Một số vấn đề chọn lọc trong toán cho kỹ sư Nguyễn Linh Giang Viện CNTT&TT Phần II. Xác suất và thống kê † Mô tả khóa học „ Dành cho sinh viên đại học „ Xây dựng các mô hình xác suất và cơ sở thống kê „ Phân tích sự bất định „ Suy diễn thống kê „ Phân tích số liệu thực nghiệm 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Hai biến ngẫu nhiên „ X và Y là hai biến ngẫu nhiên trên <Ω, F, P>, ta có: P ( x 1 < X (ξ ) ≤ x 2 ) = F X ( x 2 ) − F X ( x 1 ) = ∫ P ( y 1 < Y (ξ ) ≤ y 2 ) = FY ( y 2 ) − FY ( y 1 ) = ∫ x2 x1 y2 y1 f X ( x ) dx , f Y ( y ) dy . „ Xác suất của cặp (X, Y) trên một miền bất kỳ D bằng bao nhiêu ? P[( x1 < X (ξ ) ≤ x2 ) ∩ ( y1 < Y (ξ ) ≤ y2 )] = ? 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Hàm phân bố xác suất liên hợp của X và Y, với x và y là hai số thực bất kỳ: FXY ( x, y ) = P[( X (ξ ) ≤ x ) ∩ (Y (ξ ) ≤ y )] = P( X ≤ x, Y ≤ y ) ≥ 0, † Tính chất: FXY ( −∞, y ) = FXY ( x,−∞) = 0, FXY ( +∞,+∞) = 1. P ( x 1 < X (ξ ) ≤ x 2 , Y (ξ ) ≤ y ) = F XY ( x 2 , y ) − F XY ( x 1 , y ). P ( X (ξ ) ≤ x , y 1 < Y (ξ ) ≤ y 2 ) = F XY ( x , y 2 ) − F XY ( x , y 1 ). 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Tính chất P ( x1 < X (ξ ) ≤ x2 , y1 < Y (ξ ) ≤ y2 ) = FXY ( x2 , y2 ) − FXY ( x2 , y1 ) − FXY ( x1 , y2 ) + FXY ( x1 , y1 ). „ Hàm mật độ phân bố xác suất liên hợp ∂ 2 FXY ( x , y ) . f XY ( x , y ) = ∂x ∂y F XY ( x , y ) = ∫ +∞ +∞ −∞ −∞ ∫ ∫ x −∞ ∫ y −∞ f XY ( u , v ) dudv . f XY ( x , y ) dxdy = 1 . 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên „ Xác suất để cặp (X, Y) trong một miền D nào đó: P ( x < X (ξ ) ≤ x + Δx, y < Y (ξ ) ≤ y + Δy ) = FXY ( x + Δx, y + Δy ) − FXY ( x, y + Δy ) − FXY ( x + Δx, y ) + FXY ( x, y ) Y D Δx Δy =∫ x + Δx x ∫ y + Δy y f XY (u, v )dudv = f XY ( x, y )ΔxΔy. P (( X , Y ) ∈ D ) = ∫ ∫ ( x , y )∈D f XY ( x, y )dxdy. X † Các thống kê biên FX ( x ) = FXY ( x , +∞ ), FY ( y ) = FXY ( +∞ , y ). +∞ +∞ f X ( x ) = ∫ f XY ( x , y ) dy , f Y ( y ) = ∫ f XY ( x , y ) dx . −∞ −∞ 2.6. Hàm của hai biến ngẫu nhiên † Đạo hàm của hàm dưới dấu t