Trang 1
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn kinh tế lƣợng với… - 5th ed. Niên khóa 2011-2013 Bài đọc Ch.4: Mô hình hồi quy bội ChChươươngng 44 MÔMÔ HHÌÌNNHH HHỒỒI QI QUUYY BBỘỘII Trong Chương 3 chúng ta giới hạn trong trường hợp đơn giản của mô hình hồi quy hai biến. Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét hồi quy bội, nghĩa là liên hệ biến phụ thuộc Y cho trước với nhiều biến độc lập X1, X2, ..., Xk. Mô hình hồi quy tuyến tính đa biến có công thức tổng quát như sau: Yt = 1 + 2Xt2 + ... + kXtk + ut (4.1) Xt1 được đặt bằng 1 để có được “tung độ gốc”. Chữ t nhỏ biểu thị số lần quan sát và có giá trị từ 1 đến n. Các giả thiết về số hạng nhiễu, ut, hoàn toàn giống những giả thiết đã xác định trong Chương 3. Trong các đặc trưng tổng quát của một mô hình hồi quy bội, việc lựa chọn các biến độc lập và biến phụ thuộc xuất phát từ các lý thuyết kinh tế, trực giác, và kinh nghiệm quá khứ. Trong ví dụ về ngành bất động sản ở Chương 3, biến phụ thuộc là giá của căn nhà một hộ gia đình. Chúng ta đã đề cập ở đó là chỉ số giá - hưởng thụ phụ thuộc vào đặc điểm của căn nhà. Bảng 4.1 trình bày dữ liệu bổ sung cho 14 căn nhà mẫu đã bán. Lưu ý rằng, dữ liệu cho X1 chỉ đơn giản là một cột gồm các số 1 và tương ứng với số hạng không đổi. Tính cả số hạng không đổi, có tất cả là k biến độc lập và vì vậy có k hệ số tuyến tính chưa biết cần ước lượng. Mô hình tuyến tính bội trong ví dụ này như sau: PRICE = 1 + 2SQFT + 3BEDRMS + 4BATHS + u (4.2) Cũng như trước, giá được tính bằng đơn vị ngàn đô la. Ngoài diện tích sử dụng, giá còn liên hệ với số phòng ngủ cũng như số phòng tắm. Ảnh hưởng của thay đổi trong Yt khi chỉ có Xti thay đổi được xác định bởi Yt /Xti = i. Vì vậy, ý nghĩa của hệ số hồi quy i là, giữ giá trị của tất cả các biến khác không đổi, nếu Xti thay đổi một đơn vị thì Yt kỳ vọng thay đổi, trung bình là, i đơn vị. Do đó, 4 trong phương trình (4.2) được diễn giải như sau: Giữa hai căn nhà có cùng diện tích sử dụng (SQFT) và số phòng ngủ (BEDRMS), căn nhà nào có thêm một phòng tắm được kỳ vọng sẽ bán với giá cao hơn, trung bình, khoảng 4 ngàn đô la. Vì vậy, phân tích hồi quy bội giúp chúng ta kiểm soát được một tập hợp con các biến giải thích và kiểm tra ảnh hưởng của một biến độc lập đã chọn. Bảng 4.1 Dữ liệu về nhà một hộ gia đình (giá tính bằng ngàn đô la) Giá Hằng số SQFT BEDRMS BATHS t (Y) (X1) (X2) (X3) (X4) 1 199,9 1 1.065 3 1,75 2 228 1 1.254 3 2 3 235 1 1.300 3 2 4 285 1 1.577 4 2,5 5 239 1 1.600 3 2 Ramu Ramanathan 1 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 2
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn kinh tế lƣợng với… - 5th ed. Bài đọc Ch.4: Mô hình hồi quy bội 6 293 1 1.750 4 2 7 285 1 1.800 4 2,75 8 365 1 1.870 4 2 9 295 1 1.935 4 2,5 10 290 1 1.948 4 2 11 385 1 2.254 4 3 12 505 1 2.600 3 2,5 13 425 1 2.800 4 3 14 415 1 3.000 4 3 4.1 Phƣơng trình chuẩn Trong trường hợp mô hình hồi quy bội, Giả thiết 3.4 được hiệu chỉnh như sau: Mỗi X cho trước sao cho Cov(Xsi, ut) = E(Xsi ut) = 0 với mỗi i từ 1 đến k và mỗi s, t từ 1 đến n. Vì vậy, mỗi biến độc lập được giả định là không liên hệ với tất cả các số hạng sai số. Trong trường hợp của thủ tục bình phương tối thiểu thông thường (OLS), chúng ta định nghĩa tổng của bình phương sai số là n ^2 = n ^ ^ ^ ESS = u (Y - - X - ... - X )2 t = 1 t t = 1 t 1 2 t2 k tk Thủ tục OLS cực tiểu ESS theo ^ , ^ ..., ^ . Bằng cách thực hiện như trong Phần 3.A.3, chúng ta 1 2 k có thể có được các phương trình chuẩn, số phương trình chuẩn bằng số hệ số tuyến tính ước lượng. Do đó chúng ta có k phương trình trong đó k hệ số hồi quy chưa biết (các tổng được tính theo chỉ số t – nghĩa là số lần quan sát): Y = n^ + ^ X + ... + ^ X t 1 2 t2 k tk Y X = ^ X + ^ X2 + ... + ^ X X t t2 1 t2 2 t2 k tk t2 ............................................................................................................... Y X = ^ X + ^ X X + ... + ^ X X t ti 1 ti 2 t2 ti k tk ti Y X = ^ X + ^ X X + ... + ^ X2 t tk 1 tk 2 t2 tk k tk k phương trình chuẩn trên có thể giải được các nghiệm đơn (chỉ trừ một vài trường hợp ngoại lệ trình bày trong Chương 5). Các chương trình máy tính chuẩn thực hiện được mọi tính toán này khi nhập dữ liệu vào và xác định các biến độc lập, biến phụ thuộc. Phụ lục 4.A.1 mô tả các bước đối với mô hình ba biến trong đó Y hồi quy theo một số hạng không đổi, X2 và X3. Các tính chất 3.1 đến 3.3 cũng đúng trong trường hợp hồi quy tuyến tính bội. Do đó, các ước lượng OLS là BLUE, không thiên lệch, hiệu quả và nhất quán. Phần dư và các giá trị dự đoán có được từ các liên hệ sau: Ramu Ramanathan 2 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 3
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn kinh tế lƣợng với… - 5th ed. Bài đọc Ch.4: Mô hình hồi quy bội u^ = Y - ^ - ^ X - ... - ^ X t t 1 2 t2 k tk ^ ^ ^ ^ ^ Yt = 1 + 2Xt2 + ... + kXtk = Yt - ut VÍ DỤ 4.1 Đối với mô hình đã nêu trong Phương trình (4.2), liên hệ ước lượng là (xem phần Thực hành máy tính 4.1) PRICE = 129,062 + 0,1548SQFT – 21,588BEDRMS – 12,193BATHS Lập tức chúng ta lưu ý là các hệ số hồi quy của BEDRMS và BATHS đều âm, trái với chúng ta mong đợi. Chúng ta có thể cảm thấy theo trực giác là thêm phòng tắm hoặc phòng ngủ sẽ tăng giá trị của căn nhà. Tuy nhiên, hệ số hồi quy có ý nghĩa đúng chỉ khi mọi biến khác đều không thay đổi. Do đó, nếu chúng ta tăng số phòng ngủ lên một, giữ nguyên SQFT và BATHS không đổi, giá trung bình được kỳ vọng sẽ hạ xuống khoảng $21.588. Nếu cùng một diện tích sử dụng được chia nhỏ để có thêm một phòng ngủ thì mỗi phòng ngủ sẽ có diện tích nhỏ hơn. Dữ liệu cho thấy là, trung bình, người mua đánh giá thấp việc chia nhỏ diện tích này và vì vậy họ sẽ chỉ sẵn lòng trả một mức giá thấp hơn. Lý luận tương tự cho BATHS. Giữ nguyên SQFT và BEDRMS không đổi, nếu ta tăng thêm một phòng tắm, giá trung bình kỳ vọng sẽ giảm khoảng $12.193. Một lần nữa, tăng thêm phòng tắm nhưng vẫn giữ nguyên diện tích sử dụng cũng có nghĩa là phòng ngủ sẽ nhỏ hơn. Kết quả cho thấy sự không đồng ý của khách hàng và vì vậy chúng ta quan sát thấy giá trung bình giảm. Từ lập luận này chúng ta lưu ý là những dấu có vẻ không như mong đợi lúc đầu (thường được gọi là “dấu sai”) lại được giải thích hợp lý. Giả sử chúng ta tăng thêm một phòng ngủ và tăng thêm diện tích sử dụng khoảng 300 (cho thêm hành lang và các yếu tố liên quan khác). BEDRMS sẽ tăng thêm 1 và SQFT tăng thêm 300. Thay đổi giá trung bình (PRICE) là kết quả của tác động kết hợp như sau: PRICE = ^ SQFT+ ^ BEDRMS = 300^ + ^ 2 3 2 3 Trong mô hình, phần này thể hiện một khoảng tăng $24.852 trong giá trung bình ước lượng [được tính như sau (300 x 0,1548) – 21,588; đơn vị ngàn đô la], mức giá này có vẻ hợp lý. BÀI TẬP THỰC HÀNH 4.1 Giả sử tăng thêm một phòng tắm và một phòng ngủ, với diện tích sử dụng tăng thêm 350 bộ vuông. Mức giá trung bình kỳ vọng tăng thêm bao nhiêu? Giá trị này có đáng tin không? BÀI TẬP THỰC HÀNH 4.2 Dự báo giá trung bình của một căn nhà với 4 phòng ngủ, 3 phòng tắm và diện tích sử dụng là 2.500 bộ vuông. Dự báo có hợp lý so với dữ liệu trong Bảng 4.1 không? Một ước lượng không thiên lệch của phương sai phần dư 2 được tính bằng s2 = ^2 = u^2 t /(n-k), với n là số lần quan sát sử dụng trong ước lượng và k là số hệ số hồi quy ước lượng, gồm cả số hạng không đổi. Chứng minh phát biểu này về nguyên tắc tương tự như đã trình bày trong phần 3.A.7, nhưng phức tạp hơn nhiều vì có đến k phương trình chuẩn ở đây (xem Johnston, Ramu Ramanathan 3 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 4
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn kinh tế lƣợng với… - 5th ed. Bài đọc Ch.4: Mô hình hồi quy bội 1984, trang 180-181). Trong Chương 3 chúng ta chia tổng bình phương sai số cho n – 2 để được ước lượng không thiên lệch của 2. Ở đây, k phương trình chuẩn đặt ra k ràng buộc, điều này dẫn đến việc “mất đi” k bậc tự do. Vì vậy, chúng ta chia cho n – k. Bởi vì ^2 phải không âm, n phải lớn hơn k. Thủ tục để tính sai số chuẩn của các ^ là tương tự, nhưng các phép tính bây giờ sẽ nhàm chán hơn nhiều. Các chương trình máy tính cung cấp các phép toán thống kê cần thiết để ước lượng các thông số và kiểm định giả thuyết về chúng. Có thể thấy là u^ 2 / 2 có phân phối t Chi bình phương với bậc tự do n – k (xem Johnston, 1984, trang 181). Các kết quả này được tóm tắt trong tính chất 4.1. Tính Chất 4.1 a. Một ước lượng không thiên lệch của phương sai sai số (2) được tính bằng ^ ESS u^2 s2 = 2 = = t n - k n - k với ESS là tổng bình phương của các phần dư b. ESS/2 có phân phối Chi bình phương với bậc tự do n – k. Lưu ý rằng tính chất này phụ thuộc đặc biệt vào Giả thiết 3.8 là số hạng sai số u tuân theo phân phối chuẩn N(0,2). t Các Giá Trị Dự Báo Và Sai Số Chuẩn Cũng như trong mô hình hồi quy đơn biến, chúng ta sẽ quan tâm đến tạo ra các dự báo có điều kiện của biến phụ thuộc với các giá trị cho trước của các biến độc lập. Giả sử Xfi là giá trị cho trước của biến độc lập thứ i với i = 2, ..., k, và t = f, với các giá trị này chúng ta muốn dự báo Y. Định nghĩa = 1 + 2Xf2 + … + kXfk Và ^ = Y^ , định nghĩa trước đó t = f, và vì vậy dự báo cần có là giá trị ước lượng của , và sai số f chuẩn tương ứng sẽ giúp chúng ta xây dựng một khoảng tin cậy cho dự báo. Giải 1 từ phương trình trên và thay vào mô hình ban đầu, chúng ta có Yt = - 2Xf2 - ... - kXfk + 2Xt2 +...+kXtk + ut Nhóm số hạng một cách thích hợp, ta có thể viết lại như sau: Yt = + 2 (Xt2 – Xf2) +... + k(Xtk – Xfk) + ut = + 2Zt2 + ... + kZtk + ut với Zti = Xti – Xfi, cho i = 2, ..., k. Việc viết lại công thức này chỉ ra các bước sau để tiến hành dự báo Bƣớc 1 Với giá trị Xfi cho trước của biến độc lập thứ i và t = f , tạo một biến mới Zti = Xti – Xfi với i = 2, ..., k. Bƣớc 2 Hồi quy Yt theo một số hạng và các biến mới Zt2, ..., Ztk. Ramu Ramanathan 4 Biên dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Hiển thị 4 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!