Description

Master IMEA 1 Feuille de T.D. no 1 Calcul Stochastique et Finance 1.— a. On considère un modèle de marché (B, S) à une étape. On suppose que S0 = 50 –C et qu’à la date t = 1 on a (S1u = 51, S1d = 48). Examiner la viabilité de ce marché (absence d’opportunité d’arbitrage) dans le cas où le taux de rendement sans risque sur la période considérée est r = 0 puis dans le cas r = 0,02. Déterminer éventuellement la probabilité risque-neutre. b. Mêmes questions avec les évolutions suivantes : (S1u = 52, S1d = 50) ; (S1u = 53, S1d = 48). c. Dans le cas où l’un des marchés précédents n’est pas viable, déterminer un portefeuille d’arbitrage. 2.— Montrer que si, dans un marché viable, un portefeuille établi à la date t = 0 réplique exactement le pay-off d’une option à la date d’expiration T , alors le portefeuille et l’option ont même valeur à la date 0. 3.— Démontrer à l’aide d’un raisonnement d’arbitrage la relation de parité call-put : Ct − Pt = St − Ke−r(T −t) pour un call et un put sur le sous-jacent S, de même strike K, de même maturité T , et où r désigne le taux sans risque et 0 ≤ t ≤ T . 4.— On suppose qu’au taux de change courant on obtient 100 £ pour 160 –C. Un spéculateur estime qu’avec la probabilité 1/2 la Livre anglaise sera tombée à 1,40 –C à la fin de l’année et qu’avec la probabilité 1/2 elle sera montée à 2 –C. Il achète alors une option put européenne qui lui donnera le droit (mais non l’obligation) de vendre 100 £ au prix de 180 –C. Il paye 20 –C pour cette option. On suppose que le taux d’intérêt sans risque est nul dans la zone Euro. En utilisant le modèle binaire à une étape, soit construisez une stratégie qui permettra au vendeur ou à l’acheteur de s’assurer un profit certain, soit montrez que ce prix est le juste prix pour cette option. 5.— Déterminer un portefeuille constitué de deux calls européens – sur un même sous-jacent S et de même maturité T – et dont la valeur à la date T en fonction de ST est représentée par le diagramme ci-dessous : Comm

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