1 ページ
Câu 46. Một vật trang trí có dạng một khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền (phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục Biết rằng là hình chữ nhật với và lần lượt là trung điểm của Hai đường cong là đường Elip có hình chữ nhật cơ sở là và đường tròn tiếp xúc với hai cạnh và (tham khảo hình vẽ). Tính thể tích của vật trang trí đó (kết quả làm tròn đến hàng phần chục theo đơn vị ). Lời giải Đáp án: . Gắn vào hình chữ nhật hệ trục tọa độ với gốc trùng với giao hai đường chéo, các điểm nằm trên (tham khảo hình vẽ). Do là trục đối xứng của miền nên khối tròn xoay được tạo thành khi quay miền quanh trục trùng với khối tròn xoay được tạo thành khi quay phần nằm phía trên quanh Gọi tương ứng là thể tích của các khối tròn xoay được tạo thành khi quay Elips , hình tròn và miền quanh (hay quanh ), ta có . Elip có các bán trục nên có phương trình Ta có Hình tròn có tâm tại , bán kính khi quay quanh tạo thành khối cầu tâm , bán kính bằng Do đó Hubdocu.com
2 ページ
Vậy thể tích của vật trang trí đó là: Câu 47. Cho hai khối trụ có bán kính đáy bằng và có trục là hai đường thẳng cắt nhau và vuông góc với nhau (xem hình vẽ). Gọi là phần giao nhau của hai khối trụ đó. Tính thể tích của . Lời giải Đáp án: . Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Mặt phẳng vuông góc với tia tại điểm có hoành độ , cắt hình theo thiết diện là một hình vuông có cạnh . Ta có Vây nên diện tích thiết diện là Thể tích của là Câu 48. Một ly thủy tinh có hình dạng phần chứa nước là một hình parabol tròn xoay. Hình dạng này được tạo ra bằng cách quay một phần của đường parabol quanh trục đối xứng của nó. Biết phần chứa nước của ly có chiều cao tính từ đáy ly lên đến miệng ly là đường kính miệng ly là (chỉ tính phần chứa nước, không tính phần thủy tinh). Hubdocu.com
3 ページ
Ban đầu, người ta đổ vào ly một lượng nước có thể tích bằng thể tích của ly khi nó chứa đầy nước. Sau đó, người ta đổ thêm vào ly một lượng nước có thể tích bằng với lượng nước đã đổ ban đầu. Hỏi sau khi đổ thêm, chiều cao của mực nước trong ly đã tăng thêm bao nhiêu centimet so với lúc ban đầu (làm tròn đến hàng phần trăm)? Lời giải Đáp án: 2,07. y 4 O 1 h h 10x 1 2 -4 Ta có: Thể tích nước trong ly: Chiều cao của nước ban đầu: Chiều cao của mực nước sau khi đổ thêm: Hubdocu.com
4 ページ
Chiều cao của mực nước tăng thêm so với ban đầu: Câu 49. Lớp vỏ của một lò phản ứng hạt nhân bằng kim loại và được tạo bởi hình phẳng giới hạn bởi nhánh bên phải trục tung của các đường hypebol , và hai đường thẳng khi quay quanh trục (tham khảo hình vẽ). Biết đi qua điểm có tiêu cự bằng , đi qua điểm có tiêu cự bằng và đơn vị trên các trục toạ độ bằng mét. Thể tích khối kim loại cần sử dụng để làm vỏ lò phản ứng hạt nhân bằng bao nhiêu mét khối? (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: . + Giả sử có phương trình chính tắc: , có phương trình chính tắc: Hubdocu.com
5 ページ
Vì có tiêu cự bằng suy ra Mặt khác đi qua suy ra Vậy Từ đó ta có thể xem nhánh bên phải của là hàm số (hàm số theo biến ). Tương tự: có tiêu cự bằng suy ra Mặt khác đi qua suy ra Vậy Từ đó ta có thể xem nhánh bên phải của là hàm số (hàm số theo biến ). Đặt thể tích khối kim loại cần sử dụng để làm vỏ lò phản ứng hạt nhân bằng . Từ đó ta có: . Câu 50. Nếu cắt chậu nước có hình dạng như hình bên bằng mặt phẳng song song và cách mặt đáy thì mặt cắt là hình tròn có bán kính . Tìm (đơn vị cm, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm) để dung tích nước trong chậu bằng thể tích của chậu? Lời giải Đáp án: 8,94. Diện tích mặt cắt của chậu là Thể tích của chậu là . Dung tích nước trong chậu là Hubdocu.com
6 ページ
Để dung tích nước trong chậu bằng thể tích của chậu thì Câu 51. Một lều cắm trại có dạng như hình vẽ dưới, khung lều được tạo thành từ hai parabol giống nhau có chung đỉnh và thuộc hai mặt phẳng vuông góc nhau (một parabol đi qua và một parabol đi qua ), bốn chân tạo thành hình vuông có cạnh là chiều cao tính từ đỉnh lều là Biết mặt cắt của lều khi cắt bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng luôn là một hình vuông. Tính thể tích của lều (đơn vị là ). Lời giải Đáp án: 8. Ta có: Chọn hệ trục như hình vẽ. y y 2 C 2 C t y2 = 2x t D 2 2 O 1t x O 1t x B -2 A -2 A Khi đó, mặt cắt tại là hình vuông có diện tích Vậy thể tích của lều là Câu 52. Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình 2025) Trong các làng nghề chế tạo đá mỹ nghệ, người ta làm được nhiều đồ trang sức bằng đá rất đẹp. Một người thợ thủ công chế tạo vòng đeo tay hình tròn bằng đá xanh, biết rằng bán kính vòng ngoài của vòng là , bán kính vòng trong là (hình vẽ). Tính thể tích của chiếc vòng (theo đơn vị đo là và làm tròn đến hàng đơn vị). Hubdocu.com
7 ページ
Lời giải Đáp án: . Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Gốc tọa độ là tâm của chiếc vòng, Trục là trục đối xứng của vòng, đi qua tâm một thiết diện cắt ngang của vòng. Khi đó phương trình đường tròn thiết diện là Vòng được tạo ra bằng cách quay đường tròn quanh trục Thể tích của chiếc vòng là: . Câu 53. Một ly trà sữa dạng hình nón cụt, có đường kính đáy ly , đường kính miệng ly , chiều cao , ở miệng ly có sử dụng một nắp đậy có hình dạng nửa mặt cầu và ở đỉnh của nửa mặt cầu này có một hình tròn có đường kính để cắm ống hút, mặt phẳng chứa hình tròn này song song với mặt phẳng chứa miệng ly (tham khảo hình vẽ sau). Hubdocu.com
8 ページ
Thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là bao nhiêu cm3? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: . Chọn hệ trục (đơn vị trên trục là centimet) với trục đi qua tâm của 2 đáy hình nón cụt và gốc tọa độ trùng với tâm của đáy lớn như hình vẽ trên. Khi đó toạ độ các điểm lần lượt là . Gọi phương trình đường thẳng đi qua có dạng . Ta có hệ phương trình Phương trình đường thẳng BC là Khi đó thể tích của phần thân ly trà sữa chưa bao gồm nắp là Điểm thuộc phương trình đường tròn tâm có dạng: Thay , ta được: Hubdocu.com
9 ページ
Suy ra Khi đó thể tích nắp của ly trà sữa là Từ (1) và (2) thể tích bên trong của ly bao gồm cả thể tích của nắp là Câu 54. Một khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (phần màu xám trong hình vẽ) quanh trục . Miền được giới hạn bởi đường tròn đường kính và cung tròn tâm . Biết và điểm trong hình vẽ thỏa mãn . Thể tích của khối tròn xoay đó bằng bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: . Hubdocu.com
10 ページ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, , , . Gọi là điểm trên cung tròn tâm sao cho , . Phương trình đường tròn đường kính : ⇒ nửa trên trục có phương trình: . Phương trình đường tròn tâm , bán kính : Thể tích vật thể tròn xoay được tạo thành là Câu 55. Sân vận động Sport Hub (Singapore) là sân có mái vòm kỳ vĩ nhất thế giới. Đây là nơi diễn ra lễ khai mạc Đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức tại Singapore năm . Nền sân là một elip có trục lớn dài , trục bé dài (hình vẽ). Nếu cắt sân vận động theo một mặt phẳng vuông góc với trục lớn của và cắt elip ở (hình vẽ) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm (phần tô đậm trong hình 4) với là một dây cung và góc Để lắp máy điều hòa không khí thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và thể tích vật liệu là mái không đáng kể. Biết rằng cách tính công suất cần đủ là . Hỏi cần ít nhất bao nhiêu chiếc điều hòa công suất 50000 BTU? M N M I N Lời giải Hubdocu.com
11 ページ
Chọn hệ trục như hình vẽ Ta cần tìm diện tích của thiết diện. Gọi Lúc đó Vậy thể tích khoảng không bên dưới mái che và bên trên mặt sân là Số chiếc điều hòa cần lắp là Vậy cần chiếc điều hòa. Câu 56. Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, nhóm bạn Lan đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho ông già Noel có dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên dưới. Biết rằng , , , đường cong là một phần của parabol có đỉnh là điểm . Tính thể tích của chiếc mũ (làm tròn đến hàng đơn vị). Hubdocu.com
12 ページ
Lời giải Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Parabol đi qua điểm và có là đỉnh đi qua và Ta có . Vì qua Vì qua . Mà là đỉnh của parabol nên Thay vào . Hubdocu.com
13 ページ
. . Vậy thể tích của chiếc mũ là: . Câu 57. Một kiến trúc sư chịu trách nhiệm thiết kế một tòa nhà cao 30 mét. Mặt cắt ngang tại mọi độ cao, vuông góc với trục thẳng đứng, luôn là một hình vuông (xem hình vẽ). Mặt đáy tòa nhà là hình vuông có cạnh mặt đỉnh là hình vuông có cạnh Mặt cắt ngang tại vị trí hẹp nhất của tòa nhà: Hình vuông có cạnh Mặt cắt của tòa nhà theo mặt phẳng đứng chứa đường chéo đáy có dạng là hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong parabol đối xứng nhau qua trục thẳng đứng đi qua tâm đáy của tòa nhà. Tính thể tích của tòa nhà đó (làm tròn đến hàng đơn vị, đơn vị tính: mét khối). Lời giải Đáp án: Chọn hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ. Gọi là hàm biến thiên của độ dài đường chéo mặt cắt của toà nhà tại độ cao x. Hubdocu.com
14 ページ
Theo đề ta có, là một parabol đi qua ba điểm , trong đó là vị trí toà nhà có cạnh cạnh . Ta có hệ: Suy ra Do đó, diện tích thiết diện là . Vậy thể tích của toà nhà là . Câu 58. Một chiếc đồng hồ cát như hình vẽ gồm hai phần đối xứng nhau qua mặt phẳng nằm ngang và đặt trong một hình trụ. Thiết diện thẳng đứng qua trục của nó là hai parabol chung đỉnh và đối xứng nhau qua mặt phằng nằm ngang. Ban đầu lượng cát dồn hết ở phần trên của đồng hồ thì chiều cao của mực cát bằng chiều cao của bên đó (xem hình vẽ). Cát chảy từ trên xuống dưới với tốc độ ( /phút). Khi chiều cao của cát còn 4cm thì bề mặt trên cùng của cát tạo thành một đường tròn có chu vi bằng cm. Biết sau 20 phút thì cát chảy hết xuống phần bên dưới của đồng hồ. Hỏi chiều cao của khối trụ bên ngoài bằng bao nhiêu centimet? (Nếu kết quả là số thập phân thì làm tròn đến hàng đơn vị). Lời giải Hubdocu.com
15 ページ
Đáp số: 21. Thể tích cát ban đầu là: . Bán kính đường tròn đáy parabol tròn xoay khi chiều cao cát còn 4cm là: . Xét parabol đi qua điểm như hình vẽ Ta có: . Suy ra . Khi đó thể tích parabol tròn xoay tạo ra bằng cách xoay hình phẳng giới hạn bởi parabol , trục và hai đường thẳng , quanh trục là: (đvtt). Suy ra: Vậy chiều cao khối trụ bên ngoài là: . Câu 59. Một nhà máy nhiệt điện sử dụng 90 máng Parabol thu nhiệt năng lượng mặt trời có cùng kích thước, bề mặt cong đều nhau (tham khảo hình vē). Hubdocu.com
16 ページ
Mỗi máng có chiều rộng , bề dày của khối silic làm mặt máng là , chiều dài . Đặt máng tiếp giáp mặt đất có điểm cao nhất của khối silic làm mặt máng so với mặt đất là . Khi đó thể tích của khối silic làm mặt máng bằng bao nhiêu ? Lời giải Đáp án: 108 Xét hệ trục như hình vẽ. Khi đó đường Parabol tương ứng với vành trên và vành dưới của máng lần lượt là và . Ta có đi qua các điểm và . đi qua các điểm và . Diện tích mặt cắt của máng . Thể tích khối silic . Câu 60. Một cốc thủy tinh có dạng hình trụ đang đựng một lượng nước, bán kính trong lòng đáy cốc là cm, chiều cao trong lòng cốc là cm. Tính thể tích lượng nước trong cốc (đơn vị cm ), biết khi nghiêng cố nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy cốc mực nước trùng với đường kính của đáy cốc (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị). Lời giải Đáp án: 427. Hubdocu.com
17 ページ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Đặt ( ) Xét tam giác , ta có . . Vậy (cm ). Câu 61. Một thùng chứa rượu có dạng hình tròn xoay với đường sinh là một cung của đường tròn, hai đáy là hai hình tròn bằng nhau và có đường kính bằng , khoảng cách giữa hai đáy bằng , đường kính lớn nhất của thân thùng là (biết các kích thước đã trừ lớp vỏ thùng, tham khảo hình vẽ). Hỏi phần không gian bên trong thùng chứa rượu đỏ có thể tích bằng bao nhiêu lít? (kết quả lấy đến chữ số hàng phần chục và không làm tròn). Lời giải Đáp án: . Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ: Hubdocu.com
18 ページ
Gọi phương trình đường tròn phía trên trục hoành là: Đường tròn đi qua các điểm có tọa độ: nên ta có hệ sau: Vậy phương trình đường tròn là: hay Xét nửa đường tròn phía trên trục hoành có phương trình: Vậy thể tích của bình rượu chính là thể tích khối tròn xoay tạo bởi phần hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số , trục hoành và hai đường thẳng , quay quanh trục . ( lít) Kết quả lấy đến chữ số hàng phần chục và không làm tròn thì là lít. Câu 62. Cho các đồ thị hàm số: , , , , và đường tròn . Gọi là miền phẳng được tô đậm (hình vẽ). Quay miền quanh trục ta được một vật thể tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)? Hubdocu.com
19 ページ
Lời giải Đáp án: 652. Đồ thị hàm số đi qua điểm nên ta có , ta được hàm số . Đồ thị của hàm số đi qua điểm , có đỉnh nên ta có . Suy ra . Đường tròn có tâm , bán kính bằng nên có phương trình . Ta có . Quay hình tròn quanh ta được vật thể tròn xoay có thể tích bằng . Thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi phần diện tích giới hạn bởi đồ thị và hai đồ thị (phần không tô màu) bằng . Vậy thể tích vật thể cần tìm là . Hubdocu.com
20 ページ
Câu 63. Một bồn hình trụ đang chứa dầu, được đặt nằm ngang, có chiều dài bồn là 5m, có bán kính đáy 1m. Người ta đã rút dầu trong bồn tương ứng với 0,5m của đường kính đáy. Tính thể tích của lượng dầu còn lại trong bồn theo đơn vị m3.(làm tròn đến hàng phần chục) Lời giải Đáp án: 12,6. Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Thiết diện cắt trục tại điểm có hoành độ là . Khi đó, ta có . Suy ra diện tích hìn chữ nhật bằng . Vậy thể tích lượng dầu còn lại trong bồn là (m ). Câu 64. Để đặt được một vật trang trí trên mặt bàn, người ta thiết kế một chân đế như sau. Lấy một khối gỗ có dạng khối chóp cụt tứ giác đều với độ dài hai cạnh đáy lần lượt bằng và , bề dày khối gỗ bằng . Sau đó khoét bỏ đi một phần của khối gỗ sao cho phần đó có dạng vật thể , ở đó nhận được bằng cách cắt khối cầu bán kính bởi một mặt phẳng cắt mà mặt cắt là hình tròn bán kính (xem hình dưới) Hubdocu.com
コメント (0)
まだコメントはありません。最初のコメントを書きましょう！