Trang 1
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập LUYỆN TẬP MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH CHƯƠNG III : KHÔNG GIAN VECTOR I, Trắc nghiệm : Câu 1. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là không gian vector trên trường số thực R ? ⃝ A. Tập hợp các số nguyên Z (v) với phép ⃝ C. Tập hợp các số thực R với phép cộng cộng và phép nhân thông thường. và phép nhân. ⃝ B. Tập hợp các ma trận vuông cấp 2 ⃝ D. Tập hợp các cặp số nguyên dương với phép cộng ma trận và phép nhân vô (m,n) với phép cộng cặp và phép nhân hướng. vô hướng. Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Ý A không đúng vì nó vi phạm tính chất sau: với mọi v ∈V và với mọi α ∈ R thì α.v ∈V +) Ví dụ, cho v = 5 ∈V,α = 0.5 ∈ R thì v.α = 2.5 ∈/ V. +) Ý C không đúng, vì nó không thỏa mãn điều kiện về số chiều vector. +) Ví dụ: Hai tập (2; 5; 5) và (4,5) không thể cộng hay nhân vector cho nhau vì 1 tập thuộc R3, một tập thuộc R2. +) Ý D không đúng, vì nó cũng vi phạm tính chất: với mọi v ∈V và với mọi α ∈ R thì α.v ∈V +) Ví dụ,cho (m,n) = (1,2) ∈V và α = −1 ∈ R thì (m,n).α = (−1,−2) ∈/ V. Câu 2. Trong các tập hợp sau, tập hợp nào là không gian vector trên trường số thực R ? ⃝ A. Tập hợp các hàm số f : R → R thỏa ⃝ C. Tập các số hữu tỷ Q với phép cộng và mãn f(x) = x2 +1 với phép cộng hàm và phép nhân thông thường. phép nhân vô hướng. ⃝ D. Tập hợp các vector (x,y,z) trong R3 ⃝ B. Tập hợp các đa thức bậc không quá 2 sao cho x+y+z = 1 với hệ số thực. Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Ý A: tập này không đóng với phép nhân. Ví dụ, với f(x) = x2 +1 và g(x) = x2 +1 đếu thuộc tập đã cho nhưng f(x) +g(x) = 2x2 +2 thì không. 1
Trang 2
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Ý C: tập này không đóng với phép nhân vô hướng với số thực. Chẳng hạn, phép nhân giữa một số hữu tỷ và một số vô tỷ chưa chắc đã cho ra kết quá là một số hữu tỷ. +) ý D: tập này không đóng với phép cộng. Ví dụ, (x1,y1,z1) = (0,1,0) và (x2,y2,z2) = (0,0,1) đều thuộc tập đã cho nhưng (x3,y3,z3) = (x1 +x2,y1 +y2,z1 +z2) = (0,1,0) + (0,0,1) = (0,1,1) không thuộc tập trên. Câu 3. Điều kiện nào sau đây không bắt buộc với một không gian vector ? ⃝ A. Phải tồn tại một vector không θ sao cho θ +v = v với mọi v trong không gian ⃝ C. Phải tồn tại một phần tử đơn vị sao vector cho 1.v = v với mọi v thuộc không gian ⃝ B. Phải tồn tại một phần tử đối −v vector. cũng thuộc không gian vector sao cho ⃝ D. Tất cả các vector trong không gian v+ (−v) = với mọi v thuộc không gian vector phải là số thực dương. vector. Đáp án: D [Hướng dẫn giải] +) Xem lại các điều kiện của một không gian vector. Câu 4. Điều kiện cần để tập hợp W được gọi là một không gian vector con của không gian vector V ? ⃝ A. W phải chứa ít nhất một phần tử khác ⃝ C. W phải chứa ít nhất phần tử không phần tử không (vector không) và phải (vector không) và phải đóng dưới phép đóng dưới phép cộng. nhân vô hướng. ⃝ B. W phải chứa ít nhất phần tử không ⃝ D. W phải chứa ít nhất phần tử khác (vector không) và phải đóng dưới phép phần tử không (vector không) và phải cộng và phép nhân vô hướng. đóng dưới phép nhân vô hướng. Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Xem lại định nghĩa không gian vector con. Câu 5. Cho hệ {v1 = (1,2,3), v2 = (4,α,6), v3 = (7,8,α)}. Tổng các giá trị α để hệ này không độc lập tuyến tính là? 2
Trang 3
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập ⃝ A. 29 ⃝ C. 6 ⃝ B. 32 ⃝ D. 12 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] 1 2 3 +) Ta xét ma trận tọa độ hàng của hệ {v ,v ,v }, A = 4 α 6 1 2 3 7 8 α 1 2 3 +) detA = 4 α 6 = α2 −29α +132. 7 8 α +) Để hệ trên không ĐLTT thì detA = α2 −29α +132 = 0. Theo định lí Viet, phương trình này có hai nghiệm có tổng là 29 Câu 6. Cho các vector v1 = (1,2,3,−1), v2 = (1,4,−2,3), v3 = (−2,−2,−11,6), v4 = (−1,3,6,1). Hệ con độc lập tuyến tính tối đại của hệ {v1,v2,v3,v4} có mấy vector? ⃝ A.3 ⃝ C. 1 ⃝ B.4 ⃝ D. 2 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] +) Ta xét ma trận tọa độ hàng của hệ {v1,v2,v3,v4} 1 2 3 −1 1 4 −2 3 A = −2 −2 −11 6 −1 3 6 1 +) Biến đổi trên hàng của ma trận A ta được r(A) = 3. Vậy hệ con ĐLTT tối đại của hệ {v1,v2,v3,v4} có 3 vector. 3
Trang 4
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 7. Tìm số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất sau: x +3x −2x −4x +2x = 0 1 2 3 4 5 4x1 +2x2 −3x3 +x4 −x5 = 0 −2x1 +x2 −2x3 +8x4 +2x5 = 0 ⃝ A. 1 ⃝ C. 3 ⃝ B. 2 ⃝ D. 4 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Số ẩn của hệ phương trình là: n = 5. 1 3 −2 −4 2 +) Ma trận hệ số của hệ phương trình là A = 4 2 −3 1 −1 −2 1 −2 8 2 +) Số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất = n−r(A) = 5−3 = 2. Câu 8. Trong không gian véc tơ M2×2(R) các ma trận thực vuông cấp 2, cho cơ sở B = {F1,F2,F3,F4} 1 1 0 0 0 1 2 0 −2 1 với F = ,F = F = F = . Cho v = , xác định [v] . (tọa độ 1 2 3 4 B 0 0 1 1 1 0 0 1 3 5 của vecto v theo cơ sở B) ï òT ï òT ⃝ [v]B = 8 10 5 −7 ⃝ [v]B = 8 10 −7 −5 ï òT ï òT ⃝ [v]B = 8 −7 10 −5 ⃝ [v]B = 10 8 −7 −5 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] 4
Trang 5
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Đặt v = a·F1 +b·F2 +c·F3 +d ·F4 a·1+b·0+c·0+d ·2 = −2 a·1+b·0+c·1+d ·0 = 1 ⇒ a·0+b·1+c·1+d ·0 = 3 a·0+b·1+c·0+d ·1 = 5 a = 8 b = 10 ⇒ c = −7 d = −5 8 10 ⇒ [v] = ⇒ Đáp án B B −7 −5 Câu 9. Cho ánh xạ f : P [x] → R3 xác định bởi: f(a + a x + a x2) = 2 0 1 2 (a0 +a1 +a2,2a0 −a1,4a0 +a1 +2a2). Có bao nhiêu khẳng định đúng dưới đây: 1. Hạng của ánh xạ f là 2 2. Hạt nhân của ánh xạ f là một không gian con có số chiều bằng 1. 3. Cơ sở của không gian ảnh Ker f có hai vectơ độc lập tuyến tính. 4. Ảnh của ánh xạ f là toàn bộ không gian R3. 5. Vectơ u = (−2,−4,6) thuộc Ker f . ⃝ A. 2 ⃝ C. 4 ⃝ B. 3 ⃝ D. 5 Đáp án: B [Hướng dẫn giải] +) Đặt p(x) = a +a x+a x2. Khi đó, f(p(x)) = (a +a +a ,2a −a ,4a +a +2a ). 0 1 2 0 1 2 0 1 0 1 2 +) Theo định nghĩa: Ker f = {p(x) ∈ P2[x] | f(p(x)) = 0} 5
Trang 6
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập a +a +a = 0 0 1 2 a1 = 2a0 Ta có: f(p(x)) = 0 ⇒ 2a0 −a1 = 0 ⇔ a = −3a 2 0 4a0 +a1 +2a2 = 0 Vậy nghiệm tổng quát là a0 = t, a1 = 2t, a2 = −3t với t ∈ R. Do đó, nghiệm của Ker f có dạng: p(x) = t(1+2x−3x2). Vậy một cơ sở của không gian ảnh Ker f là {(1,2,−3)}. ⇒ dim(Ker f) = 1 +) Có: dim(Ker f) +dim(Im f) = dim(R3) ⇔ dim(Im f) = 3−1 = 2 ⇒ Rank f = dim(Im f) = 2 +) Kiểm tra tính đúng, sai của các nhận định trên: − Nhận định 1 ĐÚNG vì Rank f = 2. − Nhận định 2 ĐÚNG vì dim(Ker f) = 1. − Nhận định 3 SAI vì cơ sở của Ker f chỉ có một vectơ độc lập tuyến tính, cụ thể là (1,2,−3). − Nhận định 4 SAI vì dim(Im f) = 2 , do đó, không thể là toàn bộ không gian R3. − Nhận định 5 ĐÚNG vì u = (−2,−4,6) = −2·(1,2,−3) nên u = (−2,−4,6) cũng thuộc Ker f. → Có 3 nhận định đúng. ( Đáp án B ) Câu 10.ï Cho hệ vectơò S = {v1,v2,v3} với [v]1 = 1 ; b ; 3 ï ò [v]2 = 2 ; 12a+2b ; 30 ï ò [v]3 = −1 ; 12−b ; b−3 Tìm a,b để span(S) có số chiều bằng 2 ⃝ ab = 24 ⃝ a+b = 24 ⃝ a−b = 24 ⃝ a/b = 24 Đáp án: A [Hướng dẫn giải] 6
Trang 7
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập +) Xét ma trận tọa độ ta có: 1 b 3 A = 2 12a+2b 30 −1 12−b b−3 1 b 3 −H−3−+−H−1→−−H→3 0 12a 24 H2−2H1→H2 0 12 b +) Có dim(span(S)) = rank(A) = 2 12a 24 ⇒ = 12 b ⇒ ab = 24 ⇒ Đáp án A II, Tự luận : Câu 11. Giả sử V là không gian vector các đa thức có bậc không quá 2, và W là tập hợp tất cả các đa thức trong V có nghiệm tại x = 1. Hỏi W có phải một không gian vector con của V hay không ? [Hướng dẫn giải] +) Phần tử không: đa thức p(x) = 0 có nghiệm x = 0 nên p(x) = 0 ∈W. Vì vậy W có chứa phần tử không. +) Đóng dưới phép cộng: Giả sử p(x),q(x) ∈W, tức là p(1) = 0 và q(1) = 0. Xét đa thức p(x) +q(x) : (p+q)(1) = p(1) +q(1) = 0+0 = 0 Do đó, p(x) +q(x) ∈W +) Đóng dưới phép nhân vô hướng: Giả sử p(x) ∈W và c là một số thực bất kỳ. Khi đó: (cp)(1) = c.p(1) = c.0 = 0 Do đó, cp(x) ∈W +) VìW chứa phần tử không, đóng dưới phép cộng và phép nhân vô hướng, ta kết luận rằngW là không gian vector con của V. 7
Trang 8
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Câu 12. Giả sử V là không gian vector của tất cả các ma trận 2×2 với tất cả phần tử là số thực, và W là tập hợp tất cả các ma trận 2×2 trong đó tổng các phần tử trên mỗi hàng bằng 0.Hỏi W có phải một không gian vector con của V hay không ? [Hướng dẫn giải] 0 0 +) Ma trận không: Xét ma trận không θ = . Rõ ràng tổng các phần tử trên mỗi hàng đều bằng 0, 0 0 do đó θ ∈W a11 a12 b11 b12 +) Đóng dưới phép cộng: Giả sử A = và B = là hai ma trận trong W, tức là a21 a22 b21 b22 a11 +a12 = 0 và a21 +a22 = 0, tương tự b11 +b12 = 0 và b21 +b22 = 0. Tổng của A và B là: a11 +b11 a12 +b12 A+B = a21 +b21 a22 +b22 Ta có: (a11 +b11) + (a12 +b12) = (a11 +a12) + (b11 +b12 = 0+0 = 0 Tương tự cho hàng thứ hai: (a21 +b21) + (a22 +b22) = (a21 +a22) + (b21 +b22 = 0+0 = 0 Do đó A+B ∈W a11 a12 +) Đóng dưới phép nhân vô hướng: Giả sử A = ∈W và c là các số thực bất kỳ. Khi đó: a21 a22 c.a11 c.a12 cA = c.a21 c.a22 Ta có: c.a11 +c.a12 = c.(a11 +a12) = c.0 = 0 Tương tự với hàng thứ hai: 8
Trang 9
Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập c.a21 +c.a22 = c.(a21 +a22) = c.0 = 0 Do đó, cA ∈W +) Vì W chứa ma trận không, đóng dưới phép cộng và phép nhân vô hướng nên W là không gian vector con của V. Câu 13. Trong R4 cho các vector {u = (3,2,1,0),u = (2,1,1,1),u = (4,3,−1,2), u = (m,3,1,m−2)}. 1 2 3 Tìm m để u ∈ span{u1,u2,u3} [Hướng dẫn giải] +) u ∈ span{u1,u2,u3} ⇔ u = x1u1 +x2u2 +x3u3 (x1,x2,x3 ∈ R) 3x +2x +4x = m 2 1 2 3 3x +x +2x = 2 x = − 1 2 3 1 5 2x1 +x2 +3x3 = 3 26 ⇔ ⇔ 2x1 +x2 +3x3 = 3 ⇔ x2 = 2 ⇒ m = x +x −x = 1 5 1 2 3 3 x1 +x2 −x3 = 1 x3 = x +2x = m−2 5 2 3 Câu 14. Cho ánh xạ tuyến tính f : P [x] → P [x] xác định bởi f(p(x)) = xp′(x) + p(1). Tìm dim(Ker f). 2 2 [Hướng dẫn giải] +) Giả sử p(x) = ax2 +bx+c. Khi đó: p′(x) = 2ax+b, p(1) = a+b+c. ⇒ f(p(x)) = x(2ax+b) + (a+b+c) = 2ax2 + (a+b)x+ (a+b+c) +) Theo định nghĩa: Ker f = {p(x) ∈ P2[x] | f(p(x)) = 0} 2a = 0 Ta có: f(p(x)) = 0 ⇒ a+b = 0 ⇔ a = b = c = 0 a+b+c = 0 Vậy Ker f = 0 ⇒ dim(Ker f) = 0. 9
Affichage des 9 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !