1쪽
MỤC LỤC Chương 1 . Tập hợp và lý thuyết số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các phép toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Lớp tập hợp và dãy tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Khái niệm tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Các tính chất cơ bản của tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Giới hạn trên và giới hạn dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2 . Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Đại số và σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Định lý thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Độ đo Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Độ đo Lebesgue trong không gian Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 Độ đo Lebesgue-Stieltjes trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3 . Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Tích phân Lebesgue của hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i
2쪽
ii G MỤC LỤC 3.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Định nghĩa và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Hàm số tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Tích phân Lebesgue của hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 Tính chất cộng tính của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Tích phân Lebesgue của hàm đo được bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.2 Các tính chất cơ bản của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.3 Các định lý về giới hạn của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Chương 4 . Tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1 Các khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Khái niệm tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2 Hàm số có biến phân bị chặn và hàm số liên tục tuyệt đối . . . . . . 81 4.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm khả tích Stieltjes . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Liên hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . 88 4.3 Độ đo tích và định lý Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Chương 5 . Không gian Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 5.1 Khái niệm Metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 5.1.2 Các ví dụ về không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1.3 Sự hội tụ trong không gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 5.2 Tập Đóng và Tập Mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.1 Tập mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 5.2.2 Tập đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.2.3 Tập trù mật. Không gian tách được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3 Không gian Đầy đủ và Không gian Compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.1 Không gian đủ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.2 Không gian metric compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4 Hàm số Liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.1 Định nghĩa và tính chất của hàm số liên tục . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.2 Hàm liên tục trên một tập compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3쪽
MỤC LỤC G iii Chương 6 . Không gian các hàm khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1 Không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.1 Không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 6.1.2 Khái niệm không gian tuyến tính định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 124 6.1.3 Sự hội tụ trong không gian vectơ định chuẩn . . . . . . . . . . . . . 126 6.2 Không gian các hàm có luỹ thừa bậc p khả tích . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.1 Các bất đẳng thức cho tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 6.2.2 Không gian Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 6.3 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3.1 Khái niệm và các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 6.3.2 Toán tử tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 6.3.3 Không gian các toán tử L(X,Y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 6.3.4 Phiếm hàm tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
5쪽
CHƯƠNG 1 TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC § 1. TẬP HỢP 1/1.1 Khái niệm và ký hiệu Tập hợp là một khái niệm cơ bản của toán học. Một cách trực quan, ta có thể hiểu tập hợp là một nhóm các đối tượng bất kỳ. Thông thường tập hợp được gọi tắt là "tập”. Ta thường sử dụng các chữ cái in ký hiệu cho tập hợp: A, B, X,Y, . . .. Nếu một đối tượng x là phần tử của tập X, ta thường ký hiệu x ∈ X và đọc là x thuộc X. Tập không có phần tử nào gọi là tập rỗng, và được ký hiệu là ∅. Một tập hợp A được gọi là bị chứa trong X hoặc là tập con của X, ta ký hiệu A ⊆ X hoặc X ⊇ A khi và chỉ khi tất cả các phần tử của A đều là phần tử của X. Ký hiệu A = B có nghĩa là A ⊆ B và B ⊆ A. Khi đó, ta nói A và B là hai tập bằng nhau. Phương pháp chính để xác định một tập hợp là chỉ ra điều kiện mà các phần tử thuộc tập đó thỏa mãn. Ký hiệu {x : P} có nghĩa đây là tập hợp của tất cả x thỏa mãn tính chất P. Ví dụ, {x : (x − 4)2 = 4} = {2, 6} = {6, 2}. Tuy nhiên, việc định nghĩa tập hợp qua điều kiện có thể dẫn tới những mâu thuẫn. Ví dụ, lấy R = {X : X ̸∈ X}. Khi đó R ∈/ R suy ra R ∈ R và ngược lại (nghịch lý của Bertrand Russell). Chúng ta quy ước chung là dấu gạch chéo trên một ký hiệu có nghĩa là "không", chẳng hạn a ̸= b, có nghĩa "a không bằng b", ký tự "̸∈" có nghĩa "không phải là một phần tử của". Như vậy x ∈/ A có nghĩa x không phải là một phần tử của A, như 3 ̸∈ {1, 2}. Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y, tích Des Cartes của chúng, ký hiệu X × Y là tập hợp 1
6쪽
2 G 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC của tất cả các cặp có thứ tự (x,y) với x thuộc X và y thuộc Y. Ta hiểu khái niệm cặp có thứ tự theo nghĩa: (x,y) = (x′,y′) nếu và chỉ nếu x = x′,y = y′. X × Y = {(x,y) : x ∈ X,y ∈ Y}. Ví dụ 1.1. Với X = {x,y,z},Y = (a,b), ta có X × Y = {(x, a),(x,b),(y, a),(y,b),(z, a),(z,b)}; Y × X = {(a, x),(b, x),(a,y),(b,y),(a,z),(b,z)}. Tích Des Cartes của n tập hợp được định nghĩa và ký hiệu tương tự. Một ví dụ cơ bản của tích Des Cartes là R × R, được ký hiệu là R2, còn được gọi là mặt phẳng. 1/1.2 Các phép toán tập hợp Sau đây là các phép toán thông dụng đối với tập hợp. • Phép hợp. Ta gọi hợp của A và B là tập A ∪ B = {x : x ∈ A hoặc x ∈ B}, tương tự: ∪ Ai = {x : ∃i ∈ I, x ∈ Ai}. i∈I • Phép giao. Giao hoặc tích của A và B là tập A ∩ B = {x : x ∈ A và x ∈ B}, tương tự: ∩ Ai = {x : ∀i ∈ I, x ∈ Ai}. i∈I • Phép trừ. Hiệu của A đối với B là tập A \ B = {x : x ∈ A nhưng x ∈/ B}. • Phép lấy phần bù. Phần bù của tập A là tập Ac = X \ A = {x : x ∈/ A}. • Hiệu đối xứng. Hiệu đối xứng của A và B là tập A△B = A \ B + B \ A. Các phép toán tập hợp có một số tính cơ bản sau: • Tính giao hoán: A ∪ B = B ∪ A; AB = BA; A△B = B△A. • Tính kết hợp: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);(AB)C = A(BC); A△(B△C) = (A△B)△C. • Tính phân phối: A(B ∪ C) = AB ∪ AC; A ∪ (BC) = (A ∪ B)(A ∪ C); A(B△C) = (AB)△(AC).
7쪽
1.1 Tập hợp G 3 • Công thức De Morgan: ( ∪ )c ∩ ( ∩ )c ∪ A = Ac; A = Ac. i i i i i∈I i∈I i∈I i∈I * Chú ý: (A \ B) ∪ B = A chỉ đúng khi B ⊂ A; (A ∪ B) \ B = A chỉ đúng khi A ∩ B = ∅. Ví dụ 1.2. Ta có ∪∞ ∪∞ (0, 1 − 1/n) = (0, 1 − 1/n] = (0, 1) n=1 n=1 và ∩∞ ∩∞ [1 − 1/n, 2) = (1 − 1/n, 2) = [1, 2). n=1 n=1 1/1.3 Lớp tập hợp và dãy tập hợp Tập hợp mà mỗi phần tử của nó là tập con của X được gọi là một lớp (các tập con của X). Ta dùng các chữ hoa A ,B,C, . . . để ký hiệu các lớp. Lớp gồm tất cả các tập con của X được ký hiệu là 2X: 2X = {A | A ⊂ X}. Chú ý là 2X chứa cả tập ∅ và X. Hiển nhiên nếu tập X hữu hạn gồm n phần tử thì 2X có 2n phần tử. Ví dụ 1.3. Cho tập hợp X = {1, 2, 3}. { } • A = {1},{2},{3} là lớp các tập chỉ gồm 1 phần tử trong X. { } • 2X = ∅,{1},{2},{3},{1, 2},{1, 3},{2, 3},{1, 2, 3} . ∪ Lớp C gồm các tập rời nhau được gọi là phân hoạch của tập X nếu C = X. C∈C Ví dụ 1.4. Lớp gồm các tập A = {1, 2}, B = {3, 4},C = {5} là một phân hoạch của tập X = {1, 2, 3, 4, 5}. Lớp gồm một số đếm được các tập con {An,n = 1, 2, . . . } được gọi là dãy (các tập). Ta nói dãy các tập {An} là đơn điệu tăng (giảm) và viết An ↑ (An ↓), nếu A1 ⊆ A2 ⊆ A3 ⊆ . . . (A1 ⊇ A2 ⊇ A3 ⊇ . . . ). { } Ví dụ 1.5. Với X = N = {1, 2, . . . }, khi đó B = {1},{1, 2},{1, 2, 3}, . . . là một dãy đơn điệu tăng các tập con của X.
8쪽
4 G 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC Giả sử {An} là dãy các tập con của X. Ta gọi giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy này là các tập tương ứng sau đây: ∩∞ ∪∞ lim An = lim sup An = Ak, n=1 k=n ∪∞ ∩∞ lim An = lim inf An = Ak. n=1 k=n Nếu giới hạn trên và giới hạn dưới của dãy {An} bằng nhau thì ta nói dãy {An} có giới hạn và viết: lim An = lim sup An = lim inf An. Có thể thấy rằng ∪∞ ∩∞ lim An = An nếu An ↑; lim An = An nếu An ↓ . n=1 n=1 ∩∞ ∪∞ Nếu An ↓ và n=1 An = A thì ta viết An ↓ A. Nếu An ↑ và n=1 An = A thì ta viết An ↑ A. Ví dụ 1.6. Với A, B là các tập cho trước, xét dãy An = A nếu n lẻ và An = B nếu n chẵn. Ta có lim An = A ∪ B; lim An = A ∩ B. § 2. TẬP HỢP SỐ THỰC 1/2.1 Khái niệm tập hợp số thực 1.1 Định nghĩa. Tập hợp số thực R là tập hợp các phần tử x,y,z, . . . trên đó có hai phép toán cộng, nhân và quan hệ thứ tự thoả mãn các tiên đề dưới đây, gọi là hệ các tiên đề về số thực. (I) CÁC TIÊN ĐỀ ĐỐI VỚI PHÉP CỘNG Phép toán + : R × R → R, (phép cộng) được định nghĩa bằng cách gán mỗi cặp có thứ tự (x,y) gồm hai phần tử x,y thuộc R với một phần tử x + y ∈ R nào đó, được gọi là tổng của x và y. Phép toán này phải thoả mãn các điều kiện sau: 1+. Tồn tại phần tử trung hòa hoặc đồng nhất 0 (đọc là không) sao cho x + 0 = 0 + x = x, ∀x ∈ R.
9쪽
1.2 Tập hợp số thực G 5 2+. Với mọi phần tử x ∈ R tồn tại một phần tử −x ∈ R được gọi là đối của x sao cho x + (−x) = (−x) + x = 0. 3+. Phép cộng có tính kết hợp, tức là biểu thức x + (y + z) = (x + y) + z,∀x,y,z ∈ R. 4+. Phép cộng là giao hoán, nghĩa là x + y = y + x, ∀x,y ∈ R. (II) CÁC TIÊN ĐỀ ĐỐI VỚI PHÉP NHÂN Một phép toán • : R × R → R, (phép nhân) được định nghĩa bằng cách gán mỗi cặp có thứ tự (x,y) gồm hai phần tử x,y thuộc R với một phần tử x · y ∈ R nào đó, được gọi là tích của x và y. Phép toán này phải thoả mãn các điều kiện sau: 1•. Tồn tại phần tử trung hòa hoặc đồng nhất 1 ∈ R \ {0} (gọi là phần tử một) sao cho x · 1 = 1 · x = x,∀x ∈ R. 2 . Với mọi phần tử x ∈ R \ {0} tồn tại một phần tử x−1 ∈ R được gọi là phần tử nghịch đảo • của x sao cho x · x−1 = x−1 · x = 1. 3•. Phép nhân • có tính kết hợp, nghĩa là x · (y · z) = (x · y) · z,∀x,y,z ∈ R. 4•. Phép nhân • có tính giao hoán, nghĩa là x · y = y · x,∀x,y ∈ R (I, II) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CỘNG VÀ PHÉP NHÂN Phép nhân có tính phân phối đối với phép cộng, nghĩa là (x + y) · z = x · z + y · z với mọi x,y,z ∈ R. Lưu ý là do tính giao hoán của phép nhân, đẳng thức này vẫn đúng nếu thứ tự các nhân tử được hoán đổi ở mỗi vế. (III) CÁC TIÊN ĐỀ THỨ TỰ Giữa các phần tử của R tồn tại một quan hệ ≤, nghĩa là với các phần tử x,y ∈ R có thể xác định xem liệu x ≤ y hoặc không. Ở đây các điều kiện sau phải đúng:
10쪽
6 G 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC 1≤. ∀x ∈ R (x ≤ x). 2≤. (x ≤ y) ∧ (y ≤ x) ⇒ (x = y). 3≤. (x ≤ y) ∧ (y ≤ z) ⇒ (x ≤ z). 4≤. ∀x ∈ R,∀y ∈ R(x ≤ y) ∨ (y ≤ x). Quan hệ ≤ trên R được gọi là không bằng nhau (bất đẳng thức). Một tập trên đó tồn tại một quan hệ giữa các cặp phần tử thoả mãn các tiên đề 1≤, 2≤, và 3≤, như ta biết, được gọi là được sắp từng phần. Nếu có thêm tiên đề 4≤, nghĩa là có thể so sánh hai phần tử bất kỳ, tập hợp là được sắp tuyến tính. Do đó tập các số thực được sắp tuyến tính do quan hệ không bằng nhau giữa các phần tử. (I, III) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CỘNG VÀ THỨ TỰ TRÊN R Nếu x,y,z là các phần tử thuộc R, thì (x ≤ y) ⇒ (x + z ≤ y + z). (II, III) LIÊN HỆ GIỮA PHÉP NHÂN VÀ THỨ TỰ TRÊN R Nếu x và y là các phần tử thuộc R, thì (0 ≤ x) ∧ (0 ≤ y) ⇒ (0 ≤ x · y). (IV) TIÊN ĐỀ VỀ CẬN TRÊN Mọi tập A ⊂ R, A ̸= ∅ bị chặn trên có cận trên đúng. Trên đây, ta đề cập đến khái niệm tập bị chặn trên. Khái niệm tập bị chặn được định nghĩa như sau (các quan hệ <,≥,> được hiểu theo nghĩa thông thường). 1.2 Định nghĩa. Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn trên nếu tồn tại z ∈ R sao cho x ≤ z với mọi x ∈ A; phần tử z như thế được gọi là cận trên của tập A. Ta nói rằng tập A ⊂ R bị chặn dưới nếu tồn tại z ∈ R sao cho x ≥ z với mọi x ∈ A; phần tử z như thế gọi là cận dưới của tập A. 1.3 Định nghĩa. Ta nói rằng M là phần tử lớn nhất của tập A nếu M ∈ A và x ≤ M với mọi x ∈ A. Khi đó ta viết M = max A. Tương tự ta nói m là phần tử bé nhất của tập A nếu m ∈ A và x ≥ m với mọi x ∈ A. Khi đó ta viết m = min A. 1.4 Định nghĩa. Giả sử A bị chặn trên, z được gọi là cận trên đúng của A, nếu: +) z là cận trên của A, tức là x ≤ z, ∀x ∈ A. +) z là cận trên bé nhất của A, tức là nếu y < z thì y không phải là cận trên của A. Cận trên đúng của A ký hiệu là sup A.
11쪽
1.2 Tập hợp số thực G 7 Giả sử A bị chặn dưới, z được gọi là cận dưới đúng của A, nếu: +) z là cận dưới của A, tức là x ≥ z, ∀x ∈ A. +) z là cận dưới lớn nhất của A, tức là nếu y > z thì y không phải là cận dưới của A. Cận dưới đúng của A ký hiệu là inf A. Như vậy theo định nghĩa ta có M = sup A = min{c ∈ R | ∀x ∈ A (x ≤ c)} m = inf A = max{c ∈ R | ∀x ∈ A (x ≥ c)}. Chú ý. Nếu A có phần tử lớn nhất max A thì sup A = max A. Nếu A có phần tử bé nhất min A thì inf A = min A. Ví dụ 1.7. Cho A = {1, 5, 7, 14} ⇒ sup A = max A = 14; inf A = min A = 1. Như vậy theo tiên đề về cận trên thì mọi tập A ⊂ R bị chặn trên đều có cận trên đúng và do đó mọi tập bị chặn dưới đều có cận dưới đúng. Tuy nhiên, tập A bị chặn chưa chắc có phần tử lớn nhất hoặc nhỏ nhất. Ta hãy xét ví dụ sau. Ví dụ 1.8. Cho A = {1,1/2,1/3, . . . ,1/n, . . . }. Ta có inf A = 0. Thật vậy, trước hết 0 là một cận dưới của A. Với y > 0 bất kỳ, luôn tồn tại số n thoả mãn 1/n < y và 1/n ∈ A. Vậy y không thể là cận dưới của A hay 0 là cận dưới lớn nhất của A. Vậy inf A = 0. Tuy nhiên A không có phần tử nhỏ nhất bởi nếu tồn tại min A thì inf A = min A = 0 ̸∈ A. Mâu thuẫn với định nghĩa về giá trị nhỏ nhất. Ví dụ 1.9. Tập hợp A = {x ∈ R | 0 ≤ x < 1} không có phần tử lớn nhất nhưng do A bị chặn trên nên tồn tại sup A và ta có sup A = 1. Trên đây, chúng ta đã xem xét cụ thể về các tiên đề xây dựng lên tập số thực. Nhiều khái niệm của mục này có thể tiếp cận qua chương 1, phần 1, giáo trình “Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”. Dưới đây ta sẽ xem xét thêm một số tính chất cần thiết về số thực để sử dụng sau này. 1/2.2 Các tính chất cơ bản của tập hợp số thực Ta gọi số dương là những số thực a > 0; số âm là những số thực a < 0, và đặt |x| = x nếu 0 ≤ x, |x| = −x nếu x < 0. Một số a ∈ R được gọi là giới hạn của dãy số {xn} ⊂ R, ký hiệu limn→∞ xn = a (hoặc lim xn = a), nếu ∀ε > 0,∃n0 : |xn − a| < ε,∀n ≥ n0.
12쪽
8 G 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC Khi dãy số có giới hạn là một số thực thì ta nói dãy số hội tụ. Từ điều kiện thứ hai trong định nghĩa về cận trên cho ta thấy nếu M = sup A thì ∀M′ < M,∃x ∈ A : M′ < x. Tương tự nếu m = inf A thì ∀m′ > m,∃x ∈ A : x < m′. Với các nhận xét này, ta dễ dàng có định lý sau: 1.5 Định lý. Cho tập hợp A ⊂ R và M = sup A, khi đó tồn tại dãy {xn} ⊂ A (các xn có thể trùng nhau) thoả mãn lim xn = M. n→∞ Tương tự, với m = inf A, khi đó tồn tại dãy {yn} ⊂ A (các yn có thể trùng nhau) thoả mãn lim yn = m. n→∞ 1.6 Nguyên lý (Weierstrass). Mọi dãy đơn điệu tăng (giảm) và bị chặn trên (dưới) đều hội tụ. Chứng minh. Cho {xn} là một dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên. Theo tiên đề về cận trên đúng, tập {xn} có M = sup xn; theo định nghĩa supremum, với mọi số dương ε có một nε sao cho M − ε < xn , và do tính đơn điệu tăng của dãy xn ta có xn ≤ xn với mọi ε ε n ≥ nε. Vậy M − xn < ε với mọi n ≥ nε, nghĩa là lim xn = M. Ví dụ 1.10. Dãy x = 1 + 1 + 1 + · · · + 1 là dãy đơn điệu tăng. Ngoài ra ta có n 22 32 n2 1 1 1 1 xn < 1 + + + · · · + = 2 − < 2, 1.2 2.3 (n − 1)n n nên dãy xn bị chặn. Theo nguyên lý Weierstrass, dãy xn là hội tụ. Các phần tử của R: 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . . gọi là các số tự nhiên, ký hiệu là N. Tập các số nguyên là các số 0,±1,±2,±3, . . ., ký hiệu là Z. Tập các số nguyên Z không có cận trên và không có cận dưới, vì nếu Z có cận trên thì dãy 1, 2, 3, . . . ,n, . . . phải có một giới hạn M; lúc đó M − 1 < p với một p ∈ Z và ta sẽ có M < p + 1: vô lý. Số hữu tỉ là số có dạng m = m · n−1, m,n ∈ Z,n ̸= 0. Ký hiệu tập các số hữu tỉ là Q. n Số vô tỉ là số thực mà không phải số hữu tỉ. 1.7 Nguyên lý (Archimede). Với mọi số thực a dương và b bất kỳ luôn tồn tại số nguyên n sao cho a(n − 1) ≤ b < na. Chứng minh. Do tập số nguyên Z không có cận trên nên phải tồn tại số nguyên m nào đó sao cho m > b. Từ đó thấy rằng tập S = {k ∈ Z : k > b} gồm các số nguyên là khác a a rỗng và bị chặn. Theo nguyên lý cận dưới đúng, tập S có cận dưới đúng n và cũng là phần tử nhỏ nhất. Điều đó chứng tỏ n −1 ≤ b < n. Từ đó suy ra điều phải chứng minh. a
13쪽
1.2 Tập hợp số thực G 9 1.8 Hệ quả. Với x là số thực dương bất kỳ, luôn tồn tại số tự nhiên n thỏa mãn 1 0 < < x. n Chứng minh. Theo nguyên lý Archimede tồn tại số nguyên n ∈ Z thỏa mãn 1 < x.n. Vì n.x > 1 > 0 nên n > 0 suy ra n ∈ N và 0 < 1 < x. n Rõ ràng, giữa hai số hữu tỉ a < b luôn tồn tại số hữu tỉ q thoả mãn a < q < b (chẳng hạn q = a+b). 2 Ngoài ra, ta còn có một định lý quan trọng sau đây. 1.9 Định lý. Giữa hai số thực phân biệt luôn tồn tại một số hữu tỉ và một số vô tỉ. Chứng minh. Giả sử rằng x,y ∈ R và x < y. a) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại r ∈ Q thoả mãn x < r < y. Ta có y − x > 0, theo nguyên lý Archimede, tồn tại n ∈ N nào đó thoả mãn 0 < 1 < n y − x. Với số tự nhiên n tìm được, tồn tại số nguyên m thỏa mãn (m − 1).1 ≤ x < m.1. Số n n hữu tỉ m < b, vì nếu ngược lại m ≥ b thì n n m − 1 n ≤ x < y ≤ m · , n từ đó suy ra 1 > y − x, mâu thuẫn. n Vậy m m r = ∈ Q và x < < b. n n b) Theo a), tồn tại r1,r2 ∈ Q mà x < r1 < r2 < y. Số r2 − r1 z = r1 + √ 2 rõ ràng là số vô tỉ và thoả mãn r1 < z < r2. Tập {x : a < x < b} được gọi là khoảng (a,b); tập {x : a ≤ x ≤ b} được gọi là đoạn [a,b]. Một dãy đoạn [an,bn] được gọi là thắt lại nếu [an+1,bn+1] ⊂ [an,bn] và lim(bn − an) = 0. 1.10 Nguyên lý (Cantor). Một dãy đoạn thắt lại có một phần tử chung duy nhất. Chứng minh. Cho {[an,bn]} là một dãy đoạn thắt lại. Dãy {an} đơn điệu tăng và bị chặn trên (bởi b1 chẳng hạn) nên theo nguyên lý Weierstrass có một giới hạn c. Ta có c ∈ [an,bn] với mọi n. Thật vậy, rõ ràng an ≤ c với mọi n; nếu tồn tại n0 nào đó mà
14쪽
10 G 1. TẬP HỢP VÀ LÝ THUYẾT SỐ THỰC c ∈/ [an ,bn ] thì bn < c hay bn − c > 0; nhưng vì c là giới hạn của dãy tăng an, nên với n 0 0 0 0 đủ lớn |an − c| < bn − c suy ra c − an < c − bn , tức là bn < an: vô lý. o 0 0 Mặt khác, nếu tồn tại một phần tử c′ chung cho mọi đoạn [a ,b ] thì |c − c′| < b − a n n n n với mọi n, mà lim(b − a ) = 0, do đó c = c′. n n Ta nói một dãy {xn} là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới, tức là ∃a : ∀n,|xn| ≤ a. 1.11 Nguyên lý (Bolzano-Weierstrass). Mọi dãy vô hạn bị chặn {xn} đều chứa một dãy con hội tụ. Chứng minh. Theo giả thiết ∀n ta có −a ≤ xn ≤ a. Trong hai đoạn [−a, 0] và [0, a] phải có một đoạn chứa vô số các phần tử xn (nếu không thì dãy chỉ có hữu hạn phần tử). Ta gọi đoạn này là [a1,b1], và đặt c1 = (a1 + b1)/2. Trong hai đoạn [a1,c1] và [c1,b1] lại phải có một đoạn chứa vô số phần tử xn. Ta gọi đoạn này là [a2,b2] và đặt c2 = (a2 + b2)/2 . . . . Tiếp tục quá trình đó ta được một dãy đoạn thắt lại [ak,bk],k = 1, 2, . . . vì bk − ak = a/2k−1 → 0. Theo nguyên lý Cantor, chúng có một phần tử chung c. Vì mỗi đoạn [a ,b ] k k chứa vô số phần tử xn nên ta có thể chọn (đánh số lại, nếu cần) một xn ∈ [a1,b1], 1 xn ∈ [a2,b2] với n2 > n1, một xn ∈ [a3,b3] với n3 > n2 . . . . Khi đó |xn − c| ≤ bk − ak → 0, 2 3 k vậy lim xn = c. k Ví dụ 1.11. Xét dãy x = (−1)n. Dãy này bị chặn và có 2 dãy con hội tụ tới 1 và −1. n Một dãy {xn} ⊂ R được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu ∀ε > 0,∃n0 sao cho |xn − xm| < ε,∀n,m ≥ n0. 1.12 Nguyên lý (Cauchy). Trong R, dãy số hội tụ khi và chỉ khi dãy đó là dãy cơ bản. Chứng minh. Xét một dãy cơ bản {x }. Theo định nghĩa, tồn tại n sao cho |x − x | < 1 n 1 n n1 2 với mọi n ≥ n . Đặt a = x − 1,b = x + 1. Sau đó, lấy n > n sao cho |x − x | < 1 1 1 n1 1 n1 2 1 n n2 4 với mọi n ≥ n . Đặt a = x − 1, b = x + 1. Vì |x − x | < 1 nên [a ,b ] ⊂ [a ,b ]. 2 2 n2 2 2 n2 2 n2 n1 2 2 2 1 1 Lấy n > n sao cho |x − x | < 1 với mọi n ≥ n và đặt a = x − 1, b = x + 1 . . . . 3 2 n n3 8 3 3 n3 4 3 n3 4 Tiếp tục mãi như vậy, ta được một dãy đoạn [a ,b ] thắt lại vì b − a < 1 < 1 → 0. k k k k 2k−1 k−1 Theo nguyên lý Cantor, dãy đoạn này có một phần tử chung duy nhất c. Với n ≥ nk ta có xn ∈ [ak,bk], vậy |c − xk| < bk − ak, từ đó ta suy ra lim xn = c. Ví dụ 1.12. Dãy số có số hạng tổng quát cos 1 cos 2 cosn xn = + + · · · + 1.2 2.3 n.(n + 1) là một dãy cơ bản.
앞 14페이지만 표시됩니다. 전체를 보려면 자료를 다운로드하세요.
댓글 (0)
댓글이 없습니다. 첫 댓글을 남겨보세요!