Trang 1
Hạt chuyển động trong hộp thế MỤC LỤC MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU............................................................................................................ 1 I. Lý do chọn đề tài.....................................................................................................1 II. Mục đích của đề tài.................................................................................................1 PHẦN NỘI DUNG..........................................................................................................2 I. Chuyển động của hạt trong hộp thế một chiều........................................................2 I.1. Cơ sở lý thuyết................................................................................................2 I.1.1. Hộp thế một chiều.................................................................................2 I.1.2. Ứng dụng mô hình hộp thế một chiều trong phân tích hệ electron π liên hợp.............................................................................................................................3 I.2. Bài tập áp dụng...............................................................................................4 II. Chuyển động của hạt trong hộp thế ba chiều.......................................................15 II.1. Cơ sở lý thuyết............................................................................................15 II.1.1. Hộp thế ba chiều................................................................................15 II.1.2. Sự suy biến trong hộp lập phương ba chiều......................................16 II.2. Bài tập áp dụng............................................................................................16 III. Bài tập rèn luyện.................................................................................................19 PHẦN KẾT LUẬN.......................................................................................................23 Tài liệu tham khảo
Trang 2
Hạt chuyển động trong hộp thế PHẦN MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong chương trình hóa học trung học phổ thông nâng cao và các kỳ thi học sinh giỏi từ cấp tỉnh trở lên, ngày càng có xu hướng tích hợp kiến thức hóa lý hiện đại, đặc biệt là các nội dung thuộc hóa lượng tử. Tuy nhiên, hóa lượng tử là lĩnh vực mang tính trừu tượng cao, đòi hỏi tư duy toán học và nền tảng vật lý tốt, gây không ít khó khăn cho học sinh. Trong số các mô hình cơ bản của hóa lượng tử, mô hình “hạt chuyển động trong hộp thế” là một chủ đề then chốt và có tính trực quan cao. Mô hình này không chỉ giúp học sinh hiểu rõ hơn về khái niệm lượng tử hóa năng lượng mà còn giải thích được bản chất của các electron π trong hệ liên hợp, từ đó liên hệ đến các hiện tượng quang học, cấu trúc phân tử và cơ sở của phổ hấp thụ UV-Vis – những nội dung thường gặp trong đề thi học sinh giỏi và Olympic hóa học quốc tế. Tuy vậy, nội dung này hiện nay thường được trình bày rải rác, nặng tính toán và khó tiếp cận đối với học sinh trung học. Chính vì vậy, đề tài “Hạt chuyển động trong hộp thế” được lựa chọn nhằm xây dựng một chuyên đề cô đọng, có hệ thống và dễ hiểu, nhưng vẫn đảm bảo chiều sâu lý thuyết phù hợp với học sinh có định hướng dự thi các kỳ thi học sinh giỏi hoặc muốn tìm hiểu sâu hơn về hóa học hiện đại. II. Mục đích của đề tài Hệ thống lại cơ sở lý thuyết của mô hình hạt trong hộp thế một cách tinh gọn, dễ hiểu, phù hợp với học sinh giỏi THPT. Hệ thống các bài tập có kèm lời giải đồng thời cung cấp thêm bài tập rèn luyện có kèm đáp số, vừa kiểm tra hiểu biết, vừa định hướng phát triển kỹ năng giải quyết vấn đề mang tính liên môn hóa – lý – toán cho học sinh. Tạo nền tảng tư duy hóa lượng tử ban đầu cho học sinh muốn tiếp cận chương trình đại học sớm hoặc tham gia các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic hoá học quốc tế. 1
Trang 3
Hạt chuyển động trong hộp thế PHẦN NỘI DUNG Mô hình “hạt chuyển động trong hộp thế” (hay còn gọi là giếng thế vô hạn) là một mô hình lý tưởng hóa trong cơ học lượng tử, mô tả sự chuyển động của một hạt tự do bị giới hạn trong một miền không gian hẹp được bao quanh bởi các rào thế không thể xuyên qua. Mặc dù đơn giản về mặt cấu trúc, mô hình này đóng vai trò quan trọng trong việc minh họa rõ ràng sự khác biệt cơ bản giữa các hệ cổ điển và hệ lượng tử. Trong cơ học cổ điển, một hạt chuyển động trong hộp có thể mang bất kỳ giá trị động năng nào và có xác suất phân bố đều tại mọi vị trí trong không gian giới hạn. Tuy nhiên, khi kích thước không gian khảo sát giảm xuống đến cấp độ nanomet, các hiện tượng lượng tử bắt đầu chiếm ưu thế. Khi đó, hạt không còn được phép tồn tại ở bất kỳ mức năng lượng nào, mà chỉ được phân bố tại một tập hợp các mức năng lượng rời rạc, phụ thuộc vào khối lượng của hạt và kích thước của hộp. Mô hình này là một trong số ít các hệ lượng tử có thể giải chính xác bằng phương pháp giải tích. Nhờ đó, các đại lượng vật lý như năng lượng và hàm sóng có thể được biểu diễn dưới dạng biểu thức toán học đơn giản, tạo điều kiện thuận lợi cho việc phân tích định lượng mà không cần sử dụng đến các phương pháp xấp xỉ. Trong phạm vi giới hạn của đề tài, chuyên đề này sẽ tập trung trên hai mô hình cụ thể là hộp thế một chiều và hộp thế ba chiều. I. Chuyển động của hạt trong hộp thế một chiều I.1. Cơ sở lý thuyết I.1.1. Hộp thế một chiều Một hạt trong hộp thế một chiều là một mô hình xấp xỉ cơ bản trong cơ học lượng tử, mô tả chuyển động tịnh tiến của một hạt đơn lẻ bị giam giữ trong một giếng thế vô hạn mà nó không thể thoát ra khỏi đó. Một hạt trong giếng thế năng vô hạn một chiều Thế năng bằng 0 bên trong hộp (V = 0 với 0 < x < L) và tiến tới vô cùng tại các vách của hộp (V = ∞ khi x < 0 hoặc x > L). Giả định rằng các vách có thế năng vô hạn để 2
Trang 4
Hạt chuyển động trong hộp thế đảm bảo rằng xác suất tìm thấy hạt tại các vách hoặc bên ngoài hộp bằng 0. Giả định này giúp đơn giản hóa đáng kể các phép toán về sau, vì nó cho phép áp dụng các điều kiện biên thuận tiện khi giải phương trình Schrödinger. Kết quả của giải phương trình Schrödinger có được: Hàm sóng chuẩn hoá cho một hạt trong hộp thế một chiều: ψ (x)=√2 sin nπx n L L Mức năng lượng: h2 E =n2 n 8mL2 Trong đó: n = 1, 2, 3,..: số lượng tử chính h: hằng số Planck m: khối lượng electron L: chiều rộng giếng thế I.1.2. Ứng dụng mô hình hộp thế một chiều trong phân tích hệ electron π liên hợp Mô hình hạt chuyển động tự do trong giếng thế là một cách tiếp cận đơn giản nhưng hiệu quả để mô tả electron π trong hệ liên hợp, trong trường hợp tương tác giữa các electron yếu. Trong các phân tử hữu cơ liên hợp, người ta thường tách riêng vai trò của các electron π và electron σ. Mô hình Hückel giả định rằng khung liên kết σ là cố định, do đó ta có thể xem các electron π di chuyển độc lập trong một vùng không gian giới hạn bởi phân tử. Với giả định đó, ta bỏ qua chi tiết của thế năng do hạt nhân và các electron khác gây ra, và coi các electron π như hạt chuyển động tự do trong một giếng thế một chiều, với chiều dài tương ứng chiều dài mạch liên hợp (L), thế năng bên trong bằng 0, và vô hạn bên ngoài. Ví dụ điển hình là chuỗi polyen liên hợp với N liên kết đôi. Giả sử mỗi nguyên tử carbon cung cấp 1 electron π thì tổng cộng có 2N electron π được phân bố vào các orbital phân tử π (MO-π) theo nguyên lý Pauli. Ứng dụng mô hình này, ta có thể dự đoán phổ hấp thụ ánh sáng của phân tử: electron π có thể chuyển từ mức đầy cao nhất (HOMO) với n = N sang mức trống tiếp theo (LUMO) với n = N+1. Bước sóng hấp thụ phụ thuộc vào hiệu năng lượng giữa hai mức này. I.2. Bài tập áp dụng 3
Trang 5
Hạt chuyển động trong hộp thế Câu 1: Một quả cầu bằng thép nặng 10 g chuyển động dọc theo sàn nhà có độ rộng là 10 cm với tốc độ là 3,3 cm.s–1. Hãy t ính số lượng tử n ứng với năng lượng tịnh tiến khi quả cầu chuyển động. Hướng dẫn: Ta coi quả cầu chuyển động trong một hộp thế với độ rộng a = 10 cm = 0,1 m. Động năng của quả cầu là: E=1 mv2. Giá trị này khi quả cầu chuyển động được xem như electron 2 trong giếng thế là: h2 4m2 a2 v2 E=n2 Từ 2 biểu thức này ta rút ra giá trị n là: n2= . Thay các giá trị tương 8ma2 h2 ứng ở hệ SI ta được: n = 0,995.1029 ≈ 1.1029 Câu 2: Cho electron chuyển động trong giếng thế một chiều với độ dài a = 1,0 nm. Hãy tính năng lượng các mức theo J; kJ.mol-1; eV và cm–1 cho các trường hợp sau: a) nc = 2; nt = 1 b) nc = 6; nt = 5 Cho 1 eV = 1,6.10–19 J; 1 cm–1 = 1,986.10–23J Hướng dẫn: h2 Áp dụng công thức chung: E=n2 8ma2 Để dễ dàng ta tính phần cố định: h2 (6,62.10−34 )2 = =6,02.10−20 J 8ma2 8,9.1.10−31 .(1,0.10−9)2 h2 a) ∆ E(J )=E −E =(4−1) =3.6,02.10−20 J=18,06.10−20 J 2 1 8ma2 ∆ E( kJ )=∆ E(J).10−3 .6,02.10−23=108,36kJ .mol−1 mol ∆ E(J ) 18,06.10−20 ∆ E(eV )= = =1,125eV 1,6.10−19 1,6.10−19 4
Trang 6
Hạt chuyển động trong hộp thế ∆ E(J ) 18,06.10−20 ∆ E(cm−1)= = =9063cm−1 1,986.10−23 1,986.10−23 h2 h2 b) ∆ E=E −E =(36−25) =11. =11.6,02.10−20 J 6 5 8ma2 8ma2 Cũng bằng cách tương tự như câu a) có các giá trị ∆ E: 6,6.10-19J; ≈ 400 kJ.mol-1; 4,1 eV; 33.000 cm-1. Câu 3: a) Tính bước sóng của một bức xạ điện từ cần để kích thích một electron từ trạng thái cơ bản lên mức năng lượng n=5 trong một hộp thế một chiều dài 40.0 pm. b) Một electron trong một hộp thế một chiều cần bước sóng 8080 nm để kích thích từ trạng thái n = 2 lên n = 3. Tính độ dài của hộp thế này. c) Một electron trong hộp thế một chiều 10.0 nm được kích thích từ trạng thái cơ bản đến một trạng thái cao hơn bằng cách hấp thụ một photon của bức xạ điện từ có bước sóng 1,374.1025 m. Xác định trạng thái năng lượng cuối của bước chuyển này. d) Điều gì sẽ xảy ra với các mức năng lượng của một electron bị giữ trong một hộp thế một chiều khi chiều dài hộp thế tăng lên? Dự đoán mức năng lượng ở trạng thái cơ bản của electron trong một hộp thế một chiều độ dài 10-6 m sẽ thấp hay cao hơn so với trong hộp thế 10-10 m? Hướng dẫn: h2 h2 24h2 a) E=n2 ; ∆ E=E −E =(52−12) = 8mL2 5 1 8mL2 8mL2 24(6,626.10−34 )2 ∆ E= =9,04.10−16 J 8(9.109.10−31).(40,0.10−12)2 hc hc (6,626.10−34).2,998.108 ∆ E= ⟶ λ= = = 2,2.10-10 m = 0,220 nm λ ΔE 9,04.10−16 Tương tự ý a) ta có kết quả: b) 3,50 nm c) n = 5 h2 d) Theo công thức: E =n2 , khi L tăng lên thì E sẽ giảm và khoảng cách giữa các n 8mL2 n mức năng lượng cũng sẽ giảm. Vậy năng lượng mức trạng thái cơ bản của electron trong hộp thế 10-6 m sẽ thấp hơn so với hộp thế 10-10 m. 5
Trang 7
Hạt chuyển động trong hộp thế Câu 4: Electron π của phân tử ethylene hấp thụ một bước sóng λ = 1625 Å khi chuy ển từ h2 h2 mức năng lượng E = đến mức năng lượng E =4 . Tính độ dài liên kết C–C 1 8ma2 2 8ma2 trong phân tử này theo Å . Cho m = 9,1.10–31 kg; h = 6,62.10–34 J.s; c = 3.108 m.s–1 Hướng dẫn: Xem electron π trong phân tử CH2=CH2 là một giếng thế 1 chiều dọc theo liên kết C–C với độ rộng a = (N + 1)l; N- số nguyên tử carbon. lC–C = 1,28 Å Câu 5: Sử dụng mô hình vi hạt chuyển động tự do trong giếng thế một chiều cho hệ liên hợp mạch hở của phân tử octatetraen. Hãy a) Tính năng lượng tổng cộng cho hệ liên hợp π nói trên theo kJ.mol–1. b) Xác định số sóng (cm–1) của phổ hấp thụ khi 1 electron π chuyển từ MO bị chiếm cao nhất (HOMO) lên MO trống chưa bị chiếm thấp nhất (LUMO). Biết độ dài trung bình của liên kết C–C là 1,4 Å ; m = 9,1.10 –31 kg; h = 6,62.10–34 J.s. Hướng dẫn: h2 a) Chúng ta biết E =n2 cho giếng thế một chiều; a là chiều rộng giếng thế. Đối với n 8ma2 mạch liên hợp octatetraen có 8 nguyên tử carbon, độ dài giếng thế a = (N+1)lC–C; N là số lượng carbon trong mạch. 8 electron π được phân bố trên 4 MO từ n = 1 ÷ 4. Vậy EH sẽ là: Eπ =2(E1 + E2 + E3 + E4) 6
Trang 8
Hạt chuyển động trong hộp thế ( ) (6,62.10−34).6,02.10−23 .10−3 E =2 12+22+32+42 =1,37.103 kJ .mol−1 π 8.9,1.10−31 .(9.1,4.10−10)2 b) MO bị chiếm cao nhất ứng với n = 4; MO chưa bị chiếm thấp nhất ứng với n = 5. Khi electron chuyển từ E4 → E5, nghĩa là từ HOMO lên LUMO ta có: hc h2 h2 ∆ E=E −E = =(52−42) =9 5 4 λ 8ma2 8ma2 ~ν=1= ΔE=9 h ~ Số sóng: λ hc 2 , thay số ta được: ν=17183cm−1 8mca Câu 6: Sử dụng mô hình electron π chuyển động tự do trong mạch liên hợp có công thức chung là: H C=CH−(CH=CH ) −C H• 2 k 2 a) Viết công thức tính ΔE năng lượng và bước sóng λ của phổ hấp thụ xảy ra khi 1 electron chuyển từ mức n = 3 lên n = 4 với k = 1. b) Cũng câu hỏi như trên với k = 2. Cho khoảng cách trung bình giữa 2 nguyên tử carbon trong mạch là 1,40 Å . Hướng dẫn: Theo lí thuyết đại lượng ΔE: h2 h2 h2 ∆ E=E −E =42 −32 =7 (1) 4 3 8ma2 8ma2 8ma2 1 h2 8ma2 c Mặt khác: hν=hc =7 →λ= (2) λ 8ma2 7h a) k = 1, mạch liên hợp có 5 nguyên tử carbon do đó: a = (N + 1)l = 6l = 6.1,4 Å Thay các giá trị tương ứng vào (2) ta có: λ = 332 nm b) k = 2, một cách tương tự ta cũng xác định được bước sóng là: λ = 459 nm 7
Trang 9
Hạt chuyển động trong hộp thế Câu 7 (IChO 42, 2010): Các polyene mạch thẳng (…-CH=CH-CH=CH-CH=CH-…) là phần cấu trúc hóa học trong phân tử có khả năng hấp thụ ánh sáng khả kiến. Xét các electron π trong các polyene mạch thẳng này. Hình 1: Mô tả cấu trúc hoá học của 1,3-butadiene. Mỗi nguyên tử carbon đều đã được đánh số. Đầu tiên để cho đơn giản chúng ta sẽ khảo sát các electron π của 1,3-butadiene chứa 4 nguyên tử carbon bằng phương pháp gần đúng Huckel. Cho rằng mặt phẳng chứa mạch carbon nằm vuông góc với trục z và orbital nguyên tử 2pz của mỗi nguyên tử carbon được gọi là ϕ (i = 1, 2, 3, 4). Orbital phân tử ψ được biểu diễn dưới dạng tổ hợp tuyến i k tính các orbital nguyên tử dựa vào phương trình sau: ψ =∑c ϕ (1) k i i i Tích phân Coulomb được ký hiệu α và tích phân cộng hưởng giữa các nguyên tử kế cận là β, với β là năng lượng của orbital 2pz của mỗi nguyên tử carbon tách biệt và β có thể coi là sự xen phủ giữa các orbital 2pz kế cận. Trị năng lượng ε và các orbital phân tử k tương ứng có thể thu được bằng nhiều phương pháp khác nhau để thu được: 1 1.62 1 0.371 0.602 0.603 0.374 (2) 2 0.62 2 0.601 0.372 0.373 0.604 (3) 3 0.62 3 0.601 0.372 0.373 0.604 (4) 4 1.62 4 0.371 0.602 0.603 (5) 0.374 a) Vẽ các orbital phân tử theo mức năng lượng, chỉ ra các electron π ở trạng thái cân bằng bằng cách sử dụng các mũi tên và có lưu ý đến chiều spin. b) Sử dụng α và β tính toán năng lượng cần thiết để photon có thể kích thích phân tử 1,3- butadiene từ trạng thái cơ bản lên trạng thái kích thích thứ nhất. c) Vẽ orbital bị chiếm có mức năng lượng cao nhất (HOMO) và orbital không bị chiếm có mức năng lượng thấp nhất (LUMO) của phân tử 1,3-butadiene dựa trên ví dụ về phân 8
Trang 10
Hạt chuyển động trong hộp thế tử ethylene ở Hình 2, tức là hã y vẽ 4 orbital 2pz vuông góc với trục ngang rồi chỉ ra dấu của mỗi orbital bằng các màu đen và trắng. Tiếp nữa hã y biểu diễn các nút bằng các vòng tròn đậm nét. Không cần thiết phải biết mỗi phần đóng góp của orbital 2pz vào orbital phân tử. Tiếp theo hã y xét các electron π trong những hệ thống có số nguyên tử carbon rất lớn chẳng hạn polyacetylene. Áp dụng mô hình hộp thế một chiều đối với một số lượng xác định (N) của các orbital 2pz định hướng thẳng góc với mạch phân tử với khoảng cách a. Nếu chúng ta đặt một giới hạn lặp lại (periodicity boundary) là Na dọc theo mạch thì trạng thái năng lượng của các electron π có thể được mô tả bởi phương trình sau đây: E =α+2βcoskak=2πp , p=0,±1,±2,…(−π ≤k≤ π ) (6) k Na a a Hình 2: Mô tả các orbital phân tử π của ethylene. Mỗi vòng tròn đậm nét biểu diễn một nút d) Tính sự chênh lệch năng lượng giữa mức cực đại và cực tiểu của electron π. e) Do khoảng cách năng lượng trong mạch tựa hộp thế một chiều rất nhỏ nên các mức năng lượng có thể tạo thành các trạng thái liên tục. Như vậy sự kích thích nhiệt từ HOMO lên LUMO rất dễ dàng ở nhiệt độ phòng. Mặc dù các electron kích thích nhiệt luôn chuyển động trong mạch và đóng góp vào tính dẫn điện nhưng polyacetylene tinh khiết là chất dẫn điện kém. Điều này do các nguyên tử carbon trong polyacetylene không được sắp xếp với độ lặp lại a; mà thay vào đó chúng được sắp xếp với độ lặp lại là 2a do sự sắp xếp luân phiên giữa các liên kết đơn và đôi. Nếu HOMO và LUMO của mạch tựa hộp thế một chiều có độ lặp lại là a và 2a được biểu diễn như ở Hình. 3(a) và (b), thì mức năng lượng của HOMO và LUMO sẽ bị ảnh hưởng như thế nào nếu độ lặp lại chuyển từ a thành 2a? Chọn câu trả lời đúng trong số các ý sau đây: A. Độ bền của HOMO giảm trong khi LUMO tăng. B. Độ bền của HOMO tăng trong khi LUMO giảm. 9
Trang 11
Hạt chuyển động trong hộp thế C. Cả HOMO lẫn LUMO đều được bền hóa. D. Cả HOMO lẫn LUMO đều giảm bền. Hình 3: Mô tả LUMO và HOMO của mạch tựa hộp thế một chiều với độ lặp lại a (hình trên) và 2a (hình dưới). f) Mạch tựa hộp thế một chiều có độ lặp lại 2a cho thấy một khoảng trống giữa các trạng thái liên tục, điều này dẫn đến sự tạo thành một vùng hóa trị chứa electron và vùng dẫn chưa chất đầy như được mô tả ở Hình. 4. Do vùng hóa trị đã điền đầy electron và không có một trạng thái chưa bị chiếm nào hiện hữu để dẫn điện nên polyacetylene là chất cách điện. Khi thêm một chất hóa học và polyacetylene thì các electron hóa trị trở nên linh động hơn. Chất hóa học này được điều chế bằng cách oxide hóa dung dịch nước của một halide kim loại kiềm có số lượng electron bên trong của các nguyên tử hợp thành bằng với argon. Viết công thức hóa học của chất này. Hình 4：Mô tả các trạng thái điện tử liên tục của mạch tựa hộp thế một chiều có độ lặp lại 2a. 10
Trang 12
Hạt chuyển động trong hộp thế Hướng dẫn: a. b. 2 1 0, 62 ( 0, 62 ) 1, 24 c. Ek (max) 2 d. E 2 k (min ) Như vậy, khoảng cách giữa Ek max và Ek min là -4β hoặc |4 β| e. LUMO giảm bền do sự tổ hợp giữa 2 obital 2pz khác dấu. HOMO bền hóa do sự tổ hợp giữa 2 obital 2pz cùng dấu → Đáp án B. f. Br2. Câu 8 (IChO 43, 2011): Trong cơ học lượng tử, mô hình hạt trong hộp thế một chiều mô tả một tiểu phân di chuyển giữa hai bức tường không thể vượt qua được cách nhau một khoảng cách L. Mức năng lượng được phép của một tiểu phân trong hộp thế một chiều n2 h2 cho bởi biểu thức: E = với n = 1, 2, 3, … n 8mL2 11
Trang 13
Hạt chuyển động trong hộp thế Với h là hằng số Plank, m là khối lượng rút gọn của tiểu phân và L là chiều dài hộp thế. Phổ hấp thu điện tử của một phân tử thẳng liên hợp có thể được mô tả bằng mô hình hộp thế một chiều. Các electron π bất định xứ được xem như các electron tự do và chúng được phân bố trên các mức năng lượng được phép dưới sự điều khiển của nguyên lý loại trừ Pauli. Nếu phân tử chứa N electron π bất định xứ thì mức năng lượng từ n = 1 đến n = N/2 gọi là trạng thái cơ bản. Hình dưới chỉ ra các mức năng lượng cho các phân tử thẳng liên hợp có N = 8. Các mức năng lượng trong hệ có 8 electron tự do, N=8 Bước chuyển năng lượng thấp nhất trong hệ chính là bước chuyển một electron từ trạng thái cơ bản n = 4 (N/2) lên trạng thái kích thích n = 5 (N/2 + 1). Để bước chuyển này có thể xảy ra khi hấp thụ ánh sáng thì bước sóng ánh sáng tới phải thỏa mã n. E = , E = [( +1)2 - ( )2]= (N +1) Cyanine, pinacyanol, và dicarbocyanine (cấu trúc cho dưới) là các phân tử phẩm nhuộm có cấu trúc mạch liên hợp giữa hai đầu mạch. 12
Trang 14
Hạt chuyển động trong hộp thế a. Vẽ các cấu trúc cộng hưởng của mỗi phân tử. b. Các electron bất định xứ có thể di chuyển tự do trong vùng giữa hai nguyên tử nitrogen đầu mạch nhưng không di chuyển đến các liên kết nằm ngoài nguyên tử nitrogen. Mô hình hộp thế một chiều có thể được áp dụng để tính năng lượng lượng tử hóa của các electron bất định xử. Độ dài hộp thế có thể được cho là khoảng cách giữa hai nguyên tử nitrogen, được xác định dọc theo các liên kết carbon-carbon cùng với mỗi liên kết C-N. Xác định số electron bất định xứ N trong mỗi phân tử phẩm nhuộm. c. Thực nghiệm cho thấy dải hấp thụ cực đại của ba phẩm nhuộm cyanine, pinacyanol, và dicarbocyanine lần lượt ứng với các bước sóng max 525, 605 và 705 nm. Tính ∆E cho cyanine, pinacyanol, và dicarbocyanine. d. Xác định quã ng đường các electron có thể di chuyển tự do trong các phân tử này. e. Các electron π bất định xứ có thể di chuyển tự do trong polyene nhưng không thể vượt ra ngoài nguyên tử, vì thế chúng có thể xem như mô hình hộp thế một chiều được xác định bởi bộ khung carbon trong polyene thẳng. Độ dài trung bình của liên kết carbon-carbon trong cấu trúc liên hợp là 140 pm. Độ dài của mạch carbon, tức chiều dài hộp thế xấp xỉ L= 2j 140 pm, với j là số các liên kết đôi trong polyene. Xác định số electron bất định xứ và độ dài mạch liên hợp L trong 1,3-butadiene và 1,3,5-hexatriene. f. Ước lượng tần số và bước sóng của bước chuyển điện tử có mức năng lượng thấp nhất trong 1,3-butadiene và 1,3,5-hexatriene. Hướng dẫn: a. 13
Trang 15
Hạt chuyển động trong hộp thế b. NC là số nguyên tử carbon đóng góp 1 electron, NN+ là số nguyên tử nito đóng góp 1 electron, NN+ là số nguyên tử nitrogen đóng góp 2 electron. Ta có: N = 1. NC + 1. NN+ + 2. NN Với Cyanine: N = 6; Pinacynol: N = 8 và Dicarbocyanine: N = 10 c. d. e. Buta-1,3-diene: N = 4.1=4; L = 4.140 = 560pm 14
Trang 16
Hạt chuyển động trong hộp thế Hexa – 1,3,5 – triene: N = 1.6 = 6; L = 6.139= 840pm f. II. Chuyển động của hạt trong hộp thế ba chiều II.1. Cơ sở lý thuyết II.1.1. Hộp thế ba chiều Bài toán về hạt lượng tử trong hộp thế một chiều có thể được mở rộng để nghiên cứu trường hợp hạt nằm trong hộp thế có nhiều chiều hơn. Trong phần này, ta tiếp tục mở rộng mô hình sang hệ ba chiều, nơi hạt bị giới hạn trong một không gian hình hộp chữ nhật với ba kích thước Lx, Ly và Lz. Tương tự như trường hợp hộp thế một chiều, trường hợp này bên trong hộp không tồn tại lực tác dụng nào lên hạt, tức là thế năng bằng không trong toàn bộ thể tích hộp. Hạt chuyển động trong hộp thế ba chiều Kết quả của giải phương trình Schrödinger có được: Hàm sóng chuẩn hoá cho một hạt trong hộp thế ba chiều: ψ (x, y,z)=ψ (x).ψ ( y).ψ (z) n n n n n n x y z x y z →ψ (x, y,z)=√8 sin (nx πx )sin (ny πy )sin (nz πz ) n n n V L L L x y z x y z 15
Trang 17
Hạt chuyển động trong hộp thế Mức năng lượng: E = h2 (n2x + n2y + n2z ) n ,n ,n 8m L2 L2 L2 x y z x y z Trong đó: n = 1, 2, 3,..: số lượng tử chính h: hằng số Planck m: khối lượng electron L: chiều rộng giếng thế V = Lx.Ly.Lz: thể tích hộp II.1.2. Sự suy biến trong hộp lập phương ba chiều Năng lượng của một hạt trong hộp lập phương ba chiều (Lx = Ly = Lz = L) ở trạng thái cơ bản tương ứng với nx = ny = nz = 1 là: 3h2 E = 1,1,1 8mL2 Trạng thái cơ bản chỉ có một hàm sóng duy nhất và không có trạng thái nào khác có năng lượng giống như vậy; do đó, trạng thái cơ bản và mức năng lượng tương ứng được gọi là không suy biến. Tuy nhiên, trong mô hình giếng thế lập phương ba chiều, năng lượng của một trạng thái phụ thuộc vào tổng bình phương các số lượng tử. Một hạt ở trạng thái kích thích có thể có nhiều trạng thái dừng hoặc hàm sóng khác nhau ứng với cùng một giá trị năng lượng. Trong trường hợp đó, các trạng thái và giá trị năng lượng được gọi là suy biến. Đối với trạng thái kích thích thứ nhất, có ba tổ hợp khác nhau của các số lượng tử (nx, ny, nz) là (2, 1, 1), (1, 2, 1) và (1, 1, 2). Tổng bình phương của các số lượng tử trong mỗi tổ hợp đều bằng 6. Do đó, mỗi hàm sóng đều có cùng một mức năng lượng: 6h2 E =E =E = 2,1,1 1,2,1 1,1,2 8mL2 Ba tổ hợp này tương ứng với ba hàm sóng độc lập và ba trạng thái lượng tử khác nhau, nên trạng thái kích thích thứ nhất được gọi là suy biến bậc ba. Số lượng hàm sóng độc lập tương ứng với một mức năng lượng gọi là bậc suy biến của mức năng lượng đó. Giá trị của năng lượng phụ thuộc vào tổ hợp các số lượng tử và tổng bình phương của chúng, được biểu diễn bằng công thức: n2=n2+n2 +n2 x y z 16
Trang 18
Hạt chuyển động trong hộp thế II.2. Bài tập áp dụng Câu 1: Hãy t ìm giá trị động năng thấp nhất cho một electron chuyển động trong giếng thế 3 chiều tương ứng với kích thước sau: 0,1.10–13 cm; 1,5.10–13 cm; 2.10–13 cm. Hướng dẫn: Áp dụng biểu thức tính năng lượng cho electron chuyển động trong giếng thế 3 chiều: E= h2 [n2x +n2y +n2z ] 8m a2 b2 c2 Với: a = 0,1.10–13 cm = 0,1.10–15 m b = 1,5.10–13 cm = 1,5.10–15 m c = 2,0.10–13 cm = 2,0.10–15 m ở trạng thái cơ bản (ứng với năng lượng thấp nhất): nx = ny = nz = 1. Vậy: E= h2 [1 + 1 + 1 ] 8m a2 b2 c2 Thay số vào ta có: E = 6,067.10–8 J 17h2 Câu 2: Tính độ suy biến ứng với mức năng lượng là cho electron chuyển động 8mL2 trong giếng thế 3 chiều. Hướng dẫn: Theo lí thuyết: h2 17h2 E= (n2+n2 +n2)= 8mL2 x y z 8mL2 Suy ra: n2+n2 +n2 = 17 x y z Trong trường hợp này, muốn xác định độ suy biến ta phải thử các khả năng có thể có sao cho tổng bình phương của 3 số lượng tử dao động theo 3 chiều của giếng thế luôn luôn bằng 17. Các khả năng khả dĩ là: nx ny nz 2 2 3 17
Trang 19
Hạt chuyển động trong hộp thế 2 3 2 3 2 2 Ta thấy rõ ràng E bị suy biến bậc 3. Từ kết quả này (3 cặp nx, ny, nz đều cho cùng giá trị E). Câu 3: Cho phân tử N2 chuyển động giới hạn trong hình hộp với thể tích là 1,00 m3. Giả thiết ở T = 300 K phân tử đạt được giá trị năng lượng là 3/2 kT. a) Hãy cho bi ết giá trị n=(n2+n2 +n2)1/2 bằng bao nhiêu trong trường hợp này? x y z b) Tính giá trị ΔE giữa 2 mức năng lượng ứng với n và n + 1. c) Xác định bước sóng liên kết de Broglie (theo m) ? Từ kết quả thu được có thể rút ra nhận xét gì về chuyển động tịnh tiến cho N2 khi áp dụng lí thuyết cổ điển. Cho k = 1,381.10–23J.K–1 ; N = 14. Hướng dẫn: a) Theo lí thuyết cổ điển năng lượng tịnh tiến được biểu diễn bằng biểu thức E = 3/2 h2 kT. Mặt khác, theo lí thuyết lượng tử thì E=n2 8mL2 3 (n2+n2 +n2)h2 n2 h2 Theo đầu bài: E= kT= x y z = (1) 2 8mL2 8mL2 E = 3/2.1,381.10-23 JK-1.300 K = 6,214.10-21 J 8mL2 Từ (1) ta có: n2= E (2) h2 Thay các giá trị vào (2) ta được: n = 7,28.1010 h2 h2 b) ∆ E=E −E =(n+1)2 −n2 n+1 n 8mL2 8mL2 h2 h2 ¿ (n2+1+2n−n2)=(2n+1) (3) 8mL2 8mL2 18
Trang 20
Hạt chuyển động trong hộp thế Thay giá trị n đã tìm được vào (3) ta có: ∆ E = 1,71.10-31 J c) Muốn xác định λ liên kết theo hệ thức de Broglie ta phải biết v chuyển động của phân tử N2. Điều này có thể rút ra từ: E =1 mv2=3 kT →v=√3kT =517m.s−1 k 2 2 m → bước sóng liên kết de Broglie: λ = 2,75.10-11 m Như vậy, với giá trị λ tính được ta nói rằng chuyển động tịnh tiến của phân tử N2 có thể biểu diễn được bằng lí thuyết cổ điển. Câu 4: Hãy x ác định lượng phần trăm biến đổi bao nhiêu đối với một mức năng lượng cho trước của vi hạt chuyển động trong giếng thế 3 chiều nếu mỗi cạnh của hộp thế giảm 10%. Hướng dẫn: Công thức tính năng lượng vi hạt trong hộp thế 3 chiều có dạng: h2 E=(n2+n2+n2) 1 2 3 8mL2 h2 Ta đặt phần các đại lượng không đổi là: (n2+n2+n2) =K 1 2 3 8m Lượng phần trăm biến đổi của năng lượng khi mỗi cạnh của hộp thế giảm 10%: K − K ∆ E 0,9L2 L2 1 = = −1=0,23 E K 0,81 L2 Như vậy mức năng lượng biến đổi là 23%. III. Bài tập rèn luyện Câu 1: Một electron bị giam trong một hộp có năng lượng trạng thái cơ bản là 2,5 eV. Bề rộng của hộp bằng bao nhiêu? ĐS: 0,39 nm Câu 2: Một electron bị giam trong một hộp có bề rộng 0,15 nm với các rào thế vô hạn phát ra một photon khi nó chuyển từ trạng thái kích thích thứ nhất về trạng thái cơ bản. Bước sóng của photon phát ra là bao nhiêu? ĐS: 24,7 nm 19
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!