Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập Chương 2 Phép tính tích phân hàm một biến số 2.1 Tích phân bất định Bài 50: Tính các tích phân: ˆ sin2 x e a) ˆ sin 2xdx e) ˆ ˆ (x + 2) ln xdx b) f) ˆ |x − 3x + 2|dx ˆ d) i) ˆ dx (x + a)2 (x + b)2 j) k) sin 5x cos 3xdx g) ˆ xdx (x + 2)(x + 5) h) dx 3 sin x − 4 cos x (3 − 2x)dx √ 1 − x2 ˆ ˆ 2 c) ˆ (x2 + 2)dx x3 + 1 1+ ˆ 3 tan xdx l) √ √ dx x2 + 4x + 5 (x + 1)dx x2 − 2x − 1 Lời giải: ˆ a) ˆ e sin2 x ˆ sin2 x sin 2xdx = e 2 sin x cos xdx = 2 esin x · 2 sin xd(sin x) ˆ 2 2 esin x d(sin2 x) = esin x + C   2    2 ˆ  2 b) + 2x = + 2x ln x − + 2x d(ln x) (x + 2) ln xdx = ln xd ˆ  2 + 2x ln x − + 2x . dx + 2x ln x − + 2 dx + 2x ln x − − 2x + C  (x2 − 3x + 2)dx khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 2 ˆ x − 3x + 2 dx = c)   (−x2 + 3x − 2)dx khi 1 < x < 2  3 2   x − 3x + 2x + C khi x ≤ 1 ∨ x ≥ 2 3 3 2 2 =   − x + 3x − 2x + C khi 1 < x < 2 d) = − = ln |x + 5| − ln |x + 2| + C (x + 2)(x + 5) 3 x+5 3 ˆ ˆ x2 + 2 dx dx e) dx = + 2 2 (x + 1) (x − x + 1) x+1 x −x+1 d x− √ !2 x − 2  1 √  = ln |x + 1| + √ arctan   2  2 2x − 1 √ +C = ln |x + 1| + √ arctan f) I = 2 (x + a)2 (x + b)ˆ Với a = b ⇒ I = 4 (x + a) 3(x + a)3 Với a ̸= b, ta có: (x + a)2 (x + b)2 (x + a)(x + b) 2 ˆ  (x + b) − (x + a) (x + a)(x + b) (b − a)2 x+a x+b (b − a)2 (x + a)2 (x + b)2 (x + a)(x + b) (b − a)2 (x + a)2 (x + b)2 b − a (b − a) x + (b − a) x+b ˆ ˆa x+b 1 1 1 g) sin 5x cos 3xdx = (sin 2x + sin 8x)dx = − cos 2x − cos 8x + C h) tan xdx = tan x tan x + 1 − 1) dx = tan x tan x + 1 dx − tan xdx sin xdx d(cos x) = tan xd(tan x) − = tan xd(tan x) + cos x cos x 2 tan x = + ln | cos x| + C i) 3 sin x − 4 cos x 2 2 3 + (−4) sin x + cos x với α = arctan 5 sin(x + α) sin (x + α)dx d[cos (x + α)] cos2 (x + α) − 1 sin (x + α) 1 cos (x + α) − 1 1 3 cos x + 4 sin x − 5 = ln +C = ln +C 10 cos (x + α) + 1 10 3 cos x + 4 sin x + 5 ˆ x2 + 2 dx = x3 + 1 ˆ Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa CLB Hỗ Trợ Học Tập 51 Hỗ trợ sinh viên Bách Khoa