Trang 1
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Niên khóa 2011-2013 Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác C H Ƣ Ơ N G 5 CÁCÁCC PPHHÂÂNN PPHHỐỐI XI XÁÁCC SSUUẤẤT CT CHHUUẨẨN VN VÀÀ LLIIÊÊNN TTỤỤC KC KHHÁÁCC Về chương này: Một số biến số ngẫu nhiên rời rạc và các phân phối xác suất của chúng đã đƣợc trình bày trong Chƣơng 4. Mục đích của chƣơng này là giới thiệu với các bạn biến số ngẫu nhiên chuẩn, một trong những biến số ngẫu nhiên liên tục quan trọng và thƣờng gặp nhất. Chúng tôi trình bày phân phối xác suất của chúng, và chúng tôi chứng tỏ cách thức mà phân phối xác suất này có thể đƣợc sử dụng. ● William Mendenhall và cộng sự 1 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 2
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác NGHIÊN CỨU ĐIỂN HÌNH MỘT BÌNH NHIÊN LIỆU ĐÁNG GIÁ BAO NHIÊU? Mua một chiếc xe mới lúc nào cũng là một trải nghiệm hấp dẫn, bởi vì mỗi chúng ta có những kỳ vọng khác nhau về việc chiếc xe mới của chúng ta - bất luận nó có là một chiếc xe con, xe gia đình hay bán tải - sẽ ra sao và nó sẽ vận hành thế nào. Một khi chúng ta đã quyết định về màu sắc, loại xe, và các chọn lựa mà chúng ta muốn có trong chiếc xe mà chúng ta mua, thì chúng ta phải đối mặt với nhiều tiêu chuẩn khác có liên quan đến những quyết định mà chúng ta thực thi. Liệu chiếc xe mà chúng ta chọn lựa có tiết kiệm nhiên liệu không khi di chuyển trong thành phố cũng nhƣ trên đƣờng cao tốc? Khác biệt ra sao về khoảng cách phanh khi đƣờng trơn ƣớt so với khi đƣờng khô ráo? Quãng đƣờng đi (với một bình đầy nhiên liệu) nào của chiếc xe mà chúng ta sẽ lựa chọn? Khi so sánh số dặm đƣờng trung bình tính trên 1 galông nhiên liệu (mpg) khi lái trong thành phố và ngoài đƣờng cao tốc, thì 20 chiếc xe mà chúng tôi đã chọn từ năm số tạp chí Consumer Reports (Các Báo cáo về Người tiêu dùng)(tháng Giêng - tháng Tám 1994) trung bình đạt từ 10 đến 17 mpg khi chạy trong thành phố và từ 21 đến 41 mpg khi lái trên đƣờng cao tốc. Quãng đƣờng đi với một bình nhiên liệu đầy thay đổi từ 350 đến 495 dặm. Trên thực tế, quãng đƣờng đi trung bình là 418,0 dặm, trung vị và trung bình có trọng số lần lƣợt là 420,0 và 419,1; và độ lệch chuẩn là 45,8 dặm. Bởi vì trung vị và trung bình có trọng số chỉ khác biệt rất ít so với trung bình, chúng ta ắt sẽ kỳ vọng là quãng đƣờng đi đƣợc trình bày trong Hình 5.1 sẽ có hình dạng gò và, nếu nhƣ có thêm nhiều loại xe hơn nữa đƣợc kiểm tra, thì nhiều khả năng đƣợc phân phối chuẩn. Các biến số nhƣ là những biến số đƣợc báo cáo ở đây có xu hƣớng đƣợc phân phối chuẩn, nhƣ các biến số khác mà phản ảnh nhiều nhân tố nhỏ nhƣng quan trọng sẽ quyết định giá trị của các biến số này. Ngoài màu sơn và những đồ chọn lựa khác mà bạn có lẽ có khả năng thêm vào chiếc xe mới mua của mình, liệu những chiếc xe có thực sự khác biệt về những đặc trƣng này mà rốt cuộc có thể giúp bạn tiết kiệm đƣợc một số tiền, và trong trƣờng hợp quãng đƣờng đi, giúp bạn tránh đƣợc tình huống khó xử khi bị mắc kẹt với một thùng nhiên liệu trống rỗng? Đƣờng cong chuẩn, đƣợc sử dụng nhƣ là một mô hình cho các phân phối tần suất tƣơng đối cho nhiều biến số ngẫu nhiên liên tục, là chủ đề của Chƣơng 5. Chúng ta sẽ khảo cứu các tính chất của chúng, xem cách thức mà chúng có thể đƣợc sử dụng để tính toán xác suất, và xem cách mà chúng ta có thể quyết định chọn chiếc xe nào dựa trên những quyết định hợp lý và phân phối xác suất chuẩn. William Mendenhall và cộng sự 2 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 3
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác HÌNH 5.1 Quãng đường đi trung bình cho n =20 chiếc xe đời 1994 Tần suất Quãng đường đi Nguồn: Báo cáo Người tiêu dùng, tháng 1-8, 1994 5.1 PHÂN PHỐI XÁC SUẤT CHO CÁC BIẾN SỐ NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC Khi một biến số x là rời rạc, chúng ta có thể chỉ định một xác suất dƣơng cho từng giá trị mà x có thể có và có đƣợc phân phối xác suất cho x. Tổng của tất cả các xác suất đi cùng với những giá trị khác nhau của x là 1. Tuy nhiên, không phải tất cả các thí nghiệm đều tạo ra những biến số ngẫu nhiên mà rời rạc. Các biến số ngẫu nhiên liên tục, ví dụ nhƣ chiều cao và cân nặng, vòng đời của một sản phẩm cụ thể, hay khoảng cách thời gian giữa những lần bán hàng, có thể có vô vàn giá trị tƣơng ứng với các điểm trên một đƣờng khoảng cách. Nếu chúng ta cố ấn định một xác suất dƣơng cho mỗi trong số những giá trị không thể đếm đƣợc này, thì các xác suất sẽ không còn có tổng là 1 nữa, nhƣ với các biến số ngẫu nhiên rời rạc. Do vậy, chúng ta phải sử dụng một cách tiếp cận khác để tạo ra phân phối xác suất cho một biến số ngẫu nhiên liên tục. Mô hình xác suất cho phân phối tần suất của một biến số ngẫu nhiên liên tục có liên quan đến sự chọn lựa một đƣờng cong, thƣờng là trơn tru, đƣợc gọi là phân phối xác suất hay hàm mật độ xác suất của biến số ngẫu nhiên đó. Nếu phƣơng trình của phân phối xác suất liên tục này đƣợc ký hiệu là f(x), thì xác suất của x rơi vào khoảng a < x < b là diện tích bên dƣới đƣờng phân phối xác suất f(x) giữa hai điểm a và b (xem Hình 5.2). Điều này nhất quán với sự biểu diễn của một biểu đồ tần suất tƣơng đối (Chƣơng 2), nơi mà những diện tích nằm phía trên một khoảng trong đồ thị này tƣơng ứng với tỷ lệ của các quan sát rơi vào khoảng đó. Bởi vì số lƣợng các giá trị mà x có thể có là vô cùng lớn và không đếm đƣợc, nên xác suất mà x bằng với một giá trị cụ thể nào đó, ví dụ a, là bằng zêrô. Vì vậy những báo cáo xác suất về các biến số ngẫu nhiên liên tục luôn luôn tƣơng ứng với các diện tích bên dƣới phân phối xác suất trong một khoảng, ví dụ từ a đến b, và đƣợc biểu diễn bằng P(a < x < b). Lƣu ý rằng xác suất mà a <x < b là bằng với xác suất a ≤ x ≤ b, bởi vì P (x = a) = P(x = b) = 0. Bằng cách nào mà chúng ta chọn mô hình này - nghĩa là, phân phối xác suất f(x) - phù hợp với thí nghiệm đã biết? Nhiều loại hình đƣờng cong liên tục là sẵn có cho việc mô hình hóa. Một số có hình dạng gò, giống nhƣ trong Hình 5.2, nhƣng nhiều đƣờng cong khác là không nhƣ thế. Nói chung, chúng ta có gắng chọn ra một mô hình mà: phù hợp với số lƣợng tích lũy của dữ liệu William Mendenhall và cộng sự 3 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 4
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác cho phép chúng ta thực hiện những suy luận có thể có tốt nhất qua việc sử dụng dữ liệu này HÌNH 5.2 Phân phối xác suất cho một biến số ngẫu nhiên liên tục Mô hình của chúng ta có lẽ không phải lúc nào cũng phù hợp với tình huống thí nghiệm một cách hoàn hảo, nhƣng chúng ta cố gắng chọn lựa một mô hình mà phù hợp tốt nhất với biểu đồ tần suất tƣơng đối của tổng thể. Mô hình của chúng ta càng ƣớc lƣợng xấp xỉ với thực tế bao nhiêu thì các suy luận của chúng ta càng tốt hơn bấy nhiêu. May mắn là, chúng ta sẽ tìm ra rằng nhiều biến số ngẫu nhiên liên tục có phân phối tần suất theo hình dạng gò. Một mô hình xác suất mà cung cấp một sự ƣớc lƣợng xấp xỉ tốt cho một sự phân phối là phân phối xác suất chuẩn, chủ đề của Phần 5.2. 5.2 PHÂN PHỐI XÁC XUẤT CHUẨN Trong Phần 5.1, chúng ta đã thấy rằng mô hình xác suất cho phân phối tần suất của một biến số ngẫu nhiên liên tục có liên quan đến việc lựa chọn đƣờng cong, thƣờng là trơn tru, đƣợc gọi là phân phối xác suất. Mặc dù những phân phối này có thể có nhiều hình dạng khác nhau, thì một số lớn các biến số ngẫu nhiên quan sát đƣợc trong tự nhiên sở hữu một phân phối tần suất mà có hình dạng gần giống quả chuông hay, nhƣ một nhà thống kê ắt sẽ nói, là xấp xỉ một phân phối xác suất chuẩn. Công thức mà tạo ra phân phối này đƣợc thể hiện dƣới đây. Phân phối Xác suất Chuẩn 1 (x)2 /(2 2 ) f (x) e x 2 Ký hiệu e và là các hằng số toán học có giá trị xấp xỉ lần lƣợt 2,7183 và 3,1416; μ và σ (σ>0) là những tham số đại diện cho trung bình và độ lệch chuẩn của tổng thể. Đồ thị của một phân phối xác suất chuẩn với trung bình μ và độ lệch chuẩn σ đƣợc thể hiện trong Hình 5.3. Trung bình μ nằm ở trung tâm của phân phối, và phân phối này có tính đối xứng qua trung bình μ của nó. Do tổng diện tích nằm dƣới phân phối xác suất chuẩn này là bằng với 1, điều này hàm ý rằng diện tích nằm về phía bên phải của μ là 0,5 và diện tích nằm ở phía bên trái của μ cũng là 0,5. Hình dạng của phân phối này đƣợc quyết định bởi σ, độ lệch chuẩn của tổng thể. Những giá trị lớn của σ làm giảm đi chiều cao của đƣờng cong và làm tăng bề rộng; các giá trị nhỏ của σ làm tăng chiều cao của đƣờng cong và làm giảm bề rộng. Hình 5.4 là một bản in Execustat cho thấy ba phân phối xác suất chuẩn với những trung bình và độ lệch chuẩn khác nhau. Lƣu ý những khác biệt về hình dạng và vị trí. William Mendenhall và cộng sự 4 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 5
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác HÌNH 5.3 Phân phối xác suất chuẩn Diện tích phía bên trái của Diện tích phía bên phải của trung bình bằng với 0,5 trung bình bằng với 0,5 HÌNH 5.4 Bản in Minitab cho thấy các phân phối xác suất chuẩn với những giá trị khác nhau của μ và σ. Trên thực tế, chúng ta ít khi gặp phải những biến số mà trải dài từ các giá trị âm vô cùng lớn đến những giá trị dƣơng lớn vô cùng. Tuy nhiên, nhiều biến số ngẫu nhiên dƣơng (ví dụ nhƣ chiều cao, cân nặng và số lần) tạo ra một biểu đồ tần suất mà xấp xỉ rất gần với một phân phối chuẩn. Phép ƣớc lƣợng xấp xỉ này áp dụng đƣợc bởi vì hầu nhƣ tất cả các giá trị của một biến số ngẫu nhiên chuẩn nằm trong phạm vi ba lần độ lệch chuẩn của giá trị trung bình, và trong những trƣờng hợp này (μ ± 3σ) hầu nhƣ luôn luôn chứa đựng các giá trị dƣơng. 5.3 CÁC DIỆN TÍCH TẠO THÀNH BẢNG CỦA PHÂN PHỐI XÁC XUẤT CHUẨN TẮC Xác suất mà một biến số ngẫu nhiên liên tục có một giá trị trong khoảng từ a đến b là bằng với diện tích nằm bên dƣới hàm mật độ xác suất giữa các điểm a và b (xem Hình 5.2). Tuy thế, bởi vì các đƣờng cong chuẩn có những trung bình và độ lệch chuẩn khác nhau (xem Hình 5.4), nên chúng ta có thể tạo ra một số lƣợng lớn vô cùng các phân phối chuẩn. Từng bảng tính riêng cho những diện tích đối với mỗi trong số các đƣờng cong này rõ ràng là không thực tế. Thay vào đó, chúng ta muốn tạo ra một qui trình chuẩn hóa mà sẽ cho phép chúng ta sử dụng cùng các khu vực đƣờng cong chuẩn cho tất cả những phân phối chuẩn. Sự chuẩn hóa đƣợc thực thi dễ dàng nhất bằng cách thể hiện giá trị của một biến số ngẫu nhiên chuẩn nhƣ số lƣợng các độ lệch chuẩn ở phía bên trái hay bên phải của giá trị trung bình. Nói cách khác, giá trị của một biến số ngẫu nhiên chuẩn x với trung bình μ và độ lệch chuẩn σ có thể đƣợc thể hiện nhƣ sau: William Mendenhall và cộng sự 5 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 6
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác x z hay, tƣơng đƣơng x z Khi z là số âm, thì x nằm ở phía bên trái của trung bình μ. Khi z = 0, thì x = μ. Khi z là số dƣơng, thì x nằm ở phía bên phải của trung bình μ. Chúng ta sẽ học cách tính toán các xác suất cho x bằng cách sử dụng z (x )/ , mà đƣợc gọi là biến số ngẫu nhiên chuẩn chuẩn hóa. Phân phối xác suất cho z đƣợc gọi là phân phối chuẩn chuẩn hóa bởi vì trung bình của nó bằng zêrô và độ lệch chuẩn của nó bằng 1. Điều này đƣợc trình bày trong Hình 5.5. Diện tích bên dƣới đƣờng cong chuẩn chuẩn hóa giữa trung bình z = 0 và một giá trị đƣợc xác định của z, ví dụ, z0 là xác suất P (0 ≤ z ≤ z0). Diện tích này đƣợc trình bày trong Bảng 3 của Phụ lục II và đƣợc thể hiện là diện tích đƣợc tô đen trong Hình 5.5. Một phiên bản ngắn gọn của Bảng 3 trong Phụ lục II đƣợc thể hiện ở đây trong Bảng 5.1. Bằng cách nào mà chúng ta có thể tìm ra các diện tích ở phía bên trái của trung bình? Bởi vì đƣờng cong chuẩn chuẩn hóa là đối xứng với z = 0 (xem Hình 5.5), cho nên bất kỳ diện tích nào ở phía bên trái đều có thể đƣợc tìm ra bằng cách sử dụng diện tích tƣơng đƣơng ở phía bên phải của trung bình. HÌNH 5.5 Phân phối chuẩn chuẩn hóa BẢNG 5.1 Phiên bản rút gọn của Bảng 3 trong Phụ lục II z0 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,1099 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,224 0,6 0,2257 0,7 0,2580 1,0 0,3413 2,0 0,4772 William Mendenhall và cộng sự 6 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 7
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác Lƣu ý rằng z, bằng đúng với một phần mƣời gần nhất, đƣợc ghi vào cột phía bên trái của bảng này. Số thập phân thứ hai cho z, tƣơng ứng với một phần trăm, đƣợc ghi lại ở hàng trên cùng của bảng. Nhƣ vậy, diện tích giữa trung bình và z = 0,7 lần độ lệch chuẩn về phía bên phải, đƣợc đọc từ cột thứ hai của bảng so với z = 0,7, đƣợc tìm thấy bằng với 0,2580. Tƣơng tự nhƣ vậy, diện tích giữa trung bình và z = 1,0 là 0,3413. Diện tích giữa z = -1,0 và trung bình cũng là 0,3413. Vi thế diện tích nằm trong giới hạn một độ lệch chuẩn ở bất kỳ phía nào của trung bình sẽ là hai lần của 0,3413 hay bằng 0,6826. Diện tích nằm trong giới hạn hai độ lệch chuẩn của trung bình, chính xác đến bốn số thập phân, là 2 x 0,4772 = 0,9544. Những con số này nhất quán với các giá trị xấp xỉ gần đúng, 68% và 95%, đƣợc sử dụng trong Qui tắc Thực nghiệm trong Chƣơng 2. Để tìm ra diện tích nằm giữa trung bình và một điểm z = 0,57 độ lệch chuẩn về phía bên phải của trung bình, chúng ta tiến hành dò xuống cột phía bên trái đến hàng 0,5. Sau đó chúng ta chuyển sang hàng trên cùng của bảng đến cột 0,07. Giao điểm của sự kết hợp hàng-cột này cho ta diện tích thích hợp, 0,2157. Bởi vì phân phối chuẩn là liên tục, cho nên diện tích nằm dƣới đƣờng cong này kết hợp với một điểm duy nhất là bằng zêrô. Hãy lƣu ý rằng kết quả này chỉ áp dụng đƣợc cho các biến số ngẫu nhiên liên tục. Về sau trong chƣơng này, chúng ta sẽ sử dụng phân phối xác suất chuẩn để ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối xác suất nhị thức. Biến số ngẫu nhiên nhị thức x là một biến số ngẫu nhiên rời rạc. Nhƣ vậy, nhƣ các bạn đã biết, xác suất mà x có một giá trị cụ thể nào đó, ví dụ x = 10, sẽ không nhất thiết bằng zêrô. VÍ DỤ 5.1 Tìm P(0 z 1,63). Xác suất này tƣơng ứng với diện tích giữa trung bình (z = 0) và một điểm z = 1,63 lần độ lệch chuẩn về phía bên phải của trung bình (xem Hình 5.6). HÌNH 5.6 Xác suất được yêu cầu trong Ví dụ 5.1 Lời giải Diện tích đƣợc bôi đen và chỉ ra bởi ký hiệu A trong Hình 5.6. Bởi vì Bảng 3 trong Phụ lục II cho chúng ta các diện tích bên dƣới đƣờng cong chuẩn về phía bên phải của trung bình, cho nên chúng ta chỉ cần tìm giá trị ghi trong bảng tƣơng ứng với z = 1,63. Dò xuống cột phía bên trái của bảng đến z = 1,6 và dò ngang hàng trên cùng của bảng đến cột đánh số 0,03. Giao điểm của sự kết hợp hàng-cột này cho chúng ta diện tích A = 0,4484. Vì thế, P(0 z 1,63) 0,4484. VÍ DỤ 5.2 Tìm P(0,5 z 1,0).Xác suất này tƣơng ứng với diện tích giữa z = -0,5 và z = 1,0, nhƣ đƣợc thể hiện trong Hình 5.7. Lời giải Diện tích cần thiết bằng với tổng của A1 và A2 đƣợc thể hiện trong Hình 5.7. Từ Bảng 3 trong Phụ lục II chúng ta đọc thấy A2 = 0,3413. Diện tích A1 bằng với diện tích tƣơng ứng giữa z = 0 và z = 0,5 hay A1 = 0,1915. Nhƣ vậy, tổng diện tích là: A A A 0,19150,3413 0,5328 1 2 William Mendenhall và cộng sự 7 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 8
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác HÌNH 5.7 Diện tích bên dưới đường cong chuẩn trong Ví dụ 5.2 VÍ DỤ 5.3 Tìm giá trị của z, ví dụ z0, để cho chính xác (ở mức bốn số thập phân) 0,95 của diện tích nằm trong giới hạn z lần độ lệch chuẩn của trung bình. 0 Lời giải Một nửa của diện tích 0,95 sẽ nằm về phía bên trái của trung bình và một nửa nằm về phía bên phải bởi vì phân phối chuẩn là đối xứng. Vì thế, chúng ta muốn tìm ra giá trị z0 tƣơng ứng với một diện tích bằng với 0,475. Tham chiếu Bảng 3 trong Phụ lục II, chúng ta thấy rằng diện tích 0,475 rơi vào hàng tƣơng ứng với z = 1,9 và cột 0,06. Do đó, z0 = 1,96. Lƣu ý rằng kết quả này là rất gần với giá trị xấp xỉ gần đúng, z = 2 mà đƣợc sử dụng trong Qui tắc Thực nghiệm. VÍ DỤ 5.4 Cho x là một biến số ngẫu nhiên phân phối chuẩn với trung bình bằng 10 và độ lệch chuẩn bằng 2. Hãy tìm xác suất để cho x nằm trong khoảng 11 đến 13,6. Lời giải Nhƣ là bƣớc đầu tiên, chúng ta phải tính toán các giá trị của z tƣơng ứng với x =11 và x = 13,6. Nhƣ vậy: x 1110 x 13,610 z 1 0,5 z 2 1,8 1 2 2 2 Xác suất mong muốn vì vậy là P(0,5 z 1,8)và là diện tích nằm giữa z1 và z2, nhƣ đƣợc thể hiện trong Hình 5.8. Diện tích giữa z = 0 và z1 là A1 = 0,1915, và diện tích nằm giữa z = 0 và z2 là A2 = 0,4641; chúng ta có đƣợc những diện tích này từ Bảng 3. Xác suất mong muốn bằng với chênh lệch giữa A2 và A1; nghĩa là, P(0,5 z 1,8) A A 0,46410,1915 0,2726 2 1 VÍ DỤ 5.5 Các nghiên cứu chứng tỏ rằng việc sử dụng nhiên liệu cho các xe hơi cỡ nhỏ bán tại Hoa Kỳ là có phân phối chuẩn, với mức sử dụng trung bình là 30,5 dặm mỗi galông nhiên liệu (mpg) và một độ lệch chuẩn là 4,5 mpg. Tỷ lệ phần trăm của xe cỡ nhỏ đạt mức 35 mpg hay cao hơn là bao nhiêu? Lời giải Tỷ lệ của xe cỡ nhỏ đạt đƣợc mức 35 mpg hay cao hơn đƣợc cho bởi diện tích bôi đen trong Hình 5.9. Chúng ta phải tìm ra giá trị z tƣơng ứng với x = 35. Thay thế vào công thức tính z, chúng ta có: x 3530,5 z 1,0 4,5 Diện tích A nằm về phía bên phải của trung bình, tƣơng ứng với z = 1,0 là 0,3413 (từ Bảng 3). Sau đó tỷ lệ phần trăm xe cỡ nhỏ có hệ số mpg bằng hay lớn hơn 35 là bằng với toàn bộ diện tích nằm về phía bên phải của trung bình, 0,5, trừ đi cho diện tích A: William Mendenhall và cộng sự 8 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 9
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác P(x 35) 0,5 P(0 z 1) 0,50,3413 0,1587 Tỷ lệ phần trăm vƣợt mức 35 mpg là: 100 (0,1587) = 15,87% HÌNH 5.8 Diện tích bên dưới đường cong chuẩn trong Ví dụ 5.4 HÌNH 5.9 Diện tích bên dưới đường cong chuẩn trong Ví dụ 5.5 VÍ DỤ 5.6 Trở lại Ví dụ 5,5. Trong những thời điểm khan hiếm nguồn năng lƣợng, thì một nhà sản xuất xe hơi mà có thể chế tạo ra một chiếc xe đạt đƣợc mức tiêu hao nhiên liệu tiết kiệm hơn so với xe của các đối thủ cạnh tranh khác sẽ có lợi thế cạnh tranh. Nếu một nhà sản xuất mong muốn phát triển một chiếc xe cỡ nhỏ mà vƣợt trội hơn 95% các xe cỡ nhỏ hiện hành về phƣơng diện tiết kiệm nhiên liệu, thì mức sử dụng nhiên liệu của chiếc xe mới đó sẽ là bao nhiêu? HÌNH 5.10 Vị trí của x0 để cho P(x x 0,95) 0 Lời giải Đặt x là một biến số ngẫu nhiên phân phối chuẩn, với trung bình là 30,5 và độ lệch chuẩn là 4,5. Nhƣ đƣợc biển diễn trong Hình 5.10, chúng ta muốn tìm ra giá trị x0 để cho: P(x x ) 0,95 0 William Mendenhall và cộng sự 9 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 10
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác Bƣớc đầu tiên, chúng ta tìm x x 30,5 z 0 0 0 4,5 và lƣu ý rằng xác suất mong muốn của chúng ta là giống nhƣ diện tích nằm về phía bên trái của z0 đối với phân phối chuẩn chuẩn hóa. Nhƣ vậy, P(z z ) 0,95 0 Diện tích nằm ở phía bên trái của trung bình là 0,5. Diện tích nằm ở phía bên phải của trung bình giữa z0 và trung bình là 0,95 - 0,5 = 0,45. Nhƣ thế, từ Bảng 3, chúng ta tìm thấy rằng z0 là giữa 1,64 và 1,65. Lƣu ý rằng diện tích 0,45 chính xác nằm ở giữa các diện tích đối với z = 1,64 và z = 1,65; nghĩa là z0 = 1,645. Thay thế z0 = 1,645 vào phƣơng trình cho z0 chúng ta có: x 30,5 1,645 0 4,5 Từ đó, chúng ta có đƣợc x (1,645)/(4,5) 30,4 37,9 0 Chiếc xe cỡ nhỏ mới của nhà sản xuất này vì thế phải đạt đƣợc mức tiêu thụ nhiên liệu là 37,9 để có thể vƣợt qua 95% các xe cỡ nhỏ hiện có tại thị trƣờng Hoa Kỳ về phƣơng diện tiết kiệm nhiên liệu. VÍ DỤ 5.7 Mức lƣơng của những ngƣời tốt nghiệp Thạc sĩ Quản trị Kinh doanh (MBA) mà tham gia vào lĩnh vực dịch vụ tiếp thị bình quân xấp xỉ 45.000 USD, với độ lệch chuẩn là 2.250 USD. Nếu các mức lƣơng này đƣợc phân phối chuẩn, thì tỷ lệ phần trăm của những ngƣời tốt nghiệp MBA mà tham gia vào lĩnh vực dịch vụ tiếp thị có mức lƣơng vƣợt quá 47.500 USD, mà là mức lƣơng trung bình cho những ngƣời tốt nghiệp đại học tham gia vào lĩnh vực quản trị nhãn hiệu/sản phẩm, là bao nhiêu? HÌNH 5.11 Diện tích bên dưới đường cong chuẩn cho Ví dụ 5.7 Lời giải Nhằm tìm ra tỷ lệ phần trăm những ngƣời tốt nghiệp MBA mà có mức lƣơng vƣợt quá 47.500 USD, chúng ta cần có giá trị của z tƣơng ứng với mức 47.500 USD. Với μ = 45.000 USD và σ = 2.250 USD, x 47.500 45.00 z 1,11 2.250 Tiếp đến, chúng ta cần tìm ra diện tích nằm dƣới một đƣờng cong chuẩn về bền phải của z = 1,1, nhƣ đƣợc biểu diễn trong Hình 5.11. Nhƣ vậy, diện tích cần thiết là bằng với 0,5, tổng diện tích về phía bên phải của zêrô, trừ đi diện tích giữa 0 và 1,1. William Mendenhall và cộng sự 10 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 11
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác P(x 47.500) 0,50,3665 0,1335 Do đó, 13,35% những ngƣời tốt nghiệp MBA có mức lƣơng vƣợt quá 47.500 USD. Bài tập Các Kỹ thuật Cơ bản 5.1 Sử dụng Bảng 3 trong Phụ lục II, tính toán diện tích nằm dƣới đƣờng cong chuẩn giữa những giá trị z này. a z = 0 và z = 1,6 b z = 0 và z = 1,83 5.2 Lặp lại Bài tập 5.1 cho những giá trị z sau. a z = 0 và z = 0,90 b z = 0 và z = -0,90 5.3 Lặp lại Bài tập 5.1 cho những giá trị z sau. a z = -1,3 và z = 1,8 b z = 0,6 và z = 1,2 5.4 Lặp lại Bài tập 5.1 cho những giá trị z sau. a z = -1,4 và z = 1,4 b z = -2,0 và z = 2,0 c z = -3,0 và z = 3,0 5.5 Lặp lại Bài tập 5.1 cho những giá trị z sau. a z = -1,43 và z = 0,68 b z = 0,58 và z = 1,74 c z = -1,55 và z = -0,44 5.6 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z ) 0,025 0 5.7 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z ) 0,9251 0 5.8 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z ) 0,2981 0 5.9 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z ) 0,6985 0 5.10 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z z ) 0,4714 0 0 5.11 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z ) 0,05 0 5.12 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z z ) 0,90 0 0 5.13 Tìm một giá trị z0 để cho P(z z z ) 0,99 0 0 5.14 Một biến số z đƣợc phân phối chuẩn với trung bình μ = 10 và độ lệch chuẩn σ = 2. Tìm những xác suất này. a P(x 13,5) b P(x 8,2) William Mendenhall và cộng sự 11 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 12
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác c P(9,4 x 10,6) 5.15 Một biến số x đƣợc phân phối chuẩn với trung bình μ = 1,20 và độ lệch chuẩn σ = 0,15. Tìm xác suất để cho x rơi vào khoảng cho trƣớc này. a 1,00 < x < 1,10 b x > 1,38 c 1,35 < x < 1,50 5.16 Một biến số x đƣợc phân phối chuẩn với trung bình μ chƣa biết và độ lệch chuẩn σ = 2. Nếu xác suất để cho x vƣợt quá 7,5 là 0,8023, hãy tìm μ. 5.17 Một biến số x đƣợc phân phối chuẩn với trung bình μ chƣa biết và độ lệch chuẩn σ = 1,8. Nếu xác suất để cho x vƣợt quá 14,4 là 0,3, hãy tìm μ. 5.18 Một biến số x đƣợc phân phối chuẩn với trung bình và độ lệch chuẩn chƣa biết. Xác suất để cho x vƣợt quá 4 là 0,9772, và xác suất để cho x vƣợt quá 5 là 0,9332. Hãy tìm μ và σ. Các Ứng dụng 5.19 Một phƣơng pháp để đi đến các dự báo kinh tế là sử dụng một cách tiếp cận chuyên gia. Một dự báo có đƣợc từ mỗi trong số một số lƣợng lớn các nhà phân tích; trung bình của những dự báo của mỗi cá nhân này là dự báo đồng thuận. Giả định rằng các dự báo về lãi suất cơ bản tháng Giêng của mỗi cá nhân của tất cả các nhà phân tích kinh tế đƣợc phân phối xấp xỉ chuẩn với trung bình bằng với 7,75% và một độ lệch chuẩn bằng với 1,6%. Một nhà phân tích duy nhất đƣợc lựa chọn ngẫu nhiên từ trong nhóm này. a. Xác suất để cho dự báo của nhà phân tích này về lãi suất cơ bản sẽ vƣợt quá 9% là bao nhiêu? b. Xác suất để cho dự báo của nhà phân tích này về lãi suất cơ bản sẽ thấp hơn 6% là bao nhiêu? 5.20 Giả định rằng bạn phải thiết lập các qui định liên quan đến số lƣợng ngƣời tối đa mà có thể chứa trong một cái thang máy. Một nghiên cứu về khả năng chứa của thang máy chỉ ra rằng nếu tám ngƣời có trong thang máy, thì phân phối xác suất của tổng trọng lƣợng của tám ngƣời này có một giá trị trung bình là 1.200 pao và một phƣơng sai tƣơng đƣơng 9.800 pao. Xác suất để cho tổng trọng lƣợng của tám ngƣời lớn hơn 1.300 pao là bao nhiêu? 1.500 pao là bao nhiêu? (Giả định rằng phân phối xác suất là xấp xỉ chuẩn). 5.21 Việc thải ra các chất rắn lơ lửng từ một mỏ phốt-phát có phân phối chuẩn, với một mức thải trung bình hàng ngày là 27 mg/l và một độ lệch chuẩn là 14 mg/l. Tỷ lệ phần trăm những ngày mà lƣợng chất thải hàng ngày vƣợt quá 50 mg/l là bao nhiêu? 5.22 Những ngƣời sƣu tầm tem thƣờng mua tem ở mức giá bán lẻ hay gần nhƣ vậy, nhƣng khi họ bán thì giá này thấp hơn nhiều. Ví dụ, có thể là một điều hợp lý khi giả định rằng (tùy thuộc vào bộ sƣu tập, tình trạng của nó, nhu cầu, điều kiện kinh tế, v.v) một bộ sƣu tập có thể đƣợc kỳ vọng có thể bán ở mức x phần trăm của giá bán lẻ, trong đó x đƣợc phân phối chuẩn với trung bình bằng với 45% và độ lệch chuẩn bằng với 4,5%. Một nhà sƣu tầm tem có một bộ sƣu tập để bán mà có một giá trị bán lẻ là 30.000 USD. a. Xác suất để cho nhà sƣu tầm tem này nhận đƣợc nhiều hơn 15.000 USD cho bộ sƣu tập này là bao nhiêu? b. Xác suất để cho nhà sƣu tầm tem này nhận đƣợc ít hơn 15.000 USD cho bộ sƣu tập này là bao nhiêu? c. Xác suất để cho nhà sƣu tầm tem này nhận đƣợc ít hơn 12.000 USD cho bộ sƣu tập này là bao nhiêu? William Mendenhall và cộng sự 12 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 13
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác 5.23 Bằng cách nào mà Sở Thuế Nội Bộ (IRS) quyết định về tỷ lệ phần trăm của số thu thuế thu nhập để kiểm toán cho từng tiểu bang? Giả định rằng IRS thực hiện điều này bằng cách chọn ngẫu nhiên 50 giá trị từ một phân phối chuẩn với trung bình bằng với 1,55% và độ lệch chuẩn tƣơng đƣơng 0,45%. (Chƣơng trình máy tính là sẵn có cho loại hình chọn mẫu này). a. Xác suất để cho một tiểu bang cụ thể sẽ có nhiều hơn 2,5% số thu thuế thu nhập của tiểu bang mình đƣợc kiểm toán? b. Xác suất để cho một tiểu bang cụ thể sẽ có ít hơn 1% số thu thuế thu nhập của tiểu bang mình đƣợc kiểm toán? 5.24 Trong một nỗ lực để đẩy mạnh chất lƣợng sản xuất của các công nhân ngƣời Mỹ của mình, công ty Saturn Corporation đang thƣởng cho nhân công của mình một khoản bình quân 2.800 USD tiền thƣởng vào cuối năm cho việc đáp ứng sản xuất đạt chất lƣợng và mục tiêu lợi nhuận trong năm 1993 (“Saturn Workers (Công nhân Saturn)”, 1994). Giả định rằng những khoản thƣởng này có phân phối xấp xỉ chuẩn với một độ lệch chuẩn là 500 USD. a. Xác suất để cho một công nhân nhận đƣợc một khoản tiền thƣởng cuối năm nhiều hơn 3.500 USD là bao nhiêu? b. Chín mƣơi lăm phần trăm tất cả công nhân sẽ nhận đƣợc khoản tiền thƣởng cuối năm nằm trong những giới hạn nào? 5.25 Ngƣời tiêu dùng Hoa Kỳ đang trở nên ngày càng quan tâm hơn đến phí tổn của nhiên liệu cho việc sƣởi ấm. Khi những chi phí này gia tăng, ngƣời tiêu dùng nói chung cân nhắc các nhiên liệu thay thế, những cải tiến việc cách nhiệt của ngôi nhà, và những hệ thống sƣởi ấm mới. Giả định rằng phí tổn của khí tự nhiên mỗi bộ khối (MCF) có phân phối chuẩn với giá trị trung bình là 6 USD và một độ lệch chuẩn tƣơng đƣơng 1.20 USD. a. Xác suất để cho phí tổn của khí thiên nhiên mỗi MCF cho một ngƣời tiêu dùng cụ thể nằm trong khoảng 7.60 đến 8.00 USD là bao nhiêu? b. Phí tổn trung vị mỗi MCF cho khí thiên nhiên là bao nhiêu? c. Các phân vị một phần tƣ trên và dƣới cho phí tổn mỗi MCF khí thiên nhiên là bao nhiêu? 5.4 ƢỚC LƢỢNG XẤP XỈ CHUẨN CHO PHÂN PHỐI XÁC SUẤT NHỊ THỨC Nhiều phân phối xác suất sở hữu một đặc trƣng hữu ích. Khi một số điều kiện đƣợc thỏa mãn, thì những phân phối này trở nên xấp xỉ chuẩn về hình dạng. Phân phối xác suất nhị thức là một trong số này. Cụ thẻ là, khi một số n các lần thử trong một thí nghiệm nhị thức là lớn và p không quá gần với 0 hay 1, thì phân phối xác suất nhị thức có một hình dạng mà xấp xỉ gần đúng với một đƣờng cong chuẩn với trung bình npvà độ lệch chuẩn npq . Tính chất đặc biệt này của phân phối xác suất nhị thức là quan trọng khi chúng ta phải tính toán các xác suất nhị thức p(x) cho những giá trị lớn của n. Công việc tẻ ngắt và tốn công gặp phải trong những sự tính toán này có thể tránh đƣợc bằng cách sử dụng đƣờng cong xấp xỉ chuẩn. Bởi vì cách thức tốt nhất để chứng tỏ bằng cách nào và tại sao việc ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn vận hành đƣợc là sử dụng các đồ thị và một giá trị nhỏ của n, cho nên chúng ta sẽ minh họa quá trình này cho một phân phối xác suất nhị thức với n = 10 và p = 1/2. Biểu đồ xác suất cho một phân phối xác suất nhị thức, n = 10 và p = 1/2, đƣợc biểu diễn trong Hình 5.12 cùng với một đƣờng cong xấp xỉ chuẩn với William Mendenhall và cộng sự 13 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 14
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác 1 np 10 5 2 1 1 npq (10) 2,5 1,58 2 2 HÌNH 5.12 So sánh giữa phân phối xác suất nhị thức và phân phối xấp xỉ chuẩn, n 10, p 1/2( np 5); npq 1,58 Một khảo sát bằng mắt của hình này gợi ý rằng sự ƣớc lƣợng xấp xỉ là khá tốt, mặc dù một mẫu nhỏ, n = 10, là cần thiết cho sự minh họa bằng đồ thị này. Giả định rằng chúng ta mong muốn ƣớc lƣợng xấp xỉ xác suất để cho x bằng với 2, 3 hay 4. Bạn có thể thấy trong Hình 5.12 rằng xác suất này bằng đúng với diện tích của ba hình chữ nhật nằm vắt qua x = 2, 3 và 4. Chúng ta có thể ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối này với diện tích nằm dƣới đƣờng cong chuẩn từ x = 1,5 đến x = 4,5, mà đƣợc bôi đen trong Hình 5.12. Lƣu ý rằng diện tích nằm dƣới đƣờng cong chuẩn từ x = 2, 3 và 4 ắt sẽ không phải là một sự ƣớc lƣợng xấp xỉ tốt cho xác suất để cho x = 2, 3 và 5 bởi vì công việc này ắt sẽ loại trừ một nửa của các hình chữ nhật xác suất tƣơng ứng với x = 2 và x = 4. Để có đƣợc một sự ƣớc lƣợng xấp xỉ tốt, bạn phải nhớ ƣớc lƣợng xấp xỉ toàn bộ các diện tích của những hình chữ nhật xác suất tƣơng ứng với x = 2 và x = 4 bằng cách thêm vào diện tích nằm dƣới đƣờng cong chuẩn từ x = 1,5 đến x = 4,5. Mặc dù phân phối xác suất chuẩn cung cấp cho ta một sự ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn tốt cho phân phối xác suất nhị thức trong Hình 5.12, thì điều này không phải luôn luôn đúng. Khi trung bình np của một phân phối xác suất nhị thức là gần với zêrô hay n, thi phân phối xác suất nhị thức sẽ không có tính đối xứng. Ví dụ, khi p là gần với zêrô, thì phần lớn các giá trị của x sẽ là nhỏ, qua đó tạo rao một sự phân phối mà đƣợc tập trung gần x = 0 và có phần đuôi hƣớng về n (xem Hình 5.13). Ắt hẳn là, khi điều này là đúng, thì phân phối chuẩn, đối xứng và có hình dạng quả chuông, sẽ tạo ra một sự ƣớc lƣợng xấp xỉ tồi cho phân phối xác suất nhị thức. Vậy thì, bằng cách nào mà chúng ta có thể nói rằng liệu n và p là nhƣ vậy để cho phân phối nhị thức là đối xứng? Nhắc lại Qui tắc Thực nghiệm từ Chƣơng 2, xấp xỉ 95% của những sự đo lƣờng đi cùng với một phân phối chuẩn sẽ nằm trong giới hạn hai độ lệch chuẩn của trung bình và hầu nhƣ tất cả đều nằm trong giới hạn ba độ lệch chuẩn. Chúng ta ngờ rằng phân phối xác suất nhị thức ắt sẽ gần nhƣ đối xứng nếu nhƣ phân phối này có khả năng trải dài trên một khoảng cách bằng với hai độ lệch chuẩn trên bất cứ phía nào của trung bình, và trên thực tế thì điều này là Một phân phối xác suất nhị thức bị lệch có thể đƣợc ƣớc lƣợng xấp xỉ bởi một phân phối xác suất Poisson. Sự ƣớc lƣợng xấp xỉ này, mà đƣợc thảo luận trong Phần 4.3, là thỏa mãn khi n là lớn và p là nhỏ, ví dụ np < 7. William Mendenhall và cộng sự 14 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 15
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác đúng. Vì vậy, để quyết định khi nào thì sự ước lượng xấp xỉ chuẩn sẽ phù hợp, hãy tính toán μ = np và npq . Nếu khoảng ( 2)nằm bên trong các giới hạn nhị thức, 0 và n, thì sự ước lượng xấp xỉ sẽ phù hợp. Sự ước lượng xấp xỉ sẽ tốt nếu khoảng ( 3)nằm trong giới hạn của khoảng từ 0 đến n. Lƣu ý rằng chỉ tiêu này đƣợc thỏa mãn đối với phân phối xác suất nhị thức của Hình 5.2, nhƣng không đƣợc thỏa mãn cho phân phối đƣợc thể hiện trong Hình 5.13. HÌNH 5.13 So sánh một phân phối xác suất nhị thức (được bôi đen) và phân phối xấp xỉ chuẩn, n 10, p 0,1( np 1; npq 0,95). Các công thức cho ước lượng xấp xỉ chuẩn của sự phân phối xác suất nhị thức đƣợc cung cấp trong phần trình bày dƣới đây. Sự Ước lượng Xấp xỉ Chuẩn cho Phân phối Xác suất Nhị thức Ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối xác suất nhị thức bằng cách sử dụng một đƣờng cong chuẩn với np npq trong đó n = số lƣợng các lần thử; p = xác suất của thành công trong một lần thử duy nhất; q = 1 - p. Ƣớc lƣợng xấp xỉ sẽ phù hợp khi n lớn và khi khoảng nprơi vào giữa 0 và n. VÍ DỤ 5.8 Để xem đƣờng cong chuẩn có thể đƣợc sử dụng tốt nhƣ thế nào trong việc ƣớc lƣợng xấp xỉ các xác suất nhị thức, hãy xem lại thí nghiệm nhị thức đã đƣợc minh họa trong Hình 5.12, với n = 10, p = 0,5. Tính xác suất để cho x= 2, 3 hay 4, hiệu chỉnh về ba con số thập phân, bằng cách sử dụng Bảng 1 trong Phụ lục II. Sau đó tính toán ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn tƣơng ứng cho xác suất này. Lời giải Xác suất chính xác này có thể đƣợc tính toán với n = 10 bằng cách sử dụng Bảng 1 trong Phụ lục II. Nhƣ vậy, 4 4 1 p(x) p(x) p(x) 0,377 0,011 0,366 x2 x0 x0 Trong Hình 5.12, các hình chữ nhật xác suất nhị thức cho x = 2, 3 và 4 tƣơng ứng với diện tích giữa x1 = 1,5 và x2 = 4,5 bên dƣới đƣờng cong xấp xỉ chuẩn tƣơng ứng với μ = 1,5 và σ = 1,58. Các giá trị tƣơng ứng của z là: William Mendenhall và cộng sự 15 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 16
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác x 1,55 z 1 2,22 1 1,58 x 4,55 z 2 0,32 2 1,58 Xác suất này đƣợc thể hiện trong Hình 5.14. Diện tích giữa z = 0 và z = 2,22 là A1 = 0,4868. Tƣơng tự nhƣ vậy, diện tích giữa z = 0 và z = 0,32 là A2 = 0,1255. Từ Hình 5.14, P(2,22 z 0,32) 0,48680,1255 0,3613 Lƣu ý rằng sự ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn là rất gần với phân phối nhị thức chính xác, 0,366 mà có đƣợc từ Bảng 1. Bạn phải cẩn trọng để không loại trừ một nửa của hai hình chữ nhật xác suất ở hai thái cực khi sử dụng ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn đối với phân phối xác suất nhị thức. Các giá trị x được sử dụng để tính toán những giá trị z luôn luôn kết thúc ở 0,5. HÌNH 5.14 Diện tích được yêu cầu cho Ví dụ 5.8 Điều chỉnh cho tính Liên tục Qui trình của việc cộng thêm hay trừ bớt 0,5 trong việc điều chỉnh các giá trị của x cho phân phối nhị thức đối với các giá trị cho việc ƣớc lƣợng xấp xỉ phân phối chuẩn đƣợc gọi là sự điều chỉnh cho tính liên tục. Để chắc chắn rằng bạn đã thực hiện việc điều chỉnh phù hợp cho sự liên tục, hãy luôn luôn vẽ ra một phác thảo nháp tƣơng tự nhƣ Hình 5.12. VÍ DỤ 5.9 Độ tin cậy của một cầu chì điện là xác suất để cho cầu chì đó, đƣợc chọn ngẫu nhiên từ số sản phẩm sản xuất ra, sẽ hoạt động đƣợc trong những điều kiện mà qua đó nó đƣợc thiết kế. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 1.000 cầu chì đƣợc kiểm tra và x = 27 cầu chì có lỗi đƣợc quan sát. Tính xác suất của việc quan sát thấy 27 hay nhiều hơn số cầu chì bị lỗi, bằng cách giả định rằng độ tin cậy của cầu chì là 0,98. Lời giải Xác suất của việc quan sát một sản phẩm bị lỗi khi một cầu chì duy nhất đƣợc kiểm tra là p = 0,02, khi đã biết độ tin cậy của cầu chì là 0,98. Sau đó np 1000(0,02) 20 npq 1000(0,02)(0,98) 4,43 Xác suất của 27 hay nhiều hơn số cầu chì bị lỗi, khi đã biết n = 1000 là P P(x 27) p(27) p(28) p(29) ... p(999) p(1000) William Mendenhall và cộng sự 16 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 17
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác Ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn của P là diện tích nằm dƣới đƣờng cong chuẩn về phía bên phải của x = 26,5. Khi thực hiện sự điều chỉnh cho tính liên tục, chúng ta phải sử dụng x = 26,5 hơn là x = 27 nhằm để thêm vào toàn bộ hình chữ nhật xác suất đi cùng với x = 27. Giá trị z tƣơng ứng với x = 26.5 là: x 26,5 20 6,5 z 1,47 4,43 4,43 và diện tích giữa z = 0 và z = 1,47 là bằng với 0,4292, nhƣ đƣợc thể hiện trong Hình 5.15. Bởi vì toàn bộ diện tích về phía bên phải của trung bình là bằng với 0,5, cho nên P(x 27) 0,50,4292 0,0708 HÌNH 5.15 Ước lượng xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức trong Ví dụ 5.9 Bài tập Các Kỹ thuật Cơ bản 5.26 Đặt x là một biến số ngẫu nhiên nhị thức với n = 25, p = 0,3. a. Sử dụng Bảng 1 trong Phụ lục II để tìm ra P(8 x 10). b. Tìm μ và σ cho phân phối nhị thức, và sử dụng ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn để tìm ra P(8 x 10). So sánh sự ƣớc lƣợng xấp xỉ này với giá trị chính xác đƣợc tính trong phần (a). 5.27 Tìm ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho P(x 6)cho phân phối xác suất nhị thức với n = 10, p = 5. 5.28 Tìm ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho P(x 6)cho phân phối xác suất nhị thức với n = 10, p = 5. 5.29 Tìm ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho P(x 22) cho phân phối xác suất nhị thức với n = 100, p = 0,2. 5.30 Tìm ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho P(x 22)cho phân phối xác suất nhị thức với n = 100, p = 0,2. 5.31 Đặt x là một biến số ngẫu nhiên nhị thức với n = 25, p = 0,2. a. Sử dụng Bảng 1 trong Phụ lục II để tính P(4 x 6). b. Tìm μ và σ cho phân phối nhị thức, và sử dụng ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn để tìm ra P(4 x 6). Lƣu ý rằng giá trị này là một sự ƣớc lƣợng xấp xỉ tốt cho giá trị chính xác của P(4 x 6). 5.32 Xem xét một thí nghiệm nhị thức với n = 20, p = 0,4. Hãy tính P(x 10)bằng cách sử dụng: a. Bảng 1 trong Phụ lục II. William Mendenhall và cộng sự 17 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 18
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác b. Ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho phân phối xác suất nhị thức. 5.33 Tìm ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho P(355 x 360) cho một phân phối xác suất nhị thức với n = 400 và p = 0,9. Các Ứng dụng 5.34 Một số nhãn hiệu của các đồ gia dụng chính yếu là đáng tin cậy hơn những nhãn hiệu khác. Ví dụ, xấp xỉ 10% máy sấy Maytag đƣợc mua trong giai đoạn 1986 đến 1992 chƣa bao giờ cần đến sự sửa chữa (“Getting Things Fixed (Sửa chữa Đồ đạc)”, 1994). Giả định rằng một nhóm ngƣời tiêu dùng điều tra 56 ngƣời sở hữu máy sấy Maytag. a. Xác suất để cho mƣời hay nhiều hơn máy sấy chƣa bao giờ cần đến sự sửa chữa là bao nhiêu? b. Xác suất để cho có ít hơn năm máy sấy chƣa bao giờ cần đến sự sửa chữa là bao nhiêu? c. Giả định nào mà bạn cần thực hiện để cho các xác suất tìm thấy trong các phần (a) và (b) là chính xác? d. Nếu cuộc điều tra này cho thấy rằng 15 trong số 56 máy sấy chƣa bao giờ cần đến sự sửa chữa, liệu bạn có nghi ngờ rằng con số 10% là không chính xác không? Hãy giải thích. 5.35 Các hãng hàng không và khách sạn thƣờng chấp thuận việc đặt phòng trƣớc vƣợt quá năng lực phòng nhằm giảm thiểu những tổn thất do việc đã đặt phòng nhƣng không sử dụng. Giả định rằng ghi nhận của một khách sạn dọc đƣờng cho thấy rằng, tính trung bình thì có 10% khách sắp đến của họ sẽ không yêu cầu đặt chỗ trƣớc. Nếu khách sạn này chấp nhận 215 chổ đặt trƣớc và chỉ có 200 phòng trong khách sạn đó, thì xác suất mà tất cả khách đến yêu cầu một phòng sẽ nhận đƣợc một phòng là bao nhiêu? 5.36 Độ tuổi trung bình của hội đồng quản trị là bao nhiêu? Sáu mƣơi bảy phần trăm các định chế tài chính có hội đồng quản trị có tuổi trung bình là 57 hay nhiều hơn (lấy từ American Demographics (Nhân khẩu học nước Mỹ), tháng Mƣời Một 1990, trang 22). a. Trong một mẫu ngẫu nhiên gồm n = 400 định chế tài chính, xác suất để cho 300 hay nhiều hơn hội đồng quản trị có tuổi trung bình là 57 hay nhiều hơn là bao nhiêu? b. Nếu con số 67% này là chính xác, thì số lƣợng hội đồng quản trị với độ tuổi trung bình là 57 hay nhiều hơn nên nằm trong hai giá trị nào với xác suất là 95%? (Không sử dụng việc điều chỉnh cho sự liên tục). 5.37 Dịch vụ và sự hỗ trợ đã trở thành một vấn đề quan trọng cho những ngƣời sử dụng máy tính cá nhân (PC) khi giá cả của máy tính cá nhân đang ngày càng trở nên giống nhau. Các công ty có sự hỗ trợ kỹ thuật chuyên môn nhanh chóng nhận thấy rằng các khách hàng của mình đƣợc thỏa mãn, ngay cả khi họ có vấn đề với máy tính của mình. Ví dụ, 82% số khách hàng mà đã có các vấn đề với máy tính để bàn Dell sẽ sẵn sàng mua một máy PC khác từ công ty Dell (Amirrezvani, 1994). Giả định rằng một mẫu ngẫu nhiên gồm 200 khách hàng của Dell mà đã có các vấn đề với các máy tính để bàn của mình đƣợc phỏng vấn; hãy sử dụng sự ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức để trả lời các câu hỏi sau đây. a. Xác suất của việc quan sát chỉ có 160 khách hàng mà sẵn lòng mua máy tính cá nhân Dell khác là bao nhiêu? b. Bạn kỳ vọng rằng số lƣợng khách hàng sẵn sàng mua một máy tính cá nhân Dell khác rơi vào trong những giới hạn nào mà? 5.38 Phân phối theo độ tuổi của những chủ hộ là một công cụ quan trọng cho những nhà tiếp thị quan tâm đến việc quảng cáo phù hợp với độ tuổi cho một sản phẩm cụ thể mà họ mong muốn tung ra thị trƣờng. Một nghiên cứu do Joint Center for Housing Studies (Trung tâm Chung Nghiên cứu Nhà ở) thực hiện đã ƣớc tính rằng vào năm 1995 thì 31% tất cả các chủ hộ sẽ năm William Mendenhall và cộng sự 18 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 19
Chƣơng trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phƣơng pháp định lƣợng Khóa học ngắn về thống kê kinh doanh – 2nd ed. Bài đọc Ch. 5: Các phân phối xác suất chuẩn và liên tục khác trong độ tuổi từ 45 đến 64 (Darnay, 1994). Giả định một mẫu gồm 500 chủ hộ đƣợc lấy trong năm 1995. a. Xác suất để cho có ít hơn 135 chủ hộ nằm trong độ tuổi tữ 45 đến 64 là bao nhiêu? b. Xác suất để cho có từ 135 đến 180 chủ hộ sẽ nằm trong độ tuổi từ 45 đến 64 là bao nhiêu? 5.39 Vào quí đầu tiên của năm 1994, thu nhập trung vị toàn quốc tại Hoa Kỳ là 39.900 USD (“Midwest, South (Miền Trung Tây, Miền Nam),”, 1994). Giả định rằng 25 ngƣời làm công ăn lƣơng đƣợc chọn ngẫu nhiên và thu nhập của họ đƣợc ghi nhận. a. Sử dụng Bảng 1 trong Phụ lục II để tìm ra xác suất để cho có ít nhất 20 ngƣời làm công ăn lƣơng có thu nhập vƣợt quá mức trung vị của toàn quốc. b. Sử dụng ƣớc lƣợng xấp xỉ chuẩn cho phân phối nhị thức để ƣớc lƣợng xấp xỉ xác suất đƣợc tìm ra trong phần (a). Ƣớc lƣợng xấp xỉ này của bạn so với xác suất thực sự là nhƣ thế nào? c. Nếu mẫu mà bạn chọn bị hạn chế ở những ngƣời làm công ăn lƣơng sống trong một khu vực địa lý nhất định, thì xác suất tính đƣợc trong phần (a) có thể hàm ý điều gì về tính đại diện của mẫu bạn chọn? William Mendenhall và cộng sự 19 Biên dịch: Hải Đăng Hiệu đính: Cao Hào Thi
Hiển thị 19 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!