Trang 1
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn Kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Niên khóa 2011-2013 Bài đọc Ch. 3: Mô hình hồi qui tuyến tính đơn Chương 3 MÔMÔ HHÌÌNNHH HHỒỒI QI QUUYY TTUUYYẾẾN TN TÍÍNNHH ĐĐƠƠNN Ở chương 1 phát biểu rằng bước đầu tiên trong phân tích kinh tế lượng là việc thiết lập mô hình mô tả được hành vi của các đại lượng kinh tế. Tiếp theo đó nhà phân tích kinh tế/ kinh doanh sẽ thu thập những dữ liệu thích hợp và ước lược mô hình nhằm hỗ trợ cho việc ra quyết định. Trong chương này sẽ giới thiệu mô hình đơn giản nhất và phát triển các phương pháp ước lượng, phương pháp kiểm định giả thuyết và phương pháp dự báo. Mô hình này đề cập đến biến độc lập (Y) và một biến phụ thuộc (X). Đó chính là mô hình hồi quy tuyến tính đơn. Mặc dù đây là một mô hình đơn giản, và vì thế phi thực tế, nhưng việc hiểu biết những vấn đề cơ bản trong mô hình này là nền tảng cho việc tìm hiểu những mô hình phức tạp hơn. Thực tế, mô hình hồi quy đơn tuyến tính có thể giải thích cho nhiều phương pháp kinh tế lượng. Trong chương này chỉ đưa ra những kết luận căn bản về mô hình hồi quy tuyến tính đơn biến. Còn những phần khác và phần tính toán sẽ được giới thiệu ở phần phụ lục. Vì vậy, đối với người đọc có những kiến thức căn bản về toán học, nếu thích, có thể đọc phần phụ lục để hiểu rõ hơn về những kết quả lý thuyết. 3.1 Mô Hình Cơ Bản Chương 1 đã trình bày ví dụ về mô hình hồi quy đơn đề cập đến mối liên hệ giữa giá của một ngôi nhà và diện tích sử dụng (xem Hình 1.2). Chọn trước một số loại diện tích, và sau đó liệt kê số lượng nhà có trong tổng thể tương ứng với từng diện tích đã chọn. Sau đó tính giá bán trung bình của mỗi loại nhà và vẽ đồ thị (quy ước các điểm được biểu thị là X). Giả thuyết cơ bản trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn là các trị trung bình này sẽ nằm trên một đường thẳng (biểu thị bằng + SQFT), đây là hàm hồi quy của tổng thể và là trung bình có điều kiện (kỳ vọng) của GIÁ theo SQFT cho trước. Công thức tổng quát của mô hình hồi quy tuyến tính đơn dựa trên Giả thiết 3.1 sẽ là GIẢ THIẾT 3.1 (Tính Tuyến Tính của Mô Hình) Yt = + Xt + ut (3.1) trong đó, Xt và Yt là trị quan sát thứ t (t = 1 đến n) của biến độc lập và biến phụ thuộc, tiếp theo và là các tham số chưa biết và sẽ được ước lượng; và ut là số hạng sai số không quan sát được và được giả định là biến ngẫu nhiên với một số đặc tính nhất định mà sẽ được đề cập kỹ ở phần sau. và được gọi là hệ số hồi quy. (t thể hiện thời điểm trong chuỗi thời gian hoặc là trị quan sát trong một chuỗi dữ liệu chéo.) Thuật ngữ đơn trong mô hình hồi quy tuyến tính đơn được sử dụng để chỉ rằng chỉ có duy nhất một biến giải thích (X) được sử dụng trong mô hình. Trong chương tiếp theo khi nói về mô hồi quy đa biến sẽ bổ sung thêm nhiều biến giải thích khác. Thuật ngữ hồi quy xuất phát từ Fraccis Galton (1886), người đặt ra mối liên hệ giữa chiều cao của nam với chiều cao của người cha và quan sát thực nghiệm cho thấy có một xu hướng giữa chiều cao trung bình Ramu Ramanathan 1 Người dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 2
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn Kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Bài đọc Ch. 3: Mô hình hồi qui tuyến tính đơn của nam với chiều cao của những người cha của họ để “hồi quy” (hoặc di chuyển) cho chiều cao trung bình của toàn bộ tổng thể. + Xb gọi là phần xác định của mô hình và là trung bình có điều kiện của Y theo X, đó là E(YtXt) = + Xt. Thuật ngữ tuyến tính dùng để chỉ rằng bản chất của các thông số của tổng thể và là tuyến tính (bậc nhất) chứ không phải là Xt tuyến tính. Do đó, mô hình Y X 2 u vẫn được gọi là hồi quy quyến tính đơn t t t mặc dầu có X bình phương. Sau đây là ví dụ về phương trình hồi quy phi tuyến tính Yt = + X + u . Trong cuốn sách này sẽ không đề cập đến mô hình hồi quy phi tuyến tính mà chỉ t tập trung vào những mô hình có tham số có tính tuyến tính mà thôi. Những mô hình tuyến tính này có thể bao gồm các số hạng phi tuyến tính đối với biến giải thích (Chương 6). Để nghiên cứu sâu hơn về mô hình hồi quy phi tuyến tính, có thể tham khảo các tài liệu: Greene (1997), Davidson và MacKinnon (1993), và Griffths, Hill, và Judg (1993). Số hạng sai số ut (hay còn gọi là số hạng ngẫu nhiên) là thành phần ngẫu nhiên không quan sát được và là sai biệt giữa Yt và phần xác định + Xt. Sau đây một tổ hợp của bốn nguyên nhân ảnh hưởng khác nhau: 1. Biến bỏ sót. Giả sử mô hình thực sự là Yt = + Xt + Zt +vt trong đó, Zt là một biến giải thích khác và vt là số hạng sai số thực sự, nhưng nếu ta sử dụng mô hình là Y = + Xt +ut thì ut = Zt +vt. Vì thế, ut bao hàm cả ảnh hưởng của biến Z bị bỏ sót. Trong ví dụ về địa ốc ở phần trước, nếu mô hình thực sự bao gồm cả ảnh hưởng của phòng ngủ và phòng tắm và chúng ta đã bỏ qua hai ảnh hưởng này mà chỉ xét đến diện tích sử dụng thì số hạng u sẽ bao hàm cả ảnh hưởng của phòng ngủ và phòng tắm lên giá bán nhà. 2. Phi tuyến tính. ut có thể bao gồm ảnh hưởng phi tuyến tính trong mối quan hệ giữa Y và X. Vì thế, nếu mô hình thực sự là Y X X 2 u , nhưng lại được giả định bằng t t t t phương trình Y = + X +u , thì ảnh hưởng của X 2 sẽ được bao hàm trong u . t t t t 3. Sai số đo lường. Sai số trong việc đo lường X và Y có thể được thể hiện qua u. Ví dụ, giả sử Yt giá trị của việc xây dựng mới và ta muốn ước lượng hàm Yt = + rt +vt trong đó rt là lãi suất nợ vay và vt là sai số thật sự (để đơn giản, ảnh hưởng của thu nhập và các biến khác lên đầu tư đều được loại bỏ). Tuy nhiên khi thực hiện ước lượng, chúng ta lại sử dụng mô hình Yt = + Xt +ut trong đó Xt = rt +Zt là lãi suất căn bản. Như vậy thì lãi suất được đo lường trong sai số Zt thay rt = Xt – Zt vào phương trình ban đầu, ta sẽ được Yt = +(Xt – Zt)+vt = + Xt – Zt + vt = + Xt + ut Cần luôn lưu ý rằng tính ngẫu nhiên của số hạng ut bao gồm sai số khi đo lường lãi suất nợ vay một cách chính xác. 4. Những ảnh hưởng không thể dự báo. Dù là một mô hình kinh tế lượng tốt cũng có thể chịu những ảnh hưởng ngẫu nhiên không thể dự báo được. Những ảnh hưởng này sẽ luôn được thể hiện qua số hạng sai số ut. Như đã đề cập ban đầu, việc thực hiện điều tra toàn bộ tổng thể để xác định hàm hồi quy của tổng thể là không thực tế. Vì vậy, trong thực tế, người phân tích thường chọn một mẫu bao gồm các căn nhà một cách ngẫu nhiên và đo lường các đặc tính của mẫu này để thiết lập hàm hồi quy cho mẫu. Bảng 3.1 trình bày dữ liệu của một mẫu gồm 14 nhà bán trong khu vực San Diego. Số liệu này có sẵn trong đĩa mềm với tên tập tin là DATA3-1. Trong Hình 3.1, các cặp giá trị (Xt, Yt) được vẽ trên đồ thị. Đồ thị này được gọi là đồ thị phân tán của mẫu cho các dữ liệu. Hình 3.1 tương tự như Hình 1.2, nhưng trong Hình 1.2 liệt kê toàn bộ các giá trị (Xt, Yt) của tổng thể, còn trong Hình 3.1 chỉ liệt kê dữ liệu của mẫu mà thôi. Giả Ramu Ramanathan 2 Người dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 3
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn Kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Bài đọc Ch. 3: Mô hình hồi qui tuyến tính đơn sử, tại một thời điểm, ta biết được giá trị của và . Ta có thể vẽ được đường thẳng + X trên biểu đồ. Đây chính là đường hồi quy của tổng thể. Khoảng cách chiếu thẳng xuống từ giá thực (Yt) đến đường hồi quy + X là sai số ngẫu nhiên ut. Độ dốc của đường thẳng () cũng là Y/X, là lượng thay đổi của Y trên một đơn vị thay đổi của X. Vì vậy được diễn dịch là ảnh hưởng cận biên của X lên Y. Do đó, nếu là là 0.14, điều đó có nghĩa là một mét vuông diện tích tăng thêm sẽ làm tăng giá bán nhà lên, ở mức trung bình, 0.14 ngàn đô la (lưu ý đơn vị tính) hay 140 đô la. Một cách thực tế hơn, khi diện tích sử dụng nhà tăng thêm 100 mét vuông thì hy vọng rằng giá bán trung bình của ngôi nhà sẽ tăng thêm $14.000 đô la. Mặc dầu là tung độ gốc và là giá trị của trị trung bình Y khi X bằng 0, số hạng này vẫn không thể được hiểu như là giá trung bình của một lô đất trống. Nguyên nhân là vì cũng ẩn chứa biến bỏ sót và do đó không có cách giải thích cho (điều này được đề cập kỹ hơn trong Phần 4.5). BẢNG 3.1 Giá trị trung bình ước lượng và trung bình thực tế của giá nhà và diện tích sử dụng (mét vuông) t SQFT Giá bán1 Giá trung bình ước lượng2 1 1.065 199,9 200,386 2 1.254 288 226,657 3 1.300 235 233,051 4 1.577 285 271,554 5 1.600 239 274,751 6 1.750 293 295,601 7 1.800 285 302,551 8 1.870 365 312,281 9 1.935 295 321,316 10 1.948 290 323,123 11 2.254 385 365,657 12 2.600 505 413,751 13 2.800 425 441,551 14 3.000 415 469,351 HÌNH 3.1 Biểu Đồ Phân Tán Của Mẫu Trình Bày Mối Liên Hệ Giữa Giá và SQFT 1 Đơn vị tính: 1.000 đô la 2 Phương pháp tính giá trung bình ước lượng sẽ được trình bày ở Phần 3.2 Ramu Ramanathan 3 Người dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 4
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn Kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Bài đọc Ch. 3: Mô hình hồi qui tuyến tính đơn Y 600 X ,Y t t 500 + X u t 400 300 200 X t 100 X 01000 1400 1800 X2200 2600 3000 t HÌNH 3.2 Phương Trình Hồi Quy của Tổng Thể và của Mẫu Y ˆ ˆ X (Hoài qui maãu) D X ,Y t t uˆ t C u t + X (Hoài qui toång theå) B Yˆ ˆ ˆX t t X EY X t t t X 0 A Mục tiêu đầu tiên của một nhà kinh tế lượng là làm sao sử dụng dữ liệu thu thập được để ước lượng hàm hồi quy của tổng thể, đó là, ước lượng tham số của tổng thể và . Ký hiệu ˆ là ước lượng mẫu của và ˆ là ước lượng mẫu của . Khi đó mối quan hệ trung bình ước lượng là Y^ = ^ + ^X. Đây được gọi là hàm hồi quy của mẫu. Ứng với một giá trị quan sát cho trước t, ta sẽ có Y^ = ^ + ^X . Đây là giá trị dự báo của Y với một giá trị cho trước là X. t t t Lấy giá trị quan sát được Yt trừ cho giá trị này, ta sẽ được ước lượng của ut được gọi là phần dư ước lượng, hoặc đơn giản là phần dư, và ký hiệu là uˆ 1và được thể hiện trong phương t trình sau: u^ = Y – Y^ = Y – ^ – ^X t t t t t Sắp xếp lại các số hạng trên, ta có 1 Một số tác giả và giảng viên thích sử dụng a thay cho ^, b thay cho ^ và e thay cho u^ . Chúng ta sử dụng dấu hiệu ^ t t theo qui định trong lý thuyết thống kê vì nó giúp phân biệt rõ ràng giữa giá trị thật và giá trị ước lượng và cũng xác định được thông số đang được ước lượng. Ramu Ramanathan 4 Người dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Trang 5
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright Các phương pháp định lượng Nhập môn Kinh tế lượng với các ứng dụng – 5th ed. Bài đọc Ch. 3: Mô hình hồi qui tuyến tính đơn Y ˆ ˆX uˆ (3.3) t t t Việc phân biệt giữa hàm hồi quy của tổng thể Y = + X và hàm hồi quy của mẫu Yˆ ˆ ˆX là rất quan trọng. Hình 3.2 trình bày cả hai đường và sai số và phần dư (cần t nghiên cứu kỹ vấn đề này). Lưu ý rằng u là ký hiệu chỉ “sai số”, và uˆ là ký hiệu chỉ “phần t t dư”. BÀI TẬP 3.1 Xem xét các phương trình sau đây: a. Y X u t t b. Y ˆ ˆX uˆ t t c. Y ˆ ˆX u t t d. Yˆ X t e. Yˆ X uˆ t t f. Yˆ ˆ ˆX uˆ t t Giải thích kỹ tại sao phương trình (a) và (b) đúng, nhưng (c), (d), (e) và (f) sai. Hình 3.2 rất có ích trong việc trả lời câu hỏi này. 3.2 Ước lượng mô hình cơ bản bằng phương pháp bình phương tối thiểu thông thường Trong phần trước, đã nêu rõ mô hình hồi quy tuyến tính cơ bản và phân biệt giữa hồi quy của tổng thể và hồi quy của mẫu. Mục tiêu tiếp theo sẽ là sử dụng các dữ liệu X và Y và tìm kiếm ước lượng “tốt nhất” của hai tham số của tổng thể là và . Trong kinh tế lượng, thủ tục ước lượng được dùng phổ biến nhất là phương pháp bình phương tối thiểu. Phương pháp này thường được gọi là bình phương tối thiểu thông thường, để phân biệt với những phương pháp bình phương tối thiểu khác sẽ được thảo luận trong các chương sau. Ký hiệu ước lượng của và là ˆ và ˆ , phần dư ước lượng thì bằng uˆ Y ˆ ˆX . Tiêu t t t chuẩn tối ưu được sử dụng bởi phương pháp bình phương tối thiểu là cực tiểu hóa hàm mục tiêu ˆ tn tn ˆ ESS(ˆ,) uˆ2 (Y ˆ X )2 t t t t1 t1 với các tham số chưa biết là ˆ và ˆ . ESS là tổng các phần dư bình phương và phương pháp OLS cực tiểu tổng các phần dư bình phương2. Cần nên lưu ý rằng ESS là khoảng cách 2 Rất dễ nhầm khi gọi ESS là tổng của các phần dư bình phương, nhưng ký hiệu này được sử dụng phổ biến trong nhiều chương trình máy tính nổi tiếng và có từ tài liệu về Phân tích phương sai Ramu Ramanathan 5 Người dịch: Thục Đoan Hiệu đính: Cao Hào Thi
Hiển thị 5 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!