GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH 1 Bản quyền thuộc về Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM 1 Câu 1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = (x 2 + 1)e − x 2 2 1.1 Hướng dẫn giải - Tập xác định của hàm số: D = R - Đạo hàm của hàm số: y 0 = 2xe− x 2 2 + (x 2 + 1)(−x)e − x 2 2 = e − x 2 2 (−x 3 + x) y 0 = 0 ⇔ x 3 − x = 0 ⇔ x(x 2 − 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = ±1 - Ta thấy, dấu của y 0 chỉ phụ thuộc vào dấu của (−x 3 + x) do hàm e − x 2 2 luôn lớn hơn 0 với mọi x ∈ R. - Bảng biến thiên: x y 0 y −∞ −1 0 1 +∞ + 0 − 0 + 0 − 0 √ 2 e 1 √ 2 e 0 - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, −1] ∪ [0, 1] + Hàm số nghịch biến trên: [−1, 0] ∪ [1, +∞) + Hàm số đạt cực đại tại x = −1 và x = 1 và yCĐ = √ 2 e + Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và yCT = 1 - Tìm điểm uốn: y 00 = (−x)e − x 2 2 (−x 3 + x) + e − x 2 2 (−3x 2 + 1) = e − x 2 2 (x 4 − 4x 2 + 1) 1 y 00 = 0 ⇔ x 4 − 4x 2 + 1 = 0 ⇒ x = ± q 2 − √ 3 ∨ x = ± q 2 + √ 3 - Bảng xét điểm uốn và dạng đồ thị: x y 00 −∞ − p 2 + √ 3− p 2 − √ 3 p 2 − √ 3 p 2 + √ 3 +∞ + 0 − 0 + 0 − 0 + - Các điểm mà làm cho y 00 đổi dấu là các điểm uốn. - Các khoảng mà làm cho y 00 mang dấu (+) tức là lõm, dấu (−) là lồi. - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: x = − q 2 + √ 3 ⇒ y = (3 + √ 3)e − 2+√ 3 2 ≈ 0, 7322 x = −1 ⇒ y = 2e − 1 2 ≈ 1, 2131 x = − q 2 − √ 3 ⇒ y = (3 − √ 3)e − 2− √ 3 2 ≈ 1, 1090 x = 0 ⇒ y = 1 x = q 2 − √ 3 ⇒ y = (3 − √ 3)e − 2− √ 3 2 ≈ 1, 1090 x = q 2 + √ 3 ⇒ y = (3 + √ 3)e − 2+√ 3 2 ≈ 0, 7322 - TIỆM CẬN ĐỨNG: Hàm số không có tiệm cận đứng do hàm số xác định với mọi x thuộc R - TIỆM CẬN XIÊN: a = limx→∞ (x 2 + 1)e − x 2 2 × 1 x = limx→∞ x 2 + 1 xe x2 2 = 0 b = limx→∞ (x 2 + 1)e − x 2 2 = limx→∞ x 2 + 1 e x2 2 = 0 Như vậy y = 0 là Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. - Đồ thị hàm số: 2 2 Câu 2 Tính thể tích vật thể tạo ra khi quay miền D giới hạn bởi y = −1, y = x 2 + 2x, x = 0, x = 3 quanh trục Oy. 2.1 Hướng dẫn giải 2.1.1 Cách 1: - Thay x = 3 vào phương trình y = x 2 + 2x ⇒ y(3) = 15 - Ta sẽ tính được thể tích vật thể cần tính bằng cách lấy thể tích hình trụ (bằng cách xoay hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0, x = 3, y = −1, y = 15 quay trục Oy) trừ cho khối lõm giới hạn bởi y = 15, y = x 2 + 2x. - Ta biến đổi biểu thức: y = x 2 + 2x ⇔ y = (x + 1)2 − 1 ⇔ y + 1 = (x + 1)2 ⇒ x = − p y + 1 − 1 ∨ x = p y + 1 − 1 - Như vậy, thể tích vật thể cần tính là: VOy = π Z 15 −1 (3 − 0)2 dy − π Z 15 0 ( p y + 1 − 1)2 dy = 9πy| 15 −1 − π Z 15 0 (y + 2 − 2 p y + 1)dy = 144π − π y 2 2 + 2y | 15 0 + 2π Z 15 −1 p y + 1dy = 144π − 285π 2 + 4π 3 (y + 1) 3 2 | 15 0 = 144π − 285π 2 + 84π = 171π 2 3