Đề Giải Tích 2 (Lớp chất lượng cao CLC) - Mã đề 2301

1. Câu 1

   (L.O.1) Let $f(x)$ be a function satisfying $f(6.3)=6.7, f^{\prime}(6.3)=5$. Using the linear approximation to estimate the value of $f(5.985)$, we obtain

   A

   5.1250

   B

   2.8895

   C

   8.275

   D

   7.1105

   Lösungen ansehen

   Lösung: A

   Công thức xấp xỉ tuyến tính: $f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)$.

   Chọn $a=6.3$, $x=5.985$, ta có $x-a=5.985-6.3=-0.315$.

   Suy ra $f(5.985)\approx f(6.3)+f'(6.3)(5.985-6.3)=6.7+5(-0.315)=6.7-1.575=5.125$.

   Vậy kết quả là $5.1250$, các đáp án B, C, D không bằng giá trị này.

2. Câu 2

   (L.O.1) Find the general solution of the differential equation $y^{\prime}=x^{2} y^{2}+9 x^{2}+4 y^{2}+36 .$

   A

   $y=\tan \left(3 \tan \left(x^{3}+12 x\right)\right)+C$

   B

   $y=3 \tan \left(x^{3}+12 x+C\right)$

   C

   $y=3 \tan \left(x^{3}+12 x\right)+C$

   D

   $y=\tan \left(x^{3}+12 x+C\right)$

   Lösungen ansehen

   Lösung: B

   Phân tích vế phải: $y'=(y^2+9)(x^2+4)$. Tách biến: $\frac{dy}{y^2+9}=(x^2+4)dx$. Tích phân: $\frac{1}{3}\arctan\left(\frac y3\right)=\frac{x^3}{3}+4x+C$. Nhân 3: $\arctan\left(\frac y3\right)=x^3+12x+3C$, do $3C$ là hằng số nên $y=3\tan(x^3+12x+C)$. A và D thiếu hệ số 3 trước $y$; C đặt $C$ ngoài hàm $\tan$ nên sai.

3. Câu 3

   (L.O.2) Given the function $y=y(x)$ defined by the parametric equation $x=\sin t-2 t, y=2(1-\cos (2 t)) .$ On which of the following intervals is this function decreasing?

   A

   $\left(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right)$

   B

   $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{4}\right)$

   C

   $\left(0, \frac{\pi}{4}\right)$

   D

   $\left(\frac{3 \pi}{4}, \frac{5 \pi}{4}\right)$

   Lösungen ansehen

   Lösung: C

   Với $x=\sin t-2t$, $y=2(1-\cos 2t)$ ta có $\frac{dx}{dt}=\cos t-2<0$ với mọi $t$ nên $x$ giảm theo $t$.

   $\frac{dy}{dt}=4\sin 2t$, do đó $\frac{dy}{dx}=\frac{4\sin 2t}{\cos t-2}$. Vì mẫu luôn âm nên hàm $y(x)$ giảm khi $\sin 2t>0$.

   $\sin 2t>0$ khi $t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ (cộng chu kỳ $\pi$). Khoảng $\left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ nằm trọn trong đó nên hàm giảm.

   Các khoảng còn lại sai: $\left(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}\right)$ và $\left(\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}\right)$ chứa điểm đổi dấu của $\sin 2t$; trên $\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{4}\right)$ có $\sin 2t<0$ nên hàm tăng. Vậy chọn C.

4. Câu 4

   (L.O.1) Given the parametric curve: $\left\{\begin{array}{l} x=t^{2}+1, \\ y=\sqrt{t+2} . \end{array}\right.$ The equation of the tangent line to this curve at $(1,2)$ is

   A

   $4 \sqrt{3} x-y=4 \sqrt{3}-2$

   B

   $4 \sqrt{3} x-y=10$

   C

   The tangent line does not exist

   D

   $4 x+y=6$

   Lösungen ansehen

   Lösung: D

5. Câu 5

   (L.O.1) Use the central Riemann sum with a uniform 10-segment partition of [0, 1] to approximate $\int_{0}^{1} x \arctan x \mathrm{~d} x$.

   A

   0.2849

   B

   0.2854

   C

   0.2850

   D

   0.2472

   Lösungen ansehen

   Lösung: A

   Chia $[0,1]$ thành 10 đoạn đều, mỗi đoạn dài $h=0.1$, các trung điểm là $m_i=0.05+0.1(i-1)$, $i=1,\dots,10$.

   Tổng Riemann trung điểm: $\sum_{i=1}^{10} m_i\arctan m_i\cdot 0.1\approx 0.2849$.

   (Giá trị đúng của tích phân là $\approx 0.2854$ nên phương án B là giá trị của tích phân, không phải của tổng trung điểm theo yêu cầu đề.) Vậy chọn A.

Bearbeiten Sie alle 22 Fragen, um bewertet zu werden und die ausführlichen Lösungen zu sehen.