1 BAØI GIAÛNG MOÂN ÑAÏI SOÁ A2 (GV: Traàn Ngoïc Hoäi - 2009) CHÖÔNG 3 DAÏNG SONG TUYEÁN TÍNH DAÏNG TOAØN PHÖÔNG Trong chöông naøy kyù hieäu K ñeå chæ tröôøng soá thuïc R hay tröôøng soá phöùc C. §1. KHAÙI NIEÄM VEÀ DAÏNG SONG TUYEÁN TÍNH VAØ DAÏNG TOAØN PHÖÔNG 1.1. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô treân K. Moät daïng song tuyeán tính treân V laø moät aùnh xaï f: V V K (u, v) f (u, v) × → 6 coù tính chaát tuyeán tính theo töøng bieán u, v, nghóa laø vôùi moïi u, u1, u2, v, v1, v2 ∈ V vaø α, β ∈ K ta coù 1) f(αu1 + u2,v) = αf(u1,v) + f(u2,v); 2) f(u,βv1 + v2) = βf(u,v1) + f(u,v2). Daïng song tuyeán tính f ñöôïc goïi laø ñoái xöùng neáu f(u,v) = f(v,u) vôùi moïi u, v ∈V. 1.2. Ví duï. 1) Vôùi moãi u = (x1,...,xn), v = (y1,...,yn) ∈ n \ , ñaët f(u,v) = x1y1 + ...+ xnyn Khi ñoù f laø moät daïng song tuyeán tính treân \ n . 2) Moät tích voâ höôùng treân khoâng gian Euclide V laø moät daïng song tuyeán tính treân V. 2 1.3. Ma traän cuûa daïng song tuyeán tính Giaû söû B = (u1, … , un) laø moät cô sôû cuûa V treân K. Ma traän cu ûa daïng song tuyeán tính f trong cô sôû B, kyù hieäu [f]B, laø ma traän A = (aij)n×n, trong ñoù aij = f(ui,uj) vôùi moïi 1 ≤ i, j ≤ n. Vôùi moïi u = x1u1+ ...+ xnun , v = y1u1+ ...+ ynun thuoäc V ta coù n n nn nn i i j j i j i j ij i j i 1 j 1 i 1j 1 i 1j 1 f (u, v) f ( x u , y u ) f (u , u )x y a x y (1) = = == == === ∑ ∑ ∑∑ ∑∑ Ñaûo laïi, (1) xaùc ñònh daïng song tuyeán tính f treân V coù ma traän trong cô sôû B laø A = (aij)n×n. Chuù yù raèng (1) coøn ñöôïc vieát döôùi daïng ( ) 11 1n 1 T 1 n n1 nn n a ... a y f (u, v) x ... x ... ... ... ... [u] [f ] [v] . a ... a y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ = = ⎝ ⎠⎝ ⎠ B B B Vaäy T ∀∈ = u, v V, f (u, v) [u] [f ] [v] B B B (1′) Ta goïi (1) vaø (1′) laø bieåu thöùc toaï ñoä cuûa daïng song tuyeán tính f trong cô sôû B. 1.4. Nhaän xeùt. 1) Vôùi cô sôû B = (u1, … , un) cho tröôùc, daïng song tuyeán tính f ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi ma traän [f]B. 2) Daïng song tuyeán tính f treân V laø ñoái xöùng khi vaø chæ khi [f]B laø ma traän ñoái xöùng. 1.5. Daïng song tuyeán tính treân Kn Xeùt V = Kn vôùi cô sôû chính taéc B0 = (e1, … , en). Ñaët A = [f ]B0 = (aij)n×n. Khi ñoù vôùi moïi u = (x1, ...,xn), v = (y1, ...,yn) thuoäc Kn ta coù n n ij i j i 1j 1 f (u, v) a x y (2) = = = ∑∑ Ñaûo laïi, (2) xaùc ñònh daïng song tuyeán tính f treân Kn coù ma traän trong cô sôû chính taéc laø A = (aij)n×n. Ñeå ñôn giaûn, trong tröôøng hôïp naøy ta goïi A laø ma traän cuûa f vaø (2) laø bieåu thöùc cuûa f. 1.6. Ví duï. Xeùt daïng song tuyeán tính f treân 3 \ ñònh bôûi: Vôùi moïi u = (x1,x2,x3), v = (y1,y2,y3), = − −+ 11 12 13 21 22 23 31 32 f (u, v) x y + 2x y 4x y + x y x y 3x y + x y + 9x y . Ma traän cuûa f laø 3 124 A 113 190 ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ . 1.7. Ñònh nghóa. Cho V laø moät khoâng gian veùctô höõu haïn chieàu treân K vaø f laø moät daïng song tuyeán tính ñoái xö ùng treân V. Khi ñoù aùnh xaï Q: V K u f (u, u) → 6 ñöôïc goïi laø da ïng toaøn phöông treân V öùng vôùi daïng song tuyeán tính ñoái xö ùng f. Ta cuõng noùi f laø daïng cöïc cuûa daïng toaøn phöông Q. Ñeå ñôn giaûn, ta goïi moät daïng toaøn phöông treân khoâng gian veùctô thöïc (t.ö. phöùc) laø moät daïng toaøn phöông thöïc (t.ö. phöùc). Moät daïng toaøn phöông treân Kn (t.ö. Rn , Cn ) coøn ñöôïc goïi laø moät daïng toaøn phöông n bieán treân K (t.ö. n bieán thöïc, n bieán phöùc). Daïng cöïc f cuûa daïng toaøn phöông Q ñöôïc hoaøn toaøn xaùc ñònh bôûi Q. Thaät vaäy, f(u+v,u+v) = f(u,u) + f(u,v) + f(v,u) + f(v,v) = f(u,u) + 2f(u,v) + f(v,v). Suy ra 1 f (u, v) [Q(u v) Q(u) Q(v)] 2 = +− − . 1.8. Bieåu thöùc vaø Ma traän cuûa daïng toaøn phöông Giaû söû Q laø moät daïng toaøn phöông treân V öùng vôùi daïng song tuyeán tính ñoái xöùng f. Vôùi B laø moät cô sôû baát kyø cu ûa V, ma traän [f]B cuõng ñöôïc goïi laø ma traän cu ûa daïng toaøn phöông Q trong cô sôû B, kyù hieäu laø [Q]B. Nhaän xeùt raèng vì f ñoái xöùng neân ma traän cuûa daïng toaøn phöông Q trong moät cô sôû baát kyø luoân luoân laø moät ma traän ñoái xöùng. Do 1.3,