LỜI GIẢI ĐỀ THI GIẢI TÍCH A1 GIỮA KỲ 24-11-2012 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM Câu 1. Cho hàm y = sin(e f(x) ). Tính y 0 A f(x)e f(x) cos(e f(x) ) B f 0 (x)e f(x) cos(e f(x) ) C f 0 (x)cos(e f(x) ) D e f(x) cos(e f(x) ) Giải câu 1: Dùng đạo hàm hàm hợp: Đặt u(x) = e f(x) , lúc đó ta được: y = sin(u(x)), lấy đạo hàm ta được: y 0 = u 0 (x)cos(u(x)) = f 0 (x)e f(x) cos(e f(x) ) ⇒ Chọn B Câu 2. Tìm giới hạn I = lim x→2− ( sin(x−2) x2−4 + e −1 x−2 ) A Các câu khác sai B 1 4 C 0 D +∞ Giải câu 2: I = lim x→2− ( sin(x−2) x2−4 + e −1 x−2 ) = lim x→2− ( sin(x−2) x−2 1 x+2 + e −1 x−2 ) Khi x → 0, ta có: sin(x−2) x−2 = 1 và 1 x+2 = 1 4 và e −1 x−2 = +∞ Nên giới hạn đã cho I = +∞ ⇒ Chọn D Câu 3. Tìm I = lim n→+∞ ( pn (−3)n + 3n.n2 ) A +∞ B −3 C 3 D 0 1 Giải câu 3: Biến đổi ta được: I = lim n→+∞ e 1 n ln[(−3)n+3n.n2 ] = lim n→+∞ e 1 n [nln3+ln((−1)n+n 2 )] = lim n→+∞ e [ln3+ ln((−1)n+n 2) n ] Xét ln((−1)n + n 2 ) khi n → +∞ thì (−1)n + n 2 → +∞ do (−1)n n 2 , vì thế ln((−1)n + n 2 ) → +∞, nhưng vì hàm ln luôn chạy ra vô cùng chậm hơn hàm lũy thừa nên ln((−1)n+n 2 ) n → 0 Như vậy, I = 3 (do I = e ln3 = 3) ⇒ Chọn C Câu 4. Tính giới hạn I = limx→0 ( sin x x ) 1 x A 1 e B 0 C e D 1 Giải câu 4: Biến đổi, ta được: I = limx→0 [(1 + sin x−x x ) x sin x−x ] 1 x sin x−x x Xét limx→0 sin x−x x2 Dùng quy tắc L’Hospital, ta được: limx→0 sin x−x x2 = limx→0 cos x−1 2x Dùng quy tắc L’Hospital lần nữa: limx→0 sin x−x x2 = limx→0 (− sin x 2 ) = 0 Như vậy, I = 1 (do I = e 0 = 1) ⇒ Chọn D Câu 5. Biết f(x) = (x 2 + 1)e x . Tính f (10)(0) A Các câu kia đều sai B 10! C 90 D 91 2 Giải câu 5: Sử dụng khai triển Maclaurint, ta được: f(x) = (x 2 + 1)(1 + x + x 2 2! + x 3 3! + x 4 4! + x 5 5! + x 6 6! + x 7 7! + x 8 8! + x 9 9! + x 10 10! + o(x 10)) Ta chỉ quan tâm đến hệ số của x 10 vì đạo hàm ta cần lấy chỉ đến cấp 10. Hệ số của x 10 là: 1 10! + 1 8! Như vậy, f (10)(0) = 10!( 1 10! + 1 8!) = 1 + 10! 8! = 1 + 90 = 91 ⇒ Chọn D Câu 6. Tìm tất cả tiệm cận của hàm f(x) = xln(x − e) A x = e B x = e, y = x + e C Không có tiệm cận D y = 1 Giải câu 6: Tập xác định của hàm số đã cho là: R \ {e} - Xét tiệm cận đứng: limx→e f(x) = limx→e xln(x − e) = ∞ (vì khi x → e − hay x → e + đều cho ra cùng một giới hạn nên ta không xét 2 giới hạn đấy). Vậy, TCĐ của hàm số là x = e - Xét tiệm cận xiên dạng y = ax + b: a = limx→∞ f(x) x = limx→∞ ln(x − e) = ∞ Như vậy, ta thấy hệ số a tiến ra vô cùng, nên hàm số đã cho không có TCX. Mặt khác, hàm số đã cho chỉ có TCN khi và chỉ khi a = 0. KẾT LUẬN: Hàm số chỉ có TCĐ x = e ⇒ Chọn A Câu 7. Tìm giới hạn I = limx→0 ln(1+x 3 ) arcsin x− √ 1+2x A 6 B ∞ C 0 D 1 6 Giải câu 7: Ta thay các VCB tương đương: 3