Trang 1
§2 CÁC ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT 2.1 Định nghĩa cổ điển a/ ĐN 1. Giả sử một phép thử có n phép thử đồng khả năng, trong đó có m phép thử thuận lợi cho A → P(A) = 𝑆ố 𝑘ế𝑡 𝑐ụ𝑐 𝑡ℎ𝑢ậ𝑛 𝑙ợ𝑖 𝑐ℎ𝑜 𝐴 = 𝑚 . (1) 𝑇ổ𝑛𝑔 𝑠ố 𝑘ế𝑡 𝑐ụ𝑐 𝑛 * Ưu điểm: đơn giản và trực quan * Nhược điểm: số kết cục hữu hạn và chúng đồng khả năng. + Thí dụ 1. Hộp bi có 3 bi đỏ và 5 trắng. lấy ngẫu nhiên ra 3 bi. Tính XS: a) trong 3 bi có đúng 1 trắng; b)3 bi cùng màu. Giải: a) n = 𝐶3 = 56, m = 𝐶2.5 = 15 → XS = 15/56. 8 3 b)n = 56, m = 𝐶3 + 𝐶3 = 9 → XS = 9/56. 3 5 + Thí dụ 2. Tính XS khi gieo 4 đồng tiền xuất hiện đúng 2 sấp. Giải: n = 16 (=24), m = 𝐶2 = 6 → XS = 3/8. 4 b/ Tính chất (1) 0 ≤ P(A) ≤ 1; (2) P(V) = 0; P(U) = 1;
Trang 2
(3) Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) + P(B); (4) P(𝐴̅) = 1 – P(A). + Thí dụ 3. Một nhóm có 6 cặp nam nữ, trong đó có 3 cặp là vợ chồng. Chọn ngẫu nhiên ra 3 người. Tính XS: a) trong 3 người có ít nhất 1 nữ; b)trong 3 người không có cặp vợ chồng nào. Giải: a) Gọi A - trong 3 người có ít nhất 1 nữ → P(A) = 1 – P(𝐴̅) = 1 – 𝐶3 / 𝐶3 = 1 – 1/11 = 5/11. 6 12 b)Gọi A - trong 3 người không có cặp vợ chồng nào P(A) = 1 – P(𝐴̅) = 1 –3.10/ 𝐶3 = 1 – 3/22 = 19/22. 12 + Thí dụ 4. Cậu bé có 6 bi đỏ và 4 trắng. Một hôm cậu thấy mất 1 bi (mà không biết màu). Tính XS để lấy ngẫu nhiên ra 1 bi thì đó là bi đỏ. Giải: n = 9.10; m = 6.5 +4.6 → XS = 0,6 (chú ý thông tin không đổi thì XS không đổi!). Để khắc phục hạn chế của ĐN1 về sự hữu hạn kết cục, người ta đưa ra định nghĩa hình học của xác suất: Giả sử tập vô hạn các kết cục đồng khả năng của phép thử có thể biểu thị bởi một miền
Trang 3
hình học G, còn tập các kết cục thuận lợi cho A bởi một miền con S nào đó, S ⊆ G. Khi đó b/ ĐN 2. P(A) = Độ đ𝑜 𝑆 . (2) Độ đ𝑜 𝐺 + Thí dụ 5. Đường đây điện thoại ngầm nối tổng đài với một trạm dài 1 km. Tính XS để dây bị đứt tại nơi cách tổng đài không quá 100 m. Giải: Có thể coi nơi đứt dây là đồng khả năng ở một điểm bất kỳ trên toàn chiều dài của dây. Từ đó theo (2) P(A) = 100/1000 = 0,1 (chú ý sự kiện có XS = 0 vẫn có thể xảy ra!) + Thí dụ 6. (coi như bài tập) Hai người hẹn gặp nhau ở quán từ 8 giờ đến 9 giờ với quy ước ai đến trước sẽ đợi người đến sau 15 phút, sau đó bỏ đi. Tính XS hai người đó gặp được nhau, biết rằng thời điểm đến quán của mỗi người là đồng khả năng trong khoảng thời gian nói trên. 2.1 Định nghĩa thống kê (theo tần suất)
Trang 4
Điều kiện ĐN cổ điển của XS rất khó được đảm bảo, vì vậy tính khả thi của nó rất hạn chế. Người ta tiến hành loạt n phép thử cùng loại và nếu sự kiện A nào đó xuất hiện trong m phép thử thì tỷ số m/n được gọi là tần suất xuất hiện A. Trên cơ sở quan sát khi n đủ lớn người ta thấy tần suất này rất ổn định, thay đổi ít và dao động xung quanh một hằng số nào đó. Từ đó có thể cho rằng hằng số đó là một xấp xỉ tốt cho XS khi số phép thử tăng cao. Nhưng do hằng số đó chưa biết, nên trong thực tế người ta lấy ngay tần suất đó làm XS xuất hiện sự kiện. Cách tiếp cận như vậy được gọi là định nghĩa thống kê của XS (về mặt toán học có thể hiểu như là giới hạn của tần suất khi số phép thử tăng vô hạn) và có tính thực tiễn cao. Có thể tham khảo hai trường hợp cổ điển sau đây. Đầu tiên là tần suất xuất hiện mặt sấp khi gieo một đồng tiền nhiều lần Người thí nghiệm Số lần gieo Số lần sấp Tần suất Buýt-phông 4040 2048 0,5080 Piếc-xơn 12000 6019 0,5016 Piếc-xơn 24000 12012 0,5005
Trang 5
Một thí dụ khác khi xác định XS phân rã của một nguyên tử chất phóng xạ Ra sau 100 năm là 0,04184 (độ chính xác tới 5 chữ số sau dấu phảy), số lượng nguyên tử tham gia thí nghiệm rất lớn (cỡ 1023 – 1024). 2.3 Định nghĩa tiên đề Xét không gian các sự kiện sơ cấp và xác định hệ thống A các tập con của , các phần tử của A được coi là các sự kiện ngẫu nhiên. Yêu cầu A là đại số Bull (i) A chứa ; (ii) Nếu A và B ∈ A, thì 𝐴̅, 𝐵̅ , A+B, AB ∈ A. Khi có thêm điều kiện (iii) Nếu A1, A2, …, An, … ∈ A, thì A1+A2+… +An+… và A1A2… An… cũng ∈ A, thì ta có một trường Borell hay 𝜎 − đại số. Định nghĩa. Ta gọi xác suất trên (,A) là một hàm số xác định trên A có giá trị trong [0, 1] và thoả mãn 3 tiên đề: (T1) P() = 1; (T2) P(A+B) = P(A) +P(B), A, B xung khắc;
Trang 6
(T3) Nếu dãy {An} có tính chất Aj ⇒Ai, ∀ i ≤ j và A1A2… An… = V, thì P(An) → 0 khi n → ∞. Tuy nhiên cách chọn XS theo định nghĩa trên không duy nhất! Có thể thay thế tiên đề 2 và 3 bằng tiên đề công mở rộng (T+) Nếu dãy {An} có tính chất xung khắc từng đôi và 𝐴 = ∑∞ 𝐴 ∈ A, thì 𝑛=1 𝑛 P(A) = P(A ) + P(A ) +...+ P(A ) +… = ∑∞ 𝑃(𝐴 ). 1 2 n 𝑛=1 𝑛 • P(.) là độ đo không âm, trực chuẩn, cộng tính. • Tổ hợp {, A, P} thường được gọi là không gian xác suất. TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Barnes J. W. Statistical analysis for engineers and scientists. McGraw – Hill, 2008. 2. Monfort A. Cours de statistique mathématique. Economica, Paris, 1982. 3. Tống Đình Quỳ. Giáo trình xác suất thống kê. NXB Bách khoa Hà Nội, 2018 (tái bản). BÀI TẬP
Trang 7
1. Một lô hàng có 18 sản phẩm, trong đó có 12 sản phẩm loại A, 5 loại B và 1 loại C. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. Tính XS để trong 3 sản phẩm đó: a) có 2 loại A và 1 loại B; b) có ít nhất 1 sản phẩm loại A; c) có cả 3 loại sản phẩm. 2. Một khách sạn có 5 phòng đơn, trong khi đó có 8 khách đến thuê phòng (5 nam, 3 nữ). Chọn ngẫu nhiên 5 người, tính xác suất để trong đó: a) có 3 nam, 2 nữ; b)cả 5 người cùng giới; c) có ít nhất 1 nữ. 3. Một công ty cần tuyển 2 nhân viên. Có 6 người đến thi tuyển, trong đó có 4 nữ và 2 nam (giả sử khả năng được tuyển của mỗi người là như nhau). a) Trong 4 nữ có một cô tên Hoa, tính xác suất để Hoa được chọn. b) Tính xác suất để có 2 nữ đươc chọn. 4. Đội A và đội B đều có 3 người cùng tham gia một cuộc thi chạy, giả sử khả năng mỗi người là như nhau. Tính xác suất để 3 người đội A về nhất, nhì, ba. 5. Trong tuần ở một thành phố có 7 tai nạn giao thông. Tính xác suất để mỗi ngày trong tuần có đúng 1 tai nạn. 6. Ở một vùng có 40% thích xem bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 12 người. Tính xác suất để trong đó có đúng 5 người thích xem bóng đá. 7. Trong ga có một đoàn tầu 4 toa. 4 hành khách lên tầu, mỗi người chọn ngẫu nhiên một toa. Tính xác suất trong đó: a) trong 1 toa có 3 người, 1 toa có 1 người; b)1 toa có ít nhất 2 người; c) toa thứ nhất có đúng 3 người lên.
Trang 8
8. Chọn ngẫu nhiên một vé số có 5 chữ số. Tính xác suất: a) trong số của vé không có chữ số 1 và không có chữ số 5; b)trong số vé có chữ số 5 và chữ số chẵn. 9. Xếp ngẫu nhiên 5 người ngồi quanh một chiếc bàn tròn 5 ghế. a) Tính xác suất để 2 người định trước được ngồi cạnh nhau. b)Tính như vậy cho trường hợp bàn dài. 10. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 chiếc phong bì đã ghi địa chỉ. Tính xác suất để ít nhất có một lá thư bỏ đúng phong bì của nó. 11. Ba nữ nhân viên phục vụ A, B và C thay nhau rửa đĩa chén và giả sử ba người “khéo léo” như nhau. Trong một tháng có 4 chén bị vỡ. Tính xác suất để: a) A đánh vỡ 3 chén và B đánh vỡ 1 chén; b)một trong 3 người đánh vỡ 3 chén; c) một trong 3 người đánh vỡ cả 4 chén. 12. Xếp ngẫu nhiên 8 quyển sách vào 2 ngăn kéo. Tính xác suất: a) ngăn kéo nào cũng có sách; b)ngăn kéo thứ nhất có 2 quyển sách, còn ngăn thứ hai có 6 quyển.
Trang 9
§3 CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUẤT 3.1 Xác suất có điều kiện a/ Khái niệm. Thực ra mọi XS P(A) đều là XS có điều kiện (phép thử). Tuy nhiên nếu có thêm điều kiện khác, chẳng hạn B, thì ta có khái niệm mới: xác suất của A với điều kiện B, ký hiệu là P(A|B) và gọi chung là xác suất có điều kiện. Bằng trực giác dễ thấy P(A|B) tỷ lệ với P(AB), tức là P(A|B) = k P(AB), k là một hằng số > 0. Nếu đặt A = B, ta có P(B|B) = 1 và k P(A|B) =1. Từ đó * ĐN 1. Giả sử trong một phép thử ta có P(B) > 0, khi đó g(hi) P(A|B) = . (1) g(i) Để ý rằng nói chung P(A|B) ≠ P(A) và XS có điều kiện có các tính chất như các XS không điều kiện. Ta cũng có thể tính P(A|B) bằng cách dùng ĐN cổ điển trong bộ điều kiện mới. Thí dụ 1. Gieo một con xúc xắc. Ký hiệu A – xuất hiện mặt lục, B – xuất hiện mặt chẵn, tính P(A|B). Giải: Do có điều kiện B, ta tưởng tượng gieo con xúc xắc chỉ có 3 mặt đồng khả năng (mặt có số chấm chẵn). Từ đó dùng ĐN cổ điển
Trang 10
ở tiết trước ta có P(A|B) = 1/3. Mặt khác dễ thấy P(A) = 1/6, P(B) = 1/2 và do AB = A, từ đó theo ĐN (1) ở trên g(h) g(h) P(A|B) = = 1/3; P(B|A) = = 1. g(i) g(h) Thí dụ 2. Rút lần lượt 2 con bài từ bộ bài tú lơ khơ 52 con. Tính XS con bài thứ hai là át, biết rằng con thứ nhất cũng là át. Giải: Nếu ký hiệu Ak – sự kiện con bài thứ k là át, k = 1;2, dễ dàng tính được P(A2|A1) = 3/51 = 1/17, tương đương với sự kiện nếu biết A1, việc tính XS có điều kiện đưa về tính trường hợp chỉ còn 51 con bài với 3 con át trong đó. * ĐN 2. Ta nói rằng A và B độc lập (độc lập thống kê), nếu P(A|𝐵) = P(A) hoặc P(B|A) = P(B). (2) Như vậy nếu A, B độc lập thì việc có sự kiện này không làm thay đổi XS của sự kiện kia. Tuy nhiên việc tính các XS trong (2) thực tiễn rất khó, thậm chí là không thể, vì vậy trên thực tế ta phải thừa nhận nhiều sự kiện độc lập trong các bài tập sau này. Chú ý: - Độc lập là khái niệm tương hỗ.
Trang 11
- Kết quả bắn của hai xạ thủ được coi là độc lập, thậm chí kết quả bắn của hai lần bắn khác nhau của cùng một xạ thủ cũng được coi là độc lập v.v… - Nếu cặp (A, B) gồm 2 sự kiện độc lập thì ta có 3 cặp các sự kiện độc lập là (A, 𝐵); (B, 𝐴) và (𝐴, 𝐵). Biểu thức tương đương với (2), có để ý đến (1) là, nếu A, B độc lập P(AB) = P(A)P(B). (3) * ĐN 3. Ta nói bộ sự kiện A1, A2, …, An độc lập trong tổng thể nếu 𝑃(𝐴 , 𝐴 ,…,𝐴 ) = 𝑃(𝐴 )𝑃(𝐴 )…𝑃(𝐴 ) (4) với mọi dãy {i1, i2, …, ik} gồm các số nguyên khác nhau lấy từ tập {1, 2, …, n} và k = 2, 3, …, n. Thí dụ 3. Gieo 2 lần một đồng tiền và ta có 4 kết cục đồng khả năng 𝛺 = {SS, SN, NS, NN}. Các sự kiện A =SS+SN, B = SS+NS, C = SS+NN độc lập từng đôi vì P(A) = P(B) = P(C) = 1/2, còn P(AB) = P(BC) = P(AC) = 1/4 thoả mãn (3). Tuy nhiên chúng không độc lập tổng thể do (4) không được thoả mãn
Trang 12
P(ABC) = 1/4 ≠ P(A)P(B)P(C) = 1/8. Rõ ràng tính độc lập tổng thể kéo theo độc lập từng đôi (do (3) là trường hợp riêng của (4) với k = 2), nhưng ngược lại nói chung không đúng. 3.2 Công thức cộng và nhân xác suất 1/ Công thức nhân xác suất P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|𝐵). (5) Kết quả này được suy ra trực tiếp từ (1). Còn từ (5) có thể dẫn ra các hệ quả quan trọng: (i) Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A)P(B) (xem (3)) (ii) Mở rộng cho tích n sự kiện P(A1A2…An) = P(A1)P(A2|A1)…P(An|A1A2…An-1). (6) Trường hợp n = 3 P(ABC) = P(A)P(B|A)P(C|𝐴𝐵). (iii) Nếu A1, A2, …, An độc lập trong tổng thể, thì 𝑃 ¢ 𝐴 = ¢ 𝑃(𝐴 ). £¤ £¤
Trang 13
2/ Công thức cộng xác suất P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB). (7) Công thức (6) có thể được minh hoạ dễ dàng bằng sơ đồ Venn và là cơ sở để dẫn ra các hệ quả sau: (i) Nếu A, B xung khắc thì P(A + B) = P(A) + P(B). (ii)Mở rộng cho tổng n sự kiện P( ¢£¤ 𝐴) = ¢£¤ 𝑃(𝐴) − ¨§ 𝑃(𝐴𝐴§) + 𝑃(𝐴 𝐴 𝐴 ) − … + (−1)¢ª¤ P(A A …A ). (8) ¨§¨© § © 1 2 n Trường hợp n = 3 P(A + B + C) = P(A) + P(B) + P(C) − P(AB) − P(AC) − P(BC) + P(ABC). (iii) Nếu A1, A2, …, An xung khắc từng đôi, thì P( ¢£¤ 𝐴) = ¢£¤ 𝑃(𝐴). Các công thức (5)-(8) cho ta công cụ hiệu quả để tính XS các sự kiện phức tạp qua XS các sự kiện đơn giản hơn. Thí dụ 4. Hai cọc bài được lấy từ một bộ bài tú lơ khơ, cọc bài thứ nhất gồm 4 con át, cọc thứ hai gồm 4 con ka. Rút ngẫu nhiên từ mỗi cọc bài ra một con bài, tính các xác suất:
Trang 14
a) cả 2 con là cơ; b)có ít nhất 1 con cơ trong 2 con bài. Cũng các câu hỏi như vậy nhưng trong điều kiện khác: trộn 2 cọc bài thành một và từ đó rút ra 2 con bài. Giải: Đặt A – con bài thứ nhất là cơ, B – con bài thứ hai là cơ. Trong trường hợp hai cọc bài riêng rẽ, dễ thấy A, B độc lập và: a) XS cầi tìm là P(AB), dùng (3) ta có ¤ ¤ ¤ P(AB) = P(A)P(B) = . = . ® ® ¤¯ b)Sự kiện ta quan tâm là P(A + B), theo (7) ¤ ¤ ¤ ° P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + − = . ® ® ¤¯ ¤¯ Trong trường hợp hai cọc bài trộn thành một, ta vẫn dùng các sự kiện A, B; tuy nhiên chúng không còn độc lập, mặc dù XS P(A) = P(B) = 2/8 = 1/4 do vai trò hai con bài ngang nhau. Từ đó: a) Dùng công thức (5) ¤ ¤ ¤ P(AB) = P(A)P(B|A) = . = . ® ° ±² b) Một lần nữa theo (7)
Trang 15
¤ ¤ 1 ¤´ P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) = + −28 = . ® ® ±² Tất nhiên trong trường hợp này ta có thể dùng định nghĩa cổ điển để tính các XS tương ứng. Thí dụ 5. Ba xe ô tô của một công ty có XS sự cố trong tháng tương ứng là 0,05; 0,02 và 0,1. Tính các XS: a) có đúng 2 xe bị sự cố trong tháng; b)có ít nhất 1 xe không bị sự cố trong tháng. Giải: Đặt Ak là sự kiện xe thứ k bị sự cố trong tháng (k = 1, 2, 3) và P(A1) = 0,05; P(A2) = 0,02; P(A3) = 0,1. a) Nếu gọi A là sự kiện có đúng 2 xe bị sự cố trong tháng 𝐴 = 𝐴¤𝐴±𝐴´ + 𝐴¤𝐴±𝐴´ + 𝐴¤𝐴±𝐴´. Dùng tính xung khắc của ba số hạng và tính độc lập của các thừa số trong các số hạng tích, ta có 𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴¤ 𝑃 𝐴± 𝑃 𝐴´ + 𝑃(𝐴¤)𝑃(𝐴±)𝑃(𝐴´) + 𝑃(𝐴¤)𝑃(𝐴±)𝑃(𝐴´) = 0,05.0,02.(1– 0,1) + 0,05.(1–0,02).0,1 + (1– 0,05).0,02.0,1 = 0,0077. b)Nếu gọi B - sự kiện có ít nhất 1 xe không bị sự cố trong tháng P(B) = 1 − P(𝐵) = 1 − P(A1A2A3)
Trang 16
= 1 − 0,05.0,02.0,1 = 0,9999. Thí dụ 6. Trong thời gian có dịch ở một vùng cứ 100 người mắc dịch thì có 10 người phải cấp cứu. XS gặp một người bị cấp cứu vì mắc dịch ở vùng đó là 0,06. Tìm tỷ lệ mắc bệnh dịch của vùng đó. Giải: Đặt A – gặp người mắc dịch, B – gặp người bị cấp cứu và ta phải tìm P(A). Từ đầu bài ta có P(B|A) = 10/100 = 0,1; P(AB) = 0,06. Theo (1) P(B|A) = P(AB)/P(A), từ đó suy ra P(A) = P(AB)/P(B|A) = 0,06/0,1 = 0,6. Thí dụ 7. XS trúng đích của mỗi lần bắn là 0,4. Hỏi cần bắn bao nhiêu phát để XS có ít nhất một viên trúng sẽ lớn hơn 0,95? Giải: Gọi số lần bắn thoả mãn yêu cầu của bài toán là n. Đặt A là sự kiện có ít nhất 1 lần bắn trúng và dễ thấy P(A) = 1−P(𝐴) = 1 − (1 − 0,4)n . Theo yêu cầu đầu bài P(A) > 0,95, suy ra »¢¼,¼½ 1 − 0,6n > 0,95 ⇒ 0,6n < 0,05 ⇒ n > ≈ 5,8647 »¢¼,¯ ⇒ n > 6. Thí dụ 8. Theo thống kê xác suất để hai ngày liên tiếp có mưa ở một thành phố vào mùa hè là 0,5; còn không mưa là 0,3. Biết các
Trang 17
sự kiện có một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng. Tính XS để ngày thứ hai có mưa, biết rằng ngày đầu không mưa. Giải: Đặt A1 – ngày thứ nhất có mưa, A2 – ngày thứ hai có mưa; theo đầu bài ta có P(A1A2) = 0,5; P(𝐴1𝐴2) = 0,3; còn hai sự kiện một ngày mưa, một ngày không mưa là đồng khả năng, nên dễ dàng tính được P(A1𝐴2) = P(𝐴1A2) = 0,1. Mặt khác P(𝐴1) = P(𝐴1(A2 + 𝐴2)) = P(𝐴1A2) + P(𝐴1𝐴2) = 0,4. P(A2|𝐴1) = P(𝐴1A2)/P(𝐴1) = 1/4 = 0,25. Thí dụ 9. Một người viết n lá thư cho n người khác nhau, và bỏ ngẫu nhiên vào n phong bì đã có sẵn địa chỉ. Tìm XS để có ít nhất một lá thư được bỏ vào đúng phong bì. Giải: Đặt Ai – sự kiện lá thư thứ i được bỏ đúng phong bì (i =1, 2, …, n), A - sự kiện cần tính XS, ta có A = A1 +A2 +…+ An . Do các Ai không xung khắc, nên ta sẽ sử dụng công thức (8). Dễ thấy: ¤ ¢ª¤ ! P(Ai) = = ; ¢ ¢! ¤ ¤ ¢ª± ! P(AiAj) = P(Ai)P(Aj|Ai) = . = ; ¢ ¢ª¤ ¢!
Trang 18
¢ª´ ! P(AiAjAk) = … = ; … ¢! ¤ P(A1A2…An) = . ¢! Từ đó thay vào (8) P( ¢£¤ 𝐴) = ¢£¤ 𝑃(𝐴) − ¨§ 𝑃(𝐴𝐴§) + 𝑃(𝐴 𝐴 𝐴 ) − … + (−1)¢ª¤ P(A A …A ) ¨§¨© § © 1 2 n ¤ 𝑛−1 ! ± 𝑛−2 ! ´ 𝑛−3 ! ¢ª¤ 1 = 𝐶¢ 𝑛! − 𝐶¢ 𝑛! + 𝐶¢ 𝑛! −… + (−1) 𝑛! ¤ ¤ 1 = 1 − + − … + (−1)¢ª¤ . ±! ´! 𝑛! Khi n khá lớn XS cần tìm ≈ 1 − 1/𝑒. 3.3 Công thức Béc-nu-li (Bernoulli) Xét lược đồ Béc-nu-li: - dãy n phép thử giống nhau, độc lập; - trong mỗi phép thử có P(A) = p (đặt q = 1 − p). Ta quan tâm đến sự kiện “A xuất hiện đúng k lần trong lược đồ trên”, và XS xuất hiện sự kiện đó đượcký hiệu là 𝑃¢(𝑘). Do mỗi kết cục của phép thử (dãy Béc-nu-li) là tích của n sự kiện con A hoặc 𝐴, nên dễ dàng chứng minh được công thức Béc-nu-li
Trang 19
𝑃 (𝑘) = 𝐶©𝑝©𝑞¢ª©. (9) ¢ ¢ Công thức (9) là dạng thuận tiện để tính toán hơn so với các công thức cộng và nhân XS, vì vậy nó có ý nghĩa thực tiễn lớn. Thí dụ 10. Trong phân xưởng có 5 máy hoạt động, XS để mỗi máy bị hỏng trong ca đều bằng 0,1. Tính XS để trong ca đó có đúng 2 máy hỏng. Giải: Ta có lược đồ Béc-nu-li, với n = 5, p = 0,1 và k =2, áp dụng (9) ta có 𝑃 (2) = 𝐶±0,1±.0,9´ = 0,0729. ½ ½ Tất nhiên ta có thể giải bằng các công thức cộng và nhân XS, nhưng sẽ dài dòng hơn. Thí dụ 11. XS để chữa khỏi bệnh A bằng một loại thuốc là 0,8. Có thể kết luận cứ 5 người bị bệnh A dùng thuốc trên thì 4 người khỏi bệnh không? Giải: Ở đây ta có lược đồ Béc-nu-li với n =5, p = 0,8 và k = 4. Vậy ta có 𝑃 (4) = 𝐶®0,8®.0,2¤ = 0,4096. ½ ½
Trang 20
Từ đó kết luận trên không thể coi là đúng. Nhiều khi ta cần tính XS để trong dãy n phép thử Béc-nu-li sự kiện A xuất hiện với số lần từ k1 đến k2; dễ thấy XS cần tìm, ký hiệu là 𝑃¢(𝑘¤;𝑘±),sẽlà 𝑃 (𝑘 ;𝑘 ) = © 𝑃 (𝑘) = © 𝐶© 𝑝©𝑞¢ª©. (10) ¢ ¤ ± ©£© ¢ ©£© ¢ Nhận xét: Khi n và k khá lớn, việc tính toán XS theo (9)-(10) rất cồng kềnh và khó khăn. Vì vậy ta có thể tính xấp xỉ theo các cách sau đây: (i) Nếu n rất lớn, trong khi p rất nhỏ, XS trong (9) có thể được tính gần đúng bằng (xấp xỉ Poison) (¢Ë) 𝑃 (𝑘) ≈ 𝑒ª¢Ë. (11) ¢ ©! (ii) Nếu n rất lớn, trong khi p không quá bé và quá lớn (quá gần 1), ta có xấp xỉ chuẩn của (9) ≈ 𝜑 𝑥𝑘 ©ª¢Ë 𝑃¢ 𝑘 𝑛𝑝𝑞 , 𝑥© = , (12) ¢ËÏ trong đó 𝜑(𝑥) = ¤ 𝑒ªÑ/± là hàm Gauss. ±Ð (iii) Nếu n rất lớn, trong khi p không quá bé và quá lớn, thì XS
Hiển thị 20 trang đầu. Tải tài liệu để xem đầy đủ.
Bình luận (0)
Chưa có bình luận nào. Hãy là người đầu tiên!