Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập GIẢI ĐỀ CƯƠNG GIẢI TÍCH I Nhóm ngành 1 1.1-1.4 Dãy số, hàm số Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số: √ a) y = 2 arccot x − π √ x c) y = sin πx b) y = arcsin 2x 1+x d) y = arccos (sin x) Lời giải a) y = √ 2 arccot x − π π ⇔x≤0 2 Vậy tập xác định của hàm số: D = (−∞, 0] ĐKXĐ: 2 arccot x − π ≥ 0 ⇔ arccot x ≥ 2x b) y = arcsin  −1 ≤ 2x ≤ 1  x ̸= −1 −1 1+x ĐKXĐ: ⇔ −1 ≤x≤1 1 + x ̸= 0 3 √ x c) y = sin    πx x ≥ 0 x ≥ 0 x ≥ 0 ⇔ ⇔ ĐKXĐ:  x ̸∈ Z  πx ̸= kπ (k ∈ Z)  sin πx ̸= 0 ⇔ D = (0, ∞) \ N d) y = arccos (sin x) ĐKXĐ: −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ ∀x ∈ R. Vậy D = R Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau: a) sinh (−x) = − sinh (x) b) sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y)+cosh (x) sinh (y) c) sinh 2x = 2 sinh x cosh (x) d) cosh (x + y) = cosh (x) cosh (y)+sinh (x) sinh (y) 2 2 e) cosh x − sinh x = 1 f) cosh 2x = cosh2 x + sinh2 x Lời giải a) sinh(−x) = − sinh (x) x −x   sinh (x) = e − e 2 Ta có: ⇒ sinh (−x) = − sinh (x) −x x   sinh (−x) = e − e 2 b) sinh (x + y) = sinh (x) cosh (y) + cosh (x) sinh (y) 1 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ex − e−x ey + e−y ex + e−x ey − e−y 1 x+y 1 x+y e + ex−y − e−x+y − e−x−y + e − ex−y + e−x+y − e−x−y −(x+y) e −e = = sinh (x + y) 2 c) sinh 2x = 2 sinh x cosh (x) VP = ex − e−x ex + e−x e2x − e−2x . = = sinh 2x 2 2 2 d) cosh (x + y) = cosh (x) cosh (y) + sinh (x) sinh (y) ex + e−x ey + e−y ex − e−x ey − e−y VP = 1 x+y 1 x+y e + ex−y + e−x+y + e−x−y + e − ex−y − e−x+y + e−x−y −(x+y) e +e = = cosh (x + y) 2 Ta có: V P = 2 sinh x cosh (x) = 2. 2 e) cosh2 x − sinh 2  x x =−x12  x e +e e − e−x 1 Ta có: V T = − = (2 + 2) = 1 f) cosh 2x = cosh sinh x  x x+ e +e ex − e−x 2e2x + 2e−2x Ta có: V P = + = = cosh (2x) 2 2 4 Bài 3: Tìm miền giá trị các hàm số a) y = log (1 − 2 cos x) c) y = arccot (sin x)  x b) y = arcsin log 10 d) y = arctan (ex ) Lời giải a) y = log (1 − 2 cos x) ĐKXĐ: 1 − 2 cos x > 0 Với mọi x thuộc tập xác định, ta có: 0 < 1 − 2 cos x ≤ 3 ⇒ −∞ < log (1 −