Master IMEA 1 Feuille de T.D. no 3 Calcul Stochastique et Finance Corrigé 1.— On considère un modèle Cox-Ross-Rubinstein de marché (B, S) à trois étapes. On suppose que S0 = 20 –C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqué sur chaque période est r = 2%. a. Décrire la dynamique de S à l’aide d’un arbre et donner la probabilité de martingale. b. Un trader vend un call européen de prix d’exercice K = 20 –C et commence ses opérations de couverture delta-neutre. Déterminer le prix du call à la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux hausses consécutives puis une baisse : détailler les opérations effectuées par le trader sur son portefeuille de couverture. d. Quelle serait la prime d’un put européen de même prix d’exercice et de même échéance ? S’il s’agissait d’un put américain, l’acheteur aurait-il intérêt à exercer son put de manière anticipée ? Solution a. et b. La dynamique de S et les prix du call aux différents nœuds de l’arbre sont donnés dans la figure ci-dessous. La probabilité de martingale est q= 1,02 − 0,9 3 = 1,1 − 0,9 5 et la prime à t = 0 est c0 = 2,0721 –C. 26,62 6,62 24,2 4,5922 21,78 22 1,78 3,1119 20 19,8 2,0721 1,0471 18 17,82 0,6159 0 16,2 0 14,58 0 Les calculs partent de l’extrémité droite de l’arbre ; on utilise la formule d’espérance conditionnelle actualisée c(T − k, ST −k ) = k   X 1 k i q (1 − q)k−i c(T, ST −k ui dk−i ) (1 + r)k i=0 i avec T = 3 (la durée δt d’une étape est 1) et k = 1, 2 ou 3. Les c(T, ST −k ui dk−i ) sont les valeurs du pay-off aux extrémités de l’arbre sachant qu’à la date T − k le sous-jacent S avait pour valeur ST −k . Dans le cas présent, on a

c(T, ST −k ui dk−i ) = ST −k ui dk−i − K + = ST −k ×(1,1)i ×(0,9)k−i − 20 + . 2002-2011 michel miniconi version du 5 mars 2011 c. À la date t = 0 le vendeur du call encaisse la prime 2,0721 –C et achète ∆= 3,1119 − 0,6159 = 0,6234 22 − 18 parts d’actif sous-jacent