ĐỀ THI CUỐI KÌ MÔN GIẢI TÍCH 3 – HỌC KÌ 20172 KSTN K62 Lời giải: Trần Bá Hiếu KSTN Dệt – K64 ∞ 2n . n! Câu 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số ∑ n n n=1 Chuỗi đã cho là chuỗi dương ∀n ≥ 1 Áp dụng tiêu chuẩn Dalembert, ta có ∶ 2n+1 . (n + 1)! 2n . n! n n lim ÷ n = lim 2. ( ) n→+∞ (n + 1)n+1 n→+∞ lim ln|1− |.n lim n+1 = lim 2. (1 − = 2. en→+∞n+1 = < 1 ) = 2. en→+∞ n→+∞ n+1 e Suy ra chuỗi đã cho hội tụ ∞ Câu 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ∑ (x 2 − 1)n Đặt x − 1 = t , ( t ≥ −1) chuỗi đã cho trở thành ∑ n2 2 2 n=1 Đặt an = 1 2 , suy ra bán kính hội tụ là ∶ R = 1 ÷ lim √ n2 = 1 ÷ lim n = ∞ n→+∞ n→+∞ 2 2 mà t ≥ −1 , suy ra chuỗi hội tụ ∀t ≥ −1 → x 2 − 1 ≥ −1 → x2 ≥ 0 → x ∈ (−∞; +∞) Vậy miền hội tụ của chuỗi hàm số là x ∈ R Câu 3: Khai triển hàm số f(x) = ln(x 2 + 1) thành chuỗi lũy thừa của x Đặt x 2 = t, (t > 0) Ta có khai triển Maclaurin của ln(1 + t) là ∞ ln(1 + t) = ∑ (−1)n−1 n=1 tn . ,R = 1 n Thay t = x 2 , ta có: ∞ f(x) = ∑(−1)n−1 . n=1 x 2n ,R = 1 n ∞ Vậy khai triển f(x) thành chuỗi lũy thừa của x là ∑ (−1)n−1 n=1 y 2 Câu 4: Giải phương trình vi phân 2y + ( ) = −2 x y 2 ′ (x ≠ 0) 2y + ( ) = −2 x ′ y 2 −2 − ( ) x → y′ = dy d(ux) = u(x) → y = ux → = → y ′ = u′ x + u x dx dx Thay vào (∗) , ta có ∶ u2 u x + u = −1 − . x = −1 − − u −1 − − u 2 → −2du dx = (u + 1)2 + 1 x → −2 arctan(u + 1) = ln|x| + C y → −2 arctan ( + 1) + C = ln|x| x y → −2 arctan ( + 1) + C − ln|x| = 0 x Phương trình không có nghiệm kì dị Vậy tích phân tổng quát của phương trình là y u(x, y, C) = −2 arctan ( + 1) + C − ln|x| = 0 x Câu 5: Giải phương trình vi phân xy ′′ + 4y ′ = 0 x 2n . ,R = 1 n xy ′′ + 4y ′ = 0 4 → y ′′ + . y ′ = 0 , với x ≠ 0 x 4 Đặt y ′ (x) = u(x), ta có ∶ u′ + . u = 0 x 4 Thừa số tích phân p(x) = e∫xdx = e4ln|x| = x 4 . Nhân cả 2 vế với p(x) ∶ → x 4 . u′ + 4x 3 . u = 0 → (x 4 . u)′ = 0 → x 4 . u = C1 → u= C1 x4 dy C1 = dx x 4 C1 dx → dy = 4 x −C1 → y = 3 + C2 . Với x = 0 → y ′ = 0 → y = C. Nên x = 0 không phải nghiệm kì dị 3x −C1 Vậy nghiệm tổng quát của ph