Chương 6: Không gian véc tơ euclide, dạng toàn phương

LI
lienhejb
0 téléchargements
21
0

Génération de l'aperçu...

Suivant de cet auteurK1 Bộ đề luyện thi Trạng Nguyên Tiếng Việt (NXB DHQG)Précédent dans le coursChương 4: Hệ phương trình tuyến tínhSuivant dans le coursGiải Đề minh họa Đại số kỳ 2023 (CLB Hỗ trợ Học tập HUST)

Contenu du document

Trang 1

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG  Euclide là người đầu tiên đã trình bày toán học một cách hệ thống trong bộ 6.1 DẠNG SONG TUYẾN TÍNH sách "Cơ sở", trong đó Euclide đã xây dựng môn hình học chỉ dựa trên năm 6.1.1 Định nghĩa dạng song tuyến tính tiên đề. Một dạng song tuyến tính của không gian véc tơ V là một ánh xạ  Không gian Euclide ban đầu được hiểu như là không gian thực 3 chiều với hệ tiên đề Euclide.  :V V   R  Sự mở rộng sang không gian nhiều chiều xuất phát từ những công trình của ( , )u v  ( , )u v Banach (1892-1945), nhà toán học Ba Lan. sao cho khi cố định mỗi biến thì nó trở thành ánh xạ tuyến tính đối với  Không gian véc tơ Euclide là một không gian véc tơ với tích vô hướng. biến kia. Nghĩa là  Không gian véc tơ Euclide và dạng toàn phương là hai nội dung chính của  , , , R u ,u ,v u; ,v ,v V chương này. 1 2 1 2 1 2 1 2  Dạng toàn phương được sử dụng trong bài toán bình phương cực tiểu, trong ( u   u , )v   (u , )v   (u , )v 1 1 2 2 1 1 2 2 quy hoạch động, phân loại các phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2, ( ,u  v   v )   ( ,u v )  ( ,u v ) khảo sát cực trị của hàm nhiều biến. 1 1 2 2 1 1 2 2 11/08/2023 1 11/08/2023 2 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG  Dạng song tuyến tính  được gọi là có tính: Ví dụ 6.1 Ánh xạ  : R2 R2 R xác định như sau 1 i. Đối xứng Nếu (u,v)(v,u) với mọi u,v V. x  (x ,x ),y  (y ,y );  ( ,x y)  2x y 5x y x y  7x y 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 2 2 ii. Không âm Nếu (u,u)0 với mọi u V. có tính chất  ( ,x y)   ( ,y x) 1 1  ( ,x x)  2x2 4x x  7x2  2(x x )2  5x2. iii. Không dương Nếu (u,u)0 với mọi uV. 1 1 1 2 2 1 2 2 iv. Xác định (u,u)0 khi và chỉ khi u0. Do đó 1 là một dạng song tuyến tính xác định dương nhưng không đối xứng.  Dạng song tuyến tính xác định và không âm gọi là xác định dương. Ánh xạ  : R2 R2 R xác định như sau   2  Vậy xác định dương khi và chỉ khi (u,u)0 với mọi u  0. x  (x ,x ),y  (y ,y );  ( ,x y)  2x y 2x y 2x y  7x y 1 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2  Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương được gọi là tích  ( ,x y)   ( ,y x)  ( ,x x)  2x2 4x x  7x2  2(x x )2  5x2 vô hướng. 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2  là một tích vô hướng của không gian véc tơ R2.  Ta thường ký hiệu tích vô hướng của u và v là u,v thay cho (u,v). 2 11/08/2023 3 11/08/2023 4 1

Trang 2

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.1.2 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính x y, V; x  x e ...x e , y  y e ...y e 1 1 n n 1 1 n n n n Giả sử :VV  R là một dạng song tuyến tính của không gian véc ( ,x y)  (x e ... x e ,y e ...y e )   a x y (6.7) 1 1 n n 1 1 n n ij i j tơ V . i1 j1 được gọi là biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính  trong cơ sở B. B  {e , … , e } là một cơ sở củaV. 1 n Nếu đồng nhất ma trận một hàng một cột [a] với chính phần tử a, thì Ma trận vuông cấp n, ký hiệu biểu thức tọa độ có thể viết lại dưới dạng ma trận như sau    t     A     B  a , a  (e e, ) ( , )u v    u B    B   v B    ij nn ij i j B. Ngược lại ta có thể chứng minh được, ánh xạ :V V  R có biểu được gọi là ma trận của dạng song tuyến tính  trong cơ sở thức tọa độ xác định bởi (6.7) là một dạng song tuyến tính. 11/08/2023 5 11/08/2023 6 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.2 Ánh xạ  : R3  R3 R xác định như sau 6.1.3 Biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính trong các cơ x  (x ,x ,x ), y  (y ,y ,y ) sở khác nhau 1 2 3 1 2 3 ( ,x y)  3x y 2x y  5x y  7x y  8x y  4x y x y A  [aij]  []B B {e , … , e } 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 là ma trận của  1 n (e ,e )  (1, 0, 0),(1, 0, 0) 3 (e ,e )  (1, 0, 0),(0,1, 0) 2 A’  [a’ ]  []B’ trong cơ sở B’{e’ , … , e’ } 1 1 1 2 ij 1 n (e ,e )  (1, 0, 0),(0, 0,1) 0 (e ,e )  (0,1, 0),(1, 0, 0) 5 B 1 3 2 1 n B B     T  t  ,e  t e là ma trận chuyển từ cơ sở sang ’ (e ,e )   (0,1, 0),(0,1, 0)  7 (e ,e )   (0,1, 0),(0, 0,1)  8  ij B' j ij i 2 2 2 3   i1 (e ,e )  (0, 0,1),(1, 0, 0) 0 (e3,e2)   (0, 0,1),(0,1, 0)  4 n n  n n  n n  3 1 a  (e e, )   t e , t e   t  (e ,e t)   t  a t  (e ,e )  (0, 0,1),(0, 0,1) 1 y y y ij i j  ki k lj l  ki  k l lj  ki  kl lj  3 3 1 2 3 k1 l1 k1 l1 k1 l1 3 2 0  x   1 A T ATt   T t   T Ma trận của  trong cơ sở chính tắc A  5 7 8 x Vậy   B'   B   2 0 4 1 x   3 ut    v  ( , )u v   ut    v   u t T t   T v  i j x y  B'   B'   B'    B   B   B   B'   B   B' Phần tử ở hàng cột của ma trận chính tắc là hệ số của phần tử i j. 11/08/2023 7 11/08/2023 8 2

Trang 3

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.3 ( , )x y  3x y 2x y 5x y 7x y 8x y 4x y x y 6.2 DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1 1 1 2 2 1 2 2 2 3 3 2 3 3 Ma trận của  có trong cơ sở chính tắc 6.2.1 Định nghĩa dạng toàn phương (xem ví dụ 6.2)  Giả sử :VVR là một dạng song tuyến tính của không gian 3 2 0    B’ véc tơ V . A  5 7 8 Xét cơ sở {e’1, e’2 ,e’3}   0 4 1  Ánh xạ Q:VR xác định bởi công thức Q(v)(v,v) được gọi là   e  (1, 3, 4); e  (2, 0, 3); e  (3,1, 2) 1 2 3 V. B một dạng toàn phương của không gian véc tơ Ma trận của  trong cơ sở ’ Ma trận chuyển từ   B {e , … , e } là một cơ sở của V : v V; v  x e ... x e 1 2 3 11 48 33 1 n 1 1 n n cơ sở chính tắc   T  3 0 1 A T ATt  18 3 20  n n  n n sang cơ sở B’     Q v( )  ( , )v v  (e ,e )x x  a x x 4 3 2   i j i j ij i j    1 2 31 i1 j1 i1 j1 Chẳng hạn  Như vậy dạng toàn phương có biểu thức tọa độ là một đa thức đẳng (e,e)  3.1.22.1.0  5.3.2  7.3.08.3.3  4.4.04.3  48 1 2 cấp bậc 2. (e,e)  3.1.32.1.1 5.3.3  7.3.18.3.2  4.4.14.2  33 1 3 11/08/2023 9 11/08/2023 10 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ngược lại Ví dụ 6.4 Xét dạng song tuyến tính  : R2 R2 R Ánh xạ Q : V  R có biểu thức tọa độ trong cơ sở B nào đó là một x  (x ,x ),y  (y ,y ); ( ,x y)  2x y 5x y  x y  7x y 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 đa thức đẳng cấp bậc 2. Dạng toàn phương tương ứng là B Q x( )  ( ,x x)  2x2 4x x  7x2  {e1, … , en} 1 1 2 2 n n n v V; v  x e :Q v( )   a x x các dạng song tuyến tính i i ij i j i1 i1 j1  : R2 R2 R;  ( ,x y)  2x y 2x y 2x y  7x y  1 1 1 1 1 2 2 1 2 2 thì Q là một dạng toàn phương ứng với dạng song tuyến tính có  : R2 R2 R;  ( ,x y)  2x y 2x y 6x y  7x y (ei,ej)  aij . 2 2 1 1 1 2 2 1 2 2  : R2 R2 R;  ( ,x y)  2x y 4x y  7x y n n n 3 3 1 1 2 1 2 2 Chú ý: Để đơn giản ta ký hiệu a x x thay cho  a x x . ij i j ij i j Thỏa mãn  ( ,x x)   ( ,x x)   ( ,x x)  ( ,x x) Q x( ) i j, 1 i1 j1 1 2 3 11/08/2023 11 11/08/2023 12 3

Trang 4

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Q 6.2.3 Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phương  Ví dụ trên chứng tỏ cùng một dạng toàn phương có nhiều dạng  Q(x)(x,x).  Ma trận của dạng cực  của Q trong cơ sở B cũng được gọi là song tuyến tính thỏa mãn ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở B.  Tuy nhiên chỉ có duy nhất một dạng song tuyến tính đối xứng  ký hiệu A  [Q]B và xác định như sau thỏa mãn Q(x)(x,x). A  a  , a  (e e, )  (e ,e )  a  ij nn ij i j j i ji  Dạng song tuyến tính đối xứng  này được gọi là dạng cực của Q  Như vậy ma trận của dạng toàn phương là ma trận đối xứng.  Dạng cực của Q được xác định bởi công thức: B  Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Q trong cơ sở được 1  viết dưới dạng ma trận: ( ,x y)  Q x( y)Q x( )Q y( ) 2  t     Q v( )    v B QB   v B 11/08/2023 13 11/08/2023 14 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.6 Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 Ví dụ 6.5 Dạng toàn phương x  (x ,x ),Q x( )  2x2 4x x  7x2 Q x( ,x ,x )  x 2 2x x x 2  4x x  4x 2  6x x 1 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 2 2 1 3 3 2 3 Dạng cực tương ứng: Dạng cực tương ứng: x  (x ,x ,x ),y  (y ,y ,y ) 1 2 3 1 2 3 x  (x ,x ),y  (y ,y ); ( ,x y)  2x y 2x y 2x y  7x y 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2 ( ,x y)  x y x y x y x y 2x y 2x y  4x y  3x y  3x y 1 1 1 2 2 1 2 2 1 3 3 1 3 3 2 3 3 2 Có ma trận trong cơ sở chính tắc: Có ma trận trong cơ sở chính tắc:  2 2  1 1 2 A      2 7  A   1 1 3      2 3 4   11/08/2023 15 11/08/2023 16 4

Trang 5

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.2.4 Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phương 6.2.5 Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Lagrange  Biểu thức tọa độ của dạng toàn phương Q trong cơ sở nào đó của Giả sử trong cơ sở B {e , … ,e } của không gian véc tơV 1 n V có dạng dạng toàn phương Q có biểu thức tọa độ: Q x( )  a x 2 a x 2 ...a x 2 11 1 22 2 nn n n n v V; v  x e :Q v( )  a x x , a  a i i ij i j ij ji được gọi là biểu thức tọa độ có dạng chính tắc của Q. i1 i j, 1 Ta thực hiện các phép đổi tọa độ bằng cách sử dụng hai đẳng thức:  Ma trận của dạng toàn phương Q trong cơ sở có biểu thức tọa độ a2 2ab  (a b)2 b2 dạng chính tắc là ma trận chéo. a2 b2  (a b)(a b) 11/08/2023 17 11/08/2023 18 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Trường hợp 1: Trường hợp 2: Giả sử có aii 0, chẳng hạn a11 0, ta có thể sắp xếp lại Nếu mọi aii 0 và có aij 0 chẳng hạn a120  n a  n Q v( )  a x 2 2x  1i x  a x x Đặt x  y y 11  1 1 a i  ij i j  1 1 2  i2 11  i,j2 x  y y 2 2  2 1 2  n a   n a  n   a x   1i x  a  1i x    a x x x  y ; j  3,...,n 11  1 i  11  i  ij i j j j  a   a  i2 11 i2 11 i,j2 n n  n a 2 n thì Q v( )  a x x  a y y có a  a  0  a x   1i x   a x x ij i j ij i j 11 12 11  1 a i  ij i j i j, 1 i j, 1  i2 11  i j, 2 vì vậy ta có thể đưa về trường hợp 1.  n a y  x   1i x n n Đặt  1 1 a i thì Q v( ) a y 2  a y y Tiếp tục quá trình này với biểu thức a y y .  i2 11 11 1 ij i j ij i j y  x ; j  2,...,n i j, 2 i,j2  j j 11/08/2023 19 11/08/2023 20 5

Trang 6

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Tiếp tục quá trình trên cuối cùng nhận được Ví dụ 6.7 Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3       v  (x ,x ,x ); Q v( )  x 2  4x 2 x 2  4x x 2x x 2x x x  a  a  z  thỏa mãn 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 1 11 1n 1                   Q v( )   z2   z2 ...  z2. Q v( )  x2 2x (2x x ) 4x2 x2 2x x x  a  a  z  1 1 2 2 n n 1 1 2 3 2 3 2 3  n   n1 nn    n   (x 2x x )2 (2x x )2  4x2 x2 2x x 1 2 3 2 3 2 3 2 3 Xét hệ véc tơ có tọa độ là các cột của ma trận trên ... ,  (x 2x x )2 2x x  y2 2y y  z2 2z2 2z2 e  (a ,...,a ), e  (a ,...,a ) 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1 11 n1 n 1n nn v V : v  x e  x e  z e  z e y  x 2x x x  y 2y y y  z 1 1 n n 1 1 n n  1 1 2 3  1 1 2 3  1 1 y  x x  y y  z z Q v( )   z2  z2 ... z2.  2 2  2 2  2 2 3 1 1 2 2 n n y  x x  y y  z z  3 3  3 3  3 2 3 Nói cách khác {e’1, … , e’n} là cơ sở cần tìm để biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở này có dạng chính tắc. Tiếp tục tìm cơ sở để biểu thức tọa độ của dạng toàn phương có dạng chính tắc. 11/08/2023 21 11/08/2023 22 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.7 Dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 Ví dụ 6.8 Cho dạng toàn phương Q của P có biểu thức tọa độ: 2 v  (x ,x ,x ); Q v( )  x 2  4x 2 x 2  4x x 2x x 2x x v  a a t a t2  P ;Q v( )  a2 2a a  2a2  4a a  4a2  2a a 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 0 1 2 2 0 0 1 1 0 2 2 1 2   Q v( )  a2  2a (a  2a )2a2  4a2 2a a y  x 2x x x  y 2y y y  z 0 0 1 2 1 2 1 2  1 1 2 3  1 1 2 3  1 1 y  x x  y   (a a  2a )2  ( a 2a )2 2a2  4a2 2a a  2 2  2 2 y  z z 0 1 2 1 2 1 2 1 2    2 2 3 y  x x  y y  z z  (a a  2a )2 a 2  6a a  (a a  2a )2 (a  3a )2 9a2  3 3  3 3  3 2 3 0 1 2 1 1 2 0 1 2 1 2 2 x  1 2 1 y  1 2 1 1  0 0  z  1 3 1 z  b  a a 2a a b b 5b        1    1      1    1  0 0 1 2  0 0 1 2 a  1 1 5 b  x   0 1 0  y   0 1 0  0 1 1  z   0 1 1  z    0 0  2    2      2    2 b  a  3a  a b 3b a   0 1 3 b                   1 1 2  1 1 2  1    1 x  0 0 1  y  0 0 1  0 1 1 z  0 1 1 z  b  a a b a  0 0 1  b   3    3      3    3  2 2  2 2        2    2 e  (1, 0, 0) v  (x ,x ,x )  z e z e z e cơ sở mới 1 v  a a t a t2 b b (1t)b (53t t2) Cơ sở mới 1 2 3 1 1 2 2 3 3 e  1 e  1t 0 1 2 0 1 2 e  ( 3,1,1) 2 1 2 Q v( )  z2 2z2 2z2. e  5  3t t2 Q v( ) b2 b2 9b2. e  ( 1,1,1) 1 2 3 3 0 1 2 3 11/08/2023 23 11/08/2023 24 6

Trang 7

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.2.6 Đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Jacobi Khi đó với mỗi j 1, 2, … ,n; hệ phương trình Cho dạng toàn phương Q trong không gian véc tơ V (không giả thiết a x a x ...a x  0  11 1 12 2 1j j không gian Euclide) với dạng cực tương ứng , a x a x ...a x  0  21 1 22 2 2j j (6.20) B {e , … ,e } ........................................... có ma trận trong cơ sở 1 n  a x a x ...a x  1    j1 1 j2 2 jj j A  a : a  ( ,e e ); ,i j  1,...,n. ij ij i j là hệ Cramer do đó có duy nhất nghiệm, ký hiệu ( , ,...., ) 1j 2j jj Giả sử các định thức con chính của A đều khác không: D Đặt f   e  e .... e   j1  0; j  1,...,n D;  1 j 1j 1 2j 2 jj j jj D 0 a ... a j a a 11 1n  1 11 12 f   e  e D  a  0, D   0,...,D      0.  1 11 1 a 1 1 11 2 a a n  11 21 22 a ... a Xét hệ véc tơ f   e  e n1 nn  2 12 1 22 2 .........................................  f   e  e ....  e n 1n 1 2n 2 nn n 11/08/2023 25 11/08/2023 26 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ta sẽ chứng minh hệ véc tơ B’{f ,…,f } là một cơ sở của V và Vậy 0 nÕu i  j 1 n  Q  biểu thức tọa độ của trong cơ sở này có dạng chính tắc. ( ,f f )   D với i j,  1,...,n i j   j1 nÕu i  j B  jj D detB{f1, … , fn}1122… nn 0 nên hệ ’ độc lập tuyến tính vì  j Gọi A’ là ma trận của Q trong cơ sở B’ vậy là một cơ sở của V. B B T là ma trận chuyển từ cơ sở sang ’ thì Ta có       (f ,e )  a  a  ...a   0; i  1,..., j 1  11 12 1n    0   j i i1 1j i2 2j ij jj  0      11  (f ,e )  a  a  ...a   1 T   22 2n ;T ATt  A'  ( ,f f )        j j j1 1j j2 2j jj jj        i j       0      0  0    nn  (f ,f )  0 ; i  j  nn  j i (f ,f )  (f , e ...  e )   (f ,e )   Biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở B’ có dạng chính tắc j j j 1j 1 jj j jj j j jj 1 D D Mặt khác dạng song tuyến tính  đối xứng nên (f ,f )0 với mọi i j. v  y f ...y f Q v( )  y 2  1 y 2 ... n1 y 2 j i 1 1 n n D 1 D 2 D n 1 2 n 11/08/2023 27 11/08/2023 28 7

Trang 8

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Q R3  x 2x x  0 Ví dụ 6.9 Cho dạng toàn phương của có biểu thức tọa độ:  j 3 : Hệ phương trình (6.20) có dạng  1 2 3 2x 4x x  0 v  (x ,x ,x )  R3 :Q v( )  x 2 4x 2 x 2 4x x 2x x  2x x  1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 2 1 8  x  x x  1 Có nghiệm x   , x  , x   1 2 3 Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính 1 9 2 3 3 9    1 2 1 1 2 1    1 2 f e  (1, 0, 0) A   2 4 1 D  1,D   8,D  2 4 1  9. Chọn cơ sở  1 1   1 2 2 4 3  1 1  1 1   1 1 1 1 1 1 f   e  e   , , 0    2 4 1 8 2  4 8     1  2 1 8  2 1 8  j 1 ta có    1  f  e  (1, 0, 0) f   e  e  e   , ,  11 1 1  3 9 1 3 2 9 3  9 3 9 D 1  Q  x  2x  0 Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của có dạng:  j 2 : Hệ phương trình (6.20) có dạng  1 2 2x 4x  1 v  (x ,x ,x )  x e  x e  x e  y f y f y f  1 2 1 2 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 D D 1 8 Có nghiệm x   , x    f   e  e Q v( )  y 2  1 y 2  2 y 2  y 2  y 2  y 2. 1 4 2 8 2 4 1 8 2 D 1 D 2 D 3 1 8 2 9 3 1 2 3 11/08/2023 29 11/08/2023 30 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.10 Cho dạng toàn phương Q của P có biểu thức tọa độ:  x  x 2x  0 2  j 3 : Hệ phương trình (6.20) có dạng  1 2 3 x 2x x  0 v  a a t a t2  P ; Q v( )  a 2 2a a 2a 2  4a a  4a 2 2a a  1 2 3 0 1 2 2 0 0 1 1 0 2 2 1 2 2x x  4x  1 5 1 1  1 2 3 Ma trận của Q trong cơ sở chính tắc Có các định thức con chính Có nghiệm x  , x  , x   1 9 2 3 3 9  1 1 2 1 1 2 5 1 1   1 1 Chọn cơ sở f  1 f  1t f   t  t2 A   1 2 1 D  1,D   1,D  1 2 1  9 1 2 3 9 3 9   1 2 1 2 3  2 1 4 2 1 4 Trong cơ sở mới này biểu thức tọa độ của Q có dạng    1 5 1 1  j 1 ta có    1  f  1 v  a a t a t2  b b (1t)b   t  t2 11 D 1 0 1 2 0 1 2   1 9 3 9   x  x  0  j 2 : Hệ phương trình (6.20) có dạng  1 2 1 D D 1 x 2x  1 Q v( )  b 2  1 b 2  2 b 2  b 2 b 2  b 2  1 2 D 0 D 1 D 2 0 1 9 2 Có nghiệm x  x  1  f  1t 1 2 3 1 2 2 11/08/2023 31 11/08/2023 32 8

Trang 9

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Nhận xét 6.2 6.2.7 Luật quán tính  Một dạng toàn phương có thể đưa về dạng chính tắc theo phương pháp Giả sử A[a ][Q] ; A’  [a’ ]  [Q] là hai ma trận của Q trong ij B ij B’ Jacobi khi mọi định thức con chính góc bên trái Dk  0;k 1, 2, … B B hai cơ sở {e1, … , en}, ’  {e’ , … , e’n} của V.  Mọi dạng toàn phương luôn có thể đưa về dạng chính tắc theo phương 1 pháp Lagrange nhưng có thể không đưa về dạng chính tắc theo phương  B B B T  t B là ma trận chuyển từ cơ sở sang ’ pháp Jacobi.  ij   Chẳng hạn dạng toàn phương của không gian véc tơ R3 Ta có A’  T tAT Do đó r(A’)  r(TtAT ) r (A) v  (x ,x ,x )  R3 ;Q x( )  x 2  4x 2 x 2  4x x  2x x 2x x 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3 Mặt khác A(Tt)1A’T1 Do đó r(A) r(A’) 1 2 không sử dụng phương pháp Jacobi được vì D   0. 2 2 4  Do đó ta có thể định nghĩa hạng của dạng toàn phương Q là hạng  Cùng một dạng toàn phương ta có thể đưa về các dạng chính tắc với của ma trận của nó trong một cơ sở nào đó. các hệ số khác nhau. Tuy nhiên số các hệ số dương và hệ số âm là như nhau. Ta sẽ chứng minh điều này qua luật quán tính. 11/08/2023 33 11/08/2023 34 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Định lý 6.1 (Sylvester - Jacobi)  Trường hợp r n:Q được gọi là không suy biến. Số các hệ số dương và số các hệ số âm trong biểu thức tọa độ dạng  Trường hợp p n:Q được gọi là xác định dương. chính tắc của một dạng toàn phương Q là những bất biến của dạng  Trường hợp q n:Q được gọi là xác định âm. đó (tức là không phụ thuộc vào việc lựa chọn cơ sở). Q xác định dương khi và chỉ khi Q(v)  0, với mọi v  0.  Số các hệ số dương được gọi là chỉ số quán tính dương và số Q xác định âm khi và chỉ khi Q(v)  0, với mọi v  0. các hệ số âm được gọi là chỉ số quán tính âm của dạng toàn phương. Nếu  là dạng cực của dạng toàn phương Q thì: (p,q) Q xác định dương khi và chỉ khi  xác định dương.  Giả sử là cặp chỉ số quán tính dương và âm của dạng toàn phương Q trong không gian n chiều V thì p  q  r (hạng của Q). Q xác định âm khi và chỉ khi  xác định âm. Q không suy biến khi và chỉ khi  xác định. 11/08/2023 35 11/08/2023 36 9

Trang 10

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.11 Cho dạng toàn phương Q của R3 có biểu thức tọa độ: Định lý 6.2 (Sylvester) v  (x ,x ,x )  R3 :Q v( )  x 2 4x 2 x 2 4x x 2x x  2x x Giả sử dạng toàn phương Q có ma trận là A trong một cơ sở nào đó 1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3  Phương pháp Lagrange của V. Khi đó Q v( )  x 2  2x (2x x )4x 2 x 2  2x x i. 1 1 2 3 2 3 2 3 Q xác định dương khi và chỉ khi các định thức con góc trái của A 2 2 2 3 2 9 2  (x 2x x ) 8x  6x x  (x 2x x ) 2(2x  x )  x luôn dương. 1 2 3 2 2 3 1 2 3 2 4 3 2 3  Phương pháp Jacobi   ii. Q xác định âm khi và chỉ khi các định thức con cấp chẵn là dương  1 2 1 1 2 A   2 4 1 và cấp lẻ là âm. D  1,D   8,D  A  9   a a ... a  1 2 2 4 3    1 1 1  11 12 1n  1 D D 1 8 a a ... a  2 1 2 2 2 2 2 2 A  21 22 2n Q v( )  y  y  y  y  y  y       D 1 D 2 D 3 1 8 2 9 3 1 2 3   a a ... a  Chỉ số quán tính (p,q)  (2,1). n1 n2 nn 11/08/2023 37 11/08/2023 38 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.3 TÍCH VÔ HƯỚNG, KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE Ví dụ 6.13  Tích vô hướng có trọng số của không gian véc tơRn ứng với 6.3.1 Định nghĩa tích vô hướng và tính chất các hằng số dương c1, … ,cn được định nghĩa  Một dạng song tuyến tính đối xứng xác định dương được gọi là tích x  (x ,...,x ); y  (y ,...,y )  Rn vô hướng. 1 n 1 n  Một không gian véc tơ với một tích vô hướng <,> được gọi là x,y  c x y ...c x y . 1 1 1 n n n không gian véc tơ Euclide.  Các hằng số ci 0 là các trọng số, trọng số ci lớn thì số hạng thứ i Ví dụ 6.12 trong tích vô hướng cũng lớn theo. Rn là không gian véc tơ Euclide với tích vô hướng xác định như sau:  Tích vô hướng có trọng số đặc biệt quan trọng trong thống kê và x  (x ,...,x ); y  (y ,...,y )  Rn xử lý dữ liệu, khi ta muốn nhấn mạnh một thành phần nào đó so 1 n 1 n với các thành phần khác. x,y  x y ...x y .  Các trọng số được chuẩn hóa với tổng bằng 1. Các trọng số bằng 1 1 n n nhau và bằng 1/n được goi là tích vô hướng trung bình. 11/08/2023 39 11/08/2023 40 10

Trang 11

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Chẳng hạn u v,  2u v  5u v ; u  (u ,u ),v  (v ,v )  Giả sử V là một không gian véc tơ Euclide với tích vô hướng  ,  1 1 2 2 1 2 1 2 Là một tích vô hướng của R2 với hai trọng số 2 và 5.  Với mỗi véc tơ v V ta định nghĩa và ký hiệu chuẩn hay môđun của véc tơ v qua biểu thức Ví dụ 6.14 v  v v, Tích phân b  Nếu ||v||1 thì v được gọi là véc tơ đơn vị. f g,   f t g t dt( ) ( ) a Ví dụ 6.15 x  (x ,...,x ) Rn, x  x2 x2 1 n 1 n xác định một tích vô hướng của không gian véc tơ C0   v  (1,2, 3)  R3  v  12  ( 2)2  32  14 a b,  các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]. C0 b 2 f x( )     f x( )  | f x( ) | dx a b,  a 11/08/2023 41 11/08/2023 42 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Tính chất 6.3 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Với mọi u,v V luôn có 2 2 v,u  v,v u,u u v,  u  v v,u  v,v u,u Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi u,v phụ thuộc tuyến tính. vào không gian Rn, ta có bất đẳng thức Bunnhiacopsky Nếu một trong hai véc tơ bằng 0 thì cả hai vế của bất đẳng thức trên đều    x y ... x y 2  x 2 ...x 2 y 2 ...y 2 bằng 0, do đó bất đẳng thức nghiệm đúng. Giả sử v0, xét: 1 1 n n 1 n 1 n 2 2 2 t  R : F t( )  u tv u, tv  t v 2t v u,  u  0.  '  v u, 2  v 2 u 2  0  v u, 2  v 2 u 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các thành phần của (x1, … , xn) và F u, v phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi u  kv (hoặc v  ku). Khi đó: (y1, … , yn) tỉ lệ. Nghĩa là tồn tại tR sao cho: 2 u v,  kv v,  k  v  kv  v  u  v x x x 1  2   n  t. Ngược lại nếu u v,  u v thì   0 y y y F 1 2 n  t  R : F t( )  u t v u, t v  0  u  t v. 0 0 0 0 0 11/08/2023 43 11/08/2023 44 11

Trang 12

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.3.2 Trực giao - trực chuẩn hoá Gram-Shmidt  Từ định nghĩa ta thấy véc tơ 0 trực giao với mọi véc tơ. Vì vậy nói  Hai véc tơ u,v V gọi là trực giao nhau, ký hiệu uv chung hệ trực giao chưa chắc độc lập tuyến tính. Tuy nhiên với hệ trực chuẩn ta có kết luận sau. nếu u, v  0. Định lý 6.4 Mọi hệ trực chuẩn là hệ độc lập tuyến tính.  Hệ các véc tơ S v1, … ,vn của V được gọi là hệ trực giao nếu Chứng minh: Giả sử hệ các véc tơ S v , … ,v  của V trực chuẩn. 1 n hai véc tơ bất kỳ của hệ S đều trực giao nhau. Nghĩa là:  ,...,  R :  v   v   v  0 1 n 1 1 k k n n i j,  1,...,n i;  j  v ,v  0. k  1,...,n : 0  0,v   v   v   v ,v i j k 1 1 k k n n k  Hệ trực giao các véc tơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. Nghĩa là   v ,v   v ,v   v ,v   1 1 k k k k n n k k 0 i  j  Tương tự trên ta có thể chứng minh mọi hệ trực giao các véc tơ i j,  1,...,n : v ,v   . i j 1 i  j khác không là độc lập tuyến tính.  11/08/2023 45 11/08/2023 46 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Định lý 6.5 Chứng minh: Ta xây dựng hệ S’ thỏa mãn định lý theo quy nạp. Giả sử S u , … ,u  là một hệ độc lập tuyến tính các véc tơ của u     1 n v  1 span v  span u V , 1 u 1 1 không gian Euclide 1 k1 Khi đó ta có thể tìm được hệ trực chuẩn S’ v1, … , vn sao cho Bằng quy nạp ta đặt: v   u ,v v u ;k  2,...,n k k i i k     i1 span v ,...,v  span u ,...,u ; k  1,...,n k1 k1 1 k 1 k j  1,...,k 1 : v ,v   u ,v v u ,v   u ,v v ,v  u ,v  0 k j k i i k j k i i j k j Ta xây dựng hệ trực chuẩn S’ theo các bước quy nạp sau đây mà i1 i1 được gọi là quá trình trực chuẩn hoá Gram-Shmidt.  v  v ;j  1,...,k 1 k j v u v Từ giả thiết hệ S độc lập và theo quy nạp suy ra v  0 . Đặt v  k v  1 v   u ,v v u  v  v  v  2 k k v 1 u 2 2 1 1 2 2 1 2 k 1 v 2       v span v ,...,v  span v ,...,v ,v  span u ,...,u ,u k1 1 k 1 k1 k 1 k1 k v    u ,v v u  v  v ;i  1,...,k 1  v  k k k i i k k i k v i1 k 11/08/2023 47 11/08/2023 48 12

Trang 13

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Nhận xét: Trong quá trình tính toán ta có thể thay v bởi véc tơ v , vì: Ví dụ 6.16 k k v v k  v  k ;  0. P 2 k Trong không gian véc tơ 2 các đa thức bậc với tích vô hướng v v k k xác định theo công thức Ví dụ 6.15 Trực chuẩn hoá hệ độc lập tuyến tính của R3: u  (1,1,1); u  ( 1,1,1); u  (1,2,1) 1 1 2 3 p q,   p t q t dt( ) ( ) u 1 1 1 u  3  v  1  (1,1,1)  u ,v  u ,u  0 1 1 u 3 2 1 3 2 1 3 1 Cơ sở chính tắc 1,t,t2 không phải là một cơ sở trực chuẩn 1 1 2 1 v   u ,v v u   . (1,1,1) ( 1,1,1)  (2,1,1)  v  (2,1,1) 2 2 1 1 2 3 3 3 2 6 1 1 1  1 2  2 1 2  3 1 4 1 1,t  tdt  1,t  t dt  t t,  t dt  u ,v  ; u ,v   v   u ,v v  u ,v v u 2 3 4 3 1 3 3 2 6 3 3 1 1 3 2 2 3 0 0 0 4 1 1 1 1   (1,1,1) (2,1,1)(1,2,1) (0,1,1) Trực chuẩn hóa Gram-Shmidt cơ sở này. 3 3 6 6 2 1  v  (0,1,1) 3 2 11/08/2023 49 11/08/2023 50 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 1 1 6.3.3 Cơ sở trực chuẩn 1,1   dt  1  u1( )t  1 u2( )t   t u, 1( )t u1( )t t   t 2 Một cơ sở của không gian véc tơ V đồng thời là hệ trực chuẩn được 0 1  2   gọi là một cơ sở trực chuẩn.   1  1 1 1 1  1 u ( )t   t dt      u ( )t  2 3 t    3(2t 1) 2  2  4 2 3 2 3 2  2 0 Ví dụ 6.17 Cơ sở chính tắc của không gian Rn là cơ sở trực chuẩn. 1 1 2 1 1 t2,u ( )t  ; t2,u ( )t   t2 3(2t 1)dt  3    1 3 2 4 3 Định lí 6.6 Mọi hệ trực chuẩn của V đều có thể bổ sung thêm để trở 0 2 3 1 1 2 2 1 thành cơ sở trực chuẩn. u ( )t    3(2t 1)t  t t  3 3 2 3 6 Chứng minh: 1 1 1 1 Hệ gồm k véc tơ trực chuẩn S là hệ độc lập tuyến tính nên ta có thể bổ sung u3( )t   (6t2 6t 1)2dt   (36t4  36t2 172t3 12t2 12 )t dt V. 6 6 thêm để được một cơ sở của 0 0 1 36 72 48 12 1 36 1 Trực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở này để được một cơ sở trực chuẩn của V. u ( )t     1  7  3 6 5 4 3 2 6 5 6 5 Trong quá trình trực chuẩn hoá k véc tơ của hệ S không thay đổi vì vậy thực  1 S V. u ( )t  6 5t2 t    5(6t2 6t 1) chất ta đã bổ sung vào hệ để có cơ sở trực chuẩn của 3  6 11/08/2023 51 11/08/2023 52 13

Trang 14

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Hệ quả 6.7 Nhận xét 6.4: Mọi không gian véc tơ Euclide đều tồn tại cơ sở trực chuẩn. 1) Trong không gian với hệ trục tọa độ trực chuẩn Oxyz với    Định lý 6.8 các véc tơ đơn vị trên các trục tương ứng là i, j k, . e , … ,e  V .     Giả sử 1 n là một cơ sở trực chuẩn của Véc tơ đơn vị n  xi y j zk bất kỳ có Với mọi u, v  V , ta có       x  n i.  cos, y  n j.  cos, z  n k.  cos  1) v  v e, e ... v e, e .  1 1 n n nghĩa là n  (cos, cos, cos), trong đó   , , lần lượt 2) u v,  u e, v e, ... u e, v e, .  1 1 n n là góc của véc tơ n với các trục tọa độ. 3) v 2  v e, 2 ... v e, 2 . 1 n 2) Trường hợp e ,...,e  là một cơ sở trực giao củaV thì 1 n Chứng minh: v  x e ... x e  v,e  x e ... x e ,e  x e ,e  x v e, v e, v e, 1 1 n n i 1 1 n n i i i i i v V : v  1 e  2 e ... n e . e ,e 1 e ,e 2 e ,e n u  y e ...y e v,u  x e ... x e ,y e ... y e  x y ... x y 1 1 2 2 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 1 1 n n 11/08/2023 53 11/08/2023 54 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.3.4 Không gian con trực giao, phần bù trực giao Định lý 6.9 1. v  S  v  spanS  Véc tơ vV trực giao với tập con S V , ký hiệu v S, nếu v trực • (): Hiển nhiên. giao với mọi véc tơ của S. • (): u  spanS : u  x u ...  x u ;u ,...,u  S 1 1 k k 1 k v  S  v,u  0, u  S.  v u,  v x u, ...x u  x v u, ...x v u,  0. 1 1 k k 1 1 k k 2. Giả sử B  {e , … ,e } là một cơ sở của W , khi đó: 1 n  Tập con S trực giao với tập con S , ký hiệu S S , nếu mọi véc tơ v W  v e ; i  1,..., .k 1 2 1 2 i của S đều trực giao với mọi véc tơ của S . 3. Với mọi tập con S V, ký hiệu S  vV | vu, u  S. Ta có: 1 2 Tập S là không gian véc tơ con của V. S  S  v  u; v  S ,u  S 1 2 1 2    0  S  S   v ,v  S ; , R;u  S. 1 2 v  v ,u   v ,u   v ,u  0  v  v  S. 1 2 1 2 1 2 11/08/2023 55 11/08/2023 56 14

Trang 15

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG S  (spanS) V  (spanS)S (S )  spanS (6.52) 5. Nếu hệ véc tơ e , … ,e  là một cơ sở trực chuẩn của W và 1 k e , … ,e  là một cơ sở trực chuẩn của W 1)  S  (spanS) Giả sử {e , … ,e } là một cơ sở trực chuẩn của span S : k1 kn 1 k v V u; : v e, e   v e, e  spanS thì e1 , … ,ek, ek1 , … ,ekn là cơ sở trực chuẩn của V. 1 1 k k  v u e,  0;i  1,...,k  v u (spanS)  S V  (spanS)S. i 6. Trong không gian véc tơ Euclide Rn với tích vô hướng thông thường, u  (spanS)S  u u,  0  u  0 V  (spanS)  S S  (S )  spanS  (S ) xét hệ véc tơ v  (S ) V  spanS S  v  u1  u ; u  spanS u,  S. u  (a ,..., a ), ... , u  (a ,..., a ) 2 1 2 1 11 1n m m1 mn  0  v u, 2  u u ,u2  u ,u2  u ,u2  u ,u2 1 2 1 2 2  u  0  v  u  spanS  (S )  spanS. Đặt S u , … ,u , khi đó: 2 1 1 m a x a x  0 4. Với mọi không gian con W của V. Ta có  11 1 1n n  S là không gian nghiệm của hệ ................................ (6.55) V W W (W  ) W  a x a x  0   m1 1 mn n Hai không gian con W, W được gọi là phần bù trực giao của nhau. 11/08/2023 57 11/08/2023 58 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.18 Xét W (0,0,z)|z R  Trong Chương 5, theo Công thức (5.27) ta có thể xem W là nhân của  ánh xạ tuyến tính có ma trận trong cơ sở chính tắc là A. Ta có W  (x,y,0) | x,yR và R3 W W  Nhận xét 6.2  Mặt khác theo Định lý 6.9 ta cũng có thể xem W là tập tất cả các véc Gọi W là không gian nghiệm của phương trình thuần nhất AX  0 được tơ trực giao với mọi véc tơ hàng của A, do đó W là phần bù trực viết dưới dạng tổng quát: giao của không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ hàng của A. a x  a x    a x  0 dimW  n  r(A).  11 1 12 2 1n n  Theo (6.52), (6.55) ta có: a x  a x    a x  0  21 1 22 2 2n n            Kết quả này cho một cách chứng minh khác của Định lý 4.5 Chương  a x  a x    a x  0 4 và Công thức (5.13) Chương 5 :  m1 1 m2 2 mn n Khi đó ta có các kết quả sau: dimV  r f( ) dim Ker f. 11/08/2023 59 11/08/2023 60 15

Trang 16

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.4 MA TRẬN TRỰC GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO Vậy ma trận A trực giao khi và chỉ khi các véc tơ cột tạo thành hệ trực 6.4.1 Ma trận trực giao chuẩn. . Mặt khác vì A1  At nên ta cũng có AAt  I, do đó các véc tơ hàng  Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu AtA  I của A cũng tạo thành hệ trực chuẩn.  Như vậy ma trận trực giao A là khả nghịch và có A1  At . det(AtA)  det I  det(A)  1.  Ma trận A  [aij] vuông cấp n là ma trận trực giao khi  Ví dụ 6.19 n 1 nÕu j  k 1 3 2 6 0  a a       ij ik jk 0 nÕu j  k Ma trận A  1 3 1 6 1 2  i1   1 3 1 6 1 2   ij là ký hiệu Kronecker. có các cột là hệ trực chuẩn do đó là ma trận trực giao. 11/08/2023 61 11/08/2023 62 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.20 Mọi ma trận vuông cấp 2 trực giao đều có dạng Định lý 6.10 cos sin cos sin  Ma trận của một cơ sơ trực chuẩn viết trong cơ sở trực chuẩn là một A    hoặc A    sin cos  sin cos ma trận trực giao.     a b a c a b 1 0 Như vậy mọi ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn sang cơ sở trực Thật vậy, nếu A    và A At  I         chuẩn là ma trận trực giao. c d b d c d 0 1           Gọi A  a  là ma trận của cơ sở trực chuẩn v , ...,v  viết trong cơ  2 2 ij 1 n a2 c2 ab cd 1 0 a c  1 (1) B  e ,...,e       sở trực chuẩn 1 n    ab cd  0 (2) n n n ba dc b2 d2  0 1  v  a e   e ,v e  a a  v ,v   Vậy A là ma trận trực giao.     b2 d2  1 (3) j ij i i j i ij ik j k jk  i1 i1 i1 Hệ phương trình (2) & (3) là hệ 6.4.2 Ánh xạ tuyến tính trực giao c a b   , d  Giả sử V và V ’ là hai không gian véc tơ Euclide Cramer với ẩn b, d có nghiệm duy nhất A A Ánh xạ tuyến tính f :V  V’ được gọi là ánh xạ trực giao nếu: Kết hợp với phương trình (1), tùy theo định thức detA1 hoặc detA  1 ta có hai dạng của ma trận A. u v, V : f u( ), f v( )  u v, . V ' V 11/08/2023 63 11/08/2023 64 16

Trang 17

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Nếu f(u)0 thì 0f(u),f(u)u,u u  0, do đó mọi ánh xạ 6.4.3 Ma trận của tự đẳng cấu trực giao tuyến tính trực giao đều đơn cấu.  Giả sử A  [a ] là ma trận của tự đẳng cấu f trong không gian ij Vì vậy mọi tự đồng cấu tuyến tính trực giao là đẳng cấu. Euclide V với cơ sở trực chuẩn B  e , ... , e . 1 n Định lý 6.11 Theo Định lý 6.10 và Định lý 6.11 thì tự đẳng cấu f là trực giao khi Giả sử f là tự đồng cấu tuyến tính của không gian véc tơ Euclide V, và chỉ khi A là một ma trận trực giao. B e , ...,e  là một cơ sở trực chuẩn của V. 1 n  Vậy ma trận của tự đẳng cấu trực giao trong một cơ sở trực chuẩn Khi đó f trực giao khi và chỉ khi f (e ), ... , f (e ) là một cơ sở trực 1 n là một ma trận trực giao. chuẩn của V. Nghĩa là:  Ngược lại, nếu A là ma trận trực giao và f là tự đồng cấu tuyến tính  f u( ),f v( )  u v,  f e( ),f e( )  e e,    i j i j có ma trận trong cơ sở trực chuẩn là A thì f là ánh xạ trực giao.  V ' V  V ' V  u v, V i j,  1,...,n   11/08/2023 65 11/08/2023 66 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.21 Phép quay xung quanh trục Oz một góc quay  : Định lý 6.12 Mọi ma trận trực giao chỉ có các giá trị riêng là 1. f : R3  R3 xác định bởi Giả sử f là tự đẳng cấu trực giao có ma trận trong một cơ sở trực f x y z( , , )  (x cos y sin , x sin  y cos , z) chuẩn nào đó là A. z f(v) Có ma trận trong cơ sở chinh tắc Giả sử v  0 là một véc tơ riêng ứng với giá trị riêng . Khi đó: cos sin 0    A  sin cos 0 f v( ), f v( )  v,v  2 v v,   v  0 0 1   f v( ), f v( )  v v,  2 v v,  v v, O y A là ma trận trực giao, do đó v v,  0  2  1    1. x f là ánh xạ trực giao. 11/08/2023 67 11/08/2023 68 17

Trang 18

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG 6.5 CHÉO HOÁ TRỰC GIAO MA TRẬN, TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨNG Định lý 6.14 6.5.1 Bài toán chéo hoá trực giao Giả sử B  e , ... , e  là một cơ sở của V , khi đó tự đồng cấu f 1 n Cho ma trận A tìm ma trận trực giao T sao cho T tAT là ma trận chéo là đối xứng khi và chỉ khi với mọi i,j  1, 2, … ,n . Định lý 6.13 (điều kiện cần) f e( ),e  e , f e( ) i j i j Nếu A chéo hoá trực giao được thì A là ma trận đối xứng. Chứng minh: Điều kiện cần hiển nhiên T tAT là ma trận chéo thì Ngược lại, giả sử f e( ),e  e ,f e( ) i j i j (T ATt )t  T ATt T ATt t T ATt  At  A. v u, V : v  x e ...x e ; u  y e ...y e 1 1 n n 1 1 n n Ta chứng minh đây cũng là điều kiện đủ bằng cách xét tự đồng cấu đối xứng. f v( ),u  x f e( ) ... x f e( ),y e ... y e 1 1 n n 1 1 n n 6.5.2 Tự đồng cấu đối xứng n n n n   x y f e( ),e   x y e , (f e )  v f u, ( ) . f V V u, v V: i j i j i j i j Tự đồng cấu :  được gọi là đối xứng nếu với mọi  i1 j1 i1 j1 Như vậy để chứng minh một tự đồng cấu là đối xứng ta chỉ cần kiểm f u( ),v  u f v, ( ) . tra tính đối xứng đúng với một cơ sở nào đó. 11/08/2023 69 11/08/2023 70 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Giả sử B{e , … ,e } là cơ sở trực chuẩn và A[a ] là ma trận của Ví dụ 6.22 Ánh xạ f : R3  R3 xác định bởi 1 n ij f trong cơ sở B. f x y z( , , )  (x y  2 ,z x  2y  z,2x y  4z) n n Ma trận trong cơ sở chính tắc Ta cũng có thể kiểm tra lại điều kiện f e( )  a e   f e( ),e e đồng cấu đối xứng như sau j ij i j i i i1 i1  1 1 2 f e( )  (1,1,2)       1 Vậy với mọi i, j  1, ...,n: a  f(e ), e  e , f (e )  a A   1 2 1 f e( )  ( 1,2,1) ij i j i j ji   2  2 1 4   f e( )  (2,1, 4) 3 Định lý 6.15 f e( ),e  1  e ,f e( ) là ma trận đối xứng nên f là 1 2 1 2 Ánh xạ tuyến tính f đối xứng khi và chỉ khi ma trận A của f trong một tự đồng cấu đối xứng f e( ),e  2  e ,f e( ) một cơ sở trực chuẩn nào đó là ma trận đối xứng. 1 3 1 3 f e( ),e  1  e ,f e( ) 2 3 2 3 11/08/2023 71 11/08/2023 72 18

Trang 19

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Định lý 6.16 Định lý 6.17 Các giá trị riêng của một ma trận đối xứng là các số thực. Nói cách Hai véc tơ riêng ứng với hai giá trị riêng khác nhau của một tự đồng khác, đa thức đặc trưng của ma trận đối xứng vuông cấp n có n cấu đối xứng là trực giao nhau. nghiệm thực. f v( )   v , f v( )   v ; v ,v  0;   1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 Giả sử f là tự đồng cấu đối xứng có ma trận trong một cơ sở trực  v ,v  f v( ),v  v ,f v( )   v ,v 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 chuẩn nào đó là ma trận đối xứng A cấp n.  (  ) v ,v  0  v ,v  0. P 1 2 1 2 1 2 Giả sử  aib là nghiệm của đa thức đặc trưng ()  det(AI). Định lý 6.18 Khi đó tồn tại hai véc tơ u,vV sao cho: Mọi tự đồng cấu đối xứng f trong V đều tồn tại một cơ sở trực chuẩn f v( )  av bu f v( ),u  a v u, b u u, , v f u, ( )  a v u, b v v, của V gồm các véc tơ riêng của f. Nói cách khác mọi tự đồng cấu đối  f u( )  bv au xứng đều chéo hóa trực giao được.  f v( ),u  v f u, ( )  b u u,  b v v,  0 b  0 Vậy mọi nghiệm của đa thức đặc trưng là nghiệm thực. Hệ quả 6.19 Mọi ma trận đối xứng đều chéo hoá trực giao được. 11/08/2023 73 11/08/2023 74 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG u  R 6.5.4 Thuật toán chéo hoá trực giao Theo Định lý 7.16 f có véc tơ riêng 1 ứng với giá trị riêng 1 , u1 1 Để chéo hoá trực giao một ma trận đối xứng A, nghĩa là tìm ma trận Đặt W u R spanu  T TtAT 1 1 1 trực giao sao cho có dạng chéo, ta thực hiện các bước sau. v W  : f v( ),u  v f u, ( )  v, u  0  f v( ) W  Bước 1: Tìm các giá trị riêng của A (nghiệm đa thức đặc trưng). 1 1 1 1 1 1 Vậy W  bất biến đối với f và V W W  nên ta có thể xét 1 1 1 Bước 2: Với mỗi giá trị riêng tìm được ở Bước 1, tìm một cơ sở của f  f :W  W  ; dimW   dimV 1 không gian riêng tương ứng và trực chuẩn hoá Gram-Shmidt cơ sở 1 W  1 1 1 1 này. Quy nạp theo số chiều của không gian thì có cơ sở trực chuẩn u ,...,u  của 2 n W  f Bước 3: Gộp các cơ sở đã được trực chuẩn hoá ở Bước 2 ta có một 1 gồm các véc tơ riêng của 1 cơ sở trực chuẩn của V gồm các véc tơ riêng của A. Do đó u ,u ,...,u  là cơ sở trực chuẩn của V gồm các véc tơ riêng của f 1 2 n Ma trận các véc tơ của cơ sở này là ma trận trực giao T cần tìm. 11/08/2023 75 11/08/2023 76 19

Trang 20

CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG Ví dụ 6.23 Chéo hoá trực giao ma trận đối xứng  Với giá trị riêng   2, véc tơ riêng u (x,y,z) là nghiệm của hệ 1 0 2 2    2 2 2   x  0       A  2 3 1       2 2 2  1 1 1  1 2 0    2 5 1  y   0       2 1 3        2 5 1  0 3 3  0 1 1   2 1 5   z  0                2 1 5  0 3 3  0 0 0         2 2 4 2 2 Đa thức đặc trưng AI  2 3 1  4 3 1 Hệ phương trình trên x 2y  0 x  2y  có nghiệm  2 1 3 4 1 3 tương đương với hệ  y z  0 y  z   (4) 2 2 (4) 4 2 u  ( 2 , ,y y y)  y(2,1,1)Chọn u  ( 2,1,1) 1  0 1 3  0  2  3 (4) (2 2) 1 0 3 1 0 0 4 Trực chuẩn hoá được v  (2,1,1) 1 6 11/08/2023 77 11/08/2023 78 CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG CHƯƠNG 6: KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE, DẠNG TOÀN PHƯƠNG  Với giá trị riêng 2  4, véc tơ riêng u (x,y,z) là nghiệm của hệ 6.5.5 Đưa biểu thức tọa độ của dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng chéo hoá trực giao 4 2 2   x  0 4 2 2  2 1 1 Hệ phương trình            2 1 1  y   0  2 1 1  0 0 0  tương đương với  Giả sử Q là dạng toàn phương trong không gian Euclide V với cơ sở            2 1 1  z  0  2 1 1 0 0 0  2x  y  z  0. trực chuẩn B e , … , e  có ma trận A  [a ] (ma trận đối xứng).              1 n ij 1 y z u  ( , , )x y z  (y  z,2 ,2 )y z  (1,2, 0) (1, 0,2)  Theo Hệ quả (6.19) ta có thể hoá chéo trực giao ma trận A  [a ], 2 2 2 ij Chọn u  (1,2, 0), u  (1, 0,2) nghĩa là ta tìm được ma trận trực giao T để T tAT là ma trận chéo. 2 3 Trực chuẩn hoá được  2 1 2  B B      T là ma trận chuyển từ cơ sở sang cơ sở trực chuẩn ’ gồm các 1  6 5 30  2 0 0 v  (1, 2, 0)  1 2 1    . 2 5 t   véc tơ riêng của A T     T AT   0 4 0  6 5 30 1  1 5   0 0 4 B’ v  (2,1,5)  0     Vì vậy biểu thức tọa độ của Q trong cơ sở có dạng chính tắc. 3   30  6 30  11/08/2023 79 11/08/2023 80 20

Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.

Commentaires (0)

Se connecter pour rejoindre la discussion

Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !

Documents liés

Bộ đề ôn Đại số - Thi cuối kỳ HUST

Gratuit923 pages

Đề minh họa Đại số tuyến tính (HUST)

Gratuit72 pages

Tổng hợp Đề thi cuối kỳ đại số HUST BK0ST

Gratuit729 pages

Giải Đề cương Đại số - Chương 4 (2024) (CLB HTHT HUST)

Gratuit320 pages

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 pages
Même auteur

Đề thi TSA Khoa học giải quyết vấn đề - Khảo thí số 01

Gratuit123 pages

Đề Đọc hiểu TSA - Khảo thí 01

Gratuit26 pages

Đề Toán TSA - Khảo thí Toán học số 1 (Có đáp án)

Premium116 pages

Phiếu dự tuyển Vietcombank 2026 (VCB)

Gratuit53 pages

Phiếu dự tuyển Vietcombank (VCB)

Gratuit53 pages