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QSP de probas anciennes et à venir ! ECS 2 Spicesagros.fr 30 janvier 2014 Table des matières I Enoncés 6 II Correction 16 1 QSP 1 16 2 QSP 2 16 3 QSP 3 18 4 QSP 4 19 5 QSP 5 21 6 QSP 6 22 7 QSP 7 23 8 QSP 8 24 9 QSP 9 24 10 QSP 10 25 11 QSP 11 26 12 QSP 12 28 13 QSP 13 29 14 QSP 14 30 15 QSP 15 31 16 QSP 16 31 17 QSP 17 32 18 QSP 18 33 19 QSP 19 33 20 QSP 20 34 21 QSP 21 34
ECS2 13/14 P Page 2/71 22 QSP 22 35 23 QSP 23 35 24 QSP 24 36 25 QSP 25 37 26 QSP 26 38 27 QSP 27 39 28 QSP 28 39 29 QSP 29 40 30 QSP 30 41 31 QSP 31 42 32 QSP 32 43 33 QSP 33 44 34 QSP 34 44 35 QSP 35 45 36 QSP 36 45 37 QSP 37 45 38 QSP 38 45 39 QSP 39 45 40 QSP 40 47 41 QSP 41 48 42 QSP 42 48 43 QSP 43 48 44 QSP 44 49 45 QSP 45 50 46 QSP 46 50 47 QSP 47 50 48 QSP 48 51 49 QSP 49 51 50 QSP 50 52 51 QSP 51 52 52 QSP 52 53 53 QSP 53 53 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 P Page 3/71 54 QSP 54 53 55 QSP 55 54 56 QSP 56 54 57 QSP 57 55 58 QSP 58 56 59 QSP 59 57 60 QSP 60 58 61 QSP 61 58 62 QSP 62 58 63 QSP 63 59 64 QSP 64 59 65 QSP 65 59 66 QSP 66 59 67 QSP 67 60 68 QSP 68 60 69 QSP 69 61 70 QSP 70 62 71 QSP 71 62 72 QSP 72 63 73 QSP 73 63 74 QSP 74 63 75 QSP 75 64 76 QSP 76 64 77 QSP 77 64 78 QSP 78 65 79 QSP 79 65 80 QSP 80 66 81 QSP 81 66 82 QSP 82 66 83 QSP 83 67 84 QSP 84 67 85 QSP 85 68 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 P Page 5/71 Une petite introduction Voici une anthologie de 86 exercices tous corrigés avec le plus grand soin, qui vous prépareront à l’épreuve tant redoutée de la question sans préparation donnée à HEC et à l’ESCP. Certains sujets n’ont jamais été édités et d’autres ont fait l’objet d’un choix très méticuleux de ma part, correspondant à des thèmes inédits et qui pourront tomber d’ici peu. A bon entendeur ... Ces sujets couvrent l’intégralité des chapitres du programme de probabilités des deux années en voie scientifique. Ils pourra servir aussi aux étudiants de PC et de MP hormis les chapitres sur les variables à densité. Je dis souvent à mes étudiants que s’entraîner sur des QSP consitue un excellent exercice d’entraînement tout au long de l’année pour affiner ses connaissances et surtout apprendre à rassembler ses idées en un minimum de temps. Des étoiles ⋆ vous donneront une idée de la difficulté de chaque exercice : (⋆) exercice simple, (⋆⋆) exercice de difficulté moyenne, (⋆⋆⋆) exercice difficile. Cela reste bien sûr subjectif selon le niveau de chacun ! Ce modeste document de 71 pages livré à la communauté des préparationnaires et pro- fesseurs peut être utilisable par tous, mais son usage à titre commercial est strictement interdit. 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 6/71 Première partie Enoncés (Chapter head:)Sujets de QSP et de celles qui vont tomber ... n 2 n 2n 1. (⋆) ESCP Montrer que = . k n k=0 2. (⋆⋆) HEC 1 (a) Soit x ∈ IR. Montrer que la série 1 1 (x) est convergente. 2n n ,+∞ n≥1 +∞ 1 (b) On pose F (x) = 1 1 (x). 2n n ,+∞ n=1 i. Tracer le graphe de F sur [1/4,+∞[. ii. Montrer que F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire dont on donnera la loi. 3. (⋆⋆) Convergence et somme de la série double : 1 (p + q2) (p + q2 + 1) p≥0,q≥1 On admettra que : +∞ 1 π2 = i2 6 i=1 Indication : on pourra utiliser la décomposition pour tout q fixé dans IN∗ 1 1 1 = − (p + q2) (p + q2 + 1) p + q2 p + q2 + 1 4. (⋆⋆) On considère deux variables aléatoires discrètes A et B à valeurs dans Z. Leur loi de proba- bilité conjointe est de la forme : ∀(a, b) ∈ Z2, P([A = a] ∩ [B = b]) = Ke−|a|−|b| (a) Déterminer la valeur de K. (b) Calculer l’espérance du discriminant du polynôme (X − A) (X − B). 5. (⋆⋆) Soit X une variable aléatoire de loi géométrique de paramètre p. On définit une variable aléatoire Y de la façon suivante : X (ω) si X (ω) est impaire ∀ω ∈ Ω, Y (ω) = X (ω)/2 si X (ω) est paire Déterminer la loi de Y. 6. (⋆⋆⋆) Soit X et Y des variables aléatoires positives admettant un moment d’ordre deux sur (Ω,A,P). (a) A quelle condition a-t-on E X2 = 0? On exclut cette possibilité par la suite. (b) En considérant la fonction t → E (X + tY )2 , retrouver l’inégalité de Cauchy-Schwarz : 2 (E(XY )) ≤ E X2 E Y 2 (c) Montrer que pour tout a ∈ [0,1] : (1 − a)E(X) ≤ E X1[aE(X),+∞[ (X) 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 7/71 (d) En déduire que pour tout a ∈ [0,1] : (E(X))2 P([X ≥ aE(X)]) ≥ (1 − a)2 E(X2) 7. (⋆⋆) HEC Soit n un entier supérieur ou égal à 1. On considère deux variables aléatoires X et Y à valeurs dans {1, . . . , n + 1} telles que : n n ∀(i, j) ∈ {1, . . . , n + 1}2 , P([X = i] ∩ [Y = j]) = i−1 j−1 22n (a) Déterminer la loi de X son espérance et sa variance. (b) Soit la matrice M = (m ) avec m = P ([Y = i]). Calculer M2 et déterminer les valeur i,j i,j [X=j] propres de M. 8. (⋆⋆) Montrer que la série double a définie pour tout couple (i, j) de IN2, par a = i,j i,j (i,j) i + j est convergente et calculer sa somme. i!j!2i+j 9. (⋆⋆) HEC Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes définies sur un même espace probabilisé (Ω,A,P) suivant toutes deux une loi géométrique de paramètre p ∈ ]0,1[. Pour tout ω dans Ω on considère la matrice : X (ω) Y (ω) M (ω) = Y (ω) X (ω) Déterminer la probabilité P{ω ∈ Ω | M (ω) inversible}. 10. (⋆) HEC Soit X et Y deux variables indépendantes suivant chacune la loi de Poisson de paramètre 1. (a) Soit s un entier naturel. Déterminer la loi de X conditionnée par [X + Y = s]. (b) A l’aide de la formule de l’espérance totale, retrouver l’espérance de X. 11. (⋆⋆) On considère X une variable à densité paire fX et Y une variable indépendante de X suivant la loi de Bernoulli de paramètre p. Soit a et b deux nombres réels non nuls et Z = |X|(aY + b(1 − Y )). Calculer une densité de Z. 12. (⋆⋆) Soit X et Y des v.a.r. indépendantes telles que ֒X → ε(a) et ֒Y → ε(b). On considère la v.a.r. Z = λX + μY où λ et μ sont deux réels quelconques. (a) Déterminer une densité de la variable Z et en donner une représentation graphique. (b) Etant donnés m un réel quelconque et σ > 0, quelles doivent être les valeurs de λ et μ (en fonction des autres paramètres) pour que E(Z) = m et V(Z) = σ2. 1 1 13. (⋆⋆) ESCP Soit X une variable aléatoire de densité x → 1[0,1] (x). Montrer que Y = ln 2 1 + x 1 1 − suit la même loi que X. X X 14. (⋆⋆⋆) ESCP Soit X et Y deux variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes, de même loi et admettant une espérance. Montrer que : X E(X) E = X + Y E(X + Y ) 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 8/71 15. (⋆⋆) ESCP On étudie la peinture de n carrosseries de voitures. La probabilité que la peinture soit parfaite est de 0.75. On définit pour chaque entier naturel k de {1, . . . , n} : 1 si la peinture est imparfaite Xk = 0 si la peinture est parfaite n n n (a) Que dire de la suite P Xk − ≥ ? k=1 4 2 n≥1 (b) Calculer Cov (X1 + X2, X1 − X2). 16. (⋆⋆) HEC On effectue une suite d’épreuves indépendantes, chacune d’elles étant un succès avec la probabilité p ∈ ]0,1[. (a) Soit T la variable aléatoire égale au nombre d’échecs précédant le nème succès, n ∈ IN∗. n Déterminer la loi de Tn appelée loi binomiale négative. (b) Montrer la convergence en loi de (Tn)n dans le cas où p = 1 − λ/n, λ ∈ ]0, n[. 17. (⋆⋆) HEC Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires à valeurs dans [0,+∞[ définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P), indépendantes et de même loi. On suppose qu’il existe deux réels α > 0 et λ > 0 tels que : α P([X1 > x]) ∼ x→+∞ xλ Montrer que la suite de variables aléatoires (Zn)n≥1 définie par : ∀n ≥ 1, Z = n−1/λ sup (X , . . . , X ) n 1 n converge en loi vers une loi à déterminer. 18. (⋆⋆) ESCP Soit T1 et T2 deux estimateurs indépendants, sans biais de θ, de variances respectives V1 et V2. Pour tout a réel, on pose : Θa = aT1 + (1 − a)T2 (a) Θa est-il estimateur sans biais de θ ? (b) Déterminer a pour que la variance de Θa soit minimale. Quelle est la valeur de cette variance ? 19. (⋆⋆) Soit n un entier naturel non nul et (X1, . . . , Xn) un échantillon identiquement distri- bué indépendant de loi de Poisson de paramètre inconnu λ > 0. On pose : 1 n √ Xn − λ Xn = Xk et Tn = n √ n k=1 λ A l’aide de Tn, déterminer, pour n grand, un intervalle de confiance de λ au risque α donné. q p q 20. (⋆⋆) Calculer, pour (p, q) ∈ (IN∗)2 , × k . p + q − k p+q k=0 k n3 − 1 21. (⋆) Donner la nature de la série et calculer sa somme en cas de convergence. n! n≥0 22. Un démarcheur dépose au hasard p prospectus identiques dans n boîtes aux lettres distinctes (on suppose que chaque boîte peut recevoir plusieurs prospectus et que p ≥ n). Combien obtient-on de configurations pour lesquelles il y a une seule boîte vide ? 23. (⋆⋆) Une inégalité injustement méconnue. Sur l’espace probabilisé (Ω,A,P), on note A un événement quelconque et B un événement tel que 0 < P(B) < 1. 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 9/71 1 (a) Montrer que |P(A ∩ B) − P(A)P(B)| ≤ |PB (A) − PB (A)|. 4 (b) Que donne l’inégalité lorsque A ⊂ B ? (c) Dans quels cas a-t-on une égalité ? 24. (⋆⋆⋆) ESCP Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p. Déterminer la loi de : π/2 dθ Z = 0 X cosθ + XY + 1 25. (⋆⋆) Soit X une variable d’espérance nulle et de variance égale à σ2. Montrer que : σ2 ∀t > 0, P([X ≥ t]) ≤ σ2 + t2 26. (⋆⋆) HEC Soit X et Y deux variables définies sur un même espace probabilisé indépen- dantes et suivant toutes deux la même loi binomiale B (n,1/2). On considère la matrice aléatoire M définie par : ∀ω ∈ Ω, M (ω) = X (ω) 1 0 Y (ω) Calculer la probabilité de l’événement : “M (ω) est diagonalisable”. +∞ 1 π2 +∞ 1 π4 27. (⋆⋆) En utilisant que = et = et après avoir montré que la série double de n2 6 n4 90 n=1 n=1 1 terme général où p ≥ 1, q ≥ 1 et p divise q (noté p | q) est convergente, calculer : p2q2 1 p2q2 (p,q)∈(IN∗)2 p|q 28. (⋆⋆) Soit U, V, X et Y quatre variables aléatoires discrètes indépendantes possédant un moment d’ordre deux. On suppose que ces VAR ont la même espérance μ et la même variance σ2. On considère la matrice aléatoire A définie par : U (ω) X (ω) ∀ω ∈ Ω, A(ω) = V (ω) Y (ω) Vérifier que R = detA(tA) est une VAR. Montrer que R admet une espérance et la calculer en fonction de μ et σ2. 29. (⋆⋆) On considère n variables de Bernoulli indépendantes U1, . . . , Un de même loi, de paramètre p (p ∈ ]0,1[), n ≥ 4. Calculer : n n (a) E Uk et V Uk . k=1 k=1 n (b) P[U =0]∩[U =1] Ui = k . 2 4 i=1 n (c) P n Ui = k . Ui>0 i=1 i=1 (d) P([U1 ≤ U2 ≤ · · · ≤ Un]). 30. (⋆⋆) HEC Soit X une variable aléatoire normale centrée et réduite. Donner la loi de Y = 3 |X|. 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 10/71 31. (⋆⋆) HEC Soit f définie par f (x) = e−(x−1)1 (x). ]1,+∞[ (a) Prouver que f est la densité d’une variable X. (b) Soit Y une variable indépendante de X et suivant la loi uniforme sur [0,2]. Déterminer la loi de X + Y. (32) (⋆⋆) (a) Déterminer la loi de Y = sin (πX), si X suit une loi uniforme sur [0,1[. (b) Déterminer la loi de Z = tanθ, où θ suit une loi uniforme sur ]−π/2, π/2[. Indication on pourra utiliser la fonction Arcsin à la première question. (33) (⋆⋆⋆) HEC Les variables aléatoires considérées dans cet exercice sont définies sur un même espace probabilisé (Ω,A,P). On considère n variables aléatoires à densité, de même loi et indépendantes X1, . . . , Xn. On note F la fonction de répartition et f une densité des Xi. Pour tout ω ∈ Ω, on note (Y1 (ω), Y2 (ω), . . . , Yn (ω)) la suite des Xi (ω) pour 1 ≤ i ≤ n réordonnés par ordre croissant. On a donc Y1 (ω) ≤ Y2 (ω) ≤ · · · ≤ Yn (ω) pour tout ω ∈ Ω. (a) Si 1 ≤ k ≤ n et x ∈ IR, montrer que : n n j n−j P([Yk ≤ x]) = F (x) (1 − F (x)) j j=k (b) En déduire que Yk admet une densité qu’on explicitera sans signe . (34) (⋆⋆) Soit (Yn)n≥1 une suite de variables aléatoires réelles indépendantes et suivant la même loi kπ n Sn uniforme sur | k ∈ [[0,5]] . On pose Sn = cos (Yi). Montrer que converge en 3 i=1 n n≥1 probabilité vers 0. (35) (⋆) Soit X une variable aléatoire réelle admettant un moment d’ordre deux. Montrer que V(X) = minE (X − t)2 . t∈IR (36) (⋆) Soit X une variable aléatoire réelle suivant la loi normale centrée réduite. Calculer la loi de Z = eX. (37) (⋆) Soit X une variable aléatoire réelle positive admettant une espérance. Montrer que E(X) = +∞ (1 − F (t))dt. 0 (38) (⋆) Soit X et Y deux variables aléatoires réelles à densité. Montrer que P([X = Y ]) = 0. (39) (⋆⋆⋆) (a) Montrer que pour tout x > 0, +∞ 2 1 1 e−x /2 ∀x > 0, e−x2/2 − ≤ e−t2/2dt ≤ x x3 x x Indication : on pourra intégrer par parties t → t−1te−t2/2. (b) Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes de même loi normale centrée max (Xi) réduite. Montrer que 1≤√i≤n tend vers 1 en probabilité. 2 lnn (40) (⋆⋆) HEC Comparer V(X) et V(Y ) où Y = |X| sachant que X est une variable à densité admettant un moment d’ordre deux. (41) (⋆⋆) HEC Montrer que la fonction f définie sur IR par t → exp (t − et) est une densité de probabilité. 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 11/71 (42) (⋆⋆) HEC Soit X une variable à valeurs positives ou nulles et admettant une densité f continue sur IR+. On suppose de plus que f admet un moment d’ordre deux. (a) Etudier le comportement de x2P([X ≥ x]) lorsque x tend vers +∞. +∞ (b) Etablir une relation entre E X2 et xP([X ≥ x])dx. 0 (c) Prouver que : +∞ 2 +∞ P([X ≥ x])dx ≤ 2 xP([X ≥ x])dx 0 0 (43) (⋆⋆) HEC Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. On note Φ sa fonction de répartition. Etudiez la convergence et éventuellement la valeur de : +∞ I = xP([X ≥ x])dx 0 (44) (⋆⋆) HEC On considère une suite de variables aléatoires indépendantes (Xk)k≥1 , indé- pendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre λ > 0. Soit N une variable aléatoire définie sur le même espace et suivant la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0,1[. On pose : S = X1 + · · · + XN (a) Déterminer la loi conditionnelle de S sachant [N = n]. (b) En déduire la fonction de répartition de S puis la loi de S. Vérifier que : E(S) = E(N)E(X1) (45) (⋆⋆) HEC Soit f une densité de probabilité continue sur IR, à valeurs strictement positives. On considère n variables aléatoires indépendantes X1, . . . , Xn (n ≥ 1), de même densité f. On note F la fonction de répartition commune des Xi, 1 ≤ i ≤ n. On note également : Un = min (Xi) et Vn = F (Un) 1≤i≤n (a) Justifier que Vn est une variable aléatoire à densité. (b) Exprimer ϕ la fonction de répartition de Un. (c) Exprimer ψ celle de Vn uniquement en fonction de n. (46) (⋆⋆) HEC Déterminer une suite (Xn)n≥1 de variables aléatoires, chacune prenant deux valeurs, telle que la suite converge en probabilité vers la variable nulle mais que la suite (E(Xn))n≥1 converge vers 1 et la suite (V(Xn))n≥1 tend vers +∞. (47) (⋆⋆) HEC Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IN∗ et admettant une espérance. 1 (a) Montrer que admet une espérance. X √ 2 1 (b) Montrer que quel que soit le réel t, t X + √ admet une espérance. X 1 (c) En déduire que : E(X)E ≥ 1. Dans quel cas y a-t-il égalité ? X (48) (⋆⋆) HEC Déterminer le mode d’une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre 4. (49) (⋆⋆) HEC Soit n un entier naturel non nul. Une urne contient n boules blanches et n noires. On tire les boules de l’urne une à une sans remise, jusqu’à l’obtention de la dernière blanche. X désigne le nombre de tirages nécessaires. Donner la loi de X et son espérance. 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 12/71 (50) (⋆⋆) ESCP Soit (Xn) une suite de variables aléatoires qui converge en loi vers une variable aléatoire X. A-t-on lim E(Xn) = E(X)? n→+∞ (51) (⋆⋆) ESCP Soit X une variable aléatoire à densité f paire et continue sur IR. On suppose que X2 suit une loi exponentielle ε(λ). Déterminer f. (52) (⋆⋆) ESCP Soit X une variable à densité définie sur un espace probabilisé (Ω,T ,P) et F sa fonction de répartition. On suppose que : — F est de classe C1 sur IR. — X admet une espérance E(X). — lim x(1 − F (x) + F (−x)) = 0. x→+∞ +∞ Montrer que E(X) = (1 − F (x) + F (−x))dx. 0 (53) (⋆⋆) Soit (Xn) une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé et X une variable aléatoire définie également sur cet espace. On suppose que (Xn) converge en loi vers X, la suite (Xn − X) converge-t-elle nécessairement en loi vers la variable certaine nulle ? (54) (⋆⋆) ESCP Soit X une variable aléatoire strictement positive de densité f. On suppose 1 1 que X et 1/X admettant une espérance. Comparer E et . X E(X) (55) (⋆⋆) HEC Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P) telle que X (Ω) ⊂ IR∗ . + 1 (a) On suppose que la variable aléatoire X + admet une espérance. Montrer que X admet une X espérance. (b) La réciproque est-elle vraie ? (56) (⋆⋆) HEC Soit X une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé (Ω,A,P), suivant la loi de Poisson de paramètre λ > 0. (a) Montrer que pour tout entier n > λ − 1, on a : n + 1 P([X ≥ n]) ≤ P([X = n]) × n + 1 − λ (b) En déduire que P([X ≥ n]) ∼ P([X = n]). n→+∞ (c) Montrer que P([X > n]) = o(P([X = n])) lorsque n tend vers l’infini. (57) HEC Les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé (Ω,A,P). Soit X une variable aléatoire qui suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0 et soit Y une variable aléatoire indépendante de X telle que Y (Ω) = {1,2}, P([Y = 1]) = P([Y = 2]) = 1/2. On pose Z = XY. (a) Déterminer la loi de Z. (b) Quelle est la probabilité que Z prenne des valeurs paires ? (58) Soit X et Y deux variables vérifiant CardX (Ω) ≤ 2 et CardY (Ω) ≤ 2. Montrer que l’on a : X et Y indépendantes en probabilité si et seulement si Cov (X, Y ) = 0. (59) Supposons A indépendant de B ∩ C et de B ∪ C, puis B indépendant de C ∩ A et enfin C indépendant de A ∩B. Supposons, en outre, P(A), P(B), P(C) strictement positifs. Alors A, B, C sont mutuellement indépendants. (60) Soit X une variable aléatoire. Montrer que si E(|X|) = 0, alors X = 0 p.s. 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 13/71 (61) Soit X une variable aléatoire et r un nombre réel strictement positif tel que E(|X|r) < +∞. Montrer que P([|X| ≥ n]) = o(1/nr) lorsque n tend vers +∞. (62) Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires tel que V(X) = V(Y ) < +∞. Montrer qu’alors les variables aléatoires X + Y et X − Y sont non corrélées. (63) Soit X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes, chacune de loi uniforme sur [0,1]. Calculer une densité de probabilité de X + Y, X + Y + Z, X − Y. (64) Soit U une variable aléatoire uniformément répartie sur [0,1] et (Un)n≥1 une suite de va- riables aléatoires indépendantes aynat chacune la même loi que U. Soit d’autre part Y une variable aléatoire exponentielle de paramètre 1. Pour tout n ≥ 1, on pose Zn = ninf (U1, . . . , Un). Montrer que (Z ) →L Y. n (65) Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes exponentielles de même paramètre λ > 0. Déterminer les limites en loi des suites de terme général : (a) A = ninf e−λX1, . . . , e−λXn . n (b) B = n1/λ inf e−X1, . . . , e−Xn . n (c) C = n−1/λ sup eX1 , . . . , eXn . n (d) Dn = sup (X1, . . . , Xn) − ln (n) lorsque le paramètre λ vaut 1. (66) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans IR+ et (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires indé- pendantes, de même loi que X. Montrer que si P([X > x]) = o(1/x) lorsque x tend vers l’infini, L alors 1 sup (X , . . . , X ) → 0. n 1 n (67) Sur un espace probabilisé (Ω,A,P), on considère une variable aléatoire X centrée et de variance√ σ2 < +∞. Montrer que, pour tout a > 0, a ≤ E (a − x)1 ≤ (P([X ≤ a]))1/2 σ2 + a2. En [X≤a] σ2 déduire que P([X > a]) ≤ . σ2 + a2 (68) Un tiroir contient n paires de chaussures. On choisit au hasard 2r chaussures (2r ≤ n). Quelle est la probabilité qu’il n’y ait parmi ces 2r chaussures aucune paire complète ? Quelle est la probabilité qu’il y ait exactement k paires(s) complète(s) (1 ≤ k ≤ r)? (69) Soit X une variable aléatoire de loi N (0,1). Montrer que Z = eX est de densité f est définie par Z f (x) = (2π)−1/2 x−1e−(ln x)2/21 (x). La loi de Z s’appelle la loi log-normale. Z IR∗ + Pour a ∈ [−1,1], soit fa (x) = fZ (x) (1 + asin (2π lnx))1IR∗ (x). Montrer que si Za est de densité + fa, alors Za et Z ont les mêmes moments, et donc que les moments ne caractérisent pas une loi de probabilité. (70) (⋆⋆) HEC Montrer que : x −t2 π 1 ∀x > 0, e 2 dt ≥ 1 − 0 2 x2 (71) (⋆⋆⋆) Soit X une variable aléatoire positive admettant un moment d’ordre deux sur (Ω,A,P) et soit λ ∈ ]0,1[. Démontrer que (1 − λ)E(X) ≤ E X1[λE(X),+∞[ , et en déduire, par l’inégalité de Cauchy-Schwarz, que : (E(X))2 P([X ≥ λE(X)]) ≥ (1 − λ)2 E(X2) (72) (⋆⋆) Soit X une variable aléatoire absolument continue, de densité f continue sur IR et de fonction de répartition F vérifiant : lim x(1 − F (x) − F (−x)) = 0 x→+∞ Montrer que si X admet une espérance, celle-ci est donnée par la formule : +∞ E(X) = (1 − F (x) − F (−x))dx 0 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 14/71 (73) (⋆⋆) Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de densité f (x) = θe−θx1 (x), θ > 0. Déterminer les densités des lois de X3, |X − Y |, inf X, Y 3 . Même θ IR+ question lorsque X et Y suivent la loi uniforme sur [−1,1]. (74) (⋆⋆⋆) Soit Xi, 1 ≤ i ≤ n, des variables aléatoires indépendantes, Xi étant de fonction de répartition Fi. Soit mn = inf (Xi) et Mn = sup (Xi). Montrer que : 1≤i≤n 1≤i≤n ∀(x, y) ∈ IR2, P([x < m ≤ M ≤ y]) = (F (y) − F (x)) n n i i 1≤i≤n (75) (⋆⋆) Soit X une variable aléatoire suivant la loi N (0,1), et soit ε une variable binaire telle que P([ε = 1]) = P([ε = −1]) = 1/2, indépendante de X. Démontrer que εX et ε|X| ont même loi que X. (76) (⋆⋆) Soit (αn)n≥0 une suite de nombres appartenant à [0,1] ; on lui associe une suite (Xn)n≥0 une suite de variables aléatoires indépendantes sur un même espace probabilisé (Ω,A,P) dont les lois vérifient : 0 si t < 0 P([X ≤ t]) = α + (1 − α )tn si t ∈ [0,1] n n n 1 si t > 1 A quelles conditions sur (αn)n≥0 la suite (Xn)n≥0 converge-t-elle en loi, en probabilité ? (77) (⋆⋆) Montrer que si Xλ est loi P (λθ) alors la suite ((Xλ − λθ)/λ) converge en probabilité vers 0 lorsque λ tend vers ∞. En déduire que : λx k −λθ (λθ) 0 si θ > x lim e = 1 si θ < x λ→∞ k! k=0 (78) Soit X une variable aléatoire uniformément distribuée sur [0,1]. On pose U = inf (X,1 − X) et V = sup (X,1 − X). Déterminer la distribution de probabilité et l’espérance mathématique de la variable aléatoire V /U. (79) (⋆⋆) Soit Xn une variable aléatoire discrète à valeurs dans [[1, n]] telle que, pour tout 1 ≤ j ≤ n, P([X = j]) = n−1. Montrer que (X /n) converge en loi vers une variable aléatoire dont on n n n≥1 déterminera la fonction de répartition. n+x√n x un−1e−u 1 1 (80) (⋆) Montrer pour x > 0 que lim du = √ exp − u2 du. n→∞ 0 (n − 1)! 2π −∞ 2 (81) (⋆⋆) En considérant la variable aléatoire X qui prend les trois valeurs m − a, m et m + a avec, respectivement, les probabilités 1/2a2, 1 − 1/a2 et 1/2a2, montrer que l’inégalité de Bienaymé- Tchebychev ne peut être améliorée, sans hypothèses supplémentaires. (82) (⋆⋆) Soit (Xn)n≥1 une suite de variables aléatoires binaires telle que pour tout n ≥ 1, P([Xn = 1]) = n P([Xn = −1]) = 1/2. On pose Sn = Xi. Montrer que la loi faible des grands nombres implique i=1 que (Sn/n)n≥1 converge en loi vers 0. Si Fn et F désignent, respectivement, les fonctions de répar- tition de Sn/n et de 0, a-t-on lim Fn (0) = F (0)? n→∞ √ (83) (⋆⋆) Calculer une valeur approchée de 2+ 2 e−x2+4x−2dx. On donne Φ (1) ≃ 0.8143, √ √ 2 Φ (2) ≃ 0.9773, Φ 2 ≃ 0.9212, Φ 2 2 ≃ 0.9854. (84) (⋆⋆) HEC Soit U1, . . . , Un des variables aléatoires indépendantes, définies sur le même espace probabilisé suivant toutes la loi de Bernoulli de paramètre p. Calculer P([U1 ≤ U2 ≤ · · · ≤ Un]). (85) (⋆⋆) HEC Dans une urne il y a N boules (N ≥ 4) dont une seule est rouge. On extrait des paquets de k boules (k < N) que l’on remet dans l’urne jusqu’à obtention de la boule rouge. On note Yk la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de paquets tirés. N (a) Soit k < . Quelle relation y a-t-il entre E(Yk) et E(Y2k)? Ce résultat était-il prévisible ? 2 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − E Page 15/71 (b) Déterminer la meilleure stratégie entre : — (S1) : tirer 3 paquets de 2 boules. — (S2) : tirer 2 paquets de 3 boules. Ce résultat était-il prévisible ? (86) (⋆⋆) HEC Soit N un entier supérieur ou égal à 2. Un joueur dispose de N pièces équilibrées. Il effectue des lancers successifs : pour tout i ∈ [[1, N]], il lance i pièces au ième lancer. Il s’arrête lorsqu’il a obtenu au moins un pile et si ce n’est pas le cas, il s’arrête au Nème lancer. Soit XN la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre de lancers effectués. (a) Déterminer la loi de XN. +∞ k(k−1) 1 2 (b) Montrer que lim E(XN) = . N→∞ 2 k=1 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − C Page 16/71 Deuxième partie Correction 1 QSP 1 Avouez que l’on commence très simplement avec cette QSP car à ma grande stupéfaction la valeur de la somme vous était donnée. Par honnêteté intellectuelle je vous ai laissé la version originale du texte. Sortez vos violons ... Nous savons depuis longtemps que n n ∈ IN n n n + n 1 1 2 = 1 2 avec n ∈ IN k n − k n 2 k=0 n ≤ n1 + n2 c’est la formule d’Alexandre Théophile Vandermonde (1735 − 1796). Il ne vous reste plus qu’à poser n = n1 = n2 ce qui donne : n n n 2n = k n − k n k=0 et comme dit Yann, par propriété de symétrie des coefficients binomiaux, il vient : n 2 n 2n = k n k=0 C’est ce que l’on appelle le fameux corollaire de Vandermonde. Maintenant si vous avez des scrupules, je vous propose la démonstration combinatoire classique : soit une urne U bicolore constituée de n boules blanches et n boules noires. Il existe 2n parties de n n boules tirées de U. Parmi elles, celles qui sont composées de k boules blanches et de n − k boules noires 2n sont au nombre de n n . On retrouve toutes les parties à n éléments en sommant sur k que k n−k n l’on fait varier de 0 à n (c’est une histoire de partition (Ak)0≤k≤n où pour tout k de {0,1, . . . , n} Ak est l’ensemble des parties exactement constituées de k boules blanches). 2 QSP 2 Voici une sublime QSP donnée à l’Ecole des managers killers décomplexés (HEC) en 2007. À consom- mer sans modération en cas de recyclage en 2014. À bon entendeur ... 1. Notons pour n ∈ IN∗ et x ∈ IR u (x) le terme général de la série dont l’expression dépend des n valeurs de x. — Soit n ≥ 1 et x < 1/n alors par définition 1[1/n,+∞[ (x) = 0 et un (x) = 0 donc la série un (x) n≥1 converge. — Soit n ≥ 1 et x ≥ 1/n alors par définition 1 (x) = 1 et u (x) = 1 donc la série u (x) [1/n,+∞[ n 2n n n≥1 converge en tant série géométrique de raison 1/2 strictement inférieure à 1 en valeur absolue. Conclusion : 1 ∀x ∈ IR, la série 1[1/n,+∞[ (x) est convergente 2n n≥1 2. (a) Commençons par constater que pour tout entier naturel non nul n, 1/n ∈ ]0,1] donc si x ≥ 1 1[1/n,+∞[ (x) = 1. Voilà un premier résultat. Il ne reste plus qu’à voir ce qu’il se passe pour les valeurs de x ∈ [1/4,1[. Vu l’intervalle [1/n,+∞[ définissant la fonction indicatrice, il conviendra de discuter selon que x appartienne tour à tour à [1/4,1/3[, [1/3,1/2[ et [1/2,1[. C’est parti ... 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − C Page 17/71 — Si x ∈ [1/4,1/3[, alors 1[1/n,+∞[ (x) = 0 pour n ∈ {1,2,3} et 1[1/n,+∞[ (x) = 1 si n ≥ 4 ainsi : +∞ 1 F (x) = 1 1 (x) 2n n ,+∞ n=1 +∞ 1 = 2n n=4 1 1 = 24 1 − 1/2 = 1/8 — Si x ∈ [1/3,1/2[, alors 1[1/n,+∞[ (x) = 0 pour n ∈ {1,2} et 1[1/n,+∞[ (x) = 1 si n ≥ 3 ainsi : +∞ 1 F (x) = 1 1 (x) 2n n ,+∞ n=1 +∞ 1 = 2n n=3 1 1 = 23 1 − 1/2 = 1/4 — Si x ∈ [1/2,1[, alors 1[1/n,+∞[ (x) = 0 pour n ∈ {1} et 1[1/n,+∞[ (x) = 1 si n ≥ 2 ainsi : +∞ 1 F (x) = 1 1 (x) 2n n ,+∞ n=1 +∞ 1 = 2n n=2 1 1 = 22 1 − 1/2 = 1/2 Conclusion : 1/8 si x ∈ [1/4,1/3[ 1/4 si x ∈ [1/3,1/2[ F (x) = 1/2 si x ∈ [1/2,1[ 1 si x ∈ [1 + ∞1[ Je laisse au lecteur la joie de tracer la courbe représentative de F (fonction en escalier). (b) Pour commencer signalons que si x ≤ 0, 1[1/n,+∞[ (x) = 0 pour tout entier naturel n non nul et +∞ 1 1 1 (x) = 0 2n n ,+∞ n=1/x Maintenant si x > 0 avec x ≥ 1/n, 1[1/n,+∞[ (x) = 1 et se pose la question de savoir si 1/x est un entier naturel ou non car cela influencera la valeur de la somme de la série en jeu. En effet x ≥ 1/n est équivalent à n ≥ 1/x. Discutons ... — Si x > 0 et 1/n ∈ IN∗ alors : +∞ 1 +∞ 1 1 1 (x) = 2n n ,+∞ 2n n=1/x n=1/x 2 = 21/x 1/x−1 1 = 2 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − C Page 18/71 — Si x > 0 et 1/n ∈ IN∗ alors : +∞ 1 +∞ 1 1 1 (x) = 2n n ,+∞ 2n n=1/x n=⌊1/x⌋+1 2 = 2⌊1/x⌋+1 ⌊1/x⌋ 1 = 2 A ce niveau-là faisons un pose culturelle se basant sur la loi géométrique. Cette idée étant venue en examinant la "tête" des résultats des deux dernières sommes. En effet n’oubliez pas que la loi géométrique et la fonction d’antirépartition "font très bon ménage", comme je vous l’ai déjà signalé en cours, à savoir si ֒X → G (p) alors P([X > k]) = qk. Lorsqu’on observe (1/2)1/x−1 et (1/2)⌊1/x⌋ on voit apparaître qk. Le dernier problème à résoudre est que le texte nous parle de fonction de répartition et non d’antirépartition ... C’est pour cela que vous devez avoir l’idée de construire une variable aléatoire X qui dépendra d’une autre, notons-là Y qui elle sera géométrique. Quelle est la fonction de transfert alors ? C’est la fonction inverse, en remarquant que pour x > 0, [X ≤ x] = [1/Y ≤ x] = [Y ≥ 1/x] et si x ≤ 0, [X ≤ x] = 0. Moralité : F est la fonction de répartition d’une variable aléatoire X tel que X = 1 où ֒Y → G (1/2) Y 3 QSP 3 Puisque les termes sont positifs, on peut effectuer l’étude dans l’ordre que l’on veut ! 1 — Soit q fixé dans IN∗. La série simple converge car : (p + q2) (p + q2 + 1) p≥0 1 1 ∼ (p + q2) (p + q2 + 1) p→+∞ p2 ce qui nous ramène à une série de Riemann de paramètre 2 > 1. On peut conclure par comparaison appliquée aux séries à termes positifs. Par télescopage : +∞ 1 n 1 = lim (p + q2) (p + q2 + 1) n→+∞ (p + q2) (p + q2 + 1) p=0 p=0 n 1 1 = lim − n→+∞ p + q2 p + q2 + 1 p=0 1 1 = lim − n→+∞ q2 n + q2 + 1 1 = q2 +∞ 1 1 — Enfin la série = converge aussi, pour les raisons qu’auparavant. (p + q2) (p + q2 + 1) q2 q≥1 p=0 q≥1 On peut donc affirmer selon le théorème de Fubini que la série double étudiée converge et de somme : +∞ +∞ 1 +∞ 1 π2 = = (p + q2) (p + q2 + 1) q2 6 q=1 p=0 q=1 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − C Page 19/71 4 QSP 4 1. Cherchons K strictement positif telle que pa,b = 1, la convergence de la série double étant as- (a,b)∈Z2 surée par le fait que la suite double (p ) définit bien une loi de probabilité sur Z2,P Z2 a,b (a,b)∈Z2 et la famille événementielle ([A = a] ∩ [B = b])(a,b)∈Z2 constitue un système complet d’événements. Comme nous travaillons dans (a, b) ∈ Z2 faisons attention. Par Fubini nous pouvons sommer dans n’importe quel ordre puisque la série double à termes positifs est convergente, nous avons : pa,b = pa,b (a,b)∈Z2 b∈Z a∈Z +∞ = K pa,b + pa,b b∈Z a∈Z∗ a=0 − séparation +∞ = K e−|a|−|b| + e−|a|−|b| b∈Z a∈Z∗ a=0 − +∞ = K e−|b| ea + e−a b∈Z a∈Z∗ a=0 − +∞ +∞ = K e−|b| e−a′ + e−a b∈Z a′=1 a=0 en posant a′ = −a e−1 1 = K + e−|b| 1 − e−1 1 − e−1 b∈Z e−1 + 1 = K e−|b| 1 − e−1 b∈Z e−1 + 1 +∞ = K e−|b| + e−|b| 1 − e−1 b∈Z∗ b=0 − e−1 + 1 +∞ +∞ = K e−b′ + e−b 1 − e−1 b′=1 a=0 en posant b′ = −a e−1 + 1 e−1 1 = K + 1 − e−1 1 − e−1 1 − e−1 2 e−1 + 1 = K 1 − e−1 2 e + 1 = K 1 − e Conclusion : 2 e − 1 K = e + 1 2. Le discriminant du polynôme (X − A) (X − B) vaut ∆ = (A − B)2 . Il nous faut calculer en cas d’existence l’espérance de (A − B)2 en cas d’existence. Selon le bon vieux théorème de transfert E(∆) existe si, et seulement si la série double à termes positifs (a − b)2 p est convergente a,b (a,b) soit si, et seulement si la série double (a − b)2 e−|a|−|b| est convergente avec : (a,b) (a − b)2 e−|a|−|b| = a2 − 2ab + b2 e−|a|−|b| = a2e−|a|−|b| − 2abe−|a|−|b| + b2e−|a|−|b| 30/01/2014 P spicesagros.fr
ECS2 13/14 QSP − C Page 20/71 — Etude de la convergence de la série double a2e−|a|−|b|. (a,b) — Pour tout b de Z, la série simple a2e−|a|−|b| converge si, et seulement si a2e−|a|−|b| et a a≥0 a2e−|a|−|b| convergent et comme : a<0 (−a)2 e−|−a|−|b| = a2e−|a|−|b| les séries sont de même nature avec, en cas de convergence, +∞ a2e−|a|−|b| = 2 a2e−a−|b| a∈Z a=0 La convergence ne pose aucun problème puisque le terme général s’écrit comme combinaison linéaire de termes généraux de séries dérivées (d’ordre un et deux) convergentes puisque : a2e−a−|b| = a(a − 1)e−a−|b| + ae−a−|b| Comme il est de notoriété publique que : +∞ e(e + 1) +∞ e n2e−n = et ne−n = (e − 1)3 (e − 1)2 n=0 n=0 ainsi : 2 −|a|−|b| +∞ 2 −a−|b| 2e(e + 1) −|b| a e = 2 a e = e (e − 1)3 a∈Z a=1 e(1 + e) e(1 + e) — Enfin la série simple converge 2e−|b| si, et seulement si 2e−b en tant (e − 1)3 (e − 1)3 b b≥0 que série proportionnelle à la série géométrique de raison e−1 strictement inférieure à un en valeur absolue. — En conclusion la série double a2e−|a|−|b| converge selon le théorème de Fubini de (a,b) somme égale à : 2e(e + 1) +∞ a2e−|a|−|b| = 2e−b + 1 (e − 1)3 (a,b)∈Z2 b=1 e(1 + e) e−1 2e(e + 1) = 4 + (e − 1)3 1 − e−1 (e − 1)3 2e(e + 1)2 = (e − 1)4 — Etude de la convergence de la série double b2e−|a|−|b|. (a,b) Une étude similaire à la précédente montre que la série double b2e−|a|−|b| converge de somme (a,b) égale à : 2e(e + 1)2 b2e−|a|−|b| = (e − 1)4 (a,b)∈Z2 — Etude de la convergence absolue de la série double abe−|a|−|b|. (a,b) — Pour tout b de Z, la série simple |a| |b|e−|a|−|b| en série proportionnelle à une série dérivée a de série géométrique de raison e−1 avec e−1 < 1 et de somme : +∞ +∞ 2 a|b|e−a−|b| = 2|b|e−|b| ae−a a=1 a=1 e−1 = 2|b|e−|b| (1 − e−1)2 −|b| e = 2|b|e (e − 1)2 30/01/2014 P spicesagros.fr
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