Trang 2
HANOI UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY GIẢI ĐỀ CUỐI KỲ XSTK MI2020 [20171-20201] Tác giả: Tài liệu tham khảo: Made by Team XSTK • Giáo trình XSTK - Tống Đình Quỳ • Bài giảng XSTK - Nguyễn Thị Thu Thủy Hà Nội, 31 tháng 5 năm 2021
Trang 3
Mục lục Đề 20171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Đề 20172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Đề 20173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Đề 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Đề 20182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 Đề 20183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Đề 20191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Đề 20192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Đề 20193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Đề 20201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 Lời giải . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Trang 4
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20171 Mã học phần: MI2020 Câu 1. Xác suất làm việc của một hệ thống trong khoảng thời gian xác định nào đó được gọi là xác suất tin cậy (XSTC) của hệ thống đó. a) Tính XSTC của một mạng gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp cùng có XSTC là 0,95. b) Mắc song song với mạng trên một mạng dự phòng gồm 2 linh kiện mắc nối tiếp cùng có XSTC là 0,94. Tính XSTC của mạng mới đó. Câu 2. Một lô hàng gồm 16 sản phẩm loại A và 12 sản phẩm loại B. Chọn ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm. a) Tính xác suất để trong 3 sản phẩm đó có ít nhất 2 sản phẩm loại A. b) Chọn tiếp ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm trong số sản phẩm còn lại. Tính xác suất để trong số 3 sản phẩm được chọn lần hai có ít nhất 1 sản phẩm loại A. Câu 3. Theo điều tra của một hãng bảo hiểm ô tô tỷ lệ xe bị tai nạn trong năm là 0,15. Trong số xe bị tai nạn có: 80% được bồi thường tai nạn bằng 20% giá trị xe, 12% được bồi thường bằng 60% giá trị xe và 8% được bồi thường bằng 100% giá trị xe. a) Hỏi trung bình phải bồi thường tai nạn bằng bao nhiêu cho một xe có giá trị 600 triệu đồng? b) Đối với chiếc xe trên phải quy định phí bảo hiểm là bao nhiêu để hãng không bị lỗ? (Chỉ kể chi phí bồi thường, không kể các chi phí khác). Câu 4. Thống kê ở một vùng trong 500 xe ô tô đăng ký có 68 xe thể thao. Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin cậy đối xứng cho tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó. Theo anh (chị) có cách nào để nâng cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên? Câu 5. Đo thời gian phản ứng (giây) đối với hai loại thuốc kích thích của 8 người tham gia thí nghiệm (giả sử thời gian phản ứng đối với mỗi loại thuốc được coi là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn), ta có bộ số liệu cặp: Thuốc 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4 Thuốc 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2 Với mức ý nghĩa α = 5%, có thể cho rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như nhau hay không? Chúc các bạn qua môn! 1
Trang 5
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề cuối kì 20171 Câu 1. Gọi Ai = {Linh kiện i hoạt động tốt}, i = 1,2 a) Gọi A ={Mạng làm việc tốt} ⇒ P(A) = A1A2 ⇒ P(A) = P(A1A2) = P(A1)P(A2) = 0,95.0,95 = 0,9025 (do tính độc lập) b) * Gọi B ={Mạng dự phòng hoạt động tốt} Bi = {Linh kiện i của mạng dự phòng hoạt động tốt}, i = 1,2 ⇒ P(B) = B1B2 ⇒ P(B) = P(B1B2) = P(B1)P(B2) = 0,94.0,94 = 0,883 * Gọi C = {Mạng mới làm việc tốt} ⇒C = A+B ⇒ P(C) = P(A+B) = P(A) +P(B)−P(AB) = P(A) +P(B)−P(A)P(B) = 0,9025+0,8836−0,9025.0,8836 = 0,9887 Câu 2. Xét phép thử ngẫu nhiên chọn ra 3 sản phẩm Số kết cục đồng khả năng là: n =C3 = 3276 cách 28 a) Gọi Ai={Trong 3 sản phẩm có ít nhất 2 sản phẩm loại A} Số kết cục thuận lợi cho A là: m =C2 .12+C3 = 2000 cách 16 16 2000 500 ⇒ P(A) = = = 0,1605 3276 819 b) Gọi Bi = {Trong 3 sản phẩm lần đầu lấy ra có i sản phẩm loại B}, i = 0,1,2,3 Hệ {Bi} tạo thành hệ đầy đủ với: C3 20 C2 .12 40 16.C2 88 C3 55 P(B ) = 16 = ; P(B ) = 16 = ; P(B ) = 12 = ; P(B ) = 12 = 0 C3 117 1 C3 91 2 C3 273 3 C3 819 28 28 28 28 Gọi B = {Trong 3 sản phẩm lần 2 có ít nhất 1 sản phẩm loại A} ⇒ B = {Trong 3 sản phẩm lần 2 có 0 sản phẩm loại A} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(B) = P(B0)P(B|B0) +P(B1)P(B|B1) +P(B2)P(B|B2) +P(B3)P(B|B3) trong đó: C3 11 C3 33 P(B )P(B|B ) = 12 = ; P(B )P(B|B ) = 11 = ; 0 0 C3 115 1 1 C3 460 25 25 C3 6 C3 21 P(B )P(B|B ) = 10 = ; P(B )P(B|B ) = 9 = . 2 2 C3 115 3 3 C3 575 25 25 Chúc các bạn qua môn! 2
Trang 6
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê 20 11 40 33 88 6 55 21 ⇒ P(B) = . + . + . + . = 0,0672 117 115 91 460 273 115 819 575 ⇒ P(B) = 1−P(B) = 1−0,0672 = 0,9328 Câu 3: a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ chi phí bồi thường cho chiếc xe 600 triệu. X = {120,360,600} P(X = 120) = 0,8 P(X = 360) = 0,12 P(X = 600) = 0,08 Ta có bảng phân phối xác suất: X 120 360 600 P 0,8 0,12 0,08 ⇒ E(X) = 120.0,8+360.0,12+600.0,08 = 187,2 Vậy trung bình phải bồi thường tai nạn cho một xe có giá trị 600 triệu đồng là 187,2 triệu đồng. b) Gọi x là phí bảo hiểm. Để không lỗ thì: x−0,15.E(X) ≥ 0 ⇔ x−0,15.187,2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 28,08 triệu đồng Câu 4: Gọi p là tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó. Kiểm tra điều kiện: n f = 500.0,136 = 68 > 5; n(1− f) = 500.864 = 432 > 5. f − p √ - Chọn thống kê: Z = √ n.Z ∼ N(0,1) f(1− f) - Khoảng tin vậy đối xứng của xác suất p là: ( √ √ ) f(1− f) f(1− f) f −u α ; f +u α 1− 2 n 1− 2 n trong đó u α = u0,975 = 1,96 được tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. 1− 2 m - Với n = 500; m = 68; f = = 0,136 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là: n ( √ √ ) 0,136(1−0,136) 0,136(1−0,136) 0,136−1,96. ; 0,136+1,96. = (0,1060; 0,1660) 500 500 - Vậy với mức ý nghĩa 5% tỷ lệ xe thể thao ở vùng đó từ 10,6% đến 16,6% Để nâng cao độ chính xác của khoảng tin cậy cho tỷ lệ trên cần tăng cỡ mẫu hoặc giảm độ tin cậy (hoặc đồng thời cả hai). Câu 5: Gọi X, Y lần lượt là thời gian phản ứng (giây) đối với hai loại thuốc kích thích, Ta có: Chúc các bạn qua môn! 3
Trang 7
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê X ∼ N(μ ;σ2); Y ∼ N(μ ;σ2) 1 2 2 2 n1 = n2 = 8 Đặt Z = X - Y, thiết lập hiệu zi = xi −yi, i = 1,2, ...,8: X 3,1 1,5 2,9 2,6 1,7 2,3 3,8 2,4 P 4,1 2,2 3,5 1,8 2,7 2,5 3,4 3,2 Z -1,0 -0,7 -0,6 0,8 -1,0 -0,2 0,4 -0,8 - Đặt giả thuyết H0 : μ = μ0; đối thuyết H1 : μ 6= μ0 với μ0 = 0. Z −μ0 √ - Chọn tiêu chuẩn kiểm định: T = n nếu H0 đúng. T ∼ (n−1) S - Với α = 0,05, tra bảng phân phối Student ta được tn−1 = t7 = 2,365. Miền bác bỏ giả thuyết H 1−α 0,975 0 2 là: ( ) ( ) W = −∞;−tn−1 ∪ tn−1 ;+∞ = (−∞;−2,365)∪(2,365;+∞) α 1−α 1−α 2 2 - Từ số liệu đầu bài, tính toán ta được: n = 8; z = −0,3875; s = 0,6686 với μ0 = 0 suy ra giá trị quan sát là: z−μ0 √ −0,3875−0√ tqs = n = 8 = −1,6393 s 0,6686 - Vì tqs = −1,6393 ∈/ Wqs nên chưa có cơ sở bác bỏ giả thuyết H0, nghĩa là với số liệu này có thể cho rằng thời gian phản ứng trung bình đối với 2 loại thuốc là như nhau hay với mức ý nghĩa 5% Chúc các bạn qua môn! 4
Trang 8
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20172 Mã học phần: MI2020 Câu 1. Một hộp có n áo trắng và 2n áo xanh. Chia ngẫu nhiên các áo thành n nhóm (mỗi nhóm 3 áo). a) Tính xác suất để trong mỗi nhóm đều có áo trắng. b) Áp dụng có n = 5. Câu 2. Một xí nghiệp có 4 chiếc máy tiện với xác suất bị sự cố trong ngày của mỗi máy tương ứng là 0,01; 0,05; 0,1 và 0,1. a) Trong một ngày nào đó theo dõi một máy. Tính xác suất để máy đó bị sự cố. b) Khi theo dõi 2 máy thì có đúng 1 máy bị sự cố. Tính xác suất chiếc máy bị sự cố đó là máy thứ nhất. Câu 3. Xét một phần tư hình tròn tâm O(0; 0) bán kính bằng a, kí hiệu OAB, với tọa độ tương ứng là A(a; 0) và B(0;a). a) Trên đoạn OA lấy ngẫu nhiên một điểm C. Tìm phân phối xác suất của độ dài đoạn OC. b) Dựng một đường đi qua C, vuông góc với OA và cắt cung tròn tại điểm D. Tính kỳ vọng và phương sai của độ dài đoạn CD. Câu 4. Tiến hành 120 phép đo như nhau, độc lập, thì thấy sự kiện A xuất hiện 42 lần. a) Xác định khoảng tin cậy đối xứng 99% cho tỷ lệ xuất hiện A. b) Tính xác suất để sai số ước lượng của tỷ lệ trên bé hơn 10% tần suất mẫu. Câu 5. Cân 150 con vịt người ta thu được bộ số liệu sau: Khối lượng 1,25 1,50 1,75 2,00 2,25 2,50 2,75 3,00 Số lượng 2 6 24 35 39 24 14 6 Với mức ý nghĩa 5% có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt trên lớn hơn 2 kg được không? Chúc các bạn qua môn! 5
Trang 9
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề cuối kì 20172 Câu 1. Xét phép thử chia ngẫu nhiên các áo thành n nhóm (mỗi nhóm 3 áo). Tổng số kết cục đồng khả năng là: n =C3 .C3 ...C3 3n 3n−3 3 a) Gọi A= {Trong mỗi nhóm đều có áo trắng} Số kết cục thuận lợi cho A là: m = n.C2 .(n−1).C2 ...1.C2 2n 2n−2 2 (2n)! (2n−2)! 2! n.C2 .(n−1).C2 ...1.C2 n. .(n−1). ...1. m 2n 2n−2 2 2!(2n−2)! 2!(2n−4)! 2! ⇒ P(A) = = = n C3 .C3 ...C3 (3n)! (3n−3)! 3! 3n 3n−3 3 . ... 3!(3n−3)! 3!(3n−6)! 3! n!.(2n)! (2!)n n!(2n)! 3n = = 3n. = (3n)! (3n)! Cn 3n (3!)n 35 81 b) Với n = 5: P(A) = = C5 1001 15 Câu 2. a) Gọi Ai = {Máy theo dõi là máy i}, i = 1,2,3,4 Hệ {Ai} tạo thành hệ đầy đủ với: 1 P(A1) = P(A2) = P(A3) = P(A4) = 4 Gọi H = {Máy bị sự cố} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(H) = P(A1)P(H|A1) +P(A2)P(H|A2) +P(A3)P(H|A3) +P(A4)P(H|A4) trong đó: P(H|A1) = 0,01; P(H|A2) = 0,05; P(H|A3) = 0,1; P(H|A4) = 0,1. 1 1 1 1 13 ⇒ P(H) = .0,01+ .0,05+ .0,1+ .0,1 = = 0,065 4 4 4 4 200 b) Hệ {A1A2,A1A3,A1A,A2A3,A2A4,A3A4} tạo thành hệ đầy đủ với: 1 P(A1A2) = P(A1A3) = P(A1A4) = P(A2A3) = P(A2A4) = P(A3A4) = 6 Chúc các bạn qua môn! 6
Trang 10
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Gọi K = {Có đúng 1 máy bị sự cố khi theo dõi 2 máy} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(K) = P(A1A2)P(k|A1A2) +P(A1A3)P(k|A1A3) +P(A1A4)P(k|A1A4) +P(A2A3)P(k|A2A3) + P(A2A4)P(k|A2A4) +P(A3A4)P(k|A3A4) trong đó: P(K|A1A2) = 0,01.0,95+0,99.0,05 = 0,059 P(K|A1A3) = 0,01.0,90+0,99.0,1 = 0,108 P(K|A1A4) = 0,01.0,90+0,99.0,1 = 0,108 P(K|A2A3) = 0,05.0,9+0,95.0,1 = 0,14 P(K|A2A4) = 0,05.0,9+0,95.0,1 = 0,14 P(K|A3A4) = 0,1.0,9+0,9.0,1 = 0,18 ⇒ P(K) = 0,1225 Gọi C = {Trong 2 máy thì máy bị sự cố là máy thứ nhất} ⇒CK = {Có đúng máy thứ nhất bị sự cố khi theo dõi 2 máy} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(CK) = P(A1A2)P(CK|A1A2) +P(A1A3)P(CK|A1A3) +P(A1A4)P(CK|A1A4) + P(A2A3)P(CK|A2A3) +P(A2A4)P(CK|A2A4) +P(A3A4)P(CK|A3A4) trong đó: P(CK)|A1A2) = 0,01.0,95 = 0,0095 P(CK)|A1A3) = 0,01.0,90 = 0,009 P(CK)|A1A4) = 0,01.0,90 = 0,009 P(CK)|A2A3) = 0 P(CK)|A2A4) = 0 P(CK)|A3A4) = 0 11 ⇒ P(CK) = 2400 11 P(CK) 2400 Xác suất cần tính là: P(C|K) = = = 0,0374 P(K) 0,1225 Câu 3. a) Gọi X là độ dài đoạn OC thì X là biến ngẫu nhiên có phân phối đều, X ∼U[0,a], Hàm mật độ xác suất của X: 1 , x ∈ [0,a] fX(x) = a 0, x ∈/ [0,a] Chúc các bạn qua môn! 7
Trang 11
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê b) Gọi Y là độ dài đoạn CD thì Y là biến ngẫu nhiên thỏa mãn điều kiện: {√ a2 −x2, x ∈ [0,a] Y = 0, x ∈/ [0,a] ∫+∞ ∫a √ 1 Kì vọng của Y: E(Y) = Y fX(x)dx = a2 −x2dx a −∞ 0 Đặt x = asint ⇒ dx = acostdt π π ( ) ∣π ∫2 1 ∫2 1+cos 2t t sin 2t ∣∣2 aπ E(Y) = .a2.cos2tdt = a dt = a + ∣ = a 2 2 4 ∣ 4 0 0 0 +∞ a ( ) ∣∣a ∫ ∫ 1 1 x3 2a2 Có: E(Y2) = Y2 f (x)dx = (a2 −x2)dx = . a2x− ∣∣ = X a a 3 ∣ 3 −∞ 0 0 ( ) 2a2 a2π2 2 π2 ⇒V(Y) = E(Y2)−E(Y2) = − = − a2 3 16 3 16 Câu 4. 42 a) Gọi p là tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp. f = = 0,35. Kiểm tra điều kiện: 120 n f = 42 > 5; n(1− f) = 78 > 5 f − p √ - Chọn thống kê Z = √ n.Z ∼ N(0,1) f(1− p) - Khoảng tin vậy đối xứng của xác suất p là: ( √ √ ) f(1− f) f(1− f) f −u α ; f +u α 1− 2 n 1− 2 n trong đó α = 0,01; u α = u0,995 = 2,575 được tra từ bảng phân phối chuẩn. 1− 2 - Với n = 120; m = 42; f = 0,35 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là: ( √ √ ) 0,35.0,65 0,35.0,65 0,35−2,575. ; 0,35+2,575. = (0,2379; 0,4621) 120 120 Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp từ 23,79% đến 46,21% ( ) ε b) Xác suất cần tính là: P(|p− p| < ε) = 2φ σ̂ p trong đó: Chúc các bạn qua môn! 8
Trang 12
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê √ 0,35.0,65 ε = 0,1.0,35 = 0,035; σ̂ p = = 0,0435 120 ⇒ P(|p− p| < ε) = 2φ(0,8046) = 0,602 Câu 5. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ khối lượng trung bình của lứa vịt trên. E(X) = μ - Đặt giả thuyết H0 : μ = μ0. Đối thuyết H1 : μ > μ0 với μ0 = 2 X −μ0 √ - Chọn tiêu chuẩn kiểm định: U = n nếu H0 đúng. U ∼ N(0,1) s - Với α = 0,05 tra bảng phân phối chuẩn tắc có u1−α = u0,95 = 1,65. Miền bác bỏ H0 là: Ws = (u1−α;+∞) = (1,65;+∞) - Từ số liệu đã cho, có: μ0 = 2; n = 150; x = 2,185; s = 0,3781 suy ra giá trị quan sát: x−μ0 √ 2,185−2√ uqs = n = 150 = 5,9925 s 0,3781 - Vì uqs ∈Ws nên bác bỏ H0, chấp nhận H1, nghĩa là có thể cho rằng khối lượng trung bình của lứa vịt trên lớn hơn 2kg với mức ý nghĩa 5%. Chúc các bạn qua môn! 9
Trang 13
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20173 Mã học phần: MI2020 Câu 1. Một lô hàng có 15 sản phẩm gồm 6 loại A, 5 loại B và 4 loại C. Chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại) ra 4 sản phẩm. a) Tính xác suất trong 4 sản phẩm đươc chọn có đúng 2 sản phẩm loại B. b) Biết trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại A. Tính xác suất để trong 4 sản phẩm đó có đúng 1 sản phẩm loại C. Câu 2. Một nhóm học sinh có 5 loại giỏi, 4 khá và 2 trung bình. Chọn ngẫu nhiên ra một nhóm gồm 2 học sinh. a) Tính giá trị trung bình của số học sinh giỏi trong nhóm đó. b) Biết trong nhóm 2 học sinh có ít nhất 1 loại khá. Tính xác suất để trong nhóm đó có đúng 1 học sinh giỏi. Câu 3. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ (phân phối Rayleigh) { −x2 f(x) = A.e 4 x ≥ 0 0 x < 0 a) Tìm hằng số A. b) Tính các đặc trưng định vị: E(X) và mod(X). Câu 4. Số liệu dưới đây cho tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong 11 mẫu một loại xi măng: Tỷ lệ (%) 6 15 8 8 6 9 17 18 4 8 10 Với độ tin cậy 95% hãy tìm ước lượng khoảng cho tỷ lệ phần trăm trung bình của loại hóa chất trên (giả sử tỷ lệ đó là biến ngẫu nhiên tuân theo luật phân phối chuẩn). Câu 5. Một mẫ gồm n = 64 sản phẩm có 4 sản phẩm lỗi. Có đủ bằng chứng để chấp nhận giá thuyết "p > 5%" được không? Cho mức ý nghĩa α = 5%, p ký hiệu tỷ lệ sản phẩm lỗi. Chúc các bạn qua môn! 10
Trang 14
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề cuối kỳ 20173 Câu 1. Xét phép thử chọn ngẫu nhiên (không hoàn lại) ra 4 sản phẩm. Số kết cục đồng khả năng là: n =C4 = 1365 cách 15 a) Gọi B ={Trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại B} Số kết cục thuận lợi cho B là: m =C2.C2 = 450 cách 5 10 m 450 30 ⇒ P(B) = = = n 1365 91 b) Gọi A ={Trong 4 sản phẩm được chọn có đúng 2 sản phẩm loại A} Số kết cục thuận lợi cho A là: p =C2.C2 = 540 cách 6 9 p 540 36 ⇒ P(A) = = = n 1365 91 Gọi H ={Trong 4 sản phẩm đó có đúng 1 sản phẩm loại C} Xác suất cần tính là: P(AH) P(H|A) = P(A) trong đó: C2.C1.C1 20 P(AH) = 6 4 5 = C4 91 15 P(AH) 20 5 ⇒ P(H|A) = = 91 = P(A) 36 9 91 Câu 2. a) Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số học sinh giỏi trong số 2 người được chọn. Gọi Ai ={Trong 2 người được chọn có i học sinh giỏi}, i={0,1,2} C2 3 P(X = 0) = P(A ) = 6 = 0 C2 11 11 5.6 6 P(X = 1) = P(A1) = = C2 11 11 C2 2 P(X = 2) = P(A ) = 5 = 2 C2 11 11 Chúc các bạn qua môn! 11
Trang 15
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Ta có bảng phân phối xác suất: X 0 1 2 P 3/11 6/11 2/11 3 6 2 10 ⇒ E(X) = 0. +1. +2. = 11 11 11 11 b) Gọi H ={Trong 2 người được chọn có ít nhất 1 học sinh khá} Xác suất cần tính là: P(A1H) P(A1|H) = P(H) trong đó: 5.4 4 P(A1H) = = C2 11 11 C2 34 P(H) = 1−P(H) = 1− 7 = C2 35 11 P(A H) 4 10 ⇒ P(A |H) = 1 = 11 = 1 P(H) 34 17 35 Câu 3. a) Vì f(x) là hàm mật độ xác suất nên: f(x) ≥ 0 ∀x (1) ∫ +∞ f(x)dx = 1 (2) −∞ −x2 (1) ⇔ A.e 4 ≥ 0 ⇔ A ≥ 0 (2): x2 1 − √ 2 Đặt g(x) = √ √ e 2( 2) là hàm mật độ xác suất của BNN X có phân phối chuẩn. 2 2π √ X ∼ N(0;( 2)2) ∫ +∞ ∫ +∞ 1 √x2 ∫ +∞ 1 2 − −x ⇒ g(x)dx = √ √ e 2( 2)2 dx = √ e 4 dx = 1 −∞ −∞ 2 2π −∞ 2 π ∫ +∞ ∫ +∞ 2 ∫ +∞ √ 1 2 √ ∫ +∞ 1 2 −x −x −x Có: f(x)dx = A.e 4 dx = A.2 π. √ e 4 dx = A π 2. √ e 4 dx −∞ 0 0 2 π 0 2 π 1 −x2 Do √ e 4 là hàm chẵn nên: 2 π ∫ +∞ 1 2 ∫ +∞ 1 2 −x −x 2 √ e 4 dx = √ e 4 dx 0 2 π −∞ 2 π Chúc các bạn qua môn! 12
Trang 16
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê ∫ +∞ ∫ +∞ 1 2 √ ∫ +∞ 1 2 √ −x −x ⇒ f(x)dx = √ e 4 dx = A π √ e 4 dx = A π −∞ 0 2 π −∞ 2 π ∫ +∞ √ 1 ⇒ f(x)dx = 1 ⇔ A π = 1 ⇔ A = √ (TM) −∞ π Vậy: 1 −x2 √ e 4 , x ≥ 0 f(x) = π 0, trái lại ∫ +∞ ∫ +∞ 1 2 ∫ +∞ −2 −x 2 −2 ∫ +∞ 2 2 −x −x −x b) E(X) = x f(x)dx = √ xxe 4 dx = √ e 4 dx = √ d(e 4 ) = √ −∞ 0 π 0 π 2 π 0 π Hàm mật độ xác suất có: −x −x2 √ e 4 , x ≥ 0 f′(x) = 2 π 0, trái lại đổi dấu sang âm khi đi qua x = 0, do đó đạt cực đại tại điểm này, nên modX = 0 Câu 4. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tỷ lệ phần trăm một hóa chất trong các mẫu xi măng. X ∼ N(μ;σ2).E(X) = μ X −μ √ - Chọn thống kê T = n. Vì n = 11 < 30 nên T có phân phối Student với n−1 bậc tự do s - Sử dụng khoảng tin cậy đối xứng cho E(X) = μ ( ) n−1 s n−1 s x−t α .√ ; x+t α .√ 1− 2 n 1− 2 n trong đó tn−1 = t10 = 2,228 được xác định từ bảng phân phối Student. 1−α 0,975 2 - Tính toán ta được: x = 9,9091;s = 4,6788;n = 11. Khoảng tin cậy đối xứng là: ( ) 4,6788 4,6788 9,9091−2,228 √ ; 9,9091+2,228 √ = (6,77; 13,05) 11 11 - Vậy với độ tin cậy 95%, tỷ lệ phần trăm trung bình một hóa chất trong các mẫu xi măng từ 6,77% đến 13,05%. Chúc các bạn qua môn! 13
Trang 17
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Câu 5. Gọi p là tỷ lệ sản phẩm lỗi - Đặt giả thuyết H0 : p = p0. Đối thuyết H1 : p > p0 với p0 = 0,05 f − p0 √ - Chọn tiêu chuẩn kiểm định: U = √ n nếu H0 đúng. U ∼ N(0; 1) p0(1− p0) - Với α = 0,05,u1−α = u0,95 = 1,645 tra từ bảng phân phối chuẩn tắc. Miền bác bỏ H0 là: Ws = (u1−α;+∞) = (1,645;+∞) m 4 - Từ số liệu đề bài, ta có: n = 64;m = 4 ⇒ f = = = 0,0625 suy ra giá trị quan sát: n 64 f − p0 √ 0,0625−0,05 √ uqs = √ n = √ 64 = 0,4588 p0(1− p0) 0,05(1−0,05) - Vì uqs ∈/ Ws nên chưa đủ cơ sở bác bỏ giả thuyết H0, nghĩa là có đủ bằng chứng để chấp nhận giả thuyết "p > 5%". Chúc các bạn qua môn! 14
Trang 18
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Đề 1 ĐỀ THI CUỐI KỲ - 20181 Mã học phần: MI2020 Câu 1. Ở một địa phương đàn ông chiếm 55% dân số. Theo thống kê tỷ lệ đàn ông bị bạch tạng là 0,4%, còn tỷ lệ trên của đàn bà là 0,32%. a) Tìm tỷ lệ người bị bệnh bạch tạng ở địa phương đó. b) Gặp ngẫu nhiên một người bị bạch tạng, tính xác suất đó là đàn ông. Câu 2. Một máy đếm người vào một siêu thị có tỷ lệ đếm sót là 0,018. Giả sử trong vòng 1 giờ nào đó có 500 khách vào siêu thị. a) Tính kỳ vọng và phương sai của số người được máy đếm trong số 500 người nói trên. b) Tính xác suất để máy này đếm sót từ 6 đến 10 người trong số 500 người đó. Câu 3. Một linh kiện điện tử có thời gian hoạt động X là biến ngẫu nhiên có phân phối mũ với hàm mật độ của X là: f(x) = λ.e−λ.x,x > 0. a) Xác định phân phối xác suất cho thời gian hoạt động của một mạng gồm 2 linh kiện loại trên mắc song song. b) Tính kỳ vọng và phương sai của thời gian hoạt động của mạng đó. Câu 4. Ở một trung tâm giống cây trồng, theo dõi 3070 cây cà phê thì có 1135 cây cho thu hoạch thấp. a) Với độ tin cậy 95% hãy xác định khoảng tin cậy cho tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp. b) Tần suất cà phê có thu hoạch thấp có là ước lượng không chệch của tỷ lệ cây cho thu hoạch thấp không? Tại sao? Câu 5. Theo dõi thời gian bắt đầu có tác dụng của một loại thuốc trên một nhóm bệnh nhân trước và sau khi mổ dạ dày, ta thu được bộ số liệu (giả sử thời gian trên có phân phối chuẩn): Bệnh nhân 1 2 3 4 5 6 7 8 Trước mổ 44 51 52 55 66 68 70 71 Sau mổ 52 64 60 74 55 67 75 65 Hỏi thời gian tác dụng của thuốc trước và sau mổ có khác nhau không với mức ý nghĩa 1%? Phụ lục: trích Bảng hàm phân phối chuẩn x 1,282 1,645 1,96 2 2,576 3 Φ(x) 0,90 0,95 0,975 0,9772 0,995 0,9987 Hàm Laplace φ(x) = Φ(x) - 0,5. Chúc các bạn qua môn! 15
Trang 19
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Giải đề cuối kỳ 20181 Câu 1. Gọi A1 ={Gặp được đàn ông}; A2 ={Gặp được đàn bà} Hệ A1; A2 tạo thành hệ đầy đủ với: P(A1) = 0,55; P(A2) = 0,45 a) Gọi A ={Gặp được người bị bạch tạng} Áp dụng công thức xác suất đầy đủ: P(A) = P(A1)P(A|A1) +P(A2)P(A|A2) trong đó: P(A|A1) = 0,4; P(A|A2) = 0,32 ⇒ P(A) = 0,55.0,4+0,45.0,32 = 0,364 b) Xác suất cần tính là: P(A1A) P(A1)P(A|A1) 0,55.0,4 P(A1|A) = = = = 0,6044 P(A) P(A) 0,364 Câu 2. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số người do máy đếm được. X ∼ B(n; p) với n = 500; p = 0,982 a) E(X) = np = 500.0,982 = 491 người V(X) = np(1− p) = 500.0,982 = 0,018 = 8,838 b) Sự kiện Máy này đếm sót từ 6 đến 10 người trong số 500 người tương đương với máy đếm được 490 đến 494người trong số 500 người đó. Xác suất cần tính là: 494 P(490 ≤ X ≤ 494) = ∑ C500k .0,982k.0,018500−k = 0,5936 k=490 Câu 3. a) Gọi X1, X2 lần lượt là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của 2 linh kiện trong mạch. Gọi Y là biến ngẫu nhiên chỉ thời gian hoạt động của mạng lắp song song. Khi đó ta có: Y = max(X1, X2) > 0 Chúc các bạn qua môn! 16
Trang 20
Hỗ trợ học tập đại cương Xác suất thống kê Có: FY (y) = P(Y < y) = P(X1 < y; X2 < y) = P(X1 < y)P(X2 < y) (do tính độc lập) (∫ )2 (∫ )2 y y = f (x)dx = λe−λxdx = (1−e−λy)2 X −∞ −∞ Vậy ta có hàm phân phối xác suất: { (1−e−λy)2, y > 0 FY (y) = 0, trái lại b) Từ hàm phân phối xác suất, ta có hàm mật độ: { 2λe−λy (1−e−λy), y > 0 fY (y) = 0, trái lại ∫ +∞ Có: Hàm Gamma: Γ(z) = xz−1e−xdx 0 ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ 2 1 3 E(Y) = y f (y)dy = 2λye−λydy− 2λye−2λydy = Γ(2)− Γ(2) = Y λ 2λ 2λ −∞ 0 0 ∫ +∞ ∫ +∞ ∫ +∞ 2 1 7 E(Y2) = y2 f (y)dy = 2λy2e−λydy− 2λy2e−2λydy = Γ(3)− Γ(3) = Y λ2 4λ2 2λ2 −∞ 0 0 2 2 7 9 5 ⇒V(Y) = E(Y )−[E(Y)] = − = 2λ2 4λ2 4λ2 Câu 4. 1135 a) Gọi p là tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp. f = = 0,3697. Kiểm tra điều kiện: 3070 n f = 1135; n(1− f) = 1935 > 5 f − p √ - Chọn thống kê Z = √ n. Z ∼ N(0; 1) f(1− f) - Khoảng tin cậy đối xứng của xác suất p là: √ √ f(1− f) f(1− f) (f −u α ; f +u α ) 1− 2 n 1− 2 n trong đó α = 0,05, u α = u0,975 = 1,96 được tra từ bảng phân phối chuẩn. 1− 2 - Với n = 3070, m = 1135, f = 0,3697 suy ra khoảng tin cậy đối xứng của p là: ( √ √ ) 0,3697.0,6303 0,3697.0,6303 0,3697−1,96. ; 0,3697+1,96. = (0,3526; 0,3868) 3070 3070 Vậy với độ tin cậy 95% tỷ lệ cây cà phê có thu hoạch thấp từ 35,26% đến 38,68% m b) Có: f = mà m ∼ B(n; p) n E(m) ⇒ E(f) = = p nên f là ước lượng không chệch của p. n Chúc các bạn qua môn! 17
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !