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Objectif et moyens Objectifs du cours – Apprendre les principales techniques de statistique descriptive univari´ee et bivari´ee. – Etre capable de mettre en oeuvre ces techniques de mani`ˆ ere appropri´ee dans un contexte donn´e. – Etre capable d’utiliser les commandes de base du Language R. Pouvoir appliquer les techniques deˆ statistiques descriptives au moyen du language R. – R´ef´erences Dodge Y.(2003), Premiers pas en statistique, Springer. Droesbeke J.-J. (1997), El´´ ements de statistique, Editions de l’Universit´e libre de Bruxelles/Ellipses. Moyens – 2 heures de cours par semaine. – 2 heures de TP par semaine, r´epartis en TP th´eoriques et applications en Language R. Le language R – Shareware : gratuit et install´e en 10 minutes. – Open source (on sait ce qui est r´eellement calcul´e). – D´evelopp´e par la communaut´e des chercheurs, contient ´enorm´ement de fonctionnalit´es. – Possibilit´e de programmer. – D´esavantage : pas tr`es convivial. – Manuel : http://cran.r-project.org/doc/contrib/Paradis-rdebuts_fr.pdf 1
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Table des mati`eres 1 Variables, donn´ees statistiques, tableaux, effectifs 5 1.1 D´efinitions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.1 La science statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.2 Mesure et variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.3 Typologie des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 S´erie statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Variable qualitative nominale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Effectifs, fr´equences et tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Diagramme en secteurs et diagramme en barres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Variable qualitative ordinale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.1 Le tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.2 Diagramme en secteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.3 Diagramme en barres des effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.4 Diagramme en barres des effectifs cumul´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Variable quantitative discr`ete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.1 Le tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.2 Diagramme en bˆatonnets des effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4.3 Fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Variable quantitative continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.1 Le tableau statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5.2 L’histogramme des effectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5.3 La fonction de r´epartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Statistique descriptive univari´ee 17 2.1 Param`etres de position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Le mode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 La moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∑ 17 2.1.3 Remarques sur le signe de sommation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.1.4 Moyenne g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.5 Moyenne harmonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.6 Moyenne pond´er´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.7 La m´ediane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.8 Quantiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Param`etres de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.1 L’´etendue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.2 La distance interquartile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2.3 La variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.4 L’´ecart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.5 L’´ecart moyen absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.6 L’´ecart m´edian absolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Param`etres de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.1 Coefficient d’asym´etrie de Fisher (skewness) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.2 Coefficient d’asym´etrie de Yule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4.3 Coefficient d’asym´etrie de Pearson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2
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2.5 Param`etre d’aplatissement (kurtosis) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Changement d’origine et d’unit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Moyennes et variances dans des groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.8 Diagramme en tiges et feuilles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.9 La boˆıte `a moustaches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Statistique descriptive bivari´ee 35 3.1 S´erie statistique bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Deux variables quantitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.1 Repr´esentation graphique de deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2.2 Analyse des variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.3 Covariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2.4 Corr´elation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.5 Droite de r´egression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2.6 R´esidus et valeurs ajust´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.7 Sommes de carr´es et variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.8 D´ecomposition de la variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.3 Deux variables qualitatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.1 Donn´ees observ´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.2 Tableau de contingence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.3 Tableau des fr´equences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.3.4 Profils lignes et profils colonnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.3.5 Effectifs th´eoriques et khi-carr´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4 Th´eorie des indices, mesures d’in´egalit´e 51 4.1 Nombres indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2.1 Propri´et´es des indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.2 Indices synth´etiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.3 Indice de Laspeyres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2.4 Indice de Paasche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.5 L’indice de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.2.6 L’indice de Sidgwick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2.7 Indices chaˆınes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3 Mesures de l’in´egalit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.3.2 Courbe de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3.3 Indice de Gini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.4 Indice de Hoover . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.5 Quintile et Decile share ratio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.3.6 Indice de pauvret´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.3.7 Indices selon les pays . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 5 S´eries temporelles, filtres, moyennes mobiles et d´esaisonnalisation 59 5.1 D´efinitions g´en´erales et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.2 Traitement des s´eries temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.1.3 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 5.2 Description de la tendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.1 Les principaux mod`eles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.2 Tendance lin´eaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.3 Tendance quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.4 Tendance polynomiale d’ordre q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.2.5 Tendance logistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 5.3 Op´erateurs de d´ecalage et de diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.1 Op´erateurs de d´ecalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5.3.2 Op´erateur diff´erence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3
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5.3.3 Diff´erence saisonni`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.4 Filtres lin´eaires et moyennes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4.1 Filtres lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 5.4.2 Moyennes mobiles : d´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.4.3 Moyenne mobile et composante saisonni`ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 5.5 Moyennes mobiles particuli`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.1 Moyenne mobile de Van Hann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.2 Moyenne mobile de Spencer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.3 Moyenne mobile de Henderson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.5.4 M´edianes mobiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.6 D´esaisonnalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.6.1 M´ethode additive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 5.6.2 M´ethode multiplicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.7 Lissage exponentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.7.1 Lissage exponentiel simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 5.7.2 Lissage exponentiel double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6 Calcul des probabilit´es et variables al´eatoires 83 6.1 Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.1 Ev´´ enement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.2 Op´erations sur les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.1.3 Relations entre les ´ev´enements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.4 Ensemble des parties d’un ensemble et syst`eme complet . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.5 Axiomatique des Probabilit´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.1.6 Probabilit´es conditionnelles et ind´ependance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.1.7 Th´eor`eme des probabilit´es totales et th´eor`eme de Bayes . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 6.2 Analyse combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.2 Permutations (sans r´ep´etition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 6.2.3 Permutations avec r´ep´etition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2.4 Arrangements (sans r´ep´etition) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.2.5 Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 6.3 Variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4 Variables al´eatoires discr`etes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4.1 D´efinition, esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 6.4.2 Variable indicatrice ou bernoullienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.4.3 Variable binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.4.4 Variable de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 6.5 Variable al´eatoire continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.5.1 D´efinition, esp´erance et variance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.5.2 Variable uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.5.3 Variable normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.5.4 Variable normale centr´ee r´eduite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 6.5.5 Distribution exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6 Distribution bivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6.1 Cas continu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 6.6.2 Ind´ependance de deux variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.7 Propri´et´es des esp´erances et des variances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.8 Autres variables al´eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.8.1 Variable khi-carr´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.8.2 Variable de Student . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.8.3 Variable de Fisher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 6.8.4 Variable normale multivari´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 7 Tables statistiques 107 4
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Chapitre 1 Variables, donn´ees statistiques, tableaux, effectifs 1.1 D´efinitions fondamentales 1.1.1 La science statistique – M´ethode scientifique du traitement des donn´ees quantitatives. – Etymologiquement : science de l’´etat. – La statistique s’applique `a la plupart des disciplines : agronomie, biologie, d´emographie, ´economie, sociologie, linguistique, psychologie, ... 1.1.2 Mesure et variable – On s’int´eresse `a des unit´es statistiques ou unit´es d’observation : par exemple des individus, des en- treprises, des m´enages. En sciences humaines, on s’int´eresse dans la plupart des cas `a un nombre fini d’unit´es. – Sur ces unit´es, on mesure un caract`ere ou une variable, le chiffre d’affaires de l’entreprise, le revenu du m´enage, l’ˆage de la personne, la cat´egorie socio-professionnelle d’une personne. On suppose que la variable prend toujours une seule valeur sur chaque unit´e. Les variables sont d´esign´ees par simplicit´e par une lettre (X, Y, Z). – Les valeurs possibles de la variable, sont appel´ees modalit´es. – L’ensemble des valeurs possibles ou des modalit´es est appel´e le domaine de la variable. 1.1.3 Typologie des variables – Variable qualitative : La variable est dite qualitative quand les modalit´es sont des cat´egories. – Variable qualitative nominale : La variable est dite qualitative nominale quand les modalit´es ne peuvent pas ˆetre ordonn´ees. – Variable qualitative ordinale : La variable est dite qualitative ordinale quand les modalit´es peuvent ˆetre ordonn´ees. Le fait de pouvoir ou non ordonner les modalit´es est parfois discutable. Par exemple : dans les cat´egories socioprofessionnelles, on admet d’ordonner les modalit´es : ‘ouvriers’, ‘employ´es’, ‘cadres’. Si on ajoute les modalit´es ‘sans profession’, ‘enseignant’, ‘artisan’, l’ordre devient beaucoup plus discutable. – Variable quantitative : Une variable est dite quantitative si toute ses valeurs possibles sont num´eriques. – Variable quantitative discr`ete : Une variable est dite discr`ete, si l’ensemble des valeurs possibles est d´enombrable. – Variable quantitative continue : Une variable est dite continue, si l’ensemble des valeurs possibles est continu. Remarque 1.1 Ces d´efinitions sont `a relativiser, l’ˆage est th´eoriquement une variable quantitative continue, mais en pratique, l’ˆage est mesur´e dans le meilleur des cas au jour pr`es. Toute mesure est limit´ee en pr´ecision ! 5
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Exemple 1.1 Les modalit´es de la variable sexe sont masculin (cod´e M) et f´eminin (cod´e F). Le domaine de la variable est {M, F}. Exemple 1.2 Les modalit´es de la variable nombre d’enfants par famille sont 0,1,2,3,4,5,.... C’est une va- riable quantitative discr`ete. 1.1.4 S´erie statistique On appelle s´erie statistique la suite des valeurs prises par une variable X sur les unit´es d’observation. Le nombre d’unit´es d’observation est not´e n. Les valeurs de la variable X sont not´ees x1, ..., xi, ..., xn. Exemple 1.3 On s’int´eresse `a la variable ‘´etat-civil’ not´ee X et `a la s´erie statistique des valeurs prises par X sur 20 personnes. La codification est C : c´elibataire, M : mari´e(e), V : veuf(ve), D : divorc´ee. Le domaine de la variable X est {C, M, V, D}. Consid´erons la s´erie statistique suivante : M M D C C M C C C M C M V M V D C C C M Ici, n = 20, x1 = M, x2 = M, x3 = D, x4 = C, x5 = C, ....., x20 = M. 1.2 Variable qualitative nominale 1.2.1 Effectifs, fr´equences et tableau statistique Une variable qualitative nominale a des valeurs distinctes qui ne peuvent pas ˆetre ordonn´ees. On note J le nombre de valeurs distinctes ou modalit´es. Les valeurs distinctes sont not´ees x1, ..., xj, ..., xJ. On appelle effectif d’une modalit´e ou d’une valeur distincte, le nombre de fois que cette modalit´e (ou valeur distincte) apparaˆıt. On note nj l’effectif de la modalit´e xj. La fr´equence d’une modalit´e est l’effectif divis´e par le nombre d’unit´es d’observation. n f = j , j = 1, ..., J. j n Exemple 1.4 Avec la s´erie de l’exemple pr´ec´edent, on obtient le tableau statistique : xj nj fj C 9 0.45 M 7 0.35 V 2 0.10 D 2 0.10 n = 20 1 6
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En langage R >X=c(’Mari´e(e)’,’Mari´e(e)’,’Divorc´e(e)’,’C´elibataire’,’C´elibataire’,’Mari´e(e)’,’C´elibataire’, ’C´elibataire’,’C´elibataire’,’Mari´e(e)’,’C´elibataire’,’Mari´e(e)’,’Veuf(ve)’,’Mari´e(e)’, ’Veuf(ve)’,’Divorc´e(e)’,’C´elibataire’,’C´elibataire’,’C´elibataire’,’Mari´e(e)’) > T1=table(X) > V1=c(T1) > data.frame(Eff=V1,Freq=V1/sum(V1)) Eff Freq C´elibataire 9 0.45 Divorc´e(e) 2 0.10 Mari´e(e) 7 0.35 Veuf(ve) 2 0.10 1.2.2 Diagramme en secteurs et diagramme en barres Le tableau statistique peut ˆetre repr´esent´e par un diagramme en barres ou en secteurs (ou camembert ou piechart en anglais) (voir Figures 1.1 et 1.2). Célibataire Divorcé(e) Veuf(ve) Marié(e) Fig. 1.1 – Diagramme en secteurs En langage R > pie(T1,radius=1.0) En langage R > barplot(T1) 1.3 Variable qualitative ordinale 1.3.1 Le tableau statistique Les valeurs distinctes d’une variable ordinale peuvent ˆetre ordonn´ees, ce qu’on ´ecrit x1 ≺ x2 ≺ ... ≺ xj−1 ≺ xj ≺ ... ≺ xn−1 ≺ xn. 7
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8 6 4 2 0 Célibataire Divorcé(e) Marié(e) Veuf(ve) Fig. 1.2 – Diagramme en barres La notation x1 ≺ x2 se lit x1 pr´ec`ede x2. Si la variable est ordinale, on peut calculer les effectifs cumul´es : ∑j Nj = nk. k=1 On a N1 = n1 et NJ = n. On peut ´egalement calculer les fr´equences cumul´ees N ∑j F = j = f . j n k k=1 Exemple 1.5 On interroge 50 personnes sur leur dernier diplˆome obtenu (variable Y ). La codification a ´et´e faite selon le Tableau 1.1. On a obtenu la s´erie statistique pr´esent´ee dans le tableau 1.2. Finalement, on obtient le tableau statistique complet pr´esent´e dans le Tableau 1.3. Tab. 1.1 – Codification de la variable Y Dernier diplˆome obtenu xj Sans diplˆome Sd Primaire P Secondaire Se Sup´erieur non-universitaire Su Universitaire U Tab. 1.2 – S´erie statistique de la variable Y Sd Sd Sd Sd P P P P P P P P P P P Se Se Se Se Se Se Se Se Se Se Se Se Se Se Su Su Su Su Su Su Su Su Su U U U U U U U U U U U U En langage R > YY=c("Sd","Sd","Sd","Sd","P","P","P","P","P","P","P","P","P","P","P", "Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se","Se", "Su","Su","Su","Su","Su","Su","Su","Su","Su", "U","U","U","U","U","U","U","U","U","U","U","U") YF=factor(YY,levels=c("Sd","P","Se","Su","U")) 8
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Tab. 1.3 – Tableau statistique complet xj nj Nj fj Fj Sd 4 4 0.08 0.08 P 11 15 0.22 0.30 Se 14 29 0.28 0.58 Su 9 38 0.18 0.76 U 12 50 0.24 1.00 50 1.00 T2=table(YF) V2=c(T2) > data.frame(Eff=V2,EffCum=cumsum(V2),Freq=V2/sum(V2),FreqCum=cumsum(V2/sum(V2))) Eff EffCum Freq FreqCum Sd 4 4 0.08 0.08 P 11 15 0.22 0.30 Se 14 29 0.28 0.58 Su 9 38 0.18 0.76 U 12 50 0.24 1.00 1.3.2 Diagramme en secteurs Les fr´equences d’une variable qualitative sont repr´esent´ees au moyen d’un diagramme en secteurs (voir Figure 1.3). P Se Sd U Su Fig. 1.3 – Diagramme en secteurs des fr´equences En langage R > pie(T2,radius=1) 9
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1.3.3 Diagramme en barres des effectifs Les effectifs d’une variable qualitative sont repr´esent´es au moyen d’un diagramme en barres (voir Fi- gure 1.4). 14 12 10 8 6 4 2 0 Sd P Se Su U Fig. 1.4 – Diagramme en barres des effectifs En langage R > barplot(T2) 1.3.4 Diagramme en barres des effectifs cumul´es Les effectifs cumul´es d’une variable qualitative sont repr´esent´es au moyen d’un diagramme en barres (voir Figure 1.5). 50 40 30 20 10 0 Sd P Se Su U Fig. 1.5 – Diagramme en barres des effectifs cumul´es 10
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En langage R > T3=cumsum(T2) > barplot(T3) 1.4 Variable quantitative discr`ete 1.4.1 Le tableau statistique Une variable discr`ete a un domaine d´enombrable. Exemple 1.6 Un quartier est compos´e de 50 m´enages, et la variable Z repr´esente le nombre de personnes par m´enage. Les valeurs de la variable sont 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 6 6 6 8 8 Comme pour les variables qualitatives ordinales, on peut calculer les effectifs, les effectifs cumul´es, les fr´equences, les fr´equences cumul´ees. A nouveau, on peut construire le tableau statistique :` xj nj Nj fj Fj 1 5 5 0.10 0.10 2 9 14 0.18 0.28 3 15 29 0.30 0.58 4 10 39 0.20 0.78 5 6 45 0.12 0.90 6 3 48 0.06 0.96 8 2 50 0.04 1.00 50 1.0 En langage R > Z=c(1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,3,4, + 4,4,4,4,4,4,4,4,4,5,5,5,5,5,5,6,6,6,8,8) > T4=table(Z) > T4c=c(T4) > data.frame(Eff=T4c,EffCum=cumsum(T4c),Freq=T4c/sum(T4c),FreqCum=cumsum(T4c/sum(T4c))) Eff EffCum Freq FreqCum 1 5 5 0.10 0.10 2 9 14 0.18 0.28 3 15 29 0.30 0.58 4 10 39 0.20 0.78 5 6 45 0.12 0.90 6 3 48 0.06 0.96 8 2 50 0.04 1.00 11
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15 10 5 0 1 2 3 4 5 6 8 Fig. 1.6 – Diagramme en bˆatonnets des effectifs pour une variable quantitative discr`ete 1.4.2 Diagramme en bˆatonnets des effectifs Quand la variable est discr`ete, les effectifs sont repr´esent´es par des bˆatonnets (voir Figure 1.6). En langage R > plot(T4,type="h",xlab="",ylab="",main="",frame=0,lwd=3) 1.4.3 Fonction de r´epartition Les fr´equences cumul´ees sont repr´esent´ees au moyen de la fonction de r´epartition. Cette fonction, pr´esent´ee en Figure 1.7,est d´efinie de R dans [0,1] et vaut : 0 x < x1 F(x) = Fj xj ≤ x < xj+1 1 x ≤ x. J En langage R > plot(ecdf(Z),xlab="",ylab="",main="",frame=0) 1.5 Variable quantitative continue 1.5.1 Le tableau statistique Une variable quantitative continue peut prendre une infinit´e de valeurs possibles. Le domaine de la variable est alors R ou un intervalle de R. En pratique, une mesure est limit´ee en pr´ecision. La taille peut ˆetre mesur´ee en centim`etres, voire en millim`etres. On peut alors traiter les variables continues comme des variables discr`etes. Cependant, il est souvent int´eressant de proc´eder `a des regroupements en classes pour faire des repr´esentations graphiques. 12
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1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 0 2 4 6 8 Fig. 1.7 – Fonction de r´epartition d’une variable quantitative discr`ete Exemple 1.7 On mesure la taille de 50 ´el`eves d’une classe : 152 152 152 153 153 154 154 154 155 155 156 156 156 156 156 157 157 157 158 158 159 159 160 160 160 161 160 160 161 162 162 162 163 164 164 164 164 165 166 167 168 168 168 169 169 170 171 171 171 171 On peut d´efinir les classes [151,5; 155,5[ [155,5; 159,5[ [159,5; 163,5[ [163,5; 167,5[ [167,5; 171,5[ et on construit le tableau statistique. [c−, c+] n N f F j j j j j j [151,5; 155,5[ 10 10 0.20 0.20 [155,5; 159,5[ 12 22 0.24 0.44 [159,5; 163,5[ 11 33 0.22 0.66 [163,5; 167,5[ 7 40 0.14 0.80 [167,5; 171,5[ 10 50 0.20 1.00 50 1.00 Le tableau regroup´e en classe est souvent appel´e distribution group´ee. On note, de mani`ere g´en´erale : – cj le centre de la classe j, – c− la borne inf´erieure de la classe j, j – c+ la borne sup´erieure de la classe j, j – nj l’effectif de la classe j, 13
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– Nj l’effectif cumul´e de la classe j, – fj la fr´equence de la classe j, – Fj la fr´equence cumul´ee de la classe j. En langage R > S=c(152,152,152,153,153,154,154,154,155,155,156,156,156,156,156, + 157,157,157,158,158,159,159,160,160,160,161,160,160,161,162, + 162,162,163,164,164,164,164,165,166,167,168,168,168,169,169, + 170,171,171,171,171) > T5=table(cut(S, breaks=c(151,155,159,163,167,171))) > T5c=c(T5) > data.frame(Eff=T5c,EffCum=cumsum(T5c),Freq=T5c/sum(T5c),FreqCum=cumsum(T5c/sum(T5c))) Eff EffCum Freq FreqCum (151,155] 10 10 0.20 0.20 (155,159] 12 22 0.24 0.44 (159,163] 11 33 0.22 0.66 (163,167] 7 40 0.14 0.80 (167,171] 10 50 0.20 1.00 1.5.2 L’histogramme des effectifs L’histogramme consiste `a repr´esenter les effectifs des classes par des rectangles dont la surface (et non la hauteur) repr´esente l’effectif. La hauteur hj du rectangle correspondant `a la classe j est donc donn´ee par nj hj = . c+ − c− j j 12 10 8 6 4 2 0 151.5 155.5 159.5 163.5 167.5 171.5 Fig. 1.8 – Histogramme des effectifs En langage R > hist(S,breaks=c(151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5), xlab="",ylab="",main="",xaxt = "n") > axis(1, c(151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5)) 14
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Si les deux derni`eres classes sont agr´eg´ees, comme dans la Figure 1.9, la surface du dernier rectangle est ´egale `a la surface des deux derni`eres rectangles de l’histogramme de la Figure 1.8. 0.06 0.04 0.02 0.00 151.5 155.5 159.5 163.5 171.5 Fig. 1.9 – Histogramme des effectifs avec les deux derni`eres classes agr´eg´ees En langage R > hist(S,breaks=c(151.5,155.5,159.5,163.5,171.5), xlab="",ylab="",main="",xaxt = "n") > axis(1, c(151.5,155.5,159.5,163.5,171.5)) 1.5.3 La fonction de r´epartition La fonction de r´epartition F(x) est une fonction de R dans [0,1], qui est d´efinie par 0 x < c− 1 F(x) = F + fj (x − c−) c− ≤ x < c+ j−1 c+−c− j j j 1 j j c+ ≤ x J Fig. 1.10 – Fonction de r´epartition d’une distribution group´ee 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 151.5 155.5 159.5 163.5 167.5 171.5 15
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En langage R > y=c(0,0,cumsum(T5c/sum(T5c)),1) > x=c(148,151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5,175) > plot(x,y,type="b",xlab="",ylab="",xaxt = "n") > axis(1, c(151.5,155.5,159.5,163.5,167.5,171.5)) 16
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Chapitre 2 Statistique descriptive univari´ee 2.1 Param`etres de position 2.1.1 Le mode Le mode est la valeur distincte correspondant `a l’effectif le plus ´elev´e ; il est not´e xM. Si on reprend la variable ‘Etat civil’ , dont le tableau statistique est le suivant : xj nj fj C 9 0.45 M 7 0.35 V 2 0.10 D 2 0.10 n = 20 1 le mode est C : c´elibataire. Remarque 2.1 – Le mode peut ˆetre calcul´e pour tous les types de variable, quantitative et qualitative. – Le mode n’est pas n´ecessairement unique. – Quand une variable continue est d´ecoup´ee en classes, on peut d´efinir une classe modale (classe corres- pondant `a l’effectif le plus ´elev´e). 2.1.2 La moyenne La moyenne ne peut ˆetre d´efinie que sur une variable quantitative. La moyenne est la somme des valeurs observ´ees divis´ee par leur nombre, elle est not´ee ¯x : x + x + ... + x + ... + x 1 ∑n x¯ = 1 2 i n = x . n n i i=1 La moyenne peut ˆetre calcul´ee `a partir des valeurs distinctes et des effectifs 1 ∑J x¯ = njxj. n j=1 Exemple 2.1 Les nombres d’enfants de 8 familles sont les suivants 0,0,1,1,1,2,3,4. La moyenne est 0 + 0 + 1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 12 x¯ = = = 1.5. 8 8 17
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On peut aussi faire les calculs avec les valeurs distinctes et les effectifs. On consid`ere le tableau : xj nj 0 2 1 3 2 1 3 1 4 1 8 2 × 0 + 3 × 1 + 1 × 2 + 1 × 3 + 1 × 4 x¯ = 8 3 + 2 + 3 + 4 = 8 = 1.5. Remarque 2.2 La moyenne n’est pas n´ecessairement une valeur possible. En langage R E=c(0,0,1,1,1,2,3,4) n=length(E) xb=sum(E)/n xb xb=mean(E) xb ∑ 2.1.3 Remarques sur le signe de sommation D´efinition 2.1 ∑n xi = x1 + x2 + · · · + xn. i=1 1. En statistique les xi sont souvent les valeurs observ´ees. ∑n ∑n 2. L’indice est muet : xi = xj. i=1 j=1 ∑ 3. Quand il n’y a pas de confusion possible, on peut ´ecrire xi. i Exemple 2.2 ∑4 1. xi = x1 + x2 + x3 + x4. i=1 ∑5 2. xi2 = x32 + x42 + x52. i=3 ∑3 3. i = 1 + 2 + 3 = 6. i=1 4. On peut utiliser plusieurs sommations emboˆıt´ees, mais il faut bien distinguer les indices : ∑3 ∑2 xij = x11 + x12 (i = 1) i=1 j=1 + x21 + x22 (i = 2) + x31 + x32 (i = 3) 18
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5. On peut exclure une valeur de l’indice. ∑5 xi = x1 + x2 + x4 + x5. i=1 i6=3 Propri´et´e 2.1 1. Somme d’une constante ∑n a = a︸ + a +︷︷· · · + a︸ = na (a constante). i=1 fois n Exemple ∑5 3 = 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 5 × 3 = 15. i=1 2. Mise en ´evidence ∑n ∑n axi = a xi (a constante). i=1 i=1 Exemple ∑3 2 × i = 2(1 + 2 + 3) = 2 × 6 = 12. i=1 3. Somme des n premiers entiers ∑n n(n + 1) i = 1 + 2 + 3 + · · · + n = . 2 i=1 4. Distribution ∑n ∑n ∑n (xi + yi) = xi + yi. i=1 i=1 i=1 Exemple ∑n ∑n ∑n (xi − yi) = xi − yi. i=1 i=1 i=1 1 ∑n Exemple (avec ¯x = xi) n i=1 ∑n ∑n ∑n 1 ∑n (xi − x¯) = xi − x¯ = n xi − nx¯ = nx¯ − nx¯ = 0. n i=1 i=1 i=1 i=1 5. Somme de carr´es ∑n ∑n ∑n ∑n ∑n (x − y )2 = (x2 − 2x y + y2) = x2 − 2 x y + y2. i i i i i i i i i i i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 C’est une application de la formule (a + b)2 = a2 + 2ab + b2. 19
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