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Master 1 MASS Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mardi 27 f´´ evrier 2007 Corrig´e 1.— On consid`ere un call europ´een C sur un actif S ; le prix d’exercice est K et l’´ech´eance T. Le rendement sans risque sur la p´eriode [0, T] est r. Le march´e est suppos´e sans opportunit´e d’arbitrage. Montrer les deux in´egalit´es strictes suivantes : a. C > S − Ke−rT . 0 0 b. C0 < S0. Solution a. La relation de parit´e call-put donne C − P = S − Ke−r(T−t) pour toute date t ∈ [0, T]. En particulier, t t t pour t = 0 on obtient C = P + S − Ke−rT > S − Ke−rT . L’in´egalit´e stricte r´esulte de l’absence 0 0 0 0 d’opportunit´e d’arbitrage : le pay-off du put est non-n´egatif et il offre des chances non-nulles de gain (option dans la monnaie `a l’´ech´eance). b. Si l’on a C0 ≥ S0, il suffit de vendre un call et d’acheter une part de sous-jacent pour r´ealiser un arbitrage. On commence par empocher la diff´erence ´eventuelle C0 − S0––C. A l’´` ech´eance, si l’option est dans la monnaie on livre le sous-jacent et en ´echange on per¸coit K––C. Si en revanche l’option n’est pas exerc´ee, on revend l’actif et on touche ST ––C. 2.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 40––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,3 et d = 0,8. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 45 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit une baisse suivie d’une hausse puis d’une baisse : d´etailler les op´erations de couverture effectu´ees par le trader. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Si oui, quelle serait la prime `a payer pour ce put ? e. Quelle serait la prime d’un call europ´een de mˆeme prix d’exercice et de mˆeme ´ech´eance ? Solution a. et b. La dynamique de S et les prix du put aux diff´erents nœuds de l’arbre sont donn´es dans la figure ci-dessous. La probabilit´e de martingale est 1,05 − 0,8 1 q = = 1,3 − 0,8 2 et la prime `a t = 0 est p0 = 6,4442––C. 2002-2007 michel miniconi version du 1er avril 2007
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87,88 0 67,6 0 52 54,08 2,6576 0 40 41,6 6,4442 5,5810 32 33,28 10,8753 11,72 25,6 17,2571 20,48 24,52 Les calculs partent de l’extr´emit´e droite de l’arbre ; on utilise la formule d’esp´erance conditionnelle actualis´ee ∑k ( ) 1 k i k−i i k−i p(T − k, ST−k) = q (1 − q) p(T, ST−ku d ) (1 + r)k i i=0 avec T = 3 (la dur´ee δt d’une ´etape est 1) et k = 1, 2 ou 3. Les p(T, S uidk−i) sont les valeurs du pay-off T−k aux extr´emit´es de l’arbre sachant qu’`a la date T − k le sous-jacent S avait pour valeur ST−k. Dans le cas pr´esent, on a ( ) ( ) p(T, S uidk−i) = K − S uidk−i = 45 − S ×(1,1)i×(0,9)k−i . T−k T−k + T−k + c. A la date` t = 0 le vendeur du put encaisse la prime 6,4442––C et couvre le risque de baisse en vendant `a d´ecouvert du sous-jacent. Le delta du put vaut 2,6576 − 10,8753 ∆ = = −0,4109, 52 − 32 par cons´equent le trader se couvre en vendant short une quantit´e −∆ de sous-jacent. Cette vente lui rapporte la somme de 0,4109×40––C = 16,436––C `a laquelle il rajoute la prime encaiss´ee et il place le tout au taux r = 5%. Il s’est ainsi constitu´e le portefeuille de couverture (b,∆) = (22,8796––C , −0,4109 parts). A la date` t = 1 l’actif risqu´e est descendu `a 32––C : le trader liquide son portefeuille, qui vaut maintenant 10,8753––C, et se constitue un nouveau portefeuille de couverture avec le delta 5,5810 − 17,2571 ∆ = = −0,7298. 41,6 − 25,6 Il vend `a d´ecouvert −∆ parts de sous-jacent, ce qui lui rapporte 0,7298×32––C = 23,3536––C. Il place cette somme augment´ee du produit de la vente de son portefeuille, soit 34,2277––C. Il est ainsi en possession du portefeuille (b,∆) = (34,2277––C , −0,7298 parts). A la date` t = 2 l’actif risqu´e est remont´e et vaut 41,6––C : le trader liquide son portefeuille, qui vaut maintenant 5,5810––C, et se constitue un nouveau portefeuille de couverture avec un delta de 0 − 11,72 ∆ = = −0,5635. 54,08 − 33,28 2
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Il proc`ede donc `a la vente `a d´ecouvert des parts correspondantes de sous-jacent et place le produit de cette vente augment´e de la somme qu’il a touch´ee en liquidant son portefeuille, soit 29,0210––C. Il est ainsi en possession du portefeuille (b,∆) = (29,0210––C , −0,5635 parts). A la date` t = 3 l’actif risqu´e est redescendu, il vaut `a pr´esent 33,28––C : le trader liquide son portefeuille, qui vaut maintenant 11,72––C, ce qui est pr´ecis´ement la somme qu’il doit verser `a son client au terme de ce contrat. d. Le cas du put am´ericain est r´esum´e sur la figure ci-dessous : 87,88 0 67,6 0 52 54,08 2,6576 C 0 40 41,6 7,4560 B 5,5810 32 33,28 13 A 11,72 (11,8957) 25,6 19,4 20,48 24,52 On recalcule les prix lorsque l’option est dans la monnaie. Au nœud C l’exercice n’est pas optimal puisqu’il rapporterait 3,4––C, somme inf´erieure `a la valeur 5,5810––C du put non-exerc´e. Au noeud A l’exercice anticip´e est optimal puisqu’il rapporte 19,4––C alors que le put ne vaut que 17,2571––C. Cependant, l’exercice est aussi optimal au noeud B. En effet, apr`es modification de prix en A le prix risque- neutre en B est 11,8957––C = (1/2×5,5810+1/2×19,4)/1,05––C qui est inf´erieur aux treize euros que rapporterait l’exercice. Le put am´ericain sera donc exerc´e `a t = 1 si le sous-jacent a subi une baisse, et il rapportera 13––C. La prime du put est ( ) pU S = 7,4560––C = 1/2×2,6576 + 1/2×13 /1,05––C. 0 En revanche, si le sous-jacent commence par une hausse, le put ne sera pas exerc´e avant l’´ech´eance. e. En utilisant la relation de parit´e call-put, on trouve que le prix du call europ´een est K – c0 = p0 + S0 − = 7,5715–C. (1 + r)3 dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 8 – 12 3
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Master 1 MASS Finance stochastique Exam ↩ Epreuve du jeudi 10 mai 2007´ Corrig´e 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,16×Stdt + 0,32×StdWt avec S0 = 30 ––C et o`u les coefficients 0,16 et 0,32 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit compris entre 30 ––C et 34 ––C au bout de trois mois. Solution La moyenne et la variance de St avec t = 3 mois, soit t = 0,25 ann´ee, sont respectivement (1) log S + (μ − σ2/2)t = 3,4284, σ2 t = (0,16)2. 0 On centre et on r´eduit la variable normale log St et on calcule les extr´emit´es de l’intervalle correspondant : ( ) (2) log St − 3,4284 /0,16 ∈ [−0,17 ; 0,6123]; on trouve ensuite, `a l’aide de la table de loi normale, la probabilit´e pour que St soit dans l’intervalle donn´e : (3). P = 0,7298 − (1 − 0,5675) = 0,2973 ≈ 30% 2.— a. Dessiner le pay-off d’un portefeuille contenant un call achet´e de strike K1 > 0 et deux calls vendus de mˆeme strike K2 > K1. Les calls ont tous mˆeme sous-jacent et mˆeme maturit´e. b. D´eterminer un portefeuille constitu´e de quatre calls europ´eens (achet´es ou vendus) sur un mˆeme sous-jacent S, ayant mˆeme maturit´e T et dont le pay-off est repr´esent´e par le diagramme ci-dessous (butterfly) : o`u K2 = (K1 + K3)/2 i.e. K2 est le milieu de [K1, K3]. Solution a. On ajoute des fonctions affines : call K long1 K1 K 2 K1 K2 call K court2 un call K long, deux calls K courts 1 2 K1 K2 2K -K 2 1 K1 K2 K 2 call K court2 2002-2007 michel miniconi version du 13 mai 2007
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b. Pour compenser la partie descendante finale de ce graphe, afin d’obtenir celui d’un butterfly, il suffit de rajouter un call de mˆeme maturit´e et de strike K3 = 2K2 − K1. Ainsi cette option peut ˆetre synth´etis´ee `a l’aide de quatre calls de mˆeme maturit´e : on ach`ete un call de strike K1 et un call de strike K3 et l’on vend deux calls de strike commun K2 = (K1 + K3)/2. 3.— On consid`ere une option qui peut ˆetre r´epliqu´ee en achetant un put et deux calls, tous les trois europ´eens, de mˆeme maturit´e et de mˆeme strike. a. Dessiner le pay-off de ce d´eriv´e. b. On se donne un actif S dont la dynamique est celle d’un brownien g´eom´etrique dans un march´e de Black- Merton-Scholes. Sur un an le rendement sans risque est r = 6% et la volatilit´e de S est σ = 30%. La valeur de S `a t = 0 est S0 = 20 ––C. Un trader vend le d´eriv´e ci-dessus ayant S comme sous-jacent. La maturit´e est T = 6 mois, le strike est K = 20 ––C. Calculer le prix du d´eriv´e `a la date t = 0. c. On rappelle que le delta d’un call est ∆call = N(d1) (notations habituelles). Quel est le delta d’un put ? (justifier la r´eponse) d. Le trader d´ecide de couvrir le d´eriv´e `a l’aide d’un portefeuille (B, S) qui rendra sa position delta neutre. D´eterminer le portefeuille de couverture qu’il se constituera `a la date t = 0. Solution a. La pente du brin sup´erieur est 2 : 0 K S T b. call et put : les formules utilisent les mˆemes d1 et d2 : (4) d1 = 0,2475, d2 = 0,0354 d’o`u, avec N d´esignant la r´epartition de la loi normale r´eduite (5) N(d1) = 0,5977, N(d2) = 0,5142. En notant f le prix du strap, c et p les prix du call et du put respectivement, on a ( ) ( ) (6) f = 2c + p = S0 3N(d1) − 1 − e−rT K 3N(d2) − 1 = 5,3345––C ou bien (calcul du call puis du put par parit´e call-put puis du d´eriv´e) : (7) c = 1,9752––C, p = 1,3841––C, f = 2c + p = 5,3345––C. c. La relation de parit´e call-put est (8) c(t, s) − p(t, s) = s − Ke−r(T−t) d’o`u, en d´erivant par rapport `a s, (9) ∆p = ∆c − 1 d. Le portefeuille de couverture (bf ,∆f ) est d´etermin´e par les calculs suivants : (10) ∆c = N(d1) = 0,5977, ∆f = 2 ∆c + ∆p = 3∆c − 1 = 0,7931, bf = f − ∆f S0 = −10,5275––C Le trader emprunte 10,5275––C, encaisse la prime de 5,3345––C : il a donc en caisse 15,8620––C avec lesquels il ach`ete 0,7931 parts d’actif S au prix unitaire S0 = 20––C. 2
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4.— On se place dans le mod`ele Black-Merton-Scholes standard, dont on adopte les notations habituelles. Une compagnie financi`ere met sur le march´e un d´eriv´e dont le pay-off est fT = log ST . a. D´eterminer le prix f0 de ce d´eriv´e `a la date t = 0. b. D´eterminer le prix ft de ce d´eriv´e `a une date t quelconque, 0 ≤ t ≤ T. Les r´esultats seront exprim´es en fonction de r, σ, t, T et St. Solution ( ) a. et b. On a f = e−r(T−t)E f | S o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. En outre, sous cette mˆeme t Q T t probabilit´e, ( ) (11) S = S exp (r − σ2/2)(T − t) + σ(W − W ) T t T t donc log S a pour loi conditionnelle `a S une loi normale d’esp´erance log S + (r−σ2/2)(T −t), et on trouve T t t ( ) (12) f = e−r(T−t) log S + (r − σ2/2)(T − t) . t t Mais on peut aussi r´ediger le calcul de la mani`ere plus concise suivante : ( ) ( ) (13) f = e−r(T−t)E log S + (μ−σ2/2)(T −t) +σ(W −W ) | W = e−r(T−t) log S + (r−σ2/2)(T −t) . t Q t T t t t dur´ee : 3h — bar`eme approximatif : 4 - 5 - 7 - 4 Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 3
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Master 1 MASS Finance stochastique DS ↩ Epreuve du mardi 17 mars 2008´ Corrig´e Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a deux ´etapes. On suppose que S0 = 40––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,15 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 5%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le call europ´een sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 40 ––C et d’´ech´eance T = 2, la fin de la seconde p´eriode. D´eterminer le prix du call `a la date t = 0 ainsi que les prix du call `a la date interm´ediaire t = 1. c. On constate sur le march´e un prix de 5 ––C pour ce call `a la date t = 0. Quelle strat´egie d’arbitrage mettra-t-on en œuvre pour tirer profit de ce prix ? Solution a. et b. Les r´esultats sont report´es sur le dessin ci-dessous. Les calculs se font en utilisant la probabilit´e de martingale q = 3/5 : le prix du call `a la date t et pour chaque valeur St du sous-jacent est l’esp´erance actualis´ee du pay-off conditionn´ee par St. 52,9 12,9 46 7,9048 40 41,4 4,8218 1,4 36 0,8 32,4 0 c. Le prix d’arbitrage du call est inf´erieur au prix trouv´e sur le march´e. On exploite l’arbitrage en vendant le plus possible de calls et en achetant autant de portefeuilles de couverture : le bilan de ces op´erations sera pour chaque call de 5 − 4,8218 = 0,1782 ––C. Pour chaque call, la quantit´e de sous-jacent `a d´etenir en couverture `a la date d’´ecriture est ϕ1 = 0,7105 parts et il faudra emprunter b = 0,7105×40 − 4,8218 = 23,5973 ––C au taux du march´e de l’actif sans risque. On modifiera ces portefeuilles `a t = 1 de mani`ere `a les maintenir autofinanc´es et `a continuer `a couvrir les calls vendus. A l’´` ech´eance on liquidera ces portefeuilles pour payer le call si l’on est appel´e par le client acheteur. La somme correspondant `a la diff´erence 0,1782 ––C par call nous sera d´efinitivement acquise. 2.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 30––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,08 et d = 0,93. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 3%. On utilisera l’approximation er ≈ 1 + r. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 28 ––C et d’´ech´eance T = 3. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. c. D´eterminer la date `a laquelle l’exercice du put est optimal. Pr´eciser la ou les valeurs du put et du sous- jacent lors de l’exercice optimal. 2002-2008 michel miniconi version du 17 mars 2008
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On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max B−1E (p |S ),(K − S ) t δt q t+δt t t + o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. Solution a. et b. Les r´esultats sont consign´es dans la figure ci-dessous : 37,7914 0 34,992 0 32,4 35,5426 0 C 0 30 30,132 0,2150 B 0 27,9 28,0228 0,6644 A 0 25,947 2,053 (1,2522) 24,1307 3,8693 La probabilit´e de martingale est q = 2/3. Au nœud A de l’arbre, le prix d’arbitrage serait de 1,2522 ––C si le put n’´etait pas exer¸cable (esp´erance risque-neutre actualis´ee). Cependant l’exercice de ce put am´ericain fournit 2,053 ––C `a son d´etenteur, c’est donc le prix de ce put. En cons´equence le prix au nœud B est 0,6644 ––C qui est l’esp´erance actualis´ee des prix aux nœuds A et C et qui est en outre sup´erieur `a ce que rapporterait l’exercice, soit 0,1 ––C. En B l’exercice n’est pas optimal, ni d’ailleurs `a la date t = 0. c. L’exercice est donc optimal en A uniquement, c’est-`a dire `a la date t = 2 et pour un prix de sous-jacent S2 = 25,947 ––C. Le put est alors exerc´e au prix de 2,053 ––C. dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 10 – 10 2
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Master 1 MASS Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du lundi 28 avril 2008´ Corrig´e Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est dSt = 0,10×Stdt + 0,40×StdWt avec S0 = 50––C et o`u les coefficients 0,10 et 0,40 repr´esentent respectivement le rendement moyen annuel et la volatilit´e du rendement sur un an de l’actif S. Calculer la probabilit´e pour que le prix de l’actif soit au moins ´egal `a 58––C au bout de six mois. Solution On a T = 0,5. L’actif ST suit une loi log-normale : log S ∼ N(log S + (μ − σ2/2)T ; σ2T) = N(3,922 ; 0,08). T 0 Par cons´equent : ( ) ( ) log ST − 3,922 log 58 − 3,922 P(ST ≥ 58) = P √ ≥ √ = P Z ≥ 0,454 ≈ 0,325. 0,4 0,5 0,4 0,5 o`u Z d´esigne une loi normale standard. 2.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est celle d’un brownien g´eom´etrique. La volatilit´e du rendement sur un an est σ = 30%, le prix `a la date t = 0 est S0 = 40––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A` t = 0 un trader ach`ete une part de sous-jacent qu’il compte revendre dans un an. Il s’assure contre une baisse du sous-jacent en achetant un put de strike Kp = 40––C et il finance cette assurance en vendant un call de strike Kc = 45––C. Le put et le call sont tous les deux de maturit´e T = 1 an (option synth´etique collar). a. Calculer le prix du put et celui du call. b. Le trader liquide sa position `a l’´ech´eance. Quels sont ses gains et pertes maximaux possibles `a cette date ? Solution a. Avec les notations habituelles, on a, dans le cas du put-40, ´ech´eance T = 1 : d2 = 0,017 et d1 = 0,317 d’o`u le prix du put : p = 3,7417––C et pour le call-45 de mˆeme ´ech´eance : d2 = −0,376 et d1 = −0,076 d’o`u le prix du call : c = 3,6585––C. 2002-2008 michel miniconi version du 28 avril 2008
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b. La combinaison des deux options coˆute 0,0832––C. Pour avoir une id´ee des pertes et profits de cette strat´egie, on peut n´egliger ce coˆut, quitte `a le r´eint´egrer `a la fin du calcul. Par ailleurs, le coˆut de l’immobilisation sur 1 an des 40––C (un emprunt, par exemple) pour l’achat du sous-jacent est de 0,05×40 = 2––C. Si le sous-jacent termine en-dessous de 40––C, le trader exerce son put : il vend l’actif au prix de 40––C. Le bilan est nul, le trader r´ecup`ere simplement les 40––C de l’achat initial du sous-jacent mais il a perdu les 2––C d’int´erˆets sur l’emprunt initial. Si le sous-jacent termine au-dessus de 45––C, le trader sera assign´e par son client `a lui vendre le sous-jacent au prix de 45––C. Il livrera donc le sous-jacent et recevra 45––C de la part de son client. Le gain du trader est dans ce cas de 5––C. Cette somme sera diminu´ee des 2––C d’int´erˆets. Si enfin le prix ST du sous-jacent `a l’´ech´eance est compris entre 40––C et 45––C aucune des deux options n’est exerc´ee, le profit du trader est donc de ST − 40––C, diminu´es des 2––C. Avec cette strat´egie la perte maximale est de 2––C et le profit est limit´e `a 3––C. Si l’on r´eint`egre le coˆut initial de l’option, on trouve respectivement 2,08––C de perte maximale et 2,92––C de gain maximal. 3.— On consid`ere deux calls c1 et c2 de mˆeme strike K = 40––C sur un mˆeme sous-jacent S v´erifiant S0 = 40––C mais de maturit´es diff´erentes : le call c1 est de maturit´e T1 = 3 mois tandis que le call c2 est de maturit´e T2 = 6 mois. L’actif S est suppos´e suivre une dynamique de brownien g´eom´etrique dont le rendement est de volatilit´e annuelle σ constante ´egale `a 30%. Le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A la date` t = 0 un trader vend le call c et ach`ete le call c (spread calendaire). On notera f(t, s) le prix du 1 2 spread `a la date t et pour le prix de sous-jacent St = s. a. D´eterminer le prix de cette option `a la date t = 0. b. On se place `a la date T1 et on suppose qu’`a cette date l’option est `a la monnaie : ST = 40––C. On suppose 1 aussi que les param`etres r et σ n’ont pas chang´e. D´eterminer le prix du spread. c. Si le trader liquide sa position `a la date T1, quel est le rendement de la strat´egie de spread ? d. (cette question est ind´ependante des pr´ec´edentes) On rappelle l’identit´e (ID) S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ) t 1 2 sous les notations habituelles des formules de Black-Scholes. Montrer l’´egalit´e ∂ c √ (V ega) (t, S ) = S N′(d ) T − t. ∂σ t t 1 o`u c d´esigne le prix Black-Scholes d’un call. e. On revient au spread calendaire : on se place encore `a la date T1 et sous l’hypoth`ese que l’option est `a la monnaie. On suppose qu’`a cette date la volatilit´e du sous-jacent a augment´e : le rendement de l’option est-il inf´erieur ou sup´erieur au rendement trouv´e dans la question c. ? Solution a. Le prix du spread calendaire est ´egal `a la diff´erence c2,0 − c1,0 des prix des deux calls `a la date t = 0. On commence par calculer c1,0, dont la maturit´e est T1 = 0,25. On a, avec les notations habituelles : 1 ( ) √ d = √ (0,05 − (0,3)2/2)×0,25 = 0,008 et d = d + 0,3 0,25 = 0,158 2 0,3 0,25 1 2 d’o`u le prix du call c1 : c1,0 = 40N(d1) − e−0,05×0,25KN(d2) = 2,6332––C. 2
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On calcule ensuite c2,0, dont la maturit´e est T2 = 0,5. On a : 1 ( ) √ d′ = √ (0,05 − (0,3)2/2)×0,5 = 0,012 et d′ = d′ + 0,3 0,5 = 0,224 2 0,3 0,5 1 2 d’o`u le prix du call c2 : c2,0 = 40N(d′ ) − e−0,05×0,5KN(d′ ) = 3,8540––C. 1 2 On en d´eduit le prix du spread calendaire : sc0 = c2,0 − c1,0 = 1,2207––C. b. L’option ´etant `a la monnaie `a la date T1, le call c1 vaut 0––C. Quant au call c2, il a maintenant les caract´eristiques que le call c1 poss´edait lui-mˆeme `a la date t = 0. On a donc c2,T = c1,0 = 2,6332––C et c1,T = 0––C. 1 1 et par cons´equent le prix du spread est maintenant scT = c2,T − c1,T = 2,6332––C. 1 1 1 c. Si le trader liquide sa position `a la date T1, le rendement du spread est scT − sc0 2c1,0 − c2,0 1 = = 1,157 soit pr`es de 116% sc0 c2,0 − c1,0 d. En d´erivant la formule du call par rapport `a σ on trouve ∂ c ∂ d ∂.d (t, S ) = S N′(d ) 1 − e−r(T−t)KN′(d ) 2 ∂σ t t 1 ∂σ 2 ∂σ. √ De la relation d1 = d2 + σ T − t on tire ∂ d ∂ d √ 1 = 2 + T − t ∂σ ∂σ et en utilisant la relation (ID) on en d´eduit la relation (V ega) cherch´ee. e. D’apr`es la relation (V ega) le prix du call est une fonction croissante de la volatilit´e. Si celle-ci augmente `a la date T1 le prix du spread est calcul´e comme le prix du call c1 `a t = 0 avec une volatilit´e sup´erieure. Ce prix est donc sup´erieur au prix calcul´e plus haut. En conclusion, en cas de hausse de la volatilit´e `a T1, le rendement du spread est sup´erieur au rendement calcul´e dans la question c. dur´ee de l’´epreuve : 3h bar`eme approximatif : 4 – 4 – 12 3
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Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p(t, s) = e−r(T−t)KN(−d ) − sN(−d ) 2 1 en raison de la relation de parit´e put-call c + Ke−r(T−t) = p + S . t 4
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Master 1 IMEA Finance stochastique Examen final ↩ Epreuve du jeudi 23 avril 2009´ Corrig´e Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. Les options sont europ´eennes. On reprend les notations habituelles. 1.— Un d´eriv´e sur S d’´ech´eance T paye 90 − ST si ST < 95 et −5 sinon (autrement dit, si ST ≥ 95 le d´etenteur de l’option doit verser 5––C au vendeur). a. Dessiner le pay-off de ce d´eriv´e. b. D´ecomposer ce d´eriv´e en une option vanille (call ou put) et une position sur le march´e mon´etaire. Solution a. et b. Le d´eriv´e se d´ecompose en un put achet´e de strike 95 et un emprunt, remboursable `a la mˆeme ´ech´eance T, de e−rT ×5––C. 90 95 -5 Long put-95, short z´ero-coupon nominal 5 2.— Un actif S se n´egocie aujourd’hui `a 28––C. On ach`ete deux calls sur cet actif de strike 31––C, d’´ech´eance 6 mois, et on vend un call de strike 28––C et de mˆeme ´ech´eance (option long call backspread). a. Dessiner le pay-off de cette option. b. Le taux sans risque est r = 0,05 et la volatilit´e est σ = 25%. Calculer le prix de chaque call. D´eterminer ensuite le bilan mon´etaire de notre position `a t = 0 sur le call backspread. c. Quels sont les pertes et les profits maximaux possibles ? Pr´eciser les points-morts. d. Si on utilise une telle strat´egie d’investissement, quelles anticipations a-t-on sur le prix de S et sur sa volatilit´e ? e. Calculer le rendement de cette strat´egie (rapport´e au prix d’achat des deux calls-31) dans le cas o`u S termine `a 35––C. On exprimera le r´esultat en pourcentage. f. Au bout de trois mois, les conditions du march´e ont chang´e : la volatilit´e est mont´ee `a 35%. A cette date` le sous-jacent est `a 31––C. On revend l’option. Quel prix peut-on en proposer ? Quel rendement, rapport´e `a l’achat initial des deux calls-31, a-t-on tir´e de cette op´eration ? Solution a. voir le graphique ci-dessous, question c. b. call-31 : d2 = −0,5227, d1 = −0,3460, c31 = 1,123––C call-28 : d2 = 0,0530, d1 = 0,2230, c28 = 2,313––C call backspread : cb = 2c31 −c28 = −0,066––C : autrement dit la vente `a d´ecouvert rapporte plus que la somme n´ecessaire pour l’achat des deux calls-31, il nous reste 0,066––C `a la date t = 0. 2002-2009 michel miniconi version du 23 avril 2009
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c. -cb 28 31 34 28 31 34 Pay-off du Call Backspread P&L Profits : illimit´es si ST en forte hausse `a l’´ech´eance ; limit´es au bilan mon´etaire si ST en baisse. Pertes : limit´ees `a 3 + cb = 2,934––C lorsque ST est entre les deux points-morts 28,066 et 33,934. La perte max est subie pour ST = 31––C. d. hausse du sous-jacent ; hausse de la volatilit´e implicite e. En examinant le pay-off on voit que le backspread rapporte 1––C auquel on rajoute le bilan initial de 0,066––C. Le rendement est donc 1 − cb = 0,475 ≈ 47% 2c31 f. On calcule les prix des nouveaux calls. L’´ech´eance est pass´ee `a trois mois (T = 0,25), le prix spot du sous-jacent est 31––C et la volatilit´e est maintenant 0,35. call-31 : nd2 = −0,0161, nd1 = 0,1589, nc31 = 2,346––C call-28 : nd2 = 0,5655, nd1 = 0,7405, nc28 = 4,138––C call backspread : ncb = 2nc31 − nc28 = 0,554––C. En vendant trois mois avant l’´ech´eance, avec un prix de sous-jacent d´efavorable mais sous le nouveau r´egime de volatilit´e, on obtient encore un rendement positif de valeur ncb − cb = 0,276 ≈ 28% 2c31 Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant s `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c(t, s) = sN(d ) − e−r(T−t)KN(d ) 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { s } d = d (t, s) = √ ln + (r + 1σ2)(T − t) 1 1 σ T − t K 2 et √ { } 1 s 1 d = d (t, s) = d (t, s) − σ T − t = √ ln + (r − σ2)(T − t) . 2 2 1 σ T − t K 2 dur´ee de l’´epreuve : 2h bar`eme approximatif : 6 – 14 2
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Master 1 IMEA Finance stochastique DS ↩ Epreuve du jeudi 1er avril 2010´ Corrig´e Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Un actif S vaut S = 30––C `a la date t = 0. A la date` t = 1 cet actif peut valoir Su = 32––C ou Sd = 29––C. 0 1 1 Le taux sans risque est suppos´e nul : r = 0. Un call sur S de strike K = 31 et d’´ech´eance T = 1 est n´egoci´e au prix de 1/2––C. a. Le march´e pr´esente-t-il une opportunit´e d’arbitrage ? (justifier votre r´eponse) b. Si un arbitrage est possible, d´ecrivez la strat´egie mise en œuvre pour exploiter cet arbitrage. Si au contraire il n’y a pas d’arbitrage, d´ecrivez la strat´egie de couverture delta-neutre d’un trader qui aurait vendu cette option. Dans tous les cas, pr´ecisez les op´erations effectu´ees (achats, ventes etc.) pour la strat´egie d´ecrite. Solution a. Si l’on ne tient pas compte du prix du call propos´e par le march´e, le mod`ele ne pr´esente pas d’opportunit´e d’arbitrage puisque la relation Sd < S ×(1 + r) < Su est v´erifi´ee. En particulier les prix d’actifs d´eriv´es 1 0 1 europ´eens peuvent ˆetre calcul´es comme esp´erances actualis´ees des prix possibles `a la date T = 1 `a l’aide de la probabilit´e de martingale, laquelle vaut ici S ×(1 + r) − Sd 1 q = 0 1 = . Su − Sd 3 1 1 Pour le call-31 on trouve que le prix d’arbitrage `a t = 0 est c0 = 1/3––C. Or le prix propos´e sur le march´e est 1/2––C : il y a donc une possibilit´e d’arbitrage sur ce call. b. Pour r´ealiser cet arbitrage, il faut vendre le plus possible de calls au prix unitaire de 1/2––C (c’est le prix du march´e, on ne pourrait pas le vendre ni l’acheter `a un autre prix) et acheter une quantit´e ´equivalente de portefeuilles de r´eplication. Chacun de ces portefeuilles a pour valeur `a t = 0 le prix d’arbitrage du call, soit 1/3––C. A l’´` ech´eance T, on sait que la valeur de la r´eplication couvrira exactement les ´eventuels payements que l’on doit effectuer en faveur de l’acheteur des calls. Ainsi on s’assure imm´ediatement d’un gain sans risque de 1/2 − 1/3 = 1/6––C. On peut faire ce que l’on veut de cette somme, la consommer ou la placer sur un compte r´emun´er´e, puisqu’on n’a besoin que de 1/3––C par call vendu pour construire la r´eplication. Pr´ecisons les op´erations `a effectuer. Le delta du call est 1/3 : la r´eplication d’un call doit contenir 1/3 d’actif sous-jacent ; on devra donc payer 30×1/3 = 10––C pour cet achat. Pour chaque call vendu on doit donc emprunter cette somme, diminu´ee de 1/3––C que l’on a pr´elev´e sur le 1/2––C per¸cu pour la vente du call. Ainsi on doit se constituer le portefeuille (−29/3––C , 1/3 parts de S) pour couvrir `a l’´ech´eance exactement le pay-off du call vendu. Comme on l’a vu plus haut, cette r´eplication valant 1/3––C, la strat´egie d’arbitrage rapportera 1/6––C par call vendu. 2002-2010 michel miniconi version du 1er avril 2010
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2.— On se place dans un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,05 et d = 0,90. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 1%. On consid`ere le put am´ericain sur le sous-jacent S, de prix d’exercice K = 19––C et d’´ech´eance T = 3 p´eriodes. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. D´eterminer le prix de ce put `a la date initiale t = 0. c. On suppose que l’actif subit trois baisses cons´ecutives : `a quelle date est-il optimal d’exercer ce put ? On rappelle que le prix pt du put am´ericain v´erifie ( ) p = max (K − S ) , B−1E (p |S ) t t + δt q t+δt t o`u Bδt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel δt. Solution a. et b. Le graphique ci-dessous donne la dynamique de S et celle du put : 23,1525 0 22,05 D 0 21 19,845 E 0,1387 B 0 20 18,9 0,3966 C 0,5254 18 17,01 1,1208 A 1,99 16,2 2,8 (2,6119) 14,58 4,42 La probabilit´e de martingale vaut ici q = 1,01−0,90 = 11 ≈ 0,7333. 1,05−0,90 15 Au nœud A de l’arbre, le chiffre entre parenth`eses indique le prix calcul´e `a l’aide de l’esp´erance risque-neutre. Le prix d’exercice ´etant sup´erieur, c’est ce dernier qui est retenu pour le prix du put am´ericain `a la date t = 2 si l’actif S a subi deux baisses. ( ) D’une mani`ere g´en´erale les prix sont calcul´es `a l’aide de la formule p = max (K −S ) , B−1E (p |S ) . t t + δt q t+δt t Les calculs sont effectu´es pas `a pas, en descendant de la date t = 3, l’´ech´eance, o`u le put a pour valeur le pay-off, jusqu’`a la date t = 0. On trouve finalement p0 ≈ 0,3966––C. Exemples de calculs : Au nœud A, l’exercice rapporte 2,8––C. Quant au prix calcul´e 〈〈 `a l’europ´eenne〉〉 il est ´egal `a 1 (11 4 ) ×1,99 + ×4,42 ≈ 2,6119––C. 1,01 15 15 Le prix du put est donc pA = max(2,8, 2,6119) = 2,8––C. Au nœud B, l’exercice rapporte 0,1––C qui est inf´erieur au 〈〈 prix europ´een〉〉 de l’´etape, approximativement 0,5254––C. C’est donc ce dernier prix qui est le prix du put am´ericain en B. Au nœud situ´e au-dessus de B, le prix est 0––C car le calcul 〈〈 `a l’europ´eenne〉〉 donne ´evidemment 0 et l’exercice ne rapporte rien. Aux autres nœuds, on proc`ede de mˆeme. c. L’exercice est profitable seulement au nœud A de l’arbre, c’est-`a-dire `a la date t = 2 et si l’actif a subi deux baisses. Il est optimal d’exercer `a cette date, mˆeme si le put laisse un chance de rapporter plus `a l’´ech´eance (propri´et´e de surmartingale). dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 10 – 10 2
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Master 1 IMEA Finance stochastique Examen final (rattrapage) ↩ Epreuve du mercredi 20 juin 2012´ Corrig´e Les actifs S sont suppos´es ne pas rendre de dividende. 1.— Soit un actif S dont la dynamique stochastique est celle d’un brownien g´eom´etrique. La volatilit´e du rendement sur un an est σ = 30%, le prix `a la date t = 0 est S0 = 40––C. Par ailleurs, le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. A` t = 0 un trader ach`ete une part de sous-jacent qu’il compte revendre dans un an. On poura supposer qu’il a emprunt´e au taux annuel r les 40––C n´ecessaires `a l’achat de la part de S. Il s’assure contre une baisse du sous-jacent en achetant un put de strike Kp = 40––C et il finance cette protection en vendant un call de strike Kc = 45––C. Le put et le call sont tous les deux de maturit´e T = 1 an (option synth´etique collar). a. Calculer le prix du put et celui du call. b. Le trader liquide sa position `a l’´ech´eance. Quels sont ses gains et pertes maximaux possibles `a cette date ? Solution a. Avec les notations habituelles, on a, dans le cas du put-40, ´ech´eance T = 1 : d2 = 0,017 et d1 = 0,317 d’o`u le prix du put : p = 3,7417––C et pour le call-45 de mˆeme ´ech´eance : d2 = −0,376 et d1 = −0,076 d’o`u le prix du call : c = 3,6585––C. b. La combinaison des deux options coˆute 0,0832––C. Pour avoir une id´ee des pertes et profits de cette strat´egie, on peut n´egliger ce coˆut, quitte `a le r´eint´egrer `a la fin du calcul. Par ailleurs, le coˆut de l’immobilisation sur 1 an des 40––C (un emprunt, par exemple) pour l’achat du sous-jacent est de 0,05×40 = 2––C. Si le sous-jacent termine en-dessous de 40––C, le trader exerce son put : il vend l’actif au prix de 40––C. Le bilan est nul, le trader r´ecup`ere simplement les 40––C de l’achat initial du sous-jacent mais il a perdu les 2––C d’int´erˆets sur l’emprunt initial. Si le sous-jacent termine au-dessus de 45––C, le trader sera assign´e par son client `a lui vendre le sous-jacent au prix de 45––C. Il livrera donc le sous-jacent et recevra 45––C de la part de son client. Le gain du trader est dans ce cas de 5––C. Cette somme sera diminu´ee des 2––C d’int´erˆets. Si enfin le prix ST du sous-jacent `a l’´ech´eance est compris entre 40––C et 45––C aucune des deux options n’est exerc´ee, le profit du trader est donc de ST − 40––C, diminu´es des 2––C. Avec cette strat´egie la perte maximale est de 2––C et le profit est limit´e `a 3––C. Si l’on r´eint`egre le coˆut initial de l’option, on trouve respectivement 2,08––C de perte maximale et 2,92––C de gain maximal. 2.— On consid`ere deux calls c1 et c2 de mˆeme strike K = 40––C sur un mˆeme sous-jacent S v´erifiant S0 = 40––C mais de maturit´es diff´erentes : le call c1 est de maturit´e T1 = 3 mois tandis que le call c2 est de maturit´e T2 = 6 mois. L’actif S est suppos´e suivre une dynamique de brownien g´eom´etrique dont le rendement est de volatilit´e annuelle σ constante ´egale `a 30%. Le rendement annuel de l’actif sans risque B est r = 5%. 2002-2012 michel miniconi version du 16 juin 2012
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A la date` t = 0 un trader vend le call c et ach`ete le call c (spread calendaire). 1 2 a. D´eterminer le prix f0 de cette option `a la date t = 0. b. On se place `a la date T1 et on suppose qu’`a cette date l’option est `a la monnaie : ST = 40––C. On suppose 1 aussi que les param`etres r et σ n’ont pas chang´e. D´eterminer le prix fT du spread. 1 c. Si le trader liquide sa position `a la date T1, quel est le rendement de la strat´egie de spread ? d. (cette question est ind´ependante des pr´ec´edentes) On rappelle l’identit´e (ID) S N′(d ) = Ke−r(T−t)N′(d ) t 1 2 sous les notations habituelles des formules de Black-Scholes. Montrer l’´egalit´e ∂ c √ (V ega) (t, S ) = S N′(d ) T − t. ∂σ t t 1 o`u c d´esigne le prix Black-Scholes d’un call. e. On revient au spread calendaire : on se place encore `a la date T1 et sous l’hypoth`ese que l’option est `a la monnaie. On suppose qu’`a cette date la volatilit´e du sous-jacent a augment´e : le rendement de l’option est-il inf´erieur ou sup´erieur au rendement trouv´e dans la question c. ? Solution a. Le prix du spread calendaire est ´egal `a la diff´erence c2,0 − c1,0 des prix des deux calls `a la date t = 0. On commence par calculer c1,0, dont la maturit´e est T1 = 0,25. On a, avec les notations habituelles : 1 ( ) √ d = √ (0,05 − (0,3)2/2)×0,25 = 0,008 et d = d + 0,3 0,25 = 0,158 2 0,3 0,25 1 2 d’o`u le prix du call c1 : c1,0 = 40N(d1) − e−0,05×0,25KN(d2) = 2,6332––C. On calcule ensuite c2,0, dont la maturit´e est T2 = 0,5. On a : 1 ( ) √ d′ = √ (0,05 − (0,3)2/2)×0,5 = 0,012 et d′ = d′ + 0,3 0,5 = 0,224 2 0,3 0,5 1 2 d’o`u le prix du call c2 : c2,0 = 40N(d′ ) − e−0,05×0,5KN(d′ ) = 3,8540––C. 1 2 On en d´eduit le prix du spread calendaire : f0 = c2,0 − c1,0 = 1,2207––C. b. L’option ´etant `a la monnaie `a la date T1, le call c1 vaut 0––C. Quant au call c2, il a maintenant les caract´eristiques que le call c1 poss´edait lui-mˆeme `a la date t = 0. On a donc c2,T = c1,0 = 2,6332––C et c1,T = 0––C. 1 1 et par cons´equent le prix du spread est maintenant fT = c2,T − c1,T = c1,0 = 2,6332––C. 1 1 1 2
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c. Si le trader liquide sa position `a la date T1, le rendement du spread est fT − f0 2c1,0 − c2,0 1 = = 1,157 soit pr`es de 116% f0 c2,0 − c1,0 d. En d´erivant la formule du call par rapport `a σ on trouve ∂ c ∂ d ∂.d (t, S ) = S N′(d ) 1 − e−r(T−t)KN′(d ) 2 ∂σ t t 1 ∂σ 2 ∂σ. √ De la relation d1 = d2 + σ T − t on tire ∂ d ∂ d √ 1 = 2 + T − t ∂σ ∂σ et en utilisant la relation (ID) on en d´eduit la relation (V ega) cherch´ee. e. D’apr`es la relation (V ega) le prix du call est une fonction croissante de la volatilit´e. Si celle-ci augmente `a la date T1 le prix du spread est calcul´e comme le prix du call c1 `a t = 0 avec une volatilit´e sup´erieure. Ce prix est donc sup´erieur au prix calcul´e plus haut. En conclusion, en cas de hausse de la volatilit´e `a T1, le rendement du spread est sup´erieur au rendement calcul´e dans la question c. dur´ee de l’´epreuve : 1h30 bar`eme approximatif : 6 – 14 Formules de Black-Scholes Soit un actif risqu´e S suivant le mod`ele du brownien g´eom´etrique et ne versant pas de dividendes. La formule g´en´erale du prix d’un d´eriv´e europ´een ´ecrit sur S et de pay-off fT est ( ) f(t, s) = e−r(T−t)E f | S = s Q T t o`u Q d´esigne la probabilit´e risque neutre. On en d´eduit les formules de Black-Scholes : Le prix `a la date t d’un call europ´een de strike K et de date d’expiration T, sur un actif S ne versant pas de dividendes et valant St `a la date t ∈ [0, T], est donn´e par la formule c = S N(d ) − e−r(T−t)KN(d ) t t 1 2 o`u N d´esigne la fonction de r´epartition de la loi normale N(0; 1) et avec 1 { S } d = √ ln t + (r + 1σ2)(T − t) 1 σ T − t K 2 et { } √ 1 S d = d − σ T − t = √ ln t + (r − 1σ2)(T − t) . 2 1 σ T − t K 2 Le prix d’un put de mˆeme strike et de mˆeme date d’exercice est p = −S N(−d ) + e−r(T−t)KN(−d ) t t 1 2 en raison de la relation de parit´e call-put c + Ke−r(T−t) = p + S . t t t 3
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