ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH BÀI TẬP CHƯƠNG IV. KHÔNG GIAN VECTƠ 1. Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: a. 1 23 x xx = − = =− (1, 1,2), (0,2,3), ( 1,1,1) b. 12 3 xx x =− = − = (1, 1,0,1), (0,2,1, 1), (2,0,1,1) c. 12 3 4 xx x x == = = (1,1,1,1), (1,0,1,1), (1,1,0,1), (0,1,1,1) d. 1 23 4 1 5 11 2 4 1 7 ,, , 4 2 15 5 7 5 1 A AA A ⎡ ⎤ ⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ − −− = == = ⎢ ⎥ ⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ − −− − e. 2 2 32 1 22 px x p x p xx x =−+ =+ = +−+ 2 3, 1, 2 4 10 trong 3 \ [ ] x . f. 32 2 123 4 p x p x p x xp x = + = + =− + =− − 1, 1, 2 , 2 4 trong 3 \ [ ] x . 2. Cho hệ vectơ 1 2 ,,, n x x x … độc lập tuyến tính của một không gian vectơ V. Chứng minh hệ vectơ 1 12 1 2 1 2 , ,, n n y xy x x y x x x = =+ =+ ++ … … cũng độc lập tuyến tính. 3. Chứng minh rằng nếu trong hệ vectơ 1 2 ,,, n x x x … không có vectơ nào biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại thì 1 2 ,,, n x x x … độc lập tuyến tính . 4. Tìm hạng và hệ con độc lập tuyến tính tối đại của các hệ sau: a. 1 2 34 x x xx = =− − = = − (47,26,16), ( 67,98, 428), (35,23,1), (201, 294,1284), 5x = (155,86,52). b. 1 23 xxx = == (24,49,73,47), (19,40,59,36), (36,73,98,71), 4 5 x x = =− − − − (72,147,219,141), ( 38, 80, 118, 72). c. 12 3 xx x = =− − − = (17,24,25,31,42), ( 28, 37, 7,12,13), (45,61,32,19,29), 4 5 x x = −−− = −−− (11,13, 18, 43, 55), (39,50, 11, 55, 68). 5. Cho hệ vectơ 1 2 ,,, n x x x … biểu thị tuyến tính được qua hệ 1 2 yy y ,,, … m . Chứng minh: a. 12 12 {, , , } {, , , } rank x x x rank y y y … … n m ≤ . b. Nếu 2 hệ này có cùng hạng thì chúng tương đương. 6. Chứng minh: 12 12 { , , , }= { , , , , } n n rank x x x rank u x x x … … ⇔ u biểu thị tuyến tính được qua 1 2 ,,, n x x x … . 7. Trong 3 \ , cho hệ vectơ 12 3 uu u = (1,2,1), ( 1,0,1), (0,1,2) =− = . a. Chứng minh 123 uu u , , là một cơ sở của 3 \ . b. Tìm tọa độ của u abc = (,,) trong cơ sở 123 uu u , , . ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 8. Trong 3 \ , cho 2 hệ vectơ 12 3 uu u = (1,1,1), (1,1,2), (0,1,2) = = và 12 3 vv v = − = − =− (2,1, 3), (3,2, 5), (1, 1,1). a. Chứng minh 2 hệ trên là 2 cơ sở của 3 \ . b. Viết ma trân chuyển từ cơ sở (u) sang cơ sở (v) và ngược lại. c. Tìm tọa độ của vectơ 1 23 x = −+ − 2 3 u uu trong cơ sở (v). 9. Chứng minh tập hợp: a. { } 3 A xyz x y z = ∈ −+ = (, ,) / 2 0 \ là không gian con của 3 \ . b. { } 4 B xyzt x y z x t = ∈ − + = −= ( , , ,) /2 0 \ là không gian con của 4 \ . c. / , a b C ab b a ⎧ ⎫ ⎡ ⎤ − = ∈ ⎨ ⎬ ⎢ ⎥ ⎩ ⎭ ⎣ ⎦ \ là không gian con của 2 M ( ) \ . 10. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con sinh bởi: a. 1 2 34 a a aa = −= = = (1,0,0, 1), (2,1,1,0), (1,1,1,1), (1,2,3,4), 5a = (0,1,2,3). Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ u xyzt = (, , ,) thuộc về không gian con này. b. 1 23 a aa =− = = (1, 1,1,0), (1,1,0,1), (2,0,1,1). Tìm điều kiện đối với x,y,z,t để vectơ u xyzt = (, , ,) thuộc về không gian con này. c. 1 23 4 a aa a =− − = = − = − (1, 1,1, 1,1), (1,1,0,0,3), (3,1,1, 1,7), (0,2, 1,1,2) Tìm điều kiện đối với x,y,z,t,u để vectơ a xyztu = (, , ,, ) thuộc về không gian con này. 11. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con ở bài 9. 12. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian vectơ con U VU V + , ∩ với: a. U = − (1,2,1), (1,1, 1), (1,3,3) và V = (2,3, 1), (1,2,2), (1,1, 3) − − . b. U = (1,1,0,0), (0,1,1,0), (0,0,1,1) và V = (1,0,1,0), (0,2,1,1), (1,2,1,2) c. U xyzt x z t = − += {( , , ,)/ 2 0} và V xyzt x t y z = {( , , ,)/ 2 0 =∧ − = } 13. Tìm cơ sở và số chiều của các không gian các nghiệm của hệ thuần nhất: a. 1 2 45 12 34 12345 12345 23 0 2 0 42 634 0 24 247 0 x x xx xx xx xx xx x xx xx x ⎧ + −− = ⎪ ⎪ − +− = ⎨ −++− = ⎪ ⎪ +−+−= ⎩ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH b. 1 3 2 4 125 246 3 5 4 6 0 0 0 0 0 0 x x x x xx x xxx x x x x ⎧ − = ⎪ − = ⎪ ⎪⎪ − + = ⎨ −+ − = ⎪ ⎪−+ = ⎪ ⎪ − = ⎩ c. 135 245 1256 236 145 0 0 0 0 0 xxx xxx xx xx xxx xx x ⎧ −+ = ⎪ −+ = ⎪ ⎪ ⎨ − +−= ⎪ −− = ⎪ ⎪ −+ = ⎩ 14. Hãy tìm hệ pt thuần nhất có không gian nghiệm là: a. U = − (1,1,0), (1,0, 2) b. U = − − − − −− (2, 1,0,1), (1,0, 1,2), (1, 1,1, 1), (3, 1, 1,3) 15. Trong 3 \ cho 3 cơ sở α, , β γ . Biế