Generating preview...
Ts t« v¨n ban Bμi gi¶ng X¸c suÊt thèng kª Vμ Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn (Dành cho các lớp cao học kỹ thuật - HVKTQS) PHIªn B¶N 09/05 - 12/05 - 08/06 - 11/06 - 20/03/07 - 15/05/07 - 10/7/2007 - 05/09/07 (Ch−a hoμn thiÖn) Hμ néi - 2005 - 2006 - 2007 http://www.ebook.edu.vn
M ỤC L ỤC PhÇn –Ch−¬ng Néi dung trang Môc lôc 2 Lêi nãi ®Çu 5 C¸c ký hiÖu hay sö dông 7 PhÇn I X¸c suÊt Thèng kª 9 Ch−¬ng I KiÕn thøc bæ sung vÒ x¸c suÊt 9 §1.1. C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng 9 §1.1. BiÕn nhÉu nhiªn chuÈn 8 §1.2. VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn 11 §1.3. Më réng kh¸i niÖm mËt ®é ®èi víi BNN rêi r¹c 17 C©u hái vμ bμi tËp Ch−¬ng I 20 Ch−¬ng II Ch−¬ng III §3.5.Sù héi tô cña d·y c¸c BNN 23 3.5.1. C¸c d¹ng héi tô 23 3.5.2. C¸c ®Þnh lý giíi h¹n 25 Ch−¬ng IV Lý thuyÕt −íc l−îng PhÇn II Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 32 Ch−¬ng V Nh÷ng kh¸i niÖm tæng qu¸t 32 §5.1. Më ®Çu 32 5.1.1. C¸c ®Þnh nghÜa 32 5.1.2. Ph©n lo¹i s¬ bé 33 5.1.3. VÝ dô vÒ QTNN 34 5.1.4. Hä c¸c ph©n bè h÷u h¹n chiÒu 35 §5.2. Mét sè líp c¸c qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn 36 5.2.1. Qu¸ tr×nh cÊp II 36 5.2.2. Qu¸ tr×nh sè gia ®éc lËp 38 5.2.3. Qu¸ tr×nh dõng (QT dõng theo nghÜa hÑp, dõng 39 theo nghÜa réng, dõng ®ång thêi) 5.2.4. Qu¸ tr×nh Gauss 45 §5.3.TÝnh chÊt ergodic vμ trung b×nh thêi gian 46 2 http://www.ebook.edu.vn
5.3.1. Giíi thiÖu 46 5.3.2. Ergodic kú väng 47 5.3.3. Ergodic ph−¬ng sai, tù hiÖp ph−¬ngsai, PS chÐo 50 5.3.4. C¸c lo¹i ergodic kh¸c 54 5.3.5. §o hμm t−¬ng quan 55 §5.4.Liªn tôc, ®¹o hμm, tÝch ph©n 57 5.4.1. Liªn tôc (theo x¸c suÊt, theo trung b×nh) 57 5.4.2. §¹o hμm (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh) 59 5.4.3. TÝch ph©n (theo b×nh ph−¬ng trung b×nh) 61 §5.5.Hai QTNN quan träng 65 5.5.1. QT Poisson (®Þnh nghÜa, x¸c suÊt ®ång thêi n 65 chiÒu, hμm tù t−¬ng quan, d·y thêi ®iÓm ®Õn, x¸c ®Þnh c−êng ®é dßng ®Õn, c¸c biÕn thÓ, nhiÔu b¾n, sinh c¸c quü ®¹o) 75 5.5.2. QT Wiener (®. nghÜa, c¸c tÝnh chÊt, sinh quü ®¹o) 74 5.5.3. Giíi thiÖu vÒ c¸c QTNN kh¸c 77 §5.6. Qu¸ tr×nh ngÉu nhiªn phøc 77 C©u hái lý thuyÕt vμ bμi tËp ch−¬ng V 79 Ch−¬ng VI Xö lý c¸c QTNN 86 §6.1.MËt ®é phæ c«ng suÊt 86 6.1.1. VÊn ®Ò nghiªn cøu QTNN trong miÒn tÇn sè 86 6.1.2. MËt ®é phæ c«ng suÊt 89 6.1.3. MËt ®é phæ c«ng suÊt chÐo 93 6.1.4. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho QT thùc kh«ng dõng 95 6.1.5. MËt ®é phæ c«ng suÊt cho d·y ngÉu nhiªn 97 6.1.6. Mét sè m« h×nh nhiÔu (nhiÔu tr¾ng, nhiÔu nhiÖt, 99 nhiÔu tr¾ng th«ng d¶i, nhiÔu mμu, nhiÔu b¾n) 6.1.7. Phæ c«ng suÊt cña QTNN phøc 103 (VÝ dô: Phæ v¹ch, hiÖu øng Doppler) §6.2.C¨n b¶n vÒ hÖ tuyÕn tÝnh 107 6.2.1. HÖ tuyÕn tÝnh tæng qu¸t 107 6.2.2. HÖ tuyÕn tÝnh bÊt biÕn theo thêi gian 109 6.2.3. HÖ nh©n qu¶ vμ hÖ æn ®Þnh 112 3 http://www.ebook.edu.vn
6.2.4. Tr−êng hîp hÖ rêi r¹c 113 §6.3. HÖ tuyÕn tÝnh víi ®Çu vμo ngÉu nhiªn 115 6.3.1. VÊn ®Ò ®Çu ra 115 6.3.2. C¸c ®Æc tr−ng x¸c suÊt cña QT ®Çu ra 117 6.3.3. §¸p øng hÖ LTI rêi r¹c víi ®Çu vμo ngÉu nhiªn 120 6.3.4. C¸c vÝ dô (HÖ lý tưëng, Läc bËc nhÊt, Trung b×nh 122 trưît, Phæ cña QT ®¹o hμm) §6.4. Qu¸ tr×nh tù håi quy – trung b×nh ®éng 124 6.4.1. Qu¸ tr×nh tù håi quy AR 124 4.4.2. Qu¸ tr×nh trung b×nh ®éng MA 128 6.4.3. Qu¸ tr×nh ARMA 130 §6.5. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i vμ ®iÒu chÕ 133 6.5.1. Qu¸ tr×nh th«ng d¶i 133 6.5.2. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu biªn AM 138 6.5.3. NhiÔu trong hÖ th«ng tin ®iÒu tÇn FM 142 §6.6. Läc phèi hîp 147 6.6.1. Tr−êng hîp tæng qu¸t 147 6.6.2. Läc phèi hîp cho nhiÔu mμu 148 6.6.3. Läc phèi hîp cho nhiÔu tr¾ng 149 §6.7. ¦íc l−îng tuyÕn tÝnh tèi −u 151 6.7.1. §Æt bμi to¸n 151 6.7.2. Bμi to¸n lμ tr¬n – Läc Wiener bÊt kh¶ thi 153 6.7.3. Läc Wiener kh¶ thi 155 C©u hái lý thuyÕt vμ bμi tËp Ch−¬ng VI 159 Chư¬ng VII Qu¸ tr×nh Markov ⎧ • XÝch Markov (dù tr÷)⎨ ⎩ • Qu¸ tr×nh Markov víi thêi gian liªn tôc PhÇn III Phô lôc A - Các bảng thống kê Phô lôc B - PhÐp biÕn ®æi Fourier 171 B¶ng B-1 TÝnh chÊt cña phÐp biÕn ®æi Fourier 171 B¶ng B-2. CÆp phÐp biÕn ®æi Fourier 172 Tμi liÖu tham kh¶o 173 4 http://www.ebook.edu.vn
Ch−¬ng 1. kiÕn thøc bæ Sung vÒ x¸c suÊt §1.1.C¸c biÕn ngÉu nhiªn quan träng 1.1.1.BiÕn ngÉu nhiªn rêi r¹c Tªn KÝ hiÖu X¸c suÊt P{X = k} K× väng Ph−¬ng sai NhÞ thøc B(n,p) C p (1k k −p)n−k; k = 0,1,..., n np np(1-p) n λke−λ Poisson P(λ) ; k = 0,1,... λ λ k! k 1− p 1− p H×nh häc G(p) p(1-p) ;k=0,1,2,... p 2 p Ck Cn−k Siªu h×nh H(N,n,p) Np N−Np ; k = 0,1,..., n ........ ......... häc Cn N C¸c luËt ph©n bè rêi r¹c kh¸c: ®Òu rêi r¹c, nhÞ thøc ©m,... 1.1.2BiÕn ngÉu nhiªn liªn tôc Tªn KÝ hiÖu MËt ®é K× väng Ph−¬ng sai 1 a + b (b − a)2 §Òu U([a;b]) ; a ≤ x ≤ b b − a 2 12 Mò E(λ) λ e−xλ ; λ,x>0 1/λ 1/λ2 Cauchy C(α β, ) β/[ (π β2 +(x − α) )]2 Kh«ng tån t¹i Kh«ng tån t¹i 1 ⎧⎪ (x −m)2 ⎫⎪ ChuÈn N(m,σ2 ) exp⎨− ⎬ (σ > 0) m σ2 2πσ2 ⎪ 2σ2 ⎪ ⎩ ⎭ λ r 1− −λx r r Gamma Γ(r,λ) ( x)λ e ; λ, r, x > 0 Γ(r) λ λ2 Khi b×nh 2 n x n χ (n) −1 − n 2n ph−¬ng x2 e 2 /(22 Γ(n / 2); x > 0, n =1, 2,... Γ((n +1) / 2)) x2 n Student T(n) (1+ )−(n 1) / 2+ 0 nπΓ(n / 2) n n − 2 Fisher- n−2 n+m F(n,m) − .......... .......... Snecdecor Bx 2 (m + nx) 2 ; m, n, x > 0 1 λ − Weibul W(α λ, ) αλxλ−1e−αx ;α λ, , x > 0 α λΓ(1+1/λ) .......... 2 1 ⎧⎪ (ln x − m)2 ⎫⎪ ⎧ σ2 ⎫ L«ga chuÈn LN(m,σ ) x−1 exp − ;σ, x > 0 exp⎪m + ⎪ …… ⎨ 2 ⎬ ⎨ ⎬ 2πσ2 ⎪⎩ 2σ ⎪⎭ ⎪⎩ 2 ⎪⎭ 2 −(x−a)2 / b πb 4−π Rayleigh (x −a)e , x ≥ a a + b b 4 4 http://www.ebook.edu.vn
L−u ý:Γ(u) = ∫∞ tu−1e−tdt víi u>0 – hμm Gamma. o TÝnh chÊt: Γ(u +1) = uΓ(u); Γ(n) = (n −1)! ; Γ(1/ 2) = π . C¸c luËt ph©n bè liªn tôc kh¸c: Bª ta, tam gi¸c,... BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn rÊt quan träng ta dμnh ra 1 phÇn riªng. §.1.2. BiÕn ngÉu nhiªn chuÈn 1 ⎧⎪ (x − m)2 ⎫⎪ 1.2.1.TÝnh chÊt hμm mËt ®é . f(x) = exp⎨− ⎬ (σ > 0) 2πσ2 ⎪⎩ 2σ2 ⎪⎭ +Hμm mËt ®é x¸c ®Þnh trªn ¡ ; +f(x) > 0: §å thÞ n»m trªn trôc hoμnh; +Trôc Ox lμ tiÖm cËn ngang; 1 +Gi¸ trÞ cùc ®¹i , ®¹t ®−îc t¹i x = m; 2πσ2 +§å thÞ ®èi xøng qua ®−êng th¼ng x=m, cã d¹ng h×nh chu«ng (H×nh 1.1). 1 2πσ2 O m x H×nh 1.1. §å thÞ hμm mËt ®é cña ph©n bè chuÈn. ⎧⎪E[X]= m; 1.2.2.C¸c tham sè ®Æc tr−ng ⎨ (1.1) ⎪D[X]= σ2. ⎩ Nh− vËy nhËn thÊy r»ng, chØ cÇn biÕt k× väng vμ ph−¬ng sai lμ cã thÓ biÕt mËt ®é f(x) vμ do ®ã hoμn toμn biÕt vÒ ph©n bè chuÈn. Cßn cã thÓ tÝnh ®−îc E[(X −EX) ]3 +§é chÖch Skew(X) = = 0; σ3 E[(X −EX) ]4 +§é nhän Kurt(X) = - 3 = 0. (1.2) σ4 1.2. 3.Bnn chuÈn ho¸ (chuÈn t¾c). X ®−îc gäi lμ biÕn nn chuÈn t¾c nÕu X ∼ N(0,1).Hμm mËt ®é cña nã cho bëi http://www.ebook.edu.vn 8
x2 1 − ϕ(x) = e 2 . (1.3) 2π §Æc ®iÓm : -Gi¸ trÞ cña ϕ(x)®−îc lËp b¶ng víi x∈{0;4]; -§å thÞ ®èi xøng qua trôc tung; -Hμm ph©n bè t−¬ng øng t2 1 x − F(x) = ∫ e 2 dt (1,4) 2π −∞ còng ®−îc lËp b¶ng. Tuy nhiªn, ®Ó tiÕt kiÖm b¶ng, thay cho F(x), ng−êi ta lËp b¶ng gi¸ trÞ cña hμm Laplace: t2 1 x − Φ(x) = ∫e 2 dt, x∈[0; 3]. (1.5) 2π 0 1 Víi x > 3, coi Φ (x)≈ . 2 H×nh 1.2. §å thÞ hμm mËt ®é chuÈn ho¸ (a) vμ ®å thÞ hμm Laplace (b). Khi cÇn tÝnh F(x) qua Φ (x) hay ng−îc l¹i, dïng c«ng thøc : 1 F(x) = + Φ (x). (1,6) 2 C«ng thøc sau rÊt cã Ých ®Ó tÝnh x¸c suÊt X n»m trªn ®o¹n nμo ®ã: P X{ ∈[a;b]}= Φ(b) − Φ(a). (1,7) 1.2.4.BiÕn ®æi tuyÕn tÝnh bnn chuÈn. +Cho X ∼ N(m,σ2 ) ⇒ ∀a, b∈¡ , Y= a X+b cã ph©n bè chuÈn. Tõ ®ã dÔ thÊy aX+b ∼ N(am+b, a2σ2). 2 X − m +HÖ qu¶. X∼N(m,σ ) ⇒ U = ∼ N(0,1). (1.8) σ http://www.ebook.edu.vn 9
HÖ qu¶ nμy cho ta ph−¬ng ph¸p thuËn lîi ®Ó tÝnhP X{ ∈[a;b]}: { [ ]} ⎧a − m X − m b − m⎫ b − m a − m P X∈ a;b =P⎨ ≤ ≤ ⎬ = Φ( ) − Φ( ). (1.9) ⎩ σ σ σ ⎭ σ σ 1.2.5.Ph©n vÞ .Ph©n vÞ chuÈn møc α , kÝ hiÖu Uα , lμ gi¸ trÞ x¸c ®Þnh bëi t2 1 +∞ − P U{ > Uα}= α, víi U ∼ N(0,1) ⇔ ∫ e 2 dt = α . (1.10) 2π U α H×nh 1.3. Ph©n vÞ chuÈn møc α . TÝnh chÊt: U1−α = −Uα . (1.11) ⎧⎪U0,10 =1,280; U0,025 =1,960; Mét sè gi¸ trÞ ®Æc biÖt: ⎨U =1,645; U = 2,326. (1.12) ⎪⎩ 0,05 0,01 L−u ý: NhiÒu tμi liÖu kh«ng lËp b¶ng cña Uα mμ lËp b¶ng cña pαhoÆc uα víi P{U < p }= α; P U{ < u }= α . α α 1.2. 6. Sai sè trung gian, d¹ng mËt ®é chuÈn dïng trong ph¸o binh. Cho X ∼ N m ,( σ2 ) , Uα lμ ph©n vÞ chuÈn møc α, ®Æt L = σU0,25 = 0,6745σ ; ρ = U0,25 / 2 = 0,4769. (1.13) Chóng ta cã thÓ viÕt l¹i hμm mËt ®é cña X d−íi d¹ng ( ) ρ −ρ2(x−m)2 / L2 . (1.14) f x = e π L Râ rμng lμ , nÕu m = 0 th× P{−L< X < L}= 0,5. (1.15) http://www.ebook.edu.vn 10
Nh− vËy nÕu quan s¸t BNN chuÈn quy t©m nhiÒu lÇn th× cã kho¶ng 50% sè lÇn BNN ®ã r¬i vμo kho¶ng (-L;L). ChÝnh v× thÕ, L ®−îc gäi lμ sai sè trung gian, nã tØ lÖ víi ®é lÖch chuÈn. D¹ng mËt ®é (1.14) cña ph©n bè chuÈn hay ®−îc dïng trong ph¸o binh. 1.2.7.Quy t¾c 2 ,σ 3σ. Cho X ∼ N(m,σ2 ), theo c«ng thøc (1.9) ta cã { } ⎧ ε X − m ε ⎫ ε P X − m < ε = P⎨− < < ⎬=2Φ( ). (1.16) ⎩ σ σ σ⎭ σ Thay ε = σ1 ,2 ,3σ σta ®−îc P{X − m < σ1 }= 2Φ(1) = 0,68268; P{X − m < 2σ}= 2Φ(1) = 0,95450; P{X − m < 3σ}= 2Φ(1) = 0,9973. (1.17) C¸c x¸c suÊt 0,9545; 0,9973 lμ c¸c x¸c suÊt rÊt lín. Theo nguyªn lÝ x¸c suÊt lín ta cã quy t¾c 2σ,(3 )σ sau ®©y: Quy t¾c.NÕu BNN cã ph©n bè chuÈn th× hÇu nh− ch¾c ch¾n (®é tin cËy trªn 95%(trªn 99%)), BNN chØ sai lÖch víi gi¸ trÞ trung b×nh cu¶ nã mét l−îng kh«ng qu¸ 2σ(3 )σ ). 1.2.8.TÝnh phæ cËp cña ph©n bè chuÈn. Thùc tÕ chóng ta rÊt hay gÆp ph©n bè chuÈn. Së dÜ nh− vËy v× x¶y ra §Þnh lÝ giíi h¹n trung t©m sau ®©y (xem môc 3.5.2d): NÕu bnn X lμ kÕt qu¶ cña rÊt nhiÒu nguyªn nh©n, mçi nguyªn nh©n chØ cã vai trß kh«ng ®¸ng kÓ ®Õn kÕt qu¶ cuèi cïng th× X cã ph©n bè rÊt gÇn ph©n bè chuÈn. §1.3.VÐc t¬ ngÉu nhiªn chuÈn. 1.3.1.VÐc t¬ k× väng, ma trËn t−¬ng quan, ma trËn hÖ sè t−¬ng quan a)Tr−êng hîp 2 biÕn. XÐt 2 BNN X, Y b×nh ph−¬ng kh¶ tÝch. M« men t−¬ng quan (gèc) cña X vμ Y, kÝ hiÖu RXY , x¸c ®Þnh theo c«ng thøc RXY = E[XY]. HiÖp ph−¬ng sai cña X vμ Y, kÝ hiÖu Cov(X,Y) x¸c ®Þnh bëi Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]. Hai BNN X vμ Y ®−îc gäi lμ kh«ng t−¬ng quan nÕu Cov(X,Y) = E[(X − EX)(Y − EY)]= 0. §iÒu nμy t−¬ng ®−¬ng víi E[XY]= E[X] E[Y]. Tr¸i l¹i, nÕu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, X vμ Y ®−îc gäi lμ kh«ng t−¬ng quan. http://www.ebook.edu.vn 11
Showing the first 9 pages. Download the document to see it all.
No comments yet. Be the first!
Comments (0)
No comments yet. Be the first!