Bài tập Phần tử hữu hạn (Bài tập 1.1) (Có đáp án) - PGS.TS. Nguyễn Mạnh Cường

UN
Uni24h
0 téléchargements
32
0

Génération de l'aperçu...

Suivant de cet auteurPhương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lý Thuyết Và Bài Tập 1Précédent dans le coursPhương pháp Phần tử hữu hạn (Chương 1) - Trần Ích Thịnh, Ngô Như KhoaSuivant dans le coursPhương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lý Thuyết Và Bài Tập 1
Avec corrigé

Contenu du document

Page 1

1 Trường Đại học Bách khoa Hà nội Bộ môn Cơ học Vật liệu và Kết cấu PGS.TS. Nguyễn Mạnh Cường BÀI TẬP PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN Hà nội, 07/2015

Page 2

2 PHẦN I: PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG BÀI TOÁN MỘT CHIỀU Bài tập 1.1: Khảo sát hệ 3 lò-xo nối với nhau như Hình 1.1. Độ cứng của các lò-xo lần lượt là k, 2k và 3k. Điểm 1 được cố định vào tường, điểm 3 chịu một chuyển vị ban đầu . Tại các điểm 2 và 4 có các lực tác động tương ứng F2= -F và F4 = 2F. Hãy xác định chuyển vị tại các điểm và lực tại điểm 3. F = - F  F = 2 F 2 4 Hình 1.1. Hệ 3 lò-xo với 1 2 3 4 chuyển vị ban đầu tại điểm 3 LỜI GIẢI Bước 1: Mô hình hóa PTHH của cơ hệ Hệ lò-xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 1.1 Bước 2: Lập bảng ghép nối các phần tử qi qj Phần tử 1 1 2 Phần tử 2 2 3 Phần tử 3 3 4 Bước 3: Tính ma trận độ cứng của các phần tử  1 2     22k  32k  3 4  k1   k k 1 k2    2 k3   3k 3k 3 (1) k k   2k 2k  3 3k 3k  2   4 Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng chung K Đánh số các ma trận độ cứng các phần tử và tiến hành lắp ghép, ta thu được ma trận độ cứng chung:  k  k 0 0   1 1 0 0   k 4k 3k 0  1 4 3 0  (2) K    k   0 3k 5k  2k  0 3 5  2  0 0  2k 2k   0 0  2 2      Bước 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F  F T R  F R 2FT với R1: phản lực liên kết tại nút 1, R3: lực tại nút 3 1 3 Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}  1 1 0 0 Q  R   1  1 1 4 3 0  Q  F (3) k  2      0 3 5  2Q  R    3   3   0 0  2 2 Q  2F 4 Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q1 = 0 và Q3 = , bỏ đi hàng 1 và cột 1 của ma trận K, ta có :  4 3 0 Q   F   2    k 3 5  2   R (4)     3   0  2 2 Q  2F   4    Biến đổi để giải hệ như sau : bỏ đi hàng 2 và cột 2 (tương ứng với vị trí của chuyển vị cho trước ). Đồng thời, từng hàng ở vế phải của (4) bị trừ đi một giá trị bằng  nhân với giá trị số hạng của ma trận ở cột 2 và hàng tương ứng : 4 0Q  F 3k k  2     0 2 Q 2F  2k   4     F 3 F T Giải hệ này, ta thu được: Q Q T     2 4  4k 4 k  F 3k 5F 3kT Các phản lực liên kết và lực tại 3 được tính từ (3): R R T       1 3 4 4 4 4  Thép (As=50 cm2) Nhôm (Aa=40 cm2) Bài tập 1.2: Đồng (Ab=25 cm2) F2 = 120000 N Hình 1.2a. Trục bậc F4 = 100000 N F2 = 120000 N l1=0.4m l2=0.4m l3=0.4m

Page 3

3 1 2F2 2 3 F q q 4 i j 1 2 3 4 Nút i Nút j Hình 1.2b. Mô hình PTHH và phần tử qui chiếu Xác định ứng suất và nội lực trong các đoạn của trục ở Hình 1.2. Biết: Es=207 GPa, Ea=69 GPa, Eb=104 GPa LỜI GIẢI: Bước 1: Mô hình PTHH của cơ hệ Hệ lò-xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 1.2b E A 207 x 5 x107 E A 69 x 4 x 107 s s   25,875 x108 (N/m) a a   6,9 x108 (N/m) l 4 l 4 1 2 E A 104 x 2,5x 107 b b   6,5x108 (N/m) l 4 3 Bước 2: Bảng ghép nối các phần tử qi qj Phần tử 1 1 2 Phần tử 2 2 3 Phần tử 3 3 4 Bước 3: Ma trận độ cứng của các phần tử Theo công thức (4.19), ta thu được các ma trận độ cứng k1, k2, k3 cho các phần tử như sau :   E A  11 21   E A  12 31   E A  13 41 k1  s s   1 k2  a a   2 k3  b b   3 (5) l 1 1  l 1 1  l 1 1  1 2 2 3 3 4 Bước 4: Ma trận độ cứng chung K  25,875 25,875 0 0  25,875 32,775 6.9 0  K108   (6)  0 6.9 13,4 6,5    0 0 6,5 6,5  Bước 5: Véc-tơ lực nút chung F  F T  R 2F 0 F T với R1 : phản lực liên kết tại nút 1. 1 2 4 Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}  25,875  25,875 0 0 Q   R   1   1   25,875 32,775  6.9 0  Q 2F 108   2   2  (7)  Q   0  0  6.9 13,4  6,5       3  0 0  6,5 6,5 Q  F  4 4 Áp dụng điều kiện biên của bài toán : Q1 = 0, bỏ đi hàng 1 và cột 1 của ma trận K, ta có hệ mới: 32,775  6,9 0 Q   240000    2    108  6,9 13,4  6,5 Q    0  (8)   3  0  6,5 6,5 Q  100000   4    Giải hệ (8) ta thu được: Q Q Q T  5,41x106 9.08 x10-6  24,47 x10-6T (m) 2 3 4 Ứng suất trong các trục được tính theo công thức (4.15), do đó:    T 2585534 2298229 3347379 T (N/m2 ) s a b Cuối cùng, ta có nội lực trong các trục: F F F T  13350 8900 8900 T (N) s a b Bài tập 1.3: Lực 110 kN 130 kN 3.8m 140 kN 3.8m Hình 1.3. Cột đỡ nhà 4 155 kN 3.8m tầng Tầng nhà 3.8m

Page 4

4 Khảo sát một cột nhà bằng thép trong một tòa nhà 4 tầng như Hình 1.3. Lực tác động lên cột là do trọng lượng của các tầng khác nhau gây ra. Cho mô đun đàn hồi của thép là E = 207 GPa và diện tích mặt cắt ngang của cột là A = 260 cm2. Hãy tìm các chuyển vị của các điểm 1,2,3,4 và các ứng suất trong cột tại các tầng nhà khác nhau. Bài tập 1.4: 2k FA FB A B k 2 2 2k k 3 Hình 1.4. Hệ lò-xo và hai con trượt Hai con trượt A và B được liên kết với nhau bởi hệ các lò-xo như Hình 1.4. Cho: k = 9000 N/m, FA = 90 N, FB=67.5N. Hãy: 1. Thiết lập ma trận độ cứng chung K và véc-tơ lực nút chung F 2. Tính chuyển vị của các con trượt và lực tác dụng vào các lò-xo Bài tập 1.5: Khảo sát trục bậc với đầu phải được nối với lò-xo như Hình 1.5. Biết k = 2500 kN/m, mô đun đàn hồi của thép và nhôm: Es = 210 GPa, Ea = 107 GPa. Hãy xác định chuyển vị của các đầu trục, ứng suất trong các trục và các phản lực liên kết. D = 0.1 m d = 0.05 m F= 500 kN k Nhôm Nhôm Thép Hình 1.5. Hệ trục bậc và lò-xo F= 500 kN l1=0.2m l2=0.2m l3=0.1m PHẦN II: PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN HỆ THANH PHẲNG Bài tập 2.1: Cho hệ 3 thanh như Hình 2.1a. Biết E = 200 GPa. Hãy xác định chuyển vị của B, C, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết 150 kN Q 6 Q2i C 3 Q Nút i 5 Q2i-1 0.4m 20 cm2 20 cm2 3 2 Q2j A 15 cm2 B Nút j Q 1 Q 2j-1 4 Q1 Q1 2 Q3 0.4m 0.4m 2 Hình 2.1a. Hệ 3 thanh chịu tải trọng thẳng đứng Hình 2.1b. Mô hình PTHH và phần tử qui chiếu LỜI GIẢI Bước 1: Hệ thanh được mô hình hóa với 3 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 2.1b 1. 1 = 0° m1 = 1 l1 = 0 2. 2 = 135° m2 = -0.707 l2 = 0.707 3. 3 = 45° m3 = 0.707 l3 = 0.707 Bước 2: Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Phần tử 1 1 2 3 4 Phần tử 2 3 4 5 6 Phần tử 3 1 2 5 6 Bước 3: Ma trận độ cứng của các phần tử Theo công thức (5.12), ta thu được các ma trận độ cứng k1, k2, k3 cho các phần tử như sau :

Page 5

5  1 2 3 4   3533.55 3534 .55 3535 .55 3536.55   375 0 375 0 1   3 k1   0 0 0 0 2 k2  353.55 353.55 353.55 353.55 4   353.55 353.55 353.55 353.55 375 0 375 0 3   5  0 0 0 0  353.55 353.55 353.55 353.55  6 4  3531.55 3532.55 3535 .55 3536 .55   1    353.55 353.55 353.55 353.55 (9) k3    2 353.55 353.55 353.55 353.55  5 353.55 353.55 353.55 353.55  6 Bước 4: Ma trận độ cứng chung K  728.55 353.55 375 0 353.55 353.55  353.55 353.55 0 0 353.55 353.55   (10)    375 0 728.55 353.75 353.55 353.55  K    (kN/mm)  0 0 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 353.55 707.1 0    353.55 353.55 353.55 353.55 0 707.1  Bước 5: Véc-tơ lực nút chung F  F T R R 0 R 0 150T với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1,2,4). 1 2 4 Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}  728.55 353.55 375 0 353.55 353.55 Q   R   1  1  353.55 353.55 0 0 353.55 353.55 Q  R     2   2  (11)  375 0 728.55 353.75 353.55 353.55  Q   0     3      0 0 353.55 353.55 353.55 353.55 Q   R  4 4 353.55 353.55 353.55 353.55 707.1 0  Q   0     5    353.55 353.55 353.55 353.55 0 707.1  Q  -150 6 Áp dụng điều kiện biên của bài toán, ta có Q1 = Q2 = Q4 = 0, bỏ đi các hàng và cột 1, 2, 4 ta có:  728.55 353.55 353.55Q   0    3    (12) 353.55 707.1 0 Q    0  5  353.55 0 707.1 Q  150   6    Giải hệ (12) ta thu được: Q Q Q T 0.2 0.1 0.312T (mm) 3 5 6 Ứng suất trong các thanh được tính theo công thức (5.13):    T 0.05 0.053 0.053T (kN/mm2 ) 1 2 3 Phản lực liên kết tại nút 1, 2, 4 được rút ra từ (11) : R R R T 0 75 75 T (kN) 1 2 4 Bài tập 2.2: Hệ hai thanh được tựa trên một lò-xo như Hình 2.2a. Tìm chuyển vị của điểm 1 và ứng suất trong các thanh. 2 P = 25 kN 2 1 P = 25 kN 5 m Y 1 2 45° 1 10 m 1 3 X 3 2 3 4 3 k = 2000 kN/m 4 Hình 2.2a. Hệ thanh và lò-xo Hình 2.2b. Mô hình PTHH LỜI GIẢI: Bước 1: Hệ thanh và lò-xo được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử được đánh số như Hình 2.2b 1. 1 = 135° m1 = - 2 /2 l1 = 2 /2 2. 2 = 180° m2 = -1 l2 = 0

Page 6

6 Bước 2: Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Phần tử 1 1 2 3 4 Phần tử 2 1 2 5 6 Phần tử 3 x 2 x 7 Bước 3: Ma trận độ cứng của các phần tử  11 21 31 14   1 2 5 6    1  1 0 1 0 1 k1105x105 1 1 1 1 2 (kN/m) k2 105x105  0 0 0 0 2 (kN/m)     1 1 1 1 3 1 0 1 0 5  1 1 1 1  4  0 0 0 0 6  42 47       (13) k3 105 x105  21 21 2 (kN/m)  4 4  -  7  21 21  Bước 4: Ma trận độ cứng chung K 11 1 1 1 1 0 0   4 4   1 1 1 1 0 0   21 21 (14)  1 1 1 1 0 0 0    K105 x105  1 1 1 1 0 0 0  (kN/m)  1 0 0 0 1 0 0     0 0 0 0 0 0 0   4 4   0  0 0 0 0   21 21  Bước 5: Véc-tơ lực nút chung F  F T 0 25 R R R R R T với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=17) 3 4 5 6 7 Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH  2 1 1 1 1 0 0  Q   0   25 4   1    1 1 1 0 0   Q -25 21 21  2    1 1 1 1 0 0 0  Q   R  (15)    3   3  105 x105  1 1 1 1 0 0 0  Q   R    4 4 1 0 0 0 1 0 0 Q   R     5   5   0 0 0 0 0 0 0  Q  R   4 4   6   6   0  0 0 0 0  Q  R   21 21  7 7 Theo điều kiện biên của bài toán, ta có Q3 = Q4 = Q5 = Q6 = Q7 = 0, bỏ đi các hàng và cột 3, 4, 5, 6 7 ta có:  210 105Q   0  (16) 105   1     105 125 Q  25 2 Giải hệ (15), ta thu được: Q Q T  1.724 x10-3 -3.448 x10-3T (m) 1 2 Sử dụng công thức tính ứng suất (5.13), ta có : 1.724 x10-3  210 x10 -3.448 x10-3    6 0.707 0.707 0.707 0.707  51.2 (MN/m )   2 1 5 0    0  1.724 x10-3  210 x10 -3.448 x10-3    6 1 0 1 0  36.2(MN/m )   2 2 10 0    0  Bài tập 2.3: Xác định các chuyển vị và các phản lực liên kết của hệ thanh trong Hình 2.3. Biết E = 207 GPa, A = 5 cm2

Page 7

7 200 cm 3 3 2 3 4 L 2 3 60° 45° 1 1 l =400 cm 14 L 2 l =400 cm 2 12 1000 kN 1 2000 N 1 60O Hình 2.3. Hệ thanh với gối tựa nghiêng Hình 2.4. Hệ thanh gắn vào tường Bài tập 2.4: Khảo sát hệ 3 thanh thép nối bản lề với tường và nối với nhau tại điểm 1 như Hình 2.4. Mô đun đàn hồi của thép: E = 200 GPa. Diện tích các mặt cắt ngang: A1 = A2 = A3 = 8 cm2. Xác định chuyển vị của điểm 1, ứng suất trong các thanh và các phản lực liên kết. Bài tập 2.5: Các thanh trong hệ thanh phẳng ở Hình 2. 5. có mặt cắt ngang hình vuông 15 mm x 15 mm và mô đun đàn hồi E = 69 GPa. Hãy: 1. Thiết lập ma trận độ cứng chung K 2. Tính các chuyển vị nút 3. Xác định các ứng suất trong các thanh 3 kN 4 2 1 2 3 5 kN P = 100 kN 5 m 3 5 m 2 m 2 45° 30° 1 1 3 k = 4000 N/m 2 m 4 Hình 2.5. Hệ thanh phẳng chịu lực Hình 2.6. Hệ thanh và lò-xo Bài tập 2.6: Xét hệ thanh phẳng được đỡ bởi một lò -xo như Hình 2.6. Biết E = 210 GPa, A = 5 x 10–4 m2. Hãy xác định chuyển vị tại 1 và ứng suất trong các thanh. PHẦN III: PHẦN TỬ PHẲNG TAM GIÁC Bài tập 3.1: Q4 y P = 500 N 50° Q 2 3 (2.40, 1.65) (1.5, 1.0) Q6 Q 3 5 y Q2 (2.25, 0.75) x Q q = 12 MPa 0 1 1 0 x Hình 3.1a. Tấm tam giác chịu lực Hình 3.1b. Mô hình PTHH

Page 8

8 Khảo sát một phần tử tấm tam giác ứng suất phẳng bằng thép với E = 200 GPa,  = 0.32 như Hình 3.1a. Tấm có chiều dày 3 mm, tọa độ các đỉnh đo bằng cm, tấm chịu các lực tập trung P và lực phân bố q. Xác định ma trậ n độ cứng chung và véc-tơ lực nút chung của phần tử. LỜI GIẢI Bước 1: Mô hình PTHH của cơ hệ Tấm được mô hình hóa bằng phần tử tam giác phẳng 3 nút và đư ợc đánh số như Hình 3.1b Bước 2: Bảng ghép nối phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 Bước 3: Ma trận độ cứng của phần tử y23 = y2 – y3 = 1.65 - 1.0 = 0.65 x32 = x3 – x2 = 1.5 - 2.40 = -0.9 y31 = y3 – y1 = 1.0 - 0.75 = 0.25 x13 = x1 – x3 = 2.25 - 1.5 = 0.75 y12 = y1 – y2 = 0.75 - 1.65 = -0.9 x21 = x2 – x1 = 2.40 - 2.25 = 0.15 Theo công thức (6.25), ta có: Det J = 2A = x21 y31 – x31 y21 = 0.7125 cm2 Đối với bài toán ứng suất phẳng , áp dụng các công thức (6.8) và (6.31), ta có : 1  0  0.65 0 0.25 0 0.9 0  E     1   D  1 0 . B   0 0.4 0 0.75 0 0.15 12  1 0.7125 0 0  0.9 0.65 0.75 0.25 0.15 0.9  2  Cuối cùng, theo công thức (6.38), ta thu được : 0.65 0  0.9  0  0.9 0.65 0.7125   22281640 7130125 0  3 0.25 0 0.75 K 2 x 7130125 22281640 0 x 0.7125  0 0.75 0.25   2    0 0 7575758  0.9 0 0.15    0 0.15  0.9 0.65 0 0.25 0  0.9 0   0  0.4 0 0.75 0 0.15    0.9 0.65 0.75 0.25 0.15  0.9 Bước 4: Ma trận độ cứng chung K  3273759 1811146 314288 372924  2959471 1438221  1811146 4473449 439769  2907167 1371376 1566282      314288 439769 1190309 580495 876020 1020265 (N/cm) (17) K     372924  2907167 580495 2738296 953420 168871   2959471 1371376 876020 953420 3835491  417957     1438221 1566282 1020265 168871  417957 1397411  Bước 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F Véc tơ lực nút qui đổi liên quan đến lực tập trung: P  1200 142  x  P  0   0   y      t.L  0  0.3 (2.25 1.5)2  (0.75 1.0)2  0   0  (N)  F  tk         P 2  0  2  0   0  P   0   0   x      P  1200 142 y Véc tơ lực nút qui đổi liên quan đến lực phân bố:

Page 9

9  0   0   0   0   0   0        Q   500cos(50)  321 (N)  F   jx        q Q  500sin(50)  383  jy       0   0   0         0   0   0  Véc tơ lực nút chung F:  F T 142 0 -321 -383 -142 0T (N) (18) Bài tập 3.2: Tìm các chuyển vị và ứng suất của tấm trong Hình 3.2a. Tấm được chia thành hai phần tử tam giác phẳng. Cho : E = 2 x 105 N/mm2,  = 0.25, chiều dày tấm t = 15 mm. y 50 kN Q8 Q6 3 4 Q7 Q5 1 1 500 mm 2 2 Q2 Q4 2 1 750 mm x Q1 Q3 Hình 3.2a. Tấm chịu liên kết và lực Hình 3.2b. Mô hình PTHH LỜI GIẢI Bước 1:Tấm được mô hình hóa với 4 nút và 2 phần tử phẳng tam giác đư ợc đánh số như Hình 3.2b. Bước 2: Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Phần tử 1 1 2 5 6 7 8 Phần tử 2 1 2 3 4 5 6 Bước 3: Ma trận độ cứng của các phần tử 1). Phần tử 1: Tọa độ các nút: 1(0, 0), 2(750, 0) và 3(0, 500) 1 0 0 detJ  2A  1 750 500  750500 1 0 500  0 0 500 0 500 0   0 0 1 0 1 0    1   1   B   0  750 0 0 0 750    0 1.5 0 0 0 1.5 750500 750  750 0 0 500 750 500 1.5 0 0 1 1.5 1 1   0  0.75 0.25 0  3 1 0 E   2105     D   1  0   0.25 0.75 0  0.2105 1 3 0 (1 )(1 2)  1 2 1.250.5     0 0   0 0 0.25 0 0 1  2   1 2 5 6 7 8   2.25 0 0 1.5 2.25 1.5  1    0 6.75 1.5 0 1.5 6.75 2 k  tAB T DB100000  1  0 1.5 3 0 3 1.5  5  1.5 0 0 1 1.5 1  6   2.25 1.5 3 1.5 5.25 3  7  1.5 6.75 1.5 1 3 7.75 8 (19) 2). Phần tử 2: Tọa độ các nút: 1(0, 0), 2(750, 0), 3(750, 500)

Page 10

10 1 0 0 3 1 0 detJ  2A  1 750 0  750500 D 0.2105 1 3 0   1 750 500 0 0 1 500 0 500 0 0 0  1 0 1 0 0 0    1   1   B   0 0 0  750 0 750   0 0 0 1.5 0 1.5 750500 750  0 500  750 500 750 0   0 1 1.5 1 1.5 0  1 0 0   0 0 1    3 0 3 1.5 0 1.5        15750500 1  1 0 1.5 0.2105   k2  tA B T D B     1 0 1  4.5 0 4.5 2 750 0 1.5 1 750      0 1 1.5 1 1.5 0   0 0 1.5       0 1.5 0   1 2 3 4 5 6   3 0 3 1.5 0 1.5  1    0 1 1.5 1 1.5 0  2   100000 3 1.5 5.25 3  2.25 1.5  3 (20)  1.5 1 3 7.75 1.5 6.75 4    0 1.5  2.25 1.1 2.25 0  5 1.5 0 1.5 6.75 0 6.25  6   Bước 4: Ma trận độ cứng chung K  1 2 3 4 5 6 7 8   5.5 0 3.0 1.5 0 3.0 2.25 1.5  1    0 7.25 1.5 1.0 3.0 0 1.5 6.25  2    3.0 1.5 5.25 3.0  2.25 1.5 0 0  3  k 100000 1.5 1.0 3.0 7.25 1.5  6.75 0 0  4    0 3.0  2.25 1.5 5.25 0 3.0 1.5  5  3 0 1.5  6.75 0 7.75 1.5 1.0  6    2.25 1.5 0 0 3.0 1.5 5.25 3.0  7  1.5 6.75 0 0 1.5 1.0 3.0  7.75 8   (21) Bước 5: Véc-tơ lực nút chung F  F T R R 0 R 50000 0 R R T 1 2 4 7 8 với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1, 2, 4, 7, 8). Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F}  5.5 0  3.0 1.5 0  3.0  2.25 1.5 Q   R   1   1   0 7.25 1.5 1.0  3.0 0 1.5 6.25 Q R   2   2    3.0 1.5 5.25  3.0  2.25 1.5 0 0 Q   0    3     1.5 1.0  3.0 7.25 1.5  6.75 0 0 Q   R  100000  4    4   0  3.0  2.25 1.5 5.25 0  3.0 1.5 Q  50000   5   3.0 0 1.5  6.75 0 7.75 1.5 1.0Q   0   6     2.25 1.5 0 0  3.0 1.5 5.25  3.0Q   R    7   7   1.5 6.75 0 0 1.5 1.0  3.0 7.75Q   R  (22) 8 8 Áp dụng điều kiện biên của bài toán : Q1 = Q2 = Q4 = Q7 = Q8 =0, bỏ đi các hàng và các cột 1, 2, 5, 6 ta có :  5.25  2.25 1.5 Q   0    3    100000 2.25 5.25 0 Q   50000 5  1.5 0 7.75Q   0    6    (23)

Page 11

11 Giải hệ này, ta có :  Q T 0 0 0.53661 0 0.118236  0.010459 0 0T (mm) Để tính ứng suất trong các phần tử, áp dụng công thức (6.52) :    D B Q  0   0   0 1.5 3 0 3 1.5  5.584   0.2105   0.053661       0 4.5 1 0 1 4.5   2.977 1 750 0 1.5 0 0 1 1.5 1   5.000    0.118236      0.010459  0   0  3 0 3 1.5 0 1.5  9.877   0.2105   0.053661      1 0 1  4.5 0 4.5   4.408 2 750 0  0 1 1.5 1.0 1.5 0   5.008   0.118236      0.010459 (24) y Bài tập 3.3: 3 (0, 0.0254) 2 (0.0508, 0) 0 x 1 (0, -0.0254) Hình 3.3. Tấm tam giác phẳ ng Xác định ma trận độ cứng chung của tấm tam giác ứng suất phẳng trong Hình 3.3, biết E=207 GPa, =0.25 và chiều dày tấm t=0.0254 m. Giả sử các chuyển vị nút là:  Q T 0 6.35 3.048 0 0 6.35T x105 (m) hãy tìm ứng suất trong tấm. Bài tập 3.4: Cho tấm mỏng chịu kéo như Hình 3.4. Bằng cách sử dụng hai phần tử tam giác phằng, xác định các chuyển vị nút và ứng suất trong phần tử, biết E = 207 GPa, chiều dày tấm t = 0.0254 m,  = 0,3. 3 (0.5, 2) q 0.5 m 0.4 m 2 q = 200 kN/m2 2 (1, 1) 1 1 (0, 0) Hình 3.4. Tấm chịu kéo Hình 3.5. Tấm tam giác chịu lực phân bố trên một cạnh Bài tập 3.5: Xác định véc-tơ lực nút chung của phần tử tam giác trong Hình 3.5. Bài tập 3.6: Thiết lập ma trận độ cứng chung cho tấm tam giác trong các Hình 3.6a và Hình 3.6b. Cho: E = 200 GPa, =0.25, t=0.01 m, L = 1 m L L y 2 q 2 x L 3 1 3 q 2 1 L L L x 4 1 Hình 3.6a. Tấm tam giác 1 phần tử Hình 3.6b. Tấm tam giác 2 phần tử

Page 12

12 Bài tập 3.7: y 30 kN 1 2 300 mm 150 mm 2 50 kN 1 x 60o 500 mm 200 mm 50 kN 30° Hình 3.7a. Tấm chữ nhật chịu kéo Hình 3.7b. Tấm vuông chịu kéo Hãy xác định các chuyển vị và ứng suất trong các tấm ở các Hình 3.7a và 3.7b. Biết: E=207 GPa, t=3 mm, =0.25. Bài tập 3.8: Đề thi 2014 Hệ phẳ ng gồm tứ giác 1 liên kết với tam giác 2 và lò-xo đứng 3 chịu các tải trọng P như Hình 3.8 P Các phần tử được chọn như sau : 5(2,1) y 1: 1-2-3-4 2: 4-3-5 3: 2-5 P Biết ma trận độ cứng các phần tử (bằng chữ ): k1 = [aij](i,j=18) k2 = [bij](i,j=16) k3 = [cij](i,j=12) x Hãy: 45° 2 P a.Lập bảng ghép nối các phần tử 3 4(0,0) 3(1,0) b.Tính ma trận độ cứng chung (bằng chữ ) c.Xác định véc tơ lực nút chung 1 1 2 d.Tính các ma trận J, D, B, A của phần tử  bằng giá trị số và viết công thức tính ma trận độ cứng phần tử . Cho : t=3 cm, E=69 GPa,  = 0.3, tọa độ đo bằng m, bài toán ứng suất phẳ ng Hình 3.8. Hệ tấm và lò xo PHẦN IV: PHẦN TỬ PHẲNG TỨ GIÁC Bài tập 4.1: y (3,4) (5,4) 4 3 Hình 4.1. Phần tử tứ giác 1 2 0 (3,2) (5,2) x Xác định ma trận độ cứng của phần tử tấm chữ nhật trong Hình 4.1. sử dụng tích phân số Gauss 4 điểm. Biết : E = 207 Gpa, t = 1 cm. Các kích thước đo bằng m. Các điểm Gauss lần lượt là : (1, 1) = (-0.5773, -0.5773 ) (2, 1) = (0.5773, -0.5773 ) (2, 2) = (0.5773, 0.5773 ) (1, 2) = (-0.5773, 0.5773 ) Và các hàm trọng số : W1 = W2 = W3 = W4 = 1 LỜI GIẢI Bước 1: Tấm được mô hình hóa bằng phần tử tứ giác phẳng 4 nút như Hình 4.1. Bước 2: Bảng ghép nối phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Nút l Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Q2l-1 Q2l Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Bước 3: Ma trận độ cứng của phần tử Theo công thức tích phân số : K tB( , ) T DB( , )det(J( , ))W W B( , ) T DB( , )det(J( , ))W W 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 B( , ) T DB( , )det(J( , ))W W B( , ) T DB( , )det(J( , ))W W 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

Page 13

13 Áp dụng các công thức (8.10), (8.19), (8.21) và (8.23) cho từng điểm Gauss rồi thay vào công thức trên ta sẽ có ma trận độ cứng chung [K]. Sau đây, ta tiến hành tính toán cụ thể cho điểm Gauss thứ nhất (1, 1) = (-0.5773, -0.5773) 1 0 1 0 0 0 2.2080 0.5520 0  J( , )    A( , )  0 0 0 1   1 1   D 1011x 0.5520 2.2080 0 0 1 1 1   0 1 1 0  0 0 0.8280  0.3943 0 0.3943 0 0.1057 0  0.1057 0   0.3943 0  0.1057 0 0.1057 0 0.3943 0  G( , )    1 1  0  0.3943 0 0.3943 0 0.1057 0  0.1057  0  0.3943 0  0.1057 0 0.1057 0 0.3943    0.3943 0 0.3943 0 0.1057 0 0.1057 0  B( , )   0 0.3943 0 0.1057 0 0.1057 0 0.3943  1 1   0.3943 0.3943 0.1057 0.3943 0.1057 0.1057 0.3943 0.1057 Từ đó, ta có : tB( , ) T DB( , )det(J( , ))W W  1 1 1 1 1 1 1 1 4.7207 2.1458 3.0882 1.0575 1.2651  0.5751  0.3674  0.5133  4.7207  0.5133  0.3674  0.5751 1.2651 1.0575 3.0882    3.5257  0.5751 0.8276 0.1376 1.2651 0.9508   1.5340 0.2834 0.0985 1.3491 1.2651 108 x   0.3390 0.1541 0.0985 0.1376     Đ/ x 0.3390 0.2834 0.8276   1.5340  0.5751    3.5257  (25) Tiến hành tính toán tương tự cho 3 điểm Gauss còn lại và thay vào công thức (8.44), cuối cùng ta thu được ma trận độ cứng của phần tử : 1.012 0.345  0.598  0.069  0.506  0.345 0.092 0.069   1.012 0.069 0.092  0.345  0.506  0.069  0.598    1.012  0.345 0.092  0.069  0.506 0.345   1.012 0.069  0.598 0.345  0.506 K109 x   1.012 0.345  0.598  0.069    Đ/ x 1.012 0.069 0.092   1.012  0.345    1.012  (26) Bài tập 4.2: q = 20 N/m 1 (0, 1) 4 (2, 1) 2 m 0.5 m 1 m 3 (2, 0.5) 2 (0, 0) Hình 4.2a. Tấm ngàm chịu lực Hình 4.2b. Mô hình PTHH Khảo sát tấm hình thang với kích thước như Hình 4.4a. Tấm bị ngàm ở cạnh trái, cạnh phía trên chịu lực phân bố q = 20 N/m, hai cạnh còn lại tự do. Các thông số của vật liệu: E = 3 x 107 Pa,  = 0.3, t = 1 cm. Hãy xác định ma trận độ cứng, các chuyển vị, ứng suất và biến dạng của tấm sử dụng phương pháp tích phân Gauss 4 điểm. LỜI GIẢI Bước 1: Mô hình PTHH của cơ hệ Tấm được mô hình hóa bằng phần tử tứ giác phẳng 4 nút như Hình 4.2b.

Page 14

14 Bước 2: Bảng ghép nối phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Nút k Nút l Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Q2k-1 Q2k Q2l-1 Q2l Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 7 8 Bước 3: Ma trận độ cứng của phần tử Ma trận độ cứng chung được chung hợp từ ma trận độ cứng tại 4 điểm Gauss có các tọa độ: 1 1 1 1           1 3 2 3 1 3 2 3 Với các trọng số: W1 = W2 = 0 Ma trận độ cứng chung được tính theo công thức: 1 1 2 2 K  tBTDBd  t BTDBdet(J)dd  tW W det(J( , ))BT ( , )DB( , ) i j i j i j i j   1 1 i1 j1 1 1 Trước tiên, ta tính ma trận độ cứng tại điểm Gauss thứ nhất: (1, 1) = (- , ) 3 3  1 0.3 0  0 0.4472 0.04 0.06 0.12 0.38   J( , )  A( , )    D  3.3x107 0.3 1 0 1 1 1 0.0528  1 1 0.88 0.88 0.24 0.24        0 0 0.35   0.44 0 0.06 0 0.12 0 0.38 0  B( , )   0 0.88 0 0.88 0 0.24 0 0.24 1 1    0.88 0.44 0.88 0.06 0.24 0.12 0.24 0.38 (27) Phần đóng góp của điểm Gauss thứ nhất vào ma trận độ cứng chung được tính theo công thức: K  tW W det(J( , ))BT ( , )DB( , ) (1) 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự, lặp lại các bước tính trên cho 3 điểm Gauss còn lại, ta tính được các ma trận K(2), K(3), K(4) và ma trận chung [K] = K(1) + K(2) + K(3) + K(4) 1.49  0.74  0.66 0.16  0.98 0.65 0.15  0.08  2.75 0.24  2.46 0.66 1.68  0.16 1.39     1.08 0.33 0.15  0.16  0.56  0.41  2.6  0.08 1.39  0.41 1.53 K105 x   2  0.82 1.18 0.25     Đ/ x 3.82 0.33 3.53  1.59 0.25     3.67  (28) Bước 4: Thiết lập véc-tơ lực nút chung Áp dụng công thức (8.30), ta thu được:  F T R R 20 R R 0 0 0 20T (N) 1 2 3 4 Bước 5: Giải hệ phương trình PTHH 1.49 0.74 0.66 0.16 0.98 0.65 0.15  0.08Q   R  1 1  2.75 0.24  2.46 0.66 1.68  0.16 1.39 Q  R  20   2   2   1.08 0.33 0.15 0.16  0.56 0.41Q   R    3   3   2.6 0.08 1.39 0.41 1.53Q   R  105 x  4    4   2 0.82 1.18 0.25 Q   0    5  Đ/ x 3.82 0.33 3.53Q   0   6     1.59 0.25 Q   0    7     3.67 Q    20  8 Áp dụng điều kiện biên của tấm Q1 = Q2 = Q3 = Q4 = 0 ta có hệ rút gọn:

Page 15

15 2 0.82 1.18 0.25 Q   0  5  3.82 0.33 3.53Q   0  105 x  6      Đ/ x 1.59 0.25 Q   0    7     3.67 Q   20 8 (29) Giải hệ (29), ta thu được các chuyển vị: Q Q Q Q Q Q Q Q  0 0 0 0 1.17 9.67 2.67 9.94x104 (m) 1 2 3 4 5 6 7 8       Biến dạng của tấm tại 4 điểm Gauss được tính theo công thức:   ,  B  ,  q i j i j  3.61   8.82   ,  B ,  q  0.628x104  ,  B ,  q  0.628x104 1 1 1 1   1 2 1 2    39.4    40.3      11.7  6.65   ,  B ,  q  3.45x104  ,  B ,  q  3.46x104 2 1 2 1   2 2 2 2    2.21  0.95      Ứng suất của tấm tại 4 điểm Gauss được tính theo công thức:  ,  D ,  i j i j 12.5  28.5   ,  D ,  5.64x102 (N/m2)          (N/m2)     ,  D   ,   6.65 x102 1 1 1 1 1 2 1 2  45.5  46.5      42.0  18.5   ,  D ,   23.0x102 (N/m2)          2 (N/m2)     ,  D   ,   4.82x10 2 1 2 1 2 2 2 2  2.55  1.09      Bài tập 4.3: y 4 (300, 500) 3 (700, 700) Hình 4.3. Tấm chịu lực phân bố 1 (200, 100) 2 (800, 300) 0 x Tấm tứ giác có chiều dày t = 20 mm chịu lực diện tích phân bố như Hình 4.3. Xác định véc-tơ lực nút chung, biết Tx = 10 N /mm2, Ty = 15 N /mm2 Bài tập 4.4: Hãy xác định ma trận độ cứng của các tấm trong các Hình 4.4a và 4.4b. Cho E = 210 GPa,  = 0.25, t = 1 mm, các kích thước trong các hình đo bằng centimet. (20,20) y (12,15) (20,15) (12,16) y 4 3 4 3 1 2 1 2 0 (10,10) (20,10 x (10,10) (20,10) ) 0 x Hình 4.4a. Tấm hình thang Hình 4.4a. Tấm hình tứ giác

Page 16

16 1 (0.6, 1.5) 4 (1.2, 1.5) Bài tập 4.5: q = 6 N/m 2 (0, 0) 3 (1.2, 0) Hình 4.5. Tấm hình thang chịu lực phân bố Khảo sát tấm hình thang trong Hình 4.5. Các kích thước đo bằng mét, biết: E=200 Gpa, =0.3, t=1cm. Sử dụng tích phân Gauss 4 điểm, hãy xác định ma trận độ cứng chung, chuyển vị, ứng suất và biến dạng của tấm tại các điểm Gauss. Bài tập 4.6: Sử dụng phương pháp tích phân số 4 điểm Gauss, tính các chuyển vị, ứng suất và biến dạng (tại các điểm Gauss) của các tấm trong Hình 4.8a và Hình 4.8b. Cho: E = 210 Gpa,  = 0.3, t = 1 mm q = 20 kN/m 2.5 kN 0.1 m 0.15 m 1 2 0.1 m 0.1 m 0.1 m 0.4 m Hình 4.8a. Tấm chữ nhật g ồm 2 phần tử Hình 4.8b. Tấm hình thang chịu lực tập trung PHẦN V: PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG TÍNH TOÁN DẦM VÀ KHUNG Bài tập 5.1: (Đề thi 2010) y q Q1 1 Q3 Q5 1 2 2 3 1 x 2 3 Q2 Q4 Q 1 2 6 L=2m L=2m Hình 5.1. Cầu hai nhịp và mô hình PTHH Khảo sát cầu trên Hình 5.1. Biết : EJ = 4 x 107 (Nm2), q = 18 (kN/m). Hãy : 1. Xác định ma trận độ cứng của hai phần tử dầm 2. Xác định ma trận độ cứng chung của cả hệ 3. Xác định véc tơ lực nút chung và chuyển vị tại nút 2 và 3 4. Xác định các phản lực liên kết LỜI GIẢI Bước 1: Cơ hệ được mô hình hóa với 3 nút và 2 phần tử như Hình 5.1. Bước 2: Lập bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Phần tử 1 1 2 3 4 Phần tử 2 3 4 5 6

Page 17

17 Bước 3: Tính ma trận độ cứng của các phần tử Theo công thức (9.20), ta thu được các ma trận độ cứng k1, k2 cho các phần tử như sau :  12 12 12 12   61 62  63 64    1  12 16 12 8  k1 5106   107  6 8  6 4  2 12 12 12 12    6  6 6  6 3  12 8 12 16     6 4  6 8  4  12 12 12 12   63 64  65 66    3  12 16 12 8  k2  5106   107  6 8  6 4  4 12 12 12 12    6  6 6  6 5  12 8 12 16     6 4  6 8  6 Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng chung K Sau khi đánh số các ma trận độ cứng phần tử và tiến hành lắp ghép, ta có ma trận độ cứng chung:  6 6 6 6 0 0   6 8 6 4 0 0      6 6 12 0 6 6  K 107    6 4 0 16 6 4   0 0 6 6 6 6    0 0 6 4 6 8  Bước 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F Véc tơ lực nút các phần tử :  1 2 3 4 T  3 4 5 6 T f 1  5.4  2.4 12.6 3.6 103 f 2  12.6 3.6 5.4 2.4 103     Véc tơ lực nút chung: FT  R 5.4 R 2.4 R 25.2 0 R 5.4 2.4T 103 1 2 3 5 với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1, 2, 3, 5). Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} Hệ phương trình PTHH thu được :  6 6 6 6 0 0 Q   R 5.4  1 1  6 8 6 4 0 0 Q   R 2.4    2   2  6 6 12 0 6 6 Q  R 25.2 (30) 107   3  103  3   6 4 0 16 6 4 Q   0  4  0 0 6 6 6 6Q   R 5.4    5   5   0 0 6 4 6 8 Q   2.4  6 Áp dụng điều kiện biên của bài toán, Q1 = Q2 = Q3 = Q5 = 0, bỏ đi các hàng và cột 1, 2, 3, 5 của ma trận K ta có: 16 4Q   0  104  4     (31)  4 8 Q 2.4   6    Giải hệ (31) ta thu được: Q Q T  0.0857rad 0.3429radT 104 4 6 Thay vào (30) ta tìm được các phản lực liên kết : R R R R T  4.8857N 2.0571Nm 27.2571N 3.8571NT 103 1 2 3 5 Bài tập 5.2: (Đề thi 2011) Khảo sát một cây cầu chịu lực, cân bằng như Hình 5.2 Cho : E = 200 GPa, J = 2 x 10-4 m4, q = 12 kN/m, P = 8 kN, độ cứng lò xo: k = 200 kN/m. Sử dụng mô hình gồm hai phần tử dầm và một phần tử lò-xo, hãy : 1. Xác định các ma trận độ cứng k1, k2 của dầm 2. Xác định ma trận độ cứng chung của cả hệ dầm và lò-xo 3. Tính véc tơ lực nút chung có kể đến các phản lực liên kết 4. Tìm các chuyển vị tại nút 2 5. Tính các phản lực liên kết

Page 18

18 y P q 1 x 2 3 1 2 3 4 l=1m l=1m l=1m Q1 Q3 Q5 1 1 2 2 3 Q2 Q Q Hình 5.2. Cầu chịu lực và mô hình PTHH 3 4 6 4 Q7 LỜI GIẢI Bước 1: Hệ được mô hình hóa với 4 nút và 3 phần tử như Hình 5.2. Bước 2: Lập bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Phần tử Q2i-1 Q2i Q2j-1 Q2j Phần tử 1 1 2 3 4 Phần tử 2 3 4 5 6 Phần tử 3 5 7 Bước 3: Tính ma trận độ cứng của các phần tử Theo công thức (9.20), ta thu được các ma trận độ cứng k1, k2, k3 cho các phần tử như sau :  12 12 12 12   6 6 6 6   12 16 12 8   6 8 6 4  k1  5106   107   12 12 12 12 6 6 6 6      12 8 12 16   6 4 6 8   12 6 12 6   48 24 48 24   6 4 6 2   24 16 24 8  k2  4107   107   12 6 12 6 48 24 48 24      6 2 6 4   24 8 24 16   1 1  0.302 0.702 k3  2105 107   3 1 1    0.02 0.02  7 Bước 4: Thiết lập ma trận độ cứng chung K Sau khi đánh số các ma trận độ cứng phần tử và tiến hành lắp ghép, ta có ma trận độ cứng chung:  6 6 6 6 0 0 0   6 8 6 4 0 0 0    6 6 54.02 18 48 24 0.02 K 107    6 4 18 24 24 8 0   0 0 48 24 48 24 0     0 0 24 8 24 16 0   0 0 0.02 0 0 0 0.02  Bước 5: Thiết lập véc-tơ lực nút chung F Véc tơ lực nút các phần tử :  1 2 3 4 T f 1 12  4  4  2 12  4 4  2T  -16 -6 -16 6 103  

Page 19

19 T 3 7 T f 2   63 14  65 16 103 f 3  0 0         Véc tơ lực nút chung : FT  R 16 R 6 22 5 R 6 R 1 R T 103 1 2 5 6 7 với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1, 2, 5, 6, 7). Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} Hệ phương trình PTHH sau khi bỏ các hàng và cột 1, 2, 5, 6, 7: 54.02 18Q  22 107  3    103 (32)  18 24 Q 5   4    Giải hệ này, ta tìm được: Q Q T 6.355m 6.849radT 105 3 4 Các phản lực liên kết: R R R R R T  23.9224N 12.5526Nm 20.0664N 10.7728Nm 0.0127NT 103 1 2 5 6 7 Bài tập 5.3: (Đề thi 2010) Khảo sát cầu Long Biên như Hình 5.3. Biết : EJ = 4 x 107 (Nm2), q = 12 (kN/m), độ cứng lò xo: k = 5 x 10-3 x EJ (N/m) q y 1 x 2 3 4 1 2 3 5 4 L=5m L=5m L=5m Hình 5.3. Mô hình cầu Long Biên Cầu được mô hình hóa bằng 4 phần tử (ba phần tử dầm và 1 phần tử lò xo), 5 nút như trên hình vẽ. Để tiện cho việc lắp ghép ma trận, ma trận độ cứng lò xo có thể được biểu diễn dưới dạng: 1) Xác định ma trận độ cứng của ba phần tử dầm 2) Xác định ma trận độ cứng chung của cả hệ dầm-lò xo 3) Xác định véc tơ lực nút chung và chuyển vị tại nút 2 và 3 4) Xác định các phản lực liên kết Bài tập 5.4: Khảo sát hệ dầm và lò xo trong Hình 5.4. Cho EJ = 2 x 107 Nm2, k = 10-4 EJ (N/m). Hãy xác định các chuyển vị và các phản lực liên kết. q= 1000 N/m M = 1250 Nm P= 2500 N Hình 5.4. Hệ dầm lò-xo 5 m 5 m k Bài tập 5.5: (Đề thi 2014) Khảo sát kết cấu phức hợp trong hình vẽ dưới đây: q Trong đó: ,  là các phần tử dầm, , , là các phần tử thanh,  là phần tử lò-xo. Biết: E1 = E2 = 210 GPa, J1 = J2 = 4 x 10-4 m4, l12 = 2m, l23 = 1m, E3 = E4 = 200 GPa, A3 = A4 = 8 x 10-4 m2, 1 2 3 l46 = 2m, l56 = 2m, klò-xo = 200 kN/m, q = 12 kN/m 1 2 Hãy: 3 5 1. Xác định các ma trận độ cứng của các phần tử 5 2.Tính ma trận độ cứng chung của cả hệ 45° 3.Xác định véc tơ lực nút chung có kể đến các phản lực liên kết 4 6 4.Tìm các chuyển vị tại các nút 4 45° 5.Tính các phản lực liên kết Hình 5.5. Hệ phức hợp

Page 20

20 Bài tập 5.6: Hệ khung trong Hình 5.6 chịu liên kết bản lề ở nút 1 và nút 3. Hãy xác định các chuyển vị tại các nút và các phản lực liên kết. Biết: E = 207 GPa, J = 4 x 10-4 m4, q = 14.5 kN, A = 64 x 10-4 m2. 14,5 kN/m Q Q 2 5 Q3 Q6 Q1 Q4 1 1 2 3 m 3 m 2 30° 3 Q8 Q9 Q7 Hình 5.6. Hệ khung bản lề – bản lề và mô hình PTHH LỜI GIẢI Bước 1: Khung được mô hình hóa với 3 nút và 2 phần tử được đánh số như Hình 5.6. Bước 2: Bảng ghép nối các phần tử Bậc tự do Nút i Nút j Phần tử Q3i-2 Q3i-1 Q3i Q3j-2 Q3j-1 Q3j Phần tử 1 1 2 3 4 5 6 Phần tử 2 4 5 6 7 8 9 Bước 3: Ma trận độ cứng của các phần tử 1). Phần tử 1 : Đối với phần tử này :  = 0° : l = cos = 1 m = sin = 0 Áp dụng các công thức (9.35), (9.36), (9.38), ta thu được ma trận độ cứng sau :  0.44161 02 03 0.44164 05 06    1  0 0.0368 0.0552 0 0.0368 0.0552  2   k1 109  0 0.0552 0.1104 0 0.0552 0.0552  3 0.4416 0 0 0.4416 0 0  4    0 0.0368 0.0552 0 0.0368 0.0552 5  0 0.0552 0.0552 0 0.0552 0.1104  6 2). Phần tử 2 : Ở đây, ta có :  = 240°: l = cos = -0.5 m = sin = -0.86603 0.1384 0.17535 0.04786 0.13807 0.17538 0.04789    4  0.3404 0.0276 0.0276 0.1753 0.0276 5   k2 109  0.1104 0.0478 0.0276 0.0052  6  0.1380 0.1753 0.0478 7    Đ/ x 0.3404 0.0276  8  0.1104  9 Bước 4: Ma trận độ cứng chung K Phần lắp ghép ma trận độ cứng chung dành cho độc giả Bước 5: Véc-tơ lực nút chung F  F T R R 21750 10825 0 21750 10825 R R 0T 1 2 7 8 với Ri : phản lực liên kết tại nút i (i=1,2,7,8). Bước 6: Giải hệ phương trình PTHH [K] {Q} = {F} Áp dụng điều kiện biên : Q1 = Q2 = Q7 = Q8 = 0, bỏ đi các hàng và cột tương ứng với các chuyển vị bằng 0, ta có :  1.1040 0 0.5520 0.5520 0 Q  21750 3  0 5.7960 1.7528 0.4780 0.4780 Q  10825   4    108 0.5520 1.7528 3.7720 0.8280 0.2760Q    0    5 0.5520 0.4780 0.8280 2.2080 0.5520 Q  21750   6     0 0.4780 0.2760 0.5520 1.1040 Q   10825  9

Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.

Commentaires (0)

Se connecter pour rejoindre la discussion

Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !

Documents liés

Phương pháp Phần tử hữu hạn (Chương 1) - Trần Ích Thịnh, Ngô Như Khoa

Gratuit0299 pages

Phương Pháp Phần Tử Hữu Hạn Lý Thuyết Và Bài Tập 1

Gratuit0213 pages

Finite Element Methods (UNIT - 1) - M.C. Nguyen

Gratuit0166 pages

Bài tập Kinh tế học quốc tế (Có Đáp án)

10.000đ28 81716 pages

15 bài tập Xác suất thống kê (có Lời giải)

10.000đ58 73111 pages
Même auteur

Giáo trình Pháp luật đại cương 2021 - ĐH Thương Mại

Gratuit0237 pages

Đề thi môn Đại số tuyến tính (NN2) (Kèm đáp án)

Premium38 pages

Luyện dạng thường gặp - Toán (HSA) - Dạng 1

Gratuit74 pages

Đề khảo sát tháng 8 - Đề VACT Toán (Có đáp án chi tiết)

Gratuit1311 pages

TSAP Thi thử đợt trải nghiệm - Toán

Premium912 pages