Đang tạo bản xem trước...
1. Vectơ pháp tuyến và cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Cho mặt phẳng . Vectơ khác và có giá vuông góc với mặt phẳng gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Nhận xét: Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến của nó. XIV PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
b. Cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng Cho mặt phẳng . Nếu hai vectơ và không cùng phương và giá của chúng song song hoặc nằm trên mặt phẳng thì là cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng . Nhận xét: Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định khi biết một điểm và cặp vectơ chỉ phương của nó. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng khi biết một cặp vectơ chỉ phương Trong không gian Oxyz, nếu mặt phẳng nhận hai vectơ làm cặp vectơ chỉ phương thì nhận làm vectơ pháp tuyến. Chú ý: Vectơ được gọi là tích có hướng của hai vectơ và , kí hiệu là . cùng phương với Nếu thì vectơ vuông góc với cả hai vectơ và 2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
a. Khái niệm phương trình tổng quát của mặt phẳng Trong không gian Oxyz, mỗi mặt phẳng đều có dạng phương trình: với , được gọi là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Nhận xét: Nếu mặt phẳng có phương trình (với ) thì vectơ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng . Cho mặt phẳng có phương trình . Khi đó: b. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng khi biết một số điều kiện Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết vectơ pháp tuyến Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là: hay với Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết cặp vectơ chỉ phương Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có cặp vectơ chỉ phương , ta thực hiện như sau: Bước 1: Tìm một vectơ pháp tuyến . Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến .
Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng Để lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng, ta thực hiện như sau: Bước 1: Tìm cặp vectơ chỉ phương . Bước 2: Tìm một vectơ pháp tuyến . Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm (hoặc điểm hoặc điểm ) và có vectơ pháp tuyến . Nhận xét: Mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ và lần lượt cắt trục tại , cắt trục tại , cắt trục tại có phương trình là . với Phương trình trên được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
3. Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc a. Điều kiện để hai mặt phẳng song song Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là . Khi đó: Chú ý: cắt và không cùng phương. b. Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc Trong không gian Oxyz, cho 2 mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là . Khi đó: 4. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính: 1. Dạng toán: Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng, điểm thuộc và không thuộc mặt phẳng 1.1. Phương pháp tư duy 1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng Mặt phẳng : có vectơ pháp tuyến Nếu mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương là thì có vectơ pháp tuyến là Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ có giá vuông góc với . Vectơ chỉ phương của mặt phẳng là vectơ có giá song song hoặc trùng với . Nếu là một vectơ pháp tuyến của thì cũng là một vectơ pháp tuyến của . Nếu là một vectơ chỉ phương của thì cũng là một vectơ chỉ phương của . Chú ý: Trục có vectơ chỉ phương là . Trục có vectơ chỉ phương là . Trục có vectơ chỉ phương là . Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là .
Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . 2. Điểm thuộc và không thuộc mặt phẳng Cho mặt phẳng có phương trình . Khi đó: 1.2. Ví dụ áp dụng. Ví dụ 1: Trong không gian , tọa độ một vectơ vuông góc với cả hai vectơ , là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn D. Ta có Ví dụ 2: Trong không gian , cho mặt phẳng . Vectơ nào dưới đây không phải là một vectơ pháp tuyến của ? A. . B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn B Véc tơ pháp tuyến của là: . là một vec tơ pháp tuyến của là một vec tơ pháp tuyến của Ví dụ 3: Trong không gian , mặt phẳng không đi qua điểm nào dưới đây?
A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Thế tọa độ điểm vào phương trình mặt phẳng ta có: . Vậy mặt phẳng không đi qua điểm . 2. Dạng toán: Hai mặt phẳng song song, vuông góc. Khoảng cách một điểm đến mặt phẳng 2.1. Phương pháp tư duy . Điều kiện hai mặt phẳng song song, vuông góc Cho 2 mặt phẳng và có vectơ pháp tuyến lần lượt là . Khi đó: cắt và không cùng phương. Chú ý: cùng phương với Nếu thì vectơ vuông góc với cả hai vectơ và 2. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Trong không gian , cho điểm và mặt phẳng . Khi đó khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng được tính: Chú ý: Mặt phẳng có phương trình: . Mặt phẳng có phương trình: . Mặt phẳng có phương trình: . 3. Khoảng cách hai mặt phẳng song song Khoảng cách giữa mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm thuộc mặt phẳng này đến mặt phẳng kia (Thực chất là khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng). Để tính khoảng cách mặt phẳng song song với , ta thực hiện như sau: Bước 1: Chọn điểm Bước 2: Tính khoảng cách điểm đến Bước 3: Kết luận Chú ý: Cho 2 mặt phẳng và có cùng vectơ pháp tuyến là . Khi đó khoảng cách giữa hai mặt
phẳng đó là: 2.2. Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng có phương trình: và điểm . Tính khoảng cách từ đến . A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Khoảng cách từ đến là Ví dụ 2: Trong không gian , cho mặt phẳng . Gọi là hình chiếu vuông góc của điểm lên mặt phẳng . Độ dài đoạn thẳng là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng : . Ví dụ 3: Trong không gian , cho điểm và hai mặt phẳng , Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? A. Hai mặt phẳng và song song với nhau.
B. Khoảng cách điểm đến mặt phẳng bằng . C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng . D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng . Hướng dẫn giải A. Hai mặt phẳng và song song với nhau. ĐÚNG B. Khoảng cách điểm đến mặt phẳng bằng . SAI C. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng . ĐÚNG D. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng và bằng . SAI Hai mặt phẳng và song song với nhau. Trong mặt phẳng ta chọn điểm . Tính khoảng cách từ đến ta có: . Vậy . 3. Dạng toán: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng khi biết một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương 3.1. Phương pháp tư duy 1. Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và biết một vectơ pháp tuyến Trong không gian Oxyz, phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm và có vectơ pháp tuyến là: hay với
Chú ý: Phải nắm vững khái niệm vectơ pháp tuyến và vectơ chỉ phương của mặt phẳng. + Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ có giá vuông góc với mặt phẳng đó. Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì cũng là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó. + Vectơ vectơ chỉ phương của mặt phẳng là vectơ có giá song song với mặt phẳng đó. Nếu là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng thì cũng là một vectơ chỉ phương của mặt phẳng đó. Mặt phẳng có cặp vectơ chỉ phương ( không cùng phương) thì mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng thì có cặp vectơ chỉ phương nên mặt phẳng có vectơ pháp tuyến . Dựa vào tính chất vuông góc, song song giữa mặt phẳng với mặt phẳng, giữa đường thẳng với mặt phẳng trong không gian để tìm vectơ chỉ phương, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cần lập. + Hai mặt phẳng song song thì có cùng vectơ pháp tuyến. + Hai mặt phẳng vuông góc thì vectơ chỉ phương của mặt phẳng này là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng kia. + Đường thẳng song song mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ chỉ phương của mặt phẳng. + Đường thẳng vuông góc mặt phẳng thì vectơ chỉ phương của đường
thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. 2. Các trường hợp đặc biệt của mặt phẳng a. Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Mặt phẳng không đi qua gốc tọa độ và lần lượt cắt trục tại , cắt trục tại , cắt trục tại có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là: . với a. Phương trình mặt phẳng đặc biệt Xét phương trình mặt phẳng với Nếu thì mặt phẳng đi qua gốc tọa độ và có dạng . Nếu thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục . + Mặt phẳng song song thì có dạng . (Hình 1)
+ Mặt phẳng chứa trục thì có dạng . Nếu thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục . + Mặt phẳng song song thì có dạng . (Hình 2) + Mặt phẳng chứa trục thì có dạng . Nếu thì mặt phẳng song song hoặc chứa trục . + Mặt phẳng song song thì có dạng . (Hình 3) + Mặt phẳng chứa trục thì có dạng . Nếu thì mặt phẳng song song hoặc trùng với . + Mặt phẳng song song thì có dạng . (Hình 4) + Mặt phẳng chứa trục thì có dạng . Nếu thì mặt phẳng song song hoặc trùng với . + Mặt phẳng song song thì có dạng . (Hình 5) + Mặt phẳng chứa trục thì có dạng . Nếu thì mặt phẳng song song hoặc trùng với
. + Mặt phẳng song song thì có dạng . (Hình 6) + Mặt phẳng chứa trục thì có dạng . Nhận xét: Để nhớ các phương trình mặt phẳng đặc biệt thì lấy phương trình : làm chuẩn. + Mặt phẳng chứa gốc tọa độ thì . + Mặt phẳng chứa trục tương ứng nào ( trục ) thì ẩn đó không có (không chứa ) và . + Mặt phẳng song song trục tương ứng nào ( trục )
thì ẩn đó không có (không chứa ) và . Nếu không nhớ các phương trình mặt phẳng đặc biệt thì nhớ vectơ chỉ phương của các trục và vectơ pháp tuyến các mặt phẳng tọa độ để chuyển bài toán lập phương trình mặt phẳng khi biết một điểm và một vectơ pháp tuyến. + Trục có vectơ chỉ phương là . + Trục có vectơ chỉ phương là . + Trục có vectơ chỉ phương là . + Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . + Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . + Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến là . 3.2. Ví dụ áp dụng. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng qua A 1;1; 2 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 2 là A. x y z 2 2 1 0 . B. x y z 2 1 0 . C. x y z 2 2 7 0 . D. x y z 2 1 0 . Hướng dẫn giải Chọn A Mặt phẳng P đi qua A 1;1; 2 và có vectơ pháp tuyến n 1; 2; 2 nên có phương trình x y z x y z 1 2 1 2 2 0 2 2 1 0 . Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: x y z 2 2 1 0 . Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt phẳng Oyz ? A. y 0 B. x 0 C. y z 0 D. z 0
Hướng dẫn giải Chọn B Mặt phẳng Oyz đi qua điểm O0;0;0 và có vectơ pháp tuyến là i 1;0;0 nên ta có phương trình mặt phẳng Oyz là : 1 0 0 0 0 0 0 0 x y z x . Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , phương trình mặt phẳng Pqua và có cặp vectơ chỉ phương là A. .B. .C. .D. . Hướng dẫn giải Chọn A Ta có . Mặt phẳng P đi qua và có vectơ pháp tuyến nên có phương trình . Vậy mặt phẳng cần tìm có phương trình: . 4. Dạng toán: Viết phương trình tổng quát mặt phẳng khi biết một vectơ pháp tuyến hoặc hai vectơ chỉ phương mà không biết điểm thuộc mặt phẳng 4.1. Phương pháp tư duy Khi viết phương trình tổng quát của mặt phẳng mà có một vectơ pháp tuyến hoặc có hai vectơ chỉ phương (với ) và không tìm được điểm thì ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng dưới dạng: Bước 2: Sau đó dựa vào giả thiết bài toán để tìm giá trị .
Chú ý: Dạng này, giả thiết có liên quan đến khoảng cách và góc liên quan đến mặt phẳng. 4.2. Ví dụ áp dụng. Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ , cho mặt phẳng . Mặt phẳng nào sau đây song song với và cách một khoảng bằng 3? Mệnh đề nào sau đây đúng và mệnh đề nào sai? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn C Mặt phẳng đi qua điểm và có một vectơ pháp tuyến . Mặt phẳng song song với và cách một khoảng bằng 3 nên có dạng . Mặt khác ta có (thỏa mãn). Do đó hoặc . Ví dụ 2: Trong không gian , cho ba điểm , , . Phương trình của mặt phẳng qua và song song với mặt phẳng là A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải Chọn B Phương trình đoạn chắn của mặt phẳng là: .
Mặt phẳng song song với mặt phẳng nên . Do có: . Vậy . Ví dụ 3: Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho mặt phẳng : , mặt phẳng không qua , song song với mặt phẳng và . Phương trình mặt phẳng là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn C Vì mặt phẳng song song với mặt phẳng Phương trình mặt phẳng có dạng Gọi 5. Dạng toán: Viết phương tình tổng quát mặt phẳng khi biết điểm thuộc mặt phẳng và không biết vectơ pháp tuyến hoặc không biết hai vectơ chỉ phương 5.1. Phương pháp tư duy Khi bài toán cho biết mặt phẳng đi qua điểm và giả thiết bài toán không cho vectơ pháp tuyến hoặc không cho hai vectơ chỉ phương
thì ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là với Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng dưới dạng: : Bước 3: Sau đó dựa vào giả thiết bài toán để tìm hai phương trình chứa 3 ẩn . Chú ý: Dạng này, giả thiết có liên quan đến khoảng cách và góc liên quan đến mặt phẳng. Để giải tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đơn giản hơn thì gọi vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là . 5.2. Ví dụ áp dụng. Ví dụ 1: Trong không gian cho 3 điểm . Gọi là mặt phẳng chứa sao cho khoảng cách từ tới mặt phẳng bằng . Phương trình mặt phẳng là A. B. C. D. Hướng dẫn giải Chọn D Gọi
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!