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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 1 Corrig´e exercices 8 et 9 8.— On consid`ere un mod`ele Cox-Ross-Rubinstein de march´e (B, S) `a trois ´etapes. On suppose que S0 = 20––C et que les facteurs de hausse et de baisse sont respectivement u = 1,1 et d = 0,9. Le rendement non-risqu´e sur chaque p´eriode est r = 2%. a. D´ecrire la dynamique de S `a l’aide d’un arbre et donner la probabilit´e de martingale. b. Un trader vend un put europ´een de prix d’exercice K = 20 ––C et commence ses op´erations de couverture delta-neutre. D´eterminer le prix du put `a la date t = 0. c. On suppose que l’actif sous-jacent subit deux baisses cons´ecutives puis une hausse : d´etailler les op´erations e↵ectu´ees par le trader sur son portefeuille de couverture. d. S’il s’agissait d’un put am´ericain, l’acheteur aurait-il int´erˆet `a exercer son put de mani`ere anticip´ee ? Solution a. et b. On reproduit dans la figure ci-dessous la dynamique du sous-jacent et les prix du put europ´een aux di↵´erents nœuds de l’arbre CRR. Ces prix peuvent s’obtenir comme les esp´erances actualis´ees du pay-o↵. Les esp´erances sont calcul´ees avec la probabilit´e de martingale q : 1,02 0,9 3 q = = 1,1 0,9 5 et la prime `a t = 0 est p0 = 0,9185––C. 26,62 0 24,2 0 22 21,78 0,3353 0 20 19,8 0,9185 0,8549 18 17,82 1,8393 2,18 16,2 3,4078 14,58 5,42 Pr´ecisons un peu les calculs pour le put. Les probabilit´es des di↵´erents chemins issus des nœuds de l’arbre et aboutissant au pay-o↵ sont donn´ees par des lois binomiales B(n, q) avec n = 1, 2 ou 3. A la date` t = 0 : 1 p0 = 3q(1 q)2⇥2,18 + (1 q)3⇥5,42 = 0,9185––C. (1,02)3 A la date` t = 1, en cas de hausse (nœud S = 22) : 1 u 1 2 – p1 = (1 q) ⇥2,18 = 0,3353–C (1,02)2 et en cas de baisse (nœud S1 = 18) : 1 pd = 2q(1 q)⇥2,18 + (1 q)2⇥5,42 = 1,8393––C 1 (1,02)2 2002-2012 michel miniconi version du 5 f´evrier 2012
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A la date` t = 2 et en cas de double hausse (au nœud S = 24,2), le prix du put est ´evidemment nul. 2 En cas d’un mouvement hausse-baisse ou baisse-hausse (au nœud S2 = 19,8), le put vaut ud 1 – p1 = (1 q)⇥2,18 = 0,8549–C 1,02 et en cas de double baisse (nœud S2 = 16,2) la valeur du put est : 1 pdd = q⇥2,18 + (1 q)⇥5,42 = 3,4078––C 1 1,02 c. Le trader est vendeur, il couvre donc sa position en achetant le portefeuille de r´eplication. A` t = 0 : le delta du put est 0,3353 1,8393 '1 = = 0,3760. 22 18 Le trader vend (short) 0,3760 parts de sous-jacent qui vaut `a cette date 20––C. Il encaisse donc la prime du put, p0 = 0,9185––C, augment´ee de 0,3760⇥20––C, soit au total 8,4387––C qu’il place sur le march´e mon´etaire au taux r. A` t = 1 : le sous-jacent a subi une baisse, il vaut maintenant 18––C ; le delta du put est 0,8549 3,4078 '2 = = 0,7092. 19,8 16,2 Le trader vend donc `a nouveau (`a d´ecouvert) 0,70920,3760 = 0,3332 parts de sous-jacent ; il encaisse pour cette vente 0,3332⇥18 = 5,9965––C qu’il rajoute `a la somme d´ej`a investie `a t = 0 et actualis´ee `a t = 1. Il poss`ede d´esormais sur son compte mon´etaire 8,4387⇥(1 + r) + 5,9965 = 14,6400––C. A` t = 2 : le sous-jacent a subi une nouvelle baisse, il vaut maintenant 16,2––C ; le delta du put est 2,18 5,42 '3 = = 1. 17,82 14,58 Le trader vend encore 1 0,7092 = 0,2908 parts de sous-jacent au prix du march´e, ce qui lui permet d’encaisser 0,2908⇥16,2 = 4,7118––C qu’il rajoute `a la somme totale actualis´ee investie `a la date pr´ec´edente. Il a maintenant sur son compte mon´etaire 14,6400⇥(1 + r) + 4,7118 = 19,6078––C A` t = 3 : le sous-jacent est remont´e, il vaut maintenant 17,82––C et il est dans la monnaie, l’acheteur exerce le put. Le trader liquide son portefeuille qui vaut maintenant 19,6078⇥(1 + r) + (1)⇥17,82 = 2,18––C ce qui repr´esente exactement le pay-o↵ qu’il doit verser `a l’acheteur. d. Examinons le cas du put am´ericain, r´esum´e sur la figure ci-dessous : 26,62 0 24,2 0 22 21,78 0,3353 0 20 19,8 0,9815 B 0,8549 18 17,82 2 A 2,18 (1,9931) 16,2 3,8 (3,4078) 14,58 5,42 2
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Ces prix sont calcul´es de mani`ere r´ecursive descendante `a partir du pay-o↵ en utilisant `a chaque ´etape [t, t + t] la formule : pU S = max (K S ) , B1E (p |S ) t t + t q t+t t o`u Bt d´esigne le facteur d’actualisation sur l’intervalle temporel t. On recalcule les prix lorsque l’option est dans la monnaie. Au noeud A l’exercice anticip´e est envisageable puisqu’il rapporte 3,8––C alors que le prix risque-neutre du put n’est que de 3,4078––C. On a donc pU S = max(3,8 ; 3,4078) = 3,8––C. A Cependant, l’exercice est aussi envisageable au noeud B. En e↵et, avec le prix am´ ericain en A le prix risque- neutre en B serait maintenant ´egal `a (3/5)⇥0,8549 + (2/5)⇥3,8 /1,02 = 1,9931––C qui est inf´erieur aux deux euros que rapporterait l’exercice. Le prix du put am´ericain en B est donc pU S = max(2 ; 1,9931) = 2––C. B La strat´egie optimale consiste `a exercer le put am´ericain `a la premi`ere occasion o`u l’exercice est favorable. Le put am´ericain sera donc exerc´e `a t = 1 si le sous-jacent a subi une baisse, et il rapportera 2––C. La prime du put est 1 pU S = (3/5)⇥0,3353 + (2/5)⇥2 = 0,9815––C. 0 1,02 En revanche, si le sous-jacent commence par une hausse, le put ne sera jamais exerc´e avant l’´ech´eance. 9.— Un trader a achet´e le put europ´een pr´ec´edent et le finance en vendant le portefeuille de couverture. A` la derni`ere ´etape la volatilit´e du sous-jacent a soudain augment´e `a l’insu du march´e : le facteur de hausse est maintenant u0 = 1,4 et le facteur de baisse d0 = 0,6. Ce mouvement de volatilit´e est-il favorable `a l’acheteur du put ? Solution La couverture a ´et´e constitu´ee sous la volatilit´e initiale, le portefeuille correspondant est vendu. La position du trader `a la date t = 2 et selon les di↵´erentes valeurs de S2 est r´esum´ee dans le tableau ci-dessous : S2 put parts sous-jacent position en ––C 24,2 1 0 0 19,8 1 0,5505 -11,7549 16,21 1 1 -19,6078 A la date` t = 3 le bilan est le suivant : S2 S3 put achet´e ptf vendu bilan 33,88 0 0 0 24,2 14,52 5,48 0 5,48 27,72 0 3,27 3,27 19,8 11,88 8,12 -5,45 2,67 22,68 0 2,68 2,68 16,2 9,72 10,28 -10,28 0 Si la volatilit´e n’avait pas augment´e, le bilan aurait ´et´e nul dans toutes les ´eventualit´es. Le mouvement de hausse de volatilit´e est donc favorable au trader. On pourra v´erifier que la conclusion aurait ´et´e la mˆeme pour un call achet´e et couvert. En cas de baisse de volatilit´e, la conclusion est invers´ee (put ou call). 3
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Master IMEA 1 Calcul Stochastique et Finance Feuille de T.D. no 3 Dans ces exercices, W d´esignera toujours un processus de Wiener (brownien standard) 1.— Montrer que pour tout s > 0 le processus (Wt+s Ws)t0 est un brownien standard ind´ependant du processus (Wt)0ts. Pour l’ind´ependance, il s’agit donc de montrer que pour des ensembles de dates t1, t2, . . . , tm > 0 et 0 < s1, s2, . . . , sn s quelconques, les vecteurs al´eatoires (Wt +s Ws, Wt +s Ws, . . . , Wt +s Ws) 1 2 m et (Ws , Ws , . . . , Ws ) sont ind´ependants. 1 2 n Solution 2.— Soit X une variable normale N(0; 1) et ✏ une variable qui prend les deux valeurs 1 et 1 avec probabilit´e 1/2 pour chacune. On suppose que X et ✏ sont ind´ependantes. On pose Y = ✏X. a. Montrer que Y ⇠ N(0; 1). b. Montrer que les variables X et Y sont non-corr´el´ees. c. Montrer que X et Y ne sont pas ind´ependantes. Le vecteur al´eatoire (X, Y ) est-il gaussien ? Solution a. On cherche `a d´eterminer la fonction de r´epartition de Y , FY . On a FY (y) = P(Y y) = P(✏ = 1, Y y) + P(✏ = 1, Y y) = P(✏ = 1, X y) + P(✏ = 1,X y) et puisque ✏ et X sont ind´ependantes : 1 1 FY (y) = P(X y) + P(X y). 2 2 Par sym´etrie de la loi normale centr´ee, P(X y) = P(X y) donc FY (y) = P(X y) = FX(y). Ainsi Y et X ont mˆeme r´epartition donc elles suivent la mˆeme loi, la loi normale N(0; 1). b. Comme les variables sont centr´ees on a Cov(X, Y ) = E(XY ) = E(✏X2) donc, en raison de l’ind´ependance de ces deux variables : Cov(X, Y ) = E(✏)E(X2) = 0 puisque ✏ est centr´ee. c. Il sut de trouver deux ´ev´enements, l’un associ´e `a X, l’autre `a Y , qui ne sont pas ind´ependants. On va montrer que P(X 1, Y 1) 6= P(X 1)P(Y 1). On conditionne `a nouveau par la variable ✏ : P(X 1, Y 1) = P(X 1, Y 1,✏ = 1) + P(X 1, Y 1,✏ = 1) donc 1 1 P(X 1, Y 1) = P(X 1, X 1,✏ = 1) +P(X 1, X 1,✏ = 1) = P(X 1) + P(1 X 1). 2 2 Or P(1 X 1) = 2P(X 1) 1 donc si l’´egalit´e d’ind´ependance ´etait v´erifi´ee, on aurait, en notant ↵ = P(X 1) : 1 1 2 2 ↵ + (2↵ 1) = ↵ i.e. 2↵ 3↵ + 1 = 0. 2 2 2002-2011 michel miniconi version du 22 f´evrier 2012
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Cependant les solutions de cette derni`ere ´equation sont ↵ = 1/2 et ↵ = 1 : la premi`ere racine correspond `a ↵ = P(X 0), la seconde `a ↵ = P(X 1). En particulier, cette ´egalit´e n’est pas v´erifi´ee par P(X 1) ce qui entraˆıne que les variables X et Y ne sont pas ind´ependantes. Les variables X et Y sont normales, non-corr´el´ees mais non-ind´ependantes. Si elles formaient un couple gaussien, elles seraient ind´ependantes. Le vecteur al´eatoire (X, Y ) n’est donc pas gaussien. 3.— Soit T > 0 un r´eel fix´e. Pour tout entier positif n on consid`ere une subdivision ⇡ = {0 = tn < tn < tn < . . . < tn = T} n 0 1 2 N de l’intervalle [0, T] (l’entier N d´epend de la subdivision donc aussi de n). On suppose que le pas de la subdivision, = max (tn tn), tend vers 0 lorsque n tend vers l’infini. P n 0jN1 j+1 j On rappelle que la somme N1(W W )2 converge dans L2 vers la limite T. j=0 tn tn j+1 j a. On consid`ere les limites dans L2 NX1 I = limSn avec Sn = Wtn (Wtn Wtn ) n j j+1 j j=0 et NX1 J = limTn avec Tn = Wtn (Wtn Wtn ). n j+1 j+1 j j=0 Calculer J I et I + J. En d´eduire la valeur de I et J. b. V´erifier que la suite de fonctions simples d´efinie par NX1 fn(t) = Wtn 1[tn,tn [(t) j j j+1 j=0 approche f(t) = W dans M2 . t T En d´eduire la valeur de l’int´egrale Z T Ws dWs. 0 Solution Red´emontrons d’abord le rappel sur la variation quadratique du brownien cit´P e dans l’´enonc´e. Par un calcul direct, en remarquant que T = N1(tn tn) : j=0 j+1 j ⇣NX1 ⌘2 ⇣NX1n o⌘2 (W W )2 T = (W W )2 (tn tn) tn tn tn tn j+1 j j+1 j j+1 j j=0 j=0 NX1n o2 Xn on o = (W W )2(tn tn) +2 (W W )2(tn tn) (W W )2(tn tn) . tn tn j+1 j tn tn j+1 j tn tn k+1 k j+1 j j+1 j k+1 k j=0 j<k Posons = (W W )2 (tn tn), on a : j tn tn j+1 j j+1 j ⇣NX1 ⌘2 NX1 X (W W )2 T = 2 + 2 . tn tn j j k j+1 j j=0 j=0 j<k Les accroissements du brownien ´etant ind´ependants, centr´es et de variance l’accroissement temporel corres- pondant, on a E(jk) = E(j)E(k) = 0. 2
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Par ailleurs E(2) = E (W W )4 2(tn tn)E (W W )2 + (tn tn)2 j tn tn j+1 j tn tn j+1 j j+1 j j+1 j et puisque les accroissements sont gaussiens, le moment d’ordre 4 vaut 3(tn tn)2 et l’on a j+1 j E(2) = 2(tn tn)2. j j+1 j Finalement ⇣NX1 ⌘2 NX1 NX1 E (W W )2 T = 2 (tn tn)2 2 (tn tn) = 2 T ! 0. tn tn j+1 j n j+1 j n j+1 j j=0 j=0 j=0 a. On a NX1 T S = (W W )2 ! T n n tn tn j+1 j j=0 (convergence dans L2) et NX1 S + T = (W2 W2 ) = W2. n n tn tn T j+1 j j=0 pour tout n. Ainsi J I = T et J + I = W2 donc T 1 2 1 1 2 1 J = WT + T et I = WT T. 2 2 2 2 b. Soit t fix´e dans l’intervalle [0, T], il existe un indice j tel que t 2 [tj, tj+1[. Alors E (f (t) W )2 = E (W W )2 = t tn ! 0. n t tn t j n j D’apr`es la question a Z T Z T 1 2 1 Sn = fn(s)dWs ! I donc Ws dWs = I = WT T. 0 0 2 2 3
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