xác suất tìm hạt trong giếng: (20) Mật độ xác suất cực đại khi: . 13
Trang 14
Do đó xác suất tìm thấy hạt lớn nhất tại: m = 0,1,… Ví dụ: Khi n = 1 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/2 là lớn nhất. Khi n = 2 xác suất tìm thấy hạt ở điểm x = a/4 và x = 3a/4 là lớn nhất... Mật độ xác suất cực tiểu khi: . Do đó xác suất tìm thấy hạt nhỏ nhất tại 7.2. Giếng thế ba chiều Trong các bài toán thực tế về cấu tạo nguyên tử, các electron không chỉ chuyển động trên một phương xác định mà chuyển động trong một vùng không gian hữu hạn. Để hiểu một cách khái quát về cách giải những bài toán này chúng ta khảo sát mô hình giếng thế ba chiều. Ở đây, ta giả thiết là khu vực chuyển động của vi hạt là một hình hộp với các cạnh là a, b, c. Thế năng của vi hạt trong giếng thế có giá trị xác định, không đổi, để tiện lợi ta chọn làm điểm gốc và do đó Ux = Uy = Uz = 0. z c 0 b y a x Hình. Giếng thế ba chiều Phương trình Schroedinger cho vi hạt chuyển động trong giếng thế ba chiều: + + + = 0 (1) Năng lượng toàn phần E = Ex + Ey + Ez. Để giải phương trình (1), ta đặt: (x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) = X.Y.Z (2) 14
Trang 15
Đặt (2) vào (1), ta có thể tách phương trình thu được ba phương trình có dạng hoàn toàn giống nhau: + X = 0 + Y = 0 + Z = 0 Lời giải của mỗi phương trình trên giống như trường hợp giếng thế một chiều mà ta đã biết: X(x) = sin x Y(y) = sin y (3) Z(z) = sin z Ở đây, nx = 1 ; 2 ; 3 ; ... ; ny = 1 ; 2 ; 3 ; ... ; nz = 1 ; 2 ; 3 ; ... Đặt (5) vào (4) ta có hàm sóng (x,y,z) = X(x).Y(y).Z(z) mô tả trạng thái của vi hạt trong giếng thế ba chiều. Tương ứng với hàm sóng đó, ta có năng lượng của vi hạt: E = Ex + Ey + Ez = + + = ( + + ) (4) Ở đây, trong bài toán về giếng thế ba chiều ta thấy xuất hiện ba số lượng tử nx, ny, nz. Số các số lượng tử như vậy bằng số bậc tự do của hạt chuyển động. CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬ N DỤNG LÍ THUYẾT HO< Á HỌ C LƯỢ NG TỬ XẬ Y DỰNG BÀI TẬP GIẾ NG THẾ I. MỘ T S< Ố NỘ I DUNG LÝ THUYẾT CẦN GHI NHỚ< Hạt trong giếng thế một chiều 15
Trang 16
Electron chuyển động trong giếng thế theo phương x Ta giả thiết có một vi hạt (electron) chuyển động theo phương x và trong khu vực OA = a, ta có mô hình “giếng thế một chiều” Phạm vi hạt chuyển động là: 0 . Hai điều kiện biên của bài toán là:khi x = 0 Ψ(x) = Ψ(0) = 0 và x = OA = a Ψ(x) = Ψ(a) = 0. Thế năng của hạt cũng là hàm của tọa độ x, nghĩa là U(x). Trị số của thế năng đó là: khi x 0 hoặc x a U(x) = 0 khi 0 a Như vậy, trong phạm vi giếng thế, thế năng bằng 0, nghĩa là hạt chuyển động hoàn toàn tự do. V= Phương trình Schrodinger trong trường hợp này có dạng Giải phương trình vi phân trên ta có - Hàm sóng: h2 - Năng lượng E =n2 . n 8mL2 n = 1,2,3… số lượng tử chính h – hằng số Plank m khối lượng electron L chiều rộng giếng thế II. MỘ T S< Ố BÀI TẬ P V< Ậ N DỤNG< 1. Bài tập giếng thế 16
Trang 17
Bài 1: 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều bị kích thích bằng ánh sáng có bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn, xác định mức năng lượng cao hơn mà electron cần chuyển tới. Biết rộng giếng thế là 10nm. Phân tích đề bài: - Một electron chuyển động trong giếng thế 1 chiều (bài toán hạt trong hộp lượng tử). - Rộng giếng thế: L = 10 nm = 10 x 10⁻⁹ m. - Bị kích thích bởi ánh sáng có bước sóng λ = 1,374 x 10⁻⁵ m. - Cần tìm mức năng lượng cao hơn n' mà electron chuyển tới từ mức n = 1. Ý tưởng giải: 1. Tính năng lượng photon: 2. Tính mức năng lượng giếng thế: 3. Giải phương trình: → tìm n' Hướng dẫn: Ánh sáng để kích thích electron theo yêu cầu của đề bài có năng lượng Năng lượng ánh sáng nên để kích thích electron từ mức n = 1 lên mức n’ > n Bài 2: Xác định sự biến thiên giữa 2 mức năng lượng n =2 và n = 1 theo J; kJ/mol; eV; cm-1 cho 1e chuyển động trong giếng thế 1 chiều rộng 1nm. Phân tích đề bài: - Một electron chuyển động trong giếng thế 1 chiều, rộng 1 nm = 1 x 10⁻⁹ m. - Cần xác định độ biến thiên năng lượng giữa hai mức n = 2 và n = 1. 17
Trang 18
- Đơn vị yêu cầu: J, kJ/mol, eV, cm ¹.⁻ Ý tưởng giải: 1. Tính năng lượng các mức: 2. Tính ΔE = E - E₂ ₁ 3. Chuyển đổi sang các đơn vị: J, kJ/mol, eV, cm ¹⁻ Hướng dẫn: Biến thiên năng lượng của 2 mức n = 2 và n = 1 Năng lượng cho 1 mol electron = 1,809.10-19.6,02.1023.10-3 = 108,915(kJ) Năng lượng tính theo cm-1: Bài 3: 1 electron chuyển động trong giếng thế 1 chiều cần bước sóng có độ dài 8080nm để kích thích từ mức n = 2 lên mức n = 3. Tính chiều dài giếng thế. Phân tích đề bài: - Một electron chuyển động trong giếng thế 1 chiều (hộp lượng tử). - Electron chuyển từ mức n = 2 lên mức n = 3. - Bước sóng ánh sáng kích thích: λ = 8080 nm = 8,080 × 10⁻⁶ m. - Cần tính chiều dài giếng thế L. Ý tưởng giải: 1. Tính năng lượng photon: . 2. Dùng công thức hiệu năng lượng giữa hai mức lượng tử: 3. Giải phương trình để tìm L. Hướng dẫn: Năng lượng của ánh sáng kích thích electron từ mức n = 2 lên mức n = 3 18
Trang 19
Bài 4. Môt electron chuyển động trong giếng thế một chiều bị kích thích bằng ánh sáng hấp thu với bước sóng 1,374.10-5 m để chuyển từ mức cơ bản lên mức cao hơn. Hãy xác định mức năng lượng cao hơn, n mà electron cần chuyển tới, biết rằng độ rô ng của giếng thế là 10,0 nm. Cho: h = 6,626.10-34 Js ; c = 2,9979.108 m/s ;m = 9,109.10-31 kg p Phân tích đề: - Đây là bài toán hạt trong hộp lượng tử một chiều. - Electron chuyển từ mức năng lượng n = 1 lên một mức n chưa biết. - Biết bước sóng ánh sáng kích thích: λ = 1,374 × 10⁻⁵ m. - Biết chiều rộng giếng thế: L = 10,0 nm = 10,0 × 10⁻⁹ m. - Cần xác định mức n mà electron được kích thích tới. Ý tưởng giải: 1. Tính năng lượng của photon kích thích: 2. Năng lượng mức n trong giếng thế một chiều: 3. Hiệu năng lượng chuyển từ mức 1 lên mức n là: 4. Giải phương trình: ⇒ tìm n sao cho gần đúng. Hướng dẫn: Áp dụng công thức tính năng lượng khi electron chuyển động trong giếng thế một chiều, ta có thể tìm được hiệu năng lượng giữa mức cao và mức cơ bản như sau: 19
Trang 20
Kết luận: Như vậy, mức năng lượng n mà electron cần chuyển tới có giá trị là n = 5 Bài 5. Cho electron chuyển đô ng trong giếng thế mô t chiều với đô dài a = 1,0 nm. Hãy tính năng lượng các mức theo J; kJ.mol; eV và cm−1 cho các trường hợp sau: a) n =2;n =1 c t b) n =6;n =5 c t Cho 1 eV = 1,6.10−19 J; 1 cm−1=1,986.10−23J Phân tích đề: - Giếng thế một chiều có độ rộng a = 1,0 nm = 1,0 × 10⁻⁹ m. - Cần tính năng lượng mức lượng tử Eₙ theo 3 đơn vị: J, kJ/mol và eV. - Công thức năng lượng: Ý tưởng giải: 1. Tính phần cố định trong công thức . 2. Với m = 9,109 × 10 ³¹ kg; h = 6,626 × 10 ³⁻ ⁻ ⁴ Js; a = 1,0 × 10⁻⁹ m. ⇒ Tính E (n = 1), sau đó nhân n² để ra E₁ ₙ cho mức khác. 3. Chuyển đổi: - J → kJ/mol bằng cách nhân với 6,02 × 10²³ và chia 1000. - J → eV bằng cách chia cho 1,6 × 10 ¹ .⁻ ⁹ Hướng dẫn: 20
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!