Đề thi thử — Đề thi Đánh giá tư duy TSA - Phần Toán

1. 問題 1

   Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ và $f(x)>0$. Biết rằng $\int x e^{x} \mathrm{~d} x=e^{x}(x-1)+C$ và đồng thời $f(x)=1+\int_{0}^{x} e^{t}(1+t) f(t) \mathrm{d} t$.

   #Phát biểuĐúngSai

   1

   Ta có $\ln f(3)=3 e^{9}$.

   2

   Ta có $f(x) \leqslant x e^{x}+1, \forall x \in \mathbb{R}$.
   正解を見る

   f'(x) = eˣ(1 + x)f(x), f(0) = 1, nên ln f(x) = ∫(1 + x)eˣdx = x·eˣ và f(x) = e^(x·eˣ).
   Ý a: ln f(3) = 3e³, không phải 3e⁹. Sai.
   Ý b: vì eᵘ ≥ 1 + u nên f(x) = e^(x·eˣ) ≥ x·eˣ + 1, chứ không phải ≤ (chẳng hạn x = 1: e^e ≈ 15,15 > e + 1). Sai.

2. 問題 2

   Trong không gian $O x y z$, cho mặt phẳng $(P): x+2 y-2 z+3=0$ và đường thẳng $\Delta: \frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{-2}=\frac{z+1}{1} .$ Cô-sin của góc tạo bởi đường thẳng $\Delta$ và mặt phẳng $(P)$ là

   A

   $\frac{5}{9}$.

   B

   $\frac{4}{9}$.

   C

   $\frac{\sqrt{65}}{9}$.

   D

   $\frac{2 \sqrt{3}}{9}$.

   正解を見る

   正解：C

   Δ có véc-tơ chỉ phương u = (2; −2; 1), (P) có véc-tơ pháp tuyến n = (1; 2; −2). sin(Δ, (P)) = |u·n|/(|u||n|) = |2 − 4 − 2|/(3·3) = 4/9. Do đó cos của góc đó là √(1 − 16/81) = √65/9. Đáp án: C.

3. 問題 3

   Cho hàm số: $f(x) = \frac{4x+5}{3x-8}$. Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị hàm số. Biết đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y = 4x+2$ tại hai điểm A và B. Diện tích tam giác IAB là _______ (Làm tròn kết quả tới hàng phần mười)
   正解を見る

   正解：(1) 20,6

   Tâm đối xứng $I\left(\tfrac83;\tfrac43\right)$. Phương trình hoành độ giao điểm: $4x^2-10x-7=0$ nên $|x_1-x_2|=\sqrt{13{,}25}$.
   $AB=|x_1-x_2|\sqrt{17}$, $d(I,AB)=\dfrac{34/3}{\sqrt{17}}$.
   $S=\dfrac12\cdot\sqrt{13{,}25}\cdot\dfrac{34}{3}\approx20{,}6$.

4. 問題 4

   Cho $u = u(x), v = v(x)$ là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$. Khi tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần, mệnh đề nào trong các mệnh đề sau đây là đúng?

   A

   $\int_a^b u.dv = u.v|_a^b - \int_a^b udu$

   B

   $\int_a^b u.dv = u.v|_a^b - \int_a^b v.du$

   C

   $\int_a^b u.dv = u.v|_b^a - \int_b^a v.du$

   正解を見る

   正解：B

   Công thức tích phân từng phần là $\int_a^b u.dv = u.v|_a^b - \int_a^b v.du$.

   Do đó phương án B đúng.

   Phương án A sai vì tích phân còn lại phải là $\int_a^b v.du$, không phải $\int_a^b u.du$.

   Phương án C sai vì viết $u.v|_b^a$ và $\int_b^a v.du$ làm đổi dấu, không đúng công thức gốc.

5. 問題 5

   Điền số tự nhiên vào chỗ trống Mô đun của số phức $(3-4i)^2$ là
   正解を見る

   正解：(1) 25

40問すべてに解答すると、採点されて詳しい解説を見られます。