Trang 1
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY KỲ THI ĐÁNH GIÁ TƯ DUY NGÀY THI 23/ 01/2022 TOÁN TRẮC NGHIỆM Câu 36. Từ các chữ số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3. A. 30 B. 180 C. 210 D. 162 Câu 37. Cho là tập nghiệm của bất phương trình . Số giá trị nguyên của tham số để là A. 35 B. 31 C. 26 D. 29 Câu 38. Trong không gian , cho 4 điểm bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh của tứ diện là A. . B. . C. . D. . Câu 39. Gọi lần lượt là thể tích của khối tứ diện đều và khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp. Khi đó, bằng A. . B. . C. . D. . Câu 40. Xét các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng A. . B. . C. . D. . Câu 41. Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 6 sản phẩm của lô hàng đó. Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm là ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 1
Trang 2
A. B. C. D. Câu 42. Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng . Người ta cắt bốn góc của tấm tôn để được một tấm tôn như hình vẽ. Từ tấm tôn mới, người ta gập được một hình chóp tứ giác đều. Để khối chóp thu được có thể tích lớn nhất thì diện tích của miếng tôn bỏ đi là A. . B. . C. . D. . Câu 43. Một nhà máy sản xuất bóng đèn trang trí với chi phí sản xuất USD mỗi bóng đèn. Nếu giá bán mỗi bóng đèn là USD thì nhà máy dự tính bán được bóng mỗi tháng. Nếu cứ tăng giá bán mỗi bóng đèn lên USD thì số bóng đèn bán được mỗi tháng giảm đi bóng đèn. Để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi bóng đèn là A. USD. B. USD. C. USD. D. USD. Câu 44. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Câu 45. Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4.000.000 đồng vào cuối tháng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% một tháng theo hình thức lãi kép. Theo quy định, nếu người vay trả trước hạn thì sẽ chịu thêm phí phạt bằng 3% số tiền trả trước hạn. Hết tháng thứ 6, người đó muốn trả hết nợ. Tổng số tiền người đó phải trả cho ngân hàng là A. 53.864.000 đồng. B. 54.886.000 đồng. C.53.322.000đồng. D. 52.468.000 đồng. Câu 46. Cho hình chóp có tam giác vuông tại Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng là A. . B. . C. . D. . ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 2
Trang 3
y Câu 47. Hình sau là đồ thị của hàm số (với O x 1 2 Khi đó bằng 1 2 A. . B. . C. . D. . Câu 48. Cho hình phẳng được giới hạn bởi các đường và như hình vẽ (phần màu vàng). Diện tích của là: A. . B. . C. . D. . Câu 49. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình A. . B. . C. . D. . Câu 50. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc , cho mặt phẳng , mặt cầu . Gọi là đường ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 3
Trang 4
thẳng nằm trong mặt phẳng , đi qua và cắt tại hai điểm , . Độ dài đoạn thẳng nhỏ nhất là: A. . B. . C. . D. . Câu 51. Cho hình nón có bán kính đáy bằng . Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều. Thể tích khối nón đã cho bằng A. B. C. D. Câu 52. Một ô tô đang chạy thì người lái đạp phanh. Từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc trong đó (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc bẳt đầu đạp phanh và là một hằng số dương. Biết rằng từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô di chuyển được . Khẳng định nào sau đây đúng? A. . B. . C. . D. . Câu 53. Cho hàm số . Biết hàm số là hàm bậc 4 trùng phương có đồ thị như hình vẽ y 1 1 O 1 x Số điểm cực trị của hàm số là A. . B. . C. . D. . Câu 54. Cho hàm số liên tục trên và có đồ thị như hình vẽ. Số các giá trị nguyên của để phương trình có đúng ba nghiệm phân biệt thuộc đoạn là ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 4
Trang 5
y 4 O 1 1 2 x 2 A. 3 B. 4 C. 0 D. 2 Câu 55. Bạn An có một cốc hình nón có đường kính đáy là và độ dài đường sinh là . Bạn dự định đựng một viên bi hình cầu sao cho toàn bộ viên bi nằm trong cốc (không phần nào của viên bi cao hơn miệng cốc). Hỏi bạn An có thể đựng được viên bi có đường kính lớn nhất bằng bao nhiêu? A. B. C. D. Câu 56. “Vừa gà vừa chó Bó lại cho tròn Ba mươi sáu con Một trăm chân chẵn” Hỏi số gà nhiều hơn số chó mấy con? A. . B. . C. . D. . Câu 57. Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc , cho đường thẳng và mặt phẳng . Phương trình đường thẳng đối xứng với qua là A. . B. . C. . D. . Câu 58. Cho hình chóp có đáy là tam giác đều cạnh . Biết với thuộc cạnh thỏa mãn . Góc tạo bởi và mặt phẳng bằng . Khoảng cách giữa hai đường thẳng và là ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 5
Trang 6
A. . B. . C. . D. . Câu 59. Tập hợp tất cả các giá trị để hàm số đồng biến trên là A. . B. . C. . D. . Câu 60. Các nghiệm của phương trình được biểu diển hình học bởi điểm và điểm trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của là A. . B. . C. 7. D. 5. Câu 61. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh và góc . Hình chiếu vuông góc của lên mặt phẳng đáy là trọng tâm của tam giác góc giữa và đáy bằng a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và Câu 62. Trong hình vẽ, xe kéo xe bằng một sợi dây dài 39m qua một ròng rọc ở độ cao Xe xuất phát từ và chạy với vận tốc không đổi 2m/s theo chiều mũi tên. a) Đặt , và , (đơn vị mét). Tìm một hệ thức liên hệ giữa và . b) Tính vận tốc của xe khi xe cách một khoảng là 5m. ---HẾT--- ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 6
Trang 7
ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY KỲ THI ĐÁNH GIÁ TƯ DUY NGÀY THI 23/ 01/2022 TOÁN TRẮC NGHIỆM BẢNG ĐÁP ÁN 36.B 37.B 38.D 39.C 40.D 41.B 42.C 43.A 44.B 45.C 46.A 47.A 48.D. 49.B 50.C 51.D 52.A 53.B 54.B 55.D 56.D 57.A 58.D 59.D 60.A Câu 36. Từ các chữ số lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và số đó chia hết cho 3. A. 30. B. 180. C. 210. D. 162. Lời giải Định hướng, phân tích: Bài toán dựa trên kiến thức về Quy tắc cộng, Quy tắc nhân. Học sinh cần sử dụng dấu hiệu chia hết cho 3 của một số để có thể chia các trường hợp cụ thể. Phần trình bày lời giải Số cần tìm có dạng . Các chữ số có thể chia thành 3 nhóm: +) Nhóm 1 - Nhóm các chữ số chia hết cho 3: 3; 6; 9 +) Nhóm 2 - Nhóm các chữ số chia hết cho 3 dư 1: 1; 4; 7 +) Nhóm 3 - Nhóm các chữ số chia hết cho 3 dư 2: 2; 5; 8 Trường hợp 1: a, b, c là các chữ số chia hết cho 3. Ta phải chọn a, b, c từ nhóm 1. Số các số thỏa mãn là số. Trường hợp 2: a, b, c là các chữ số chia hết cho 3 dư 1. Ta phải chọn a, b, c từ nhóm 2. Số các số thỏa mãn là số. ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 7
Trang 8
Trường hợp 3: a, b, c là các chữ số chia hết cho 3 dư 2. Ta phải chọn a, b, c từ nhóm 3. Số các số thỏa mãn là số. Trường hợp 4: các chữ số a, b, c có một số thuộc nhóm 1, một số thuộc nhóm 2, một số thuộc nhóm 3 Số các số thỏa mãn là: 3.3.3.3! = 162 số Như vậy có tất cả số thỏa mãn yêu cầu đề bài. Tổng quát, mở rộng…… Gọi là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 3. Lời giải Số các số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau là số. Tổng của 10 số tự nhiên đầu tiên bằng là một số chia hết cho 3, vậy để số có chín chữ số khác nhau chia hết cho 3 thì số đó được thành lập từ tập các chữ số Có tất cả . Xác suất cần tính bằng . Câu 37. Cho là tập nghiệm của bất phương trình . Số giá trị nguyên của tham số để là A. 35 B. 31 C. 26 D. 29 Lời giải Định hướng, phân tích: Đây là dạng toán tìm tham số để nghiệm bất phương trình logarit thỏa mãn điều kiện. Cần đưa về dạng bất phương trình cơ bản, chú ý điều kiện xác định của bất phương trình. Phần trình bày lời giải Điều kiện: . ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 8
Trang 9
Bất phương trình tương đương với: Kết hợp điều kiện, ta được: Để thì đúng với mọi . Khi đó Với và , ta được . Vậy có đúng 31 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán. Nhận xét, tổng quát, mở rộng Bài toán trên nằm trong lớp bài toán cô lập tham số m. Câu 38. Trong không gian , cho 4 điểm bán kính mặt cầu đi qua 4 đỉnh của tứ diện là A. . B. . C. . D. . Lời giải Định hướng, phân tích: Đây là bài toán cơ bản của mặt cầu là viết PT mặt cầu đi qua 4 điểm. Gọi phương trình mặt cầu có dạng , giải 4 phương trình 4 ẩn tìm được . Phần trình bày lời giải Ta có phương trình tổng quát của mặt cầu đi qua 4 điểm là: ( ). ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 9
Trang 10
Do mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D nên ta có: ( thoả mãn điều kiện ) Vậy mặt cầu cần tìm có tâm , bán kính mặt cầu là . Câu 39. Gọi lần lượt là thể tích của khối tứ diện đều và khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp. Khi đó, bằng A. . B. . C. . D. . Lời giải Định hướng, phân tích: lần lượt là thể tích của khối tứ diện đều và khối lập phương có chung mặt cầu ngoại tiếp , có thể tính theo bán kính của mặt cầu ngoại tiếp tỉ lệ Phần trình bày lời giải A M I B D O C ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 10
Trang 11
+) Tính theo Xét tứ diện đều có độ dài mỗi cạnh là . Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Mà: Từ và +) Tính theo Xét hình lập phương cạnh tâm ta có: Từ và Nhận xét, tổng quát, mở rộng…… Với dạng toán như trên chúng ta có thể thay khối tứ diện, khối lập phương bằng khối chóp đa giác đều có các canh bằng nhau, khối nón, khối trụ, … Câu 40. Xét các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 11
Trang 12
A. . B. . C. . D. . Lời giải Định hướng, phân tích: Đây là bài toán thuộc chủ đề giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mô-đun của số phức. Để giải lớp bài toán này chúng ta có hai cách chủ yếu đó là đại số và hình học. Phần trình bày lời giải Cách 1 (Đại số). Giả sử . Ta có Ta có . Để tìm giá trị nhỏ nhất của ta có hai phương án sau Phương án 1: Sử dụng đạo hàm Xét hàm số với . Ta có . Xét ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 12
Trang 13
Thay vào kiểm tra thấy thỏa mãn. Bảng biến thiên của Từ bảng biến thiên ta có . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi . Phương án 2: Sử dụng bất đẳng thức Mincopxki Ta có . Dấu “ ” xảy ra khi . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi . Cách 2 (Hình học). Giả sử . Khi đó điểm là điểm biểu diễn số phức . Ta có ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 13
Trang 14
Do đó tập hợp điểm là đường thẳng . Xét hai điểm và , suy ra và phương trình . Khi đó, ta có . Dấu “ ” xảy ra khi , , thẳng hàng, tức là là giao điểm của và . Do đó tọa độ của là nghiệm của hệ , suy ra . Vậy giá trị nhỏ nhất của bằng khi . Nhận xét, tổng quát, mở rộng 1. Đối với bài toán max min nói chung, nếu sử dụng được bất đẳng thức thì lời giải sẽ ngắn gọn hơn. Tuy nhiên sẽ khó khăn hơn với phần lớn học sinh. 2. Cách làm bằng đại số, đạo hàm sẽ khá vất vả trong nhiều bài toán. 3. Nhìn chung, ta thường tiếp cận bằng cách hình học. 4. Đối với cách làm sử dụng hình học, có một số dạng toán quen thuộc như sau - Liên quan đường thẳng (chính là bài toán này). - Liên quan đoạn thẳng, đường gấp khúc. - Liên quan đường tròn. ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 14
Trang 15
- Có thể kết hợp, chẳng hạn như: + Đường thẳng và đường tròn. + Đoạn thẳng và đường tròn. + Hai đường tròn. + Một đường thẳng và hai đường tròn. + Hai đường thẳng và một đường tròn. + v.v... - Liên quan elip. Câu 41. Một lô hàng có 30 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 6 sản phẩm của lô hàng đó. Xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm là A. B. C. D. Lời giải Định hướng, phân tích: Số phần tử không gian mẫu là số cách chọn 6 sản phẩm trong 30 sản phẩm của lô hàng đó nên 30 sản phẩm trong đó có 5 phế phẩm nên sẽ có 25 sản phẩm chuẩn. Để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm ta sẽ chia thành 3 trường hợp TH1: Trong 6 sản phẩm lấy ra không có phế phẩm: có ( cách) TH2: Trong 6 sản phẩm lấy ra có 1 phế phẩm và 5 sản phẩm chuẩn: có ( cách) TH3: Trong 6 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm và 4 sản phẩm chuẩn: có ( cách) Số phần tử biến cố trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm là Phần trình bày lời giải Số phần tử không gian mẫu là Gọi A là biến cố trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 2 phế phẩm ta có các trường hợp ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 15
Trang 16
TH1: Trong 6 sản phẩm lấy ra không có phế phẩm: có ( cách) TH2: Trong 6 sản phẩm lấy ra có 1 phế phẩm và 5 sản phẩm chuẩn: có ( cách) TH3: Trong 6 sản phẩm lấy ra có 2 phế phẩm và 4 sản phẩm chuẩn: có ( cách) Số phần tử biến cố A là Xác suất biến cố A là Nhận xét, tổng quát, mở rộng…… Bài toán cần liệt kê cụ thể từng trường hợp thoả mãn yêu cầu bài toán, ta nên làm theo kiểu liệt kê trực tiếp. Bài toán có thể mở rộng thành chọn ra x sản phẩm có nhất k phế phẩm. Bài toán tương tự: Lớp 11A có 2 tổ. Tổ I có 5 bạn nam, 3 bạn nữ và tổ II có 4 bạn nam, 4 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên mỗi tổ 2 bạn đi văn nghệ. Tính xác suất để trong các bạn đi văn nghệ có đúng 3 bạn nữ. A. . B. . C. . D. . Lời giải Chọn mỗi tổ 2 bạn nên số phần tử của không gian mẫu . Gọi là biến cố: “Có đúng 3 bạn nữ trong 4 bạn đi văn nghệ”, khi đó TH1: Chọn 2 nữ tổ I, 1 nữ tổ II, 1 nam tổ II có . TH2: Chọn 2 nữ tổ II, 1 nữ tổ I, 1 nam tổ I có . Suy ra . Xác suất để chọn 4 bạn đi văn nghệ có đúng 3 bạn nữ là . Câu 42. Cho một tấm tôn hình vuông có cạnh bằng . Người ta cắt bốn góc của tấm tôn để được một tấm tôn như hình vẽ. ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 16
Trang 17
Từ tấm tôn mới, người ta gập được một hình chóp tứ giác đều. Để khối chóp thu được có thể tích lớn nhất thì diện tích của miếng tôn bỏ đi là A. . B. . C. . D. . Lời giải Định hướng, phân tích: - Diện tích miếng tôn bị cắt bỏ bằng diện tích miếng tôn hình vuông ban đầu trừ diện tích miếng tôn còn lại sau cắt. - Diện tích miếng tôn còn lại bằng tổng diện tích hình vuông nhỏ bên trong và diện tích bốn hình tam giác nhỏ. - Hình vuông nhỏ và hình vuông lớn có cùng tâm, hình vuông nhỏ nằm chính giữa hình vuông lớn Phần trình bày lời giải A E B E I P J H F O L Q K I J O D G C L K Gọi là độ dài cạnh đáy của hình chóp đều , . Do đó . Gọi là tâm của hình vuông , theo cách tạo hình chóp cũng là tâm của hình vuông . Gọi , lần lượt là trung điểm . Do hình vuông nằm chính giữa hình vuông nên . Do đó . ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 17
Trang 18
Xét tam giác , . Đường chéo . Do là hình chóp đều nên nên . Xét tam giác , . Thể tích của khối chóp đều . Đặt .Để thể tích khối chóp lớn nhất thì đạt giá trị lớn nhất Xét , , . Bảng biến thiên Theo bảng biến thiên đạt giá trị lớn nhất khi . Khi khối chóp đạt thể tích lớn nhất, ta có với . Do đó tổng diện tích của bốn tam giác trên là . ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 18
Trang 19
Diện tích phần cắt bỏ là Nhận xét, tổng quát, mở rộng: Ta có thể đặt câu hỏi tìm thể tích lớn nhất của hình chóp tứ giác đều theo a, diện tích xung quanh của hình chóp tứ giác khi hình chóp đạt thể tích lớn nhất. Câu 43. Một nhà máy sản xuất bóng đèn trang trí với chi phí sản xuất USD mỗi bóng đèn. Nếu giá bán mỗi bóng đèn là USD thì nhà máy dự tính bán được bóng mỗi tháng. Nếu cứ tăng giá bán mỗi bóng đèn lên USD thì số bóng đèn bán được mỗi tháng giảm đi bóng đèn. Để nhà máy có lợi nhuận lớn nhất, giá bán mỗi bóng đèn là A. USD. B. USD. C. USD. D. USD. Lời giải Định hướng, phân tích: Ở bài này, ta giả sử giá bán tăng thêm USD thì ta suy ra hai điều: 1. Giá bán mới là . 2. Số bóng đèn bán trong một tháng giảm đi bóng đèn. Từ đó ta suy ra hai yếu tố quan trọng là: 1. Số tiền lãi khi bán bóng đèn là . 2. Số bóng đèn bán được trong một tháng là . Do vậy lợi nhuận thu được là . Đây là một hàm bậc hai ta có thể tìm được giá trị lớn nhất của nó bằng cách sử dụng bất đẳng thức hoặc lập bảng biến thiên. Khi đó ta sẽ tìm được lợi nhuận lớn nhất khi giá bán mỗi bóng đèn là bao nhiêu được. Phần trình bày lời giải Giả sử giá bán tăng thêm USD thì số lượng bóng đèn bán giảm . Khi đó số bóng đèn bán được là và số tiền lãi khi bán bóng đèn là . Do vậy lợi nhận thu được là . ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 19
Trang 20
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi . Vậy lợi nhuận lớn nhất bằng khi giá bán mỗi bóng đèn là . Nhận xét, tổng quát, mở rộng…… Ở bài này ta có thể lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai trên để tìm . Bảng biến thiên Câu 44. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Lời giải Điều kiện: Ta có Trường hợp 1. Do là số nguyên nên Trường hợp 2. vô nghiệm Vậy có 2 giá trị nguyên thoả mãn bài toán là Câu 45. Một người vay ngân hàng với số tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền 4.000.000 đồng vào cuối tháng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% một tháng theo hình thức lãi kép. Theo quy định, nếu người vay trả trước hạn thì sẽ chịu thêm phí phạt bằng 3% số tiền trả trước hạn. Hết tháng thứ 6, người đó muốn trả hết nợ. Tổng số tiền người đó phải trả cho ngân hàng là ĐỀ THI THỬ ĐÁNH GIÁ TƯ DUY ĐHBK 23/01/2022 Trang 20
Affichage des 20 premières pages. Téléchargez le document pour le voir en entier.
Commentaires (0)
Aucun commentaire pour le moment. Soyez le premier !