Đề Giải Tích 2 (Lớp chất lượng cao CLC) - Mã đề 2301

1. 問題 1

   (L.O.1) Let $f(x)$ be a function satisfying $f(6.3)=6.7, f^{\prime}(6.3)=5$. Using the linear approximation to estimate the value of $f(5.985)$, we obtain

   A

   5.1250

   B

   2.8895

   C

   8.275

   D

   7.1105

   正解を見る

   正解：A

   Công thức xấp xỉ tuyến tính: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.

   Chọn $a=6.3$, $x=5.985$, ta có $x-a=5.985-6.3=-0.315$.

   Suy ra $f(5.985)\approx f(6.3)+f'(6.3)(5.985-6.3)=6.7+5(-0.315)=6.7-1.575=5.125$.

   Vậy kết quả là $5.1250$, các đáp án B, C, D không bằng giá trị này.

2. 問題 2

   (L.O.1) Find the general solution of the differential equation $y^{\prime}=x^{2} y^{2}+9 x^{2}+4 y^{2}+36 .$

   A

   $y=\tan \left(3 \tan \left(x^{3}+12 x\right)\right)+C$

   B

   $y=3 \tan \left(x^{3}+12 x+C\right)$

   C

   $y=3 \tan \left(x^{3}+12 x\right)+C$

   D

   $y=\tan \left(x^{3}+12 x+C\right)$

   正解を見る

   正解：B

   Phân tích vế phải: $y'=(y^2+9)(x^2+4)$. Tách biến: $\frac{dy}{y^2+9}=(x^2+4)dx$. Tích phân: $\frac{1}{3}\arctan\left(\frac y3\right)=\frac{x^3}{3}+4x+C$. Nhân 3: $\arctan\left(\frac y3\right)=x^3+12x+3C$, do $3C$ là hằng số nên $y=3\tan(x^3+12x+C)$. A và D thiếu hệ số 3 trước $y$; C đặt $C$ ngoài hàm $\tan$ nên sai.

3. 問題 3

   (L.O.2) Given the function $y=y(x)$ defined by the parametric equation $x=\sin t-2 t, y=2(1-\cos (2 t)) .$ On which of the following intervals is this function decreasing?

   A

   $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$

   B

   $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$

   C

   $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$

   D

   $\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$

   正解を見る

   正解：C

   Với $x=\sin t-2t$, $y=2(1-\cos 2t)$ ta có $\frac{dx}{dt}=\cos t-2<0$ với mọi $t$ nên $x$ giảm theo $t$.

   $\frac{dy}{dt}=4\sin 2t$, do đó $\frac{dy}{dx}=\frac{4\sin 2t}{\cos t-2}$. Vì mẫu luôn âm nên hàm $y(x)$ giảm khi $\sin 2t>0$.

   $\sin 2t>0$ khi $t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ (cộng chu kỳ $\pi$). Khoảng $\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ nằm trọn trong đó nên hàm giảm.

   Các khoảng còn lại sai: $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ và $\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)$ chứa điểm đổi dấu của $\sin 2t$; trên $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ có $\sin 2t<0$ nên hàm tăng. Vậy chọn C.

4. 問題 4

   (L.O.1) Given the parametric curve: $\left\{\begin{array}{l} x=t^{2}+1, \\ y=\sqrt{t+2} . \end{array}\right.$ The equation of the tangent line to this curve at $(1,2)$ is

   A

   $4 \sqrt{3} x-y=4 \sqrt{3}-2$

   B

   $4 \sqrt{3} x-y=10$

   C

   The tangent line does not exist

   D

   $4 x+y=6$

   正解を見る

   正解：D

5. 問題 5

   (L.O.1) Use the central Riemann sum with a uniform 10-segment partition of [0, 1] to approximate $\int_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{~d} x$.

   A

   0.2849

   B

   0.2854

   C

   0.2850

   D

   0.2472

   正解を見る

   正解：A

   Chia $[0,1]$ thành 10 đoạn đều, mỗi đoạn dài $h=0.1$, các trung điểm là $m_i=0.05+0.1(i-1)$, $i=1,\dots,10$.

   Tổng Riemann trung điểm: $\sum_{i=1}^{10} m_i\arctan m_i\cdot 0.1\approx 0.2849$.

   (Giá trị đúng của tích phân là $\approx 0.2854$ nên phương án B là giá trị của tích phân, không phải của tổng trung điểm theo yêu cầu đề.) Vậy chọn A.

22問すべてに解答すると、採点されて詳しい解説を見られます。