1 Tröôøng Ñaïi Hoïc Baùch Khoa TP HCM Boä moân Toaùn ÖÙng Duïng ÑEÀ THI MAÃU PHÖÔNG PHAÙP TÍNH Thôøi gian laøm baøi: 90 phuùt. YEÂU CAÀU: • KHOÂNG laøm troøn caùc keát quaû trung gian. KHOÂNG ghi ñaùp soá ôû daïng phaân soá. • Caùc ñaùp soá ghi vaøo baøi thi ñöôïc laøm troøn ñeán 4 chöõ soá sau daáu phaûy thaäp phaân. CAÂU 1. Cho phöông trình f(x)=2x − 5x + sin x = 0 coù khoaûng caùch li nghieäm [0, 0.5]. Duøng phöông phaùp Newton, choïn x0 theo ñieàu kieän Fourier, tính nghieäm gaàn ñuùng x1 vaø ñaùnh giaù sai soá ∆x1 theo coâng thöùc sai soá toång quaùt. Keát quaû: x1 ≈ ; ∆x1 ≈ . CAÂU 2. Cho heä phöông trình:    6.25x1 + 0.22x2 − 0.57x3 = 12.34 0.22x1 + 8.42x2 − 0.44x3 = 10.63 −0.57x1 − 0.44x2 + 15.18x3 = 21.75 . Söû duïng phaân raõ Choleski A = BBT tìm caùc phaàn töû b11, b22, b33 cuûa ma traän tam giaùc döôùi B. Keát quaû: b11 = ; b22 = ; b33 = . CAÂU 3. Cho heä phöông trình:    11x1 + 3x2 + 5x3 = 12.27 2x1 + 13x2 − 6x3 = 25.73 2x1 + 5x2 + 17x3 = 18.49 . Vôùi x(0) = [0.3, 0.5, 0.1]T, haõy tìm vectô x(3) baèng phöông phaùp Gauss-Seidel. Keát quaû: x(3) 1 = ; x(3) 2 = ; x(3) 3 = . CAÂU 4. Xaây döïng spline baäc ba g(x) noäi suy baûng soá: x 1.0 1.5 2.0 y 4.2 4.8 6.5 vaø thoaû ñieàu kieän g0 (1.0) = 0.5, g0 (2.0) = 0 Keát quaû: g0(x) = ∀x ∈ [1.0, 1.5]; g1(x) = ∀x ∈ [1.5, 2.0]. CAÂU 5. Cho baûng soá x 22 23 24 25 26 27 28 f(x) 1.2 1.5 1.9 2.1 2.6 2.8 3.7 . Söû duïng phöông phaùp bình phöông beù nhaát, tìm haøm daïng f(x) = A√3 x + B x2 xaáp xæ toát nhaát baûng soá treân. Keát quaû: A = ; B = . CAÂU 6. Cho baûng soá x 1.0 1.5 2.0 2.5 y 3.7 4.3 5.8 6.7 . Söû duïng ña thöùc noäi suy Newton tính gaàn ñuùng ñaïo haøm y0 (x) taïi ñieåm x = 1.2. Keát quaû: y0 (1.2) = . 2 CAÂU 7. Xeùt tích phaân: I = R 2 1 √3 8x + 3 dx. Duøng coâng thöùc Simpson môû roäng, xaùc ñònh soá ñoaïn chia toái thieåu (nmin) ñeå sai soá 6 10−6. Vôùi giaù trò n = nmin vöøa tìm ñöôïc, haõy xaáp xæ tích phaân treân. Keát quaû: nmin = ; I = . CAÂU 8. Xeùt baøi toaùn Cauchy y0 = xy2 + e−x +1.5x, 1 6 x y(1) = 0.5 . Söû duïng coâng thöùc Runge-Kutta caáp 4, haõy xaáp xæ giaù trò cuûa haøm y(x) taïi x = 1.2 vôùi böôùc h = 0.2. Keát quaû: K2 = ; y(1.2) = . CAÂU 9. Xeùt baøi toaùn Cauchy ñoái vôùi ptvp caáp 2: y00(t) = cos (y(t) + 1) + sin (y0 (t) + 2) + 2.1t, 1 6 t y(1) = 1.4; y0 (1) = 0 . Thöïc hieän pheùp ñoåi bieán y0 (t) = x(t) vaø söû duïng coâng thöùc Euler, haõy xaáp xæ giaù trò cuûa haøm y(t) vaø ñaïo haøm y0 (t) taïi ñieåm t = 1.2 vôùi böôùc h = 0.2. Keát quaû: y(1.2) = ; y0 (1.2) = . CAÂU 10. Xeùt baøi toaùn bieân: (x2 + 1)y00 + 5xy0 − 10y = −8x2, 1.4 6 x 6 1.8 y(1.4) = 0; y(1.8) = 0.8 . Baèng phöông phaùp sai phaân höõu haïn, haõy xaáp xæ giaù trò cuûa haøm y(x) trong [1.4, 1.8] vôùi böôùc h = 0.1. Keát quaû: y(1.5) = ; y(1.6) = ; y(1.7) = . ÑAÙP SOÁ: Caâu 01: x1 = 0.3024, ss = 0.0061 Caâu 02: b11 = 2.5000, b22 = 2.9004, b33 = 3.8868 Caâu 03: x(3)(1) = 0.3493, x(3)(2) = 2.1185, x(3)(3) = 0.4235 Caâu 04: A = 4.20, B = 0.50, C = −1.45, D = 5.7000 A = 4.80, B = 3.32, C = 7.10, D = −13.9000 Caâu 05: A = 2.0438, B = −2276.9765 Caâu 06: I = 0.9800 Caâu 07: n = 8, I = 2.459611 Caâu 08: K2=0.5080, y(1.2) = 1.0256 Caâu 09: y(1.2) = 1.4000, y0 (1.2) = 0.4544 Caâu 10: y1=0.3416, y2=0.5722, y3=0.7190 Caùc baïn vui loøng kieåm tra laïi. Moïi yù kieán xin göûi veà ñòa chæ: tlethai@hcmut.edu.vn