MỤC LỤC Chương 1 . Tập hợp và lý thuyết số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Khái niệm và ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Các phép toán tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.1.3 Lớp tập hợp và dãy tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.1 Khái niệm tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2.2 Các tính chất cơ bản của tập hợp số thực . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.3 Giới hạn trên và giới hạn dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3 Lực lượng của tập hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Chương 2 . Lý thuyết độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1 Đại số và σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.1 Đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.1.2 σ-đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.1.3 σ-đại số Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Không gian độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.2 Các tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3.1 Định lý thác triển độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Độ đo trên Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.1 Độ đo Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.4.2 Độ đo Lebesgue trong không gian Rk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.4.3 Độ đo Lebesgue-Stieltjes trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Chương 3 . Tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1 Tích phân Lebesgue của hàm đơn giản không âm . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 i ii ✧ MỤC LỤC 3.1.2 Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.2 Hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.1 Định nghĩa và các phép toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.2 Cấu trúc của hàm số đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.2.3 Hàm số tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.3 Tích phân Lebesgue của hàm đo được không âm . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.1 Định nghĩa và một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.3.2 Tính chất cộng tính của tích phân Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . 58 3.4 Tích phân Lebesgue của hàm đo được bất kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.4.2 Các tính chất cơ bản của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.4.3 Các định lý về giới hạn của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.5 Tích phân Lebesgue trên R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.6 Hội tụ theo độ đo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Chương 4 . Tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1 Các khái niệm và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.1 Khái niệm tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2 Hàm số có biến phân bị chặn và hàm số liên tục tuyệt đối . . . . . . 81 4.1.3 Các tính chất cơ bản của hàm khả tích Stieltjes . . . . . . . . . . . . 86 4.2 Liên hệ giữa tích phân Lebesgue và tích phân Stieltjes . . . . . . . . . . . 88 4.3 Độ đo tí